close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение уравнений

код для вставкиСкачать
Рациональные способы
решения алгебраических
уравнений
Подготовили Лихобабина Анастасия,
Кулыгина Анастасия.
Разделы:
Исторические факты.
1.
2.
Первое руководство по решению уравнений.
22 решения за одну ночь.
Определение алгебраических уравнений.
Виды уравнений.
Способы решения.
Способы решения
квадратных уравнений.
Список использованной
литературы и сайтов.
1.
Историческая справка.
Первое руководство по решению уравнений.
Багдадский ученый IX в.
Мухаммад ибн Муса Хорезми.
22 решения за одну ночь.
Франсуа Виет (1540 – 1603 г.)
Алгебраическое уравнение n-ой
степени
a0
n
x +a
n-1
1x +…+an-1x+an=0
где a0≠0 , a0 , a1 , …an заданные числа
,
Виды алгебраических уравнений
Линейное уравнение
ax + b = 0
Квадратное уравнение
ax2 + bx + c = 0
Кубическое уравнение
Биквадратное уравнение
ax3 + bx2 + cx + d = 0
ax4 + bx2 + c = 0
Уравнение 4-ой степени общего вида
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Алгебраическое уравнение n-ой степени общего вида
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0
Способы решения уравнений
1. С помощью формул сокращенного
умножения:
(a±b)2=a2±2ab+b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
(a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an2+2a1a2+2a1a3+…+2an-1an
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
a3±b3=(a±b)(a2±ab+b2)
an-1=(a-1)(an-1+an-2+…+an-k+…+a+1)
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+an-kbk-n+…+abn-2+bn-1)
НАПРИМЕР:
Способы решения уравнений
(6x-1)2-4(3x+2)(3x-2)=-7; (2x-1)3-(2x-3)3=24x2-40x-24;
36x2-12x+1-4(9x2-4)=-7; 8x3-12x2+6x+1-8x3+36x2-54x-27=24x2-40x-24;
36x2-12x+1-36x2+16=-7; 24x2-48x-26=24x2-40x-24;
17-12x=-7;
-8x=2;
-12x=-24;
x=-0,25;
x=2;
Ответ:{0,25}.
Ответ:{2}.
Способы решения уравнений
2. Вынесение общего множителя за скобки:
Например:
2х4 + 3х3 + х2 = 0;
x2(2x2+3x+1)=0;
x2=0,
2x2+3x+1=0;
x=0,
2x(x+1)+(x+1)=0;
x=0,
(2x+1)(x+1)=0;
x=0,
2x+1=0,
x+1=0;
x=0,
x=-0,5,
x=-1;
Ответ: {0;-0,5;-1}
4(y2-7)-16y(y2-7)=0;
(4-16y)(y2-7)=0;
4(1-4y)(y2-7)=0;
(1-4y)(y2-7)=0;
1-4y=0,
y2-7=0;
4y=-1,
y2=7;
y=-0,25,
y=√7;
Ответ:{-0,25;√7}.
Способы решения уравнений
3. Метод группировки:
Например:
x4-4x3+5x2-4x+4=0;
x4-4x3+4x2+x2-4x+4=0;
(x4-4x3+4x2)+(x2-4x+4)=0;
x2(x2-4x+4)+(x2-4x+4)=0;
(x2+1)(x2-4x+4)=0;
x2+1=0,
x2-4x+4=0;
x2=-1,
(x-2)2=0;
Ø,
x-2=0;
x=2;
Ответ:{2}.
Способы решения квадратных
уравнений
Разложение левой части уравнения на множители.
Метод выделения полного квадрата.
Решение квадратных уравнений по формуле.
Решение с помощью теоремы Виета.
Решение с помощью теоремы, обратной теореме
Виета.
Решение с помощью теоремы.
Разложение левой части уравнения
на множители.
Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2)
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х – 2) = 0.
Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его
множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в
нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12
являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.
Метод выделения полного квадрата
Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0
х2 + 6х = х2 + 2· х ·3
х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х2 + 6х – 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32.
х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 =
= (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16
Данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 –16 = 0,
т.е. (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 = 4, х = 1, или х +3 = - 4 , х = – 7.
Решение квадратных уравнений по
формуле
Вывод формулы:
Умножим обе части уравнения
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0,
на 4а и следовательно имеем:
4а2х2 + 4аbс + 4ас = 0.
((2ах)2 + 2ах · b + b2) – b2 + 4ас = 0,
(2ах + b)2 = b2 – 4ас,
2ах + b = ± b 2 4 ac
2ах = – b ± b 2 4 ac
Х = b b 4 ac
2
2a
Например:
4х2+ 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3,
D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1,
D >0
b D
х = 2a
,
х=
;
7 1
х=
,
8
3
х= 4
,
7 1
х= 8
,
х = –1
Таким образом, в случае положительного дискриминанта,
т. е. при b2 – 4ас>0 уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два
различных корня.
7 1
8
Теорема Виета
ax2+bx+c=0, а≠0
x1 x 2 b
a
x1x 2 c
a
Теорема обратная, теореме Виета
Если числа m и n таковы, что их сумма равна –b, а
произведение равно c (m+n=-b, m·n=c), то эти числа
являются корнями уравнения
ax2+bx+c=0
Теорема*
Если сумма коэффициентов квадратного уравнения
ax2+bx+c=0 равно нулю , то есть a+b+c=0,то корнями
уравнения являются 1 и c .
a
Решение уравнения несколькими
способами.
x2-6x+5=0
а) x2-6x+5=0
x2-x-5x+5=0
(x2-x)-(5x-5)=0
x(x-1)-5(x-1)=0
(x-5)(x-1)=0
x-5=0,
x-1=0;
x=5,
x=1.
Ответ:{1; 5}.
б) x2-6x+5=0
x2-2·3·x+5=0
x2-2·3·x+9-9+5=0
(x-3)2-4=0
(x-3)2=4
x-3=2,
x-3=-2;
x=5,
x=1.
Ответ:{1; 5}.
в)x2-6x+5=0
a=1
b=-6
c=5
D=b2-4ac=36-4·1·5=36-20=16
D>0, следовательно
x=
b b 4 ac
2
2a
x=
x=
Ответ:{1; 5}.
;
;
x
6 16
2
x
6 16
2
; x=5
; x=1
По теореме, обратной теореме
Виета
г)x2-6x+5=0
x1+x2=6
x1x2=5
5=1·5 или
x=1
x=5
Ответ: {1;5}
5=-1·(-5)
По теореме*
д) x2-6x+5=0
a=1 , b=-6 , c=5
1-6+5=0 , значит
x=1
x=5
Ответ: {1;5}
Список использованной литературы и сайтов.
http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg24.html
http://www.erudition.ru/referat/printref/id.34282_1.html
http://fio.ifmo.ru/archive/group11/c4wu7/ch1.htm
Учебник для учащихся 8 класса с углубленным изучением математики.
Под редакцией Н. Я. Виленкина.
Алгебра. Сборник задач для учащихся 8-9 классов средней школы. Карп
А. П.
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
121
Размер файла
389 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа