close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Презентация

код для вставкиСкачать
Геометрия владеет
двумя сокровищами.
Это теорема
Пифагора и деление
отрезка в крайнем и
среднем
отношениях. Первое
сравнимо с мерой
золота, второе же
больше напоминает
драгоценный
камень.
Иоганн Кеплер
Золотое сечение – это деление отрезка на две части таким образом, что большая
его часть относится к меньшей как весь отрезок относится к большей части.
х
а-х
АС
СВ
А
С
АВ
=
АС
, или
x
a x
=
a
, откуда
x
В
x2 = a2 – ax, x2 + ax – a2 = 0, x =
5 1
2
a.
Иногда золотым сечением называют отношение х к а, которое обозначают
5 1
1
0, 618. Число, обратное , обозначают Ф буквой =
2
5 1
1, 618 .
2
Отметим некоторые равенства, связывающие Ф и :
2
2
1 , 1 Ф, 1 Ф Ф .
Золотым треугольником называют равнобедренный
треугольник, отношение основания которого к
боковой стороне равно . Одним из таких
треугольников является треугольник с боковой
стороной Ф и основанием 1; именно его будем в
дальнейшем называть золотым.
sin 18
1
2
:Ф 2
5 1
4
Ф 1
2
cos 18 1
( 5 1)
16
Ф
Ф
1
2
2Ф
2
Планиметрические задачи
В
Найти углы золотого треугольника. Доказать, что
биссектрисы при основании золотого треугольника
равны основанию и отсекают от боковых сторон
отрезки, равные 1 и , считая от вершины.
1
Решение. В треугольнике АВС выберем на стороне ВС точку D
так, чтобы AD = 1. Из подобия треугольников АВС и ADC
получаем:
АВ
АС
AD
DC
, или
Ф
1
1
DC
D
1
, откуда DC .
А
С
1
Поскольку ВС Ф , DC , то, учитывая равенство Ф 1, получаем, что
BD = 1 и треугольник ABD равнобедренный. Значит, AD – биссектриса
треугольника АВС.
Теперь легко найти углы треугольника АВС:
5 В 180 ,
В 36 ,
А С 72 .
Ответ:
В 36 , А С 72 .
Для золотого треугольника найти:
а) медиану, проведённую к боковой стороне;
б) высоту, проведённую к основанию;
в) площадь;
г) высоту, проведённую к боковой стороне.
В
Решение. Для нахождения медианы воспользуемся формулой
ma 1
2
2 b 2 c a , где a, b, c – стороны треугольника. Итак,
2
2
m BC 2
1
2 2Ф
2
Ф
2
2
1
2Ф
2
3Ф
2
Найдём высоту ВН:
.
С1
2
BH Ф cos 18 2Ф
Ф
.
Н1
2
Площадь треугольника АВС будет равна: S Ф
2Ф
.
А
4
Н
С
Пусть АН1 – высота, проведённая к стороне ВС. Возьмём на стороне ВС точку С1
так, чтобы СН1 = Н1С1. Треугольники АС1С и АВС подобны с коэффициентом
подобия Ф,
2Ф
AH
поэтому
Ответ:
1
а) m BC .
2
Ф 3
2
; б) BH Ф
2Ф
2
;
в) S Ф
2Ф
4
;
г)
AH
1
2Ф
2
.
Найти радиус R описанной и радиус r вписанной окружностей
золотого треугольника. Доказать, что R r sin 18 .
В
18
Ф
R 2 cos 18
2 2Ф
Ф
2Ф
BH
Из треугольника ВНС:
С
18
r
.
Е
ctg 18 ,
О
HC
r
2 r ctg
18
, 2 r sin 18 1 cos 18 , А
sin 18 cos 18
r .
2 sin 18 2
С
Н
Рис. 2
Подставляя сюда значения sin 18 и cos 18 , выраженные через Ф, получим:
r Перемножим R и r: R r 2Ф
2 Ф 1 Ф
2Ф
2Ф
2Ф
2
2Ф
2Ф
2
1
2Ф
.
.
sin 18
О
Рис. 1
2Ф
Из треугольника ВОЕ (рис. 2): ВО D
А
В
Решение. Из треугольника BDO (рис. 1) имеем:
sin 18 .
2
Ответ: R Ф
2Ф
, r
2Ф
2Ф
2
.
Найти длины диагоналей правильного 10-угольника со
стороной, равной 1.
С
D
В
Решение. Найдём величину внутреннего угла
180 10 2 144 .
правильного 10-угольника: А E
10
А
Длина диагонали AF равна 2Ф.
F
O
Найдём длину диагонали АС. Из треугольника АВС имеем:
АС 1 1 2 cos 144 2 2 cos 180 36
2
откуда АС 2 1 cos 36 4 cos
2
18 2 Ф ,
2 Ф.
В равнобокой трапеции ABCD углы при основании равны 36 . Проекции
отрезков АВ и CD на основание AD будут равны cos 36 AD Ф
2
Ф
Ф
.
2
1 Ф 1 Ф .
2
2
Длину диагонали АЕ будем искать из треугольника AEF. В этом треугольнике
медиана ЕО равна половине стороны АF, поэтому треугольник АЕF –
прямоугольный. Тогда АЕ АF cos 18 Ф 2 Ф .
Ответ: 2Ф,
2 Ф , Ф2, Ф
2 Ф.
Стереометрические задачи
Ф
1
Ф
Ф
Ф
1
Пирамида называется золотой, если каждая её грань –
золотой треугольник.
Найти расстояния между скрещивающимися рёбрами золотой
пирамиды.
D
Решение. Достроим пирамиду до параллелепипеда.
C
Его рёбра будут равны
1
2
,
1
2
и
2Ф 1
Ф Ф
2
2
(последнее равенство устанавливается
2
преобразованием выражения Ф3 с помощью
Ф Ф 1
соответствия
).
В
Ф
1
А
Расстояние между рёбрами АВ и DC равно расстоянию между нижней и
верхней гранями, то есть
равно
Ответ:
1
2
2
2
. Аналогично
расстояние между АС и BD
Расстояние между рёбрами AD и СВ, соответственно,
.
1
1
,
1
2
и
Ф Ф
2
.
Ф Ф
2
.
Найти угол между скрещивающимися рёбрами золотой пирамиды.
Решение. Угол между рёбрами АD и ВС равен
90 ,
поскольку они являются диагоналями квадратов,
лежащих в параллельных плоскостях. Углы между
парами оставшихся рёбер равны.
D
C
1
В
Ф
С одной стороны, площадь грани со сторонами
и
А
Ф Ф
, равна
2
Ф Ф
2
1
2
. С другой, эта площадь равна
половине произведения диагоналей на синус угла
между ними. Получим уравнение:
Ф Ф
Ф
2
sin .
sin ,
2
1
Ф
arcsin
Ответ: 90 , arcsin
2
,
.
Найти высоту золотой пирамиды.
D
Решение. Пусть DАВС – данная пирамида, DH –
её высота. Плоскость АDH пересекает ребро ВС
в точке М, причём ВМ = СМ. Треугольник АDМ –
равнобедренный.
К
C
А
Н
Опустим на его основание АD высоту МК. Из
подобия треугольников АНD и АКМ будем иметь:
МК
АМ
DH
В
.
AD
Поставим в это равенство известные нам числа:
AD 1 (ребро пирамиды),
MK Ф Ф
АМ (расстояние между рёбрами AD и ВС),
2
Ф 2Ф
(высота золотого треугольника):
2
DH Ф Ф
2
Ответ:
2Ф
2Ф
.
2
Ф 2Ф
2Ф
2Ф
М
.
Найти объём золотой пирамиды.
D
C
Решение. Объём пирамиды найдём тремя способами.
1
В
Ф
1.
V 1
6
Ф 2Ф
Sh 3
А
2. V 1
2Ф
2Ф
12
Ф Ф
.
6 2
abd sin , где a, b – длины противоположных рёбер, d – расстояние
между ними, - угол между ними; V
1
1 2
Ф Ф
6
sin 90 2
Ф Ф
.
6 2
3. Объём золотой пирамиды – это объём прямоугольного параллелепипеда
минус объём четырёх маленьких пирамид с рёбрами длиной 1,
Ф Ф , значит:
2
V 1
2
Ответ:
Ф Ф
6 2
.
1
2
Ф Ф
2
4
1
6
1
2
1
2
Ф Ф
2
Ф Ф
6 2
.
1
2
,
1
2
и
Обычно, рассказывая о золотом сечении,
приводят примеры его использования в
окружающем мире – в живописи, архитектуре,
поэзии и т. д. Эта тема очень интересна, она
позволяет показать связь математики с
другими науками, с культурой. Однако часто
изучение золотого сечения уводит в сторону от
математики, основное время отводится
рассмотрению нематематических вопросов,
связанных с красотой и гармонией
окружающего мира. В своей работе я
исследовала примеры как планиметрических,
так и стереометрических задач, связанных с
золотым сечением.
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
4
Размер файла
684 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа