close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Знаменитые задачи древности.

код для вставкиСкачать
МБОУ г. Астрахани « СОШ №48»
Знаменитые задачи древности
Задача о трисекции угла
Учитель математики
Фастунова Н.А.
1.Простейшие задачи на построение
Задача 1 : построение биссектрисы угла.
1. Рассмотрим ∠ САВ
2. Проведем окр. с центром в точке А произвольного
радиуса. Получим Р, Н – точки пересечения
окружности и сторон угла.
3. Проведем окр. с центрами в точках P и H одинакового
радиуса. Получим К – точку пересечения окружностей.
4. Проведем АК- биссектрису ∠ САВ
Построение биссектрисы угла позволяет разделить любой угол на
2,4, 8, … 2n равных углов. В каждом случае задача сводится к
построению биссектрис полученных углов, что выполнимо всегда
циркулем и линейкой.
Не трудно разделить угол АВС на 4 равных угла.
Задача 2: Деление угла на четыре части.
Построение:
1.Строим биссектрису ВК ∠ АВС, получаем ∠ АВК= ∠ СВК=∠ АВС:2.
2.Строим биссектрисы ВР и ВМ углов ∠АВК и ∠CDR
соответственно.
3.Получаем:
∠ АВР=∠ РВК= ∠ МВК= ∠ СВМ= ∠ АВК:2= ∠ АВС:4.
2.Задача о трисекции угла
Деление угла на три равные части:
Знаменитой была в древности задача
о трисекции угла (от латинских слов
trio –три и section– рассечение,
разрезание), т.е. о разделении угла на
три равные части с помощью циркуля и
линейки. Говорят, что такое ограничение вспомогательных
приборов было введено знаменитым греческим философом
Платоном.
24.09.2014
3
3.Трисекция прямого угла
Пусть требуется разделить на три равные части
прямой∠ MAN.
Построение:
1) Откладываем на луче АN произвольный
отрезок АК, на котором строим равносторонний
ΔAКB.
2) Так как ∠ КAB равен 60⁰, то ∠ МАВ= 30⁰.
3) Строим биссектрису ∠ КАВ, получаем искомое
деление прямого ∠MAN на три равных угла.
Доказательство: ∠MAN=90⁰. ΔAКB – равносторонний ⇒ ∠ КAB = 60⁰.
Значит, ∠ МАВ=∠MAN – ∠ КAB = 30⁰. АР – биссектриса ∠ КАВ ⇒
∠ КАР=∠ РАВ=30⁰. Получаем, что ∠ КАР=∠ РАВ=∠ МАВ =30⁰, т.е.
искомое деление прямого ∠MAN на три равных угла.
24.09.2014
4
Р. Декарт
П. Ванцель
4.Историческая справка
Задача о трисекции угла возникла в Древней Греции примерно в V веке
до н.э. из потребностей архитектуры и строительной техники.
Древним грекам удалось решить задачу о трисекции прямого угла
при помощи циркуля и линейки. Р. Декарт высказал предположение о
неразрешимости задачи о трисекции произвольного угла при
помощи циркуля и линейки без засечек. Это утверждение
было доказано в 1837 году Ванцелем.
24.09.2014
5
Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около
420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла
квадратрисой.
Рис. 1. Квадратриса.
24.09.2014
Рис. 2. Трисекция угла при
помощи квадратрисы.
6
Александрийский математик Никомед (II в. до н.э.) решил задачу о
трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой
Никомеда, и дал описание прибора для черчения этой кривой.
24.09.2014
7
Решение задачи о трисекции угла Архимедом
Он доказывает , что если продолжить хорду АВ (рис.4) окружности
радиуса r на отрезок BC= r и провести через С диаметр FE, то дуга BF
будет втрое меньше дуги АЕ. Отсюда следует так называемый способ
«вставки» для деления на три равные части угла AOE.В этом построении
применяется, помимо циркуля, не просто линейка как
инструмент для проведения прямых, а линейка
с делениями, которая даёт длину определённого отрезка.
24.09.2014
8
Решение задачи о трисекции угла при помощи линейки с двумя
насечками, предложенное Кемпе
Пусть дан какой – либо угол ABC; и пусть на
лезвии нашей линейки обозначены 2 точки, P и Q
Построение.
1.На одной из сторон угла откладываем от
вершины B прямую BA = PQ.
2.Делим ВА пополам в точке проводим линии
MK BC
и
ML BC
3.Возьмём теперь нашу линейку и
приспособим её к уже полученной фигуре
так, чтобы точка Р линейки лежала на
прямой КМ, точка Q лежала бы на прямой
LM, и в тоже время продолжение PQ
линейки проходило бы через вершину
данного угла В. тогда прямая ВР и есть
искомая, отсекающая третью часть угла В.
24.09.2014
9
5. Следствия, открытые в процессе
решения задачи о трисекции угла.
•
•
•
•
•
В 15 веке самаркандский ученый применил трисекцию угла к составлению
весьма точных тригонометрических таблиц.
В 16 веке французский математик Ф. Виет на основе трисекции угла нашел
тригонометрическое решение квадратного уравнения.
Были решены следующие задачи:
трисекция угла в 900, 450, 22,50,... π /2n, где n – натуральное число (все эти
углы образуют бесконечно малую геометрическую прогрессию со
знаменателем q =1/2).
трисекция угла в 1800.
трисекция угла в 3600.
24.09.2014
10
6.Теорема Морлея.
Теорема утверждает:
Точки пересечения смежных
трисектрис углов произвольного
треугольника являются вершинами
равностороннего треугольника.
Т.Е.
независимо от выбора большого треугольника маленький
фиолетовый треугольник будет равносторонним.
24.09.2014
11
Возможное использование
Точность
Легкость
построения
Использованные
средства
и инструменты
Авторы
решения
6.Сравнительный анализ способов построения трисектрисы угла.
для
острого
угла
для
прямого
угла
для
тупого
угла
для угла
от 180° до
360°
+
-
Только для
угла
180° и 360°
+
Древние
Греки
Архимед
Папп
Александри
йский
Гиппей
24.09.2014
Циркуль и
линейка без
засечек
Циркуль и
линейка с
двумя
засечками
Конхоида
Никомеда,
циркуль,
линейка
Открытая им
квадратриса,
циркуль,
линейка
+ +
С уменьшением угла
точность уменьшается
-
Менее точно по
сравнению с первым
способом
+
+
-?
-?
-
Менее точно по
сравнению с 1,2,4
+
+
-?
-?
+
+
+
+
-
Менее точно, чем 1, но
более точно, чем 2 и
3.Чем точнее построена
квадратриса, тем
точнее трисекция
для угла
α = π /2n, где
n- натуральное число
12
источники
1. Большая Советская Энциклопедия.- 3 изд.,
Москва: Советская энциклопедия, 1978 год.
2. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории
математики.- пер. с нем.,2 изд., Москва: Наука,1969.
3. Кольман Э. История математики в древности.Москва: Физматгиз, 1961.
4. Акимова С. Занимательная математика.- СанктПетербург: Тригон, 1997.
24.09.2014
13
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
145
Размер файла
2 176 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа