close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теорема Пифагора Материал из

код для вставкиСкачать
jjjj
Формулировки
Теорема Пифагора:
Сумма площадей
квадратов,
опирающихся на
катеты (a и b), равна
площади квадрата,
построенного на
гипотенузе (c).
Геометрическая формулировка:
Изначально теорема была
сформулирована следующим
образом:
В прямоугольном треугольнике
площадь квадрата, построенного на
гипотенузе, равна сумме площадей
квадратов, построенных на катетах.
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора — одна из
основополагающих теорем
евклидовой геометрии,
устанавливающая
соотношение между
сторонами прямоугольного
треугольника.
Алгебраическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины
гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника
через c, а длины катетов через a и b: a2 + b2 = c2
Обе формулировки теоремы эквивалентны, но
вторая формулировка более элементарна, она не
требует понятия площади. То есть второе
утверждение можно проверить, ничего не зная о
площади и измерив только длины сторон
прямоугольного треугольника.
Обратная теорема Пифагора:
Для всякой тройки
положительных чисел a, b и
c, такой, что a2 + b2 = c2,
существует прямоугольный
треугольник с катетами a и
b и гипотенузой c.
Доказательства
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367
доказательств данной теоремы [1]. Вероятно, теорема Пифагора
является единственной теоремой со столь внушительным числом
доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь
фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Данный факт даже нашёл отражение в художественной литературе: в
повести «Приключения Электроника» Евгения Велтистова
главный герой на школьном уроке математики приводит у доски 25
различных доказательств теоремы Пифагора, повергнув в
изумление учителя и всех одноклассников.
Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число
классов. Самые известные из них: доказательства методом
площадей, аксиоматические и экзотические доказательства
(например с помощью дифференциальных уравнений).
Доказательство Леонардо да
Винчи
Доказательство Леонардо да Винчи
Главные элементы доказательства — симметрия и
движение.
Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI
рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как
треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь
поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы
усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и
GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами
фигуры равна сумме половин площадей квадратов,
построенных на катетах, и площади исходного
треугольника. С другой стороны, она равна половине
площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс
площадь исходного треугольника. Последний шаг в
доказательстве предоставляется читателю.
История
Чу-пей 500–200 лет до нашей
эры. Слева надпись: сумма
квадратов длин высоты и
основания есть квадрат
длины гипотенузы.
В древнекитайской книге Чупей говорится о пифагоровом
треугольнике со сторонами 3,
4 и 5: В этой же книге
предложен рисунок, который
совпадает с одним из
чертежей индусской
геометрии Басхары.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у
вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени
Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится
приближённое вычисление гипотенузы
прямоугольного треугольника[3]. Отсюда можно сделать
вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с
прямоугольными треугольниками, по крайней мере в
некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на
сегодняшнем уровне знаний о египетской и
вавилонской математике, а с другой-на критическом
изучении греческих источников, Ван-дер-Варден
(голландский математик) сделал следующий вывод:
Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы
была известна в Индии уже около XVIII века до н. э.
Кантор (крупнейший немецкий историк математики)
считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже
египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя
Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского
музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или
"натягиватели верёвок", строили прямые углы при
помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4
и 5.
Очень легко можно воспроизвести их способ построения.
Возьмём верёвку длиною в 12 м. и привяжем к ней по
цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4
метра от другого. Прямой угол окажется заключённым
между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам
можно было бы возразить, что их способ построения
становится излишним, если воспользоваться, например,
деревянным угольником, применяемым всеми
плотниками. И действительно, известны египетские
рисунки, на которых встречается такой инструмент,
например рисунки, изображающие столярную
мастерскую.
См. также
Пифагорова тройка
Пифагоровы штаны
Гиппократовы луночки
Великая теорема Ферма
Литература
Скопец З. А. Геометрические миниатюры. М., 1990
Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961
Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика
Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
Глейзер Г. И. История математики в школе. М., 1982
В.Литцман, «Теорема Пифагора» М., 1960.
Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств
материал взят из книги В.Литцмана, большое число чертежей
представлено в виде отдельных графических файлов.
Теорема Пифагора и пифагоровы тройки глава из книги Д. В.
Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»
История теоремы Пифагора
О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер,
академик РАО, Москва
Спасибо
за
внимание.
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
16
Размер файла
625 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа