close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

здесь.. - Лицей 1557

код для вставкиСкачать
О мир, пойми! Певцом –во сне – открыты
Закон звезды и формула цветка.
М. Цветаева.
• Математика дает универсальные
инструменты для изучения связей,
зависимостей между различными
величинами. Её изучение делает шире и
богаче наши возможности
математического описания
окружающего мира.
Живые графики
Мастер класс по теме:
«Уравнения и системы уравнений с двумя
переменными. Различные способы решения.»
Князева Ольга Александровна
ГОУ лицей №1557
Системы линейных уравнений с
параметрами
Линейные системы
ax by c
dx ey f
Общий вид линейной
системы двух уравнений с
двумя неизвестными x и y.
совместные
Решение системы – это
пара чисел (x; y), при
подстановке которых каждое
уравнение превращается в
верное числовое равенство.
Имеют
единственное
решение
Какие бывают системы?
Имеют
бесконечное
множество
решений
несовместные
Не имеют
решений
Рассмотрим систему линейных уравнений
ax by c 0,
dx ey f 0, a, b, c, d, e, f - const, a, b, d, e ≠ 0
y y
d
e
x
f
e
Система не имеет решений, если
a
d
b
e
c
f
x
0
.
y a
b
x
c
b
Рассмотрим систему линейных уравнений
ax by c 0,
dx ey f 0, a, b, c, d, e, f - const, a, b, d, e ≠ 0
y y
d
e
x
f
e
Система имеет бесконечное
множество решений, если
a
d
b
e
c
f
x
0
.
y a
b
x
c
b
Рассмотрим систему линейных уравнений
ax by c 0,
dx ey f 0, a, b, c, d, e, f - const, a, b, d, e ≠ 0
y
y
d
e
x
f
e
Система имеет единственное
решение, если
x
0
a
d
b
e
.
y a
b
x
c
b
• Исследование линейного уравнения с
параметром - это первый шаг в
познании методов исследования
систем линейных уравнений с
большим количеством неизвестных,
которые имеют широкое применение
на практике.
• Так, в задачах математической экономики
можно найти системы, состоящие из
нескольких сотен уравнений с таким же
примерно числом неизвестных. Для их
решения разработаны мощные машинные
методы. Основную роль при этом играют
компактные способы записи систем и их
преобразований. Представьте себе: система
из тысячи уравнений с тысячью
неизвестными содержит миллион
коэффициентов.
• Мы пока стоим на пороге познания
методов исследования реальных
процессов. Математика дает нам
универсальные методы для будущей
профессиональной работы в различных
областях науки и практики.
Уравнения и системы уравнений
с параметрами
различного вида
Симметричные системы
Решение простейшей симметричной системы
«Виетовская система».
Простейшая симметричная система с двумя
неизвестными имеет вид
x y a
xy b
Симметричные системы
Решение простейшей симметричной системы
Геометрически решения системы – координаты точек пересечения…
y
прямой x
+y=aи
P1(x1; y1)
гиперболы xy
= b.
xy = b (b < 0)
x
Ответ: (x1; y1), (x2; y2).
Отметим, что при b
< 0 прямая x + y = a всегда
пересекает гиперболу xy = b, которая
расположена во 2 и 4 четверти.
P2(x2; y2)
x+y=a
Симметричные системы
Решение простейшей симметричной системы
При b
> 0 прямая x + y = a может:
пересекать гиперболу в двух точках;
y
P1(x1; y1)
касаться гиперболы (в одной точке);
P (x; y)
P2(x2; y2)
x
xy = b (b > 0)
не иметь с гиперболой общих точек.
Симметричные системы
Решение простейшей симметричной системы
Виетовская система.
x y a
xy b
По теореме, обратной к теореме Виета, ее решение сводится к
решению квадратного уравнения
t2 – at + b = 0
Следует признать, что если система имеет не более двух
решений, и если эти решения угадываются, то никаких
специальных выкладок не нужно.
1) При каком значении параметра а , система имеет
единственное решение y x 2 2 x ,
2
2
x 1 y a 1 .
Построим графики уравнений.
а) у=х2-2х или у = (х-1)2-1 .
Это квадратичная функция, график –парабола с вершиной
(1;-1) , ветви которой направлены вверх.
б)уравнение (х-1)2+(у - а)2=1 описывает окружность с
радиусом R=1, центром (1; а). С изменением параметра а
окружность перемещается по прямой х=1.
Система имеет столько решений, сколько общих точек имеют
графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну,
две или три общие точки. Выберем то значение параметра
а при котором графики имеют одну общую точку, а значит
система имеет единственное решение.
y x 2x
2
x
x 1
2
y 2 1
2
Ответ: а=-2.
2) Найти наименьшее значение параметра а , при котором
система имеет единственное решение x 2 y 2 4 ,
| x a | | y | 1 .
Построим графики уравнений:
а)уравнение х2+у2=4 описывает окружность с радиусом R=2,
центром (0;0).
б) уравнение |х - а|+|у|=1 описывает квадрат. При а=0
центром квадрата будет точка (0;0), вершинами - точки:
(0;1), (1,0),(-1;0), (0;-1).
С изменением параметра а, квадрат перемещается по
прямой у=0. Система имеет столько решений, сколько
общих точек имеют графики. Графики могут не иметь
общих точек, иметь одну или две общие точки. Выберем
те значения параметра а ,при котором графики имеют
одну общую точку, а значит система имеет единственное
решение.
• Система имеет единственное решение, если а=-3,
а=-1, а=1, а=3.Условию удовлетворяет наименьшее
из этих чисел: а=-3.
Ответ: -3
3) Найти целое значение параметра а , при котором система
имеет ровно два решения x 2 y 2 1,
y | x | a .
Построим графики уравнений:
а)уравнение х2+у2=1 описывает окружность с радиусом R=1,
центром (0;0).
б) у-|х|=a или у=|х|-a ,
графиком этого уравнения является ломаная, ветви которой
направлены вверх. (0;0) - точкa излома.
С изменением параметра а ломаная перемещается по
прямой х=0. Система имеет столько решений, сколько
общих точек имеют графики. Графики могут не иметь
общих точек, иметь одну, две или три общие точки.
Выберем то значение параметра а ,при котором графики
имеют две общие точки, а значит система имеет ровно
два решения.
Случай касания не
удовлетворяет
условию,
так как
мы ищем
целое
значение
параметра а.
При а=-1 – одно
решение, при а=1
система имеет 3
решения, что также не
удовлетворяет условию.
x y 1
2
2
Ответ: 0.
При -1<a<1 два решения.
На этом промежутке только одно целое значение : а=0.
4) При каком значении параметра а ,уравнение имеет три
корня | x 2 2 x 3 | a .
Построим графики функций: у =|х2-2x-3| и у = а.
а) график функции у =|х2-2x-3| получается в результате
симметричного отображения графика функции у=х2-2x-3
симметрично относительно оси Ох.
б) графиком функции у = а является прямая, параллельная
оси Ох, проходящая через точку (0;а).
С изменением параметра а, прямая перемещается вдоль
оси Оу, параллельно оси Ох. Уравнение имеет столько
решений, сколько общих точек имеют графики. Графики
могут не иметь общих точек, иметь одну , две или три
общие точки. Выберем те значения параметра а ,при
котором графики имеют три общие точки, а значит
уравнение имеет три решения.
y | x 2 x 3 |
2
При а=4 графики
имеют три общие
точки, а значит
уравнение имеет
три решения.
Ответ : 4
y y a 4
5) Найти наибольшее значение параметра а , при котором
уравнение
x | x 4 | a имеет два корня.
Построим графики функций: у=х|х-4| и у=а.
а) если x<4, то |x-4|=4-x, функция имеет вид у=-х2+4х.
Графиком ее является парабола с вершиной (2;4), ветви
которой направлены вниз.
б) если х ≥4, то|x-4|=х-4, функция имеет вид у=х2-4х.
Графиком ее является парабола с вершиной (2;-4), ветви
которой направлены вверх.
в) графиком функции у=а является прямая, параллельная оси
Ох, проходящая через точку (0;а).
С изменением параметра а, прямая перемещается вдоль
оси Оу, параллельно оси Ох. Уравнение имеет столько
решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут
иметь одну , две или три общие точки. Выберем те значения
параметра а ,при котором графики имеют две общие точки,
а значит уравнение имеет два решения.
При а=0 и а=4 графики
имеют две общие точки,
а значит уравнение
имеет два решения.
Наибольшее значение
параметра а=4.
y4
y x x 4
y0
Ответ : 4
Вывод:
• Необходимость рассматривать уравнения с буквенными
коэффициентами возникает часто. Прежде всего, это
полезно тогда, когда формулируются некоторые общие
свойства, присущие не одному конкретному уравнению,
а целому классу уравнений. Разумеется, то, что в
уравнении одни буквы мы считаем неизвестными, а
другие – параметрами, в значительной степени
условно. В реальной практике из одного и того же
соотношения между переменными приходится
выражать одни переменные через другие, то есть
решать уравнение относительно одной буквы, считая
ее обозначением неизвестного, а другие буквы
параметрами.
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
44
Размер файла
1 586 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа