close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценка неизвестных параметров

код для вставкиСкачать
Интервальное оценивание неизвестных
параметров распределений
Среднее абсолютное отклонение
x
2
x
Доверительный интервал и доверительная
вероятность
• Доверительный интервал --- интервал, с
доверительной вероятностью , покрывающий
оцениваемый параметр
P ˆ 3
Построение доверительных интервалов
с помощью
центральных статистик
4
Пусть СВ X имеет непрерывный закон распределения
Определим центральную статистику G(X, ):
•
При каждой реализации выборки x функция G(X,)
непрерывна и строго монотонна по .
•
Плотность распределения fG (g) известна и не
зависит от неизвестного параметра .
G(X,)
g2
T1
g1
T2
5
G(X,)
g2
T1
T2
g1
Выберем величины g1 < g2 так, чтобы выполнялось
условие:
P g 1 G X , g 2 g2
f G ( g ) dg g1
Ввиду монотонности G(X,)
имеем:
P T1 T 2 6
Построение доверительных
интервалов для параметров
нормального распределения
7
Квантилью порядка p распределения СВ называется
корень уравнения
F xp p
или
xp F
1
p
p
xp
8
Законы распределений, связанные с нормальным
• Стандартное распределение
• Распределение хи-квадрат
• Распределение Стьюдента
• Распределение Фишера-Снедекора
9
Приведение к стандартному виду
Две операции: центрирование и нормирование
x
Обозначение: N (0,1)
10
Стандартное распределение
f x 1
2
e
x
2
2
M[ X ] = 0 D[ X ] = 1
11
Хи--квадрат распределение
(распределение Пирсона)
• Пусть имеем выборку из стандартного распределения.
Введем функцию от выборки, называемую хи-квадрат:
n
2
i
2
i 1
Говорят, что эта случайная величина имеет
хи-квадрат распределение с n степенями свободы.
Плотность хи-квадрат распределения обозначают:
kn ( x)
12
n
kn ( x) x
1
2
n
n
2 2
e
x
2
, x0
Мат. ожидание равно n
2
x t x 1
e t
dt
Дисперсия равна 2n
0
13
Распределение Стьюдента (t-- распределение)
Пусть 0 , 1 ,
, n выборка из стандартного
распределения (НОРСВ)
Случайная величина
t
0
n
i
2
i 1
0
n
2
n
n
Имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы
sn x n 1
1
1
2
, x
n 1
n
n
2
x 2
2 1 n
14
Плотность распределения Стьюдента
15
Распределение Фишера--Снедекора
• Возьмем две независимые СВ, имеющие хи-квадрат
распределение с
отношение
n и m степенями свободы. Их
F 2
n
n
:
2
m
m
Имеет распределение Снедекора с n и m степенями
свободы.
16
Доверительные интервалы для математического
ожидания
• Дисперсия известна
G X , n
X Статистика имеет стандартное распределение
Доверительный интервал с симметричными границами
имеет кратчайшую длину
17
1 2
1
2
g1
g2
18
g1 G g 2
1 g 1 g 2 qnorm q
2 T1 X n
q , T2 X q
n
19
Дисперсия неизвестна
Имеем общую
нормальную модель
N 1 , 2 Центральная статистика для среднего имеет
распределение Стьюдента с (n - 1) степенями свободы
G X , 1 n 1
X 1
S
X 20
Доверительные границы
1 g 1 g 2 qt , n 1 q
2
T1 X SX
n 1
q , T2 X SX
n 1
q
21
Доверительные интервалы для дисперсии
• Математическое ожидание известно
N m, 2
n
G X ,
(X i m)
2
i 1
2
Центральная статистика имеет хи-квадрат
распределение с n степенями свободы
22
1 2
1
2
g1
g2
1
g 1 qchisq ,n
2
1 g 2 qchisq ,n
2
n
T1 n
(X i m)
i 1
g2
2
, T2 (X i m)
2
i 1
g1
24
Мат. ожидание неизвестно
G X ,
2
2
nS
2
X 2
2
1
g 1 qchisq , n 1 q1
2
1 g 2 qchisq , n 1 q2
2
25
T1 nS
2
X q2
, T2 nS
2
X q1
26
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
45
Размер файла
310 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа