close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Презентация к консультации (1,17 Mбайт)

код для вставкиСкачать
Методические особенности
отбора содержания учебного
материала направленного на
усвоение учащимися умений
решать уравнения,
неравенства и их системы,
выполнять действия с
функциями при выполнении
заданий повышенного и
высокого уровней сложности
Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать
уравнения, неравенства, и системы
МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ
ВИДЫ УРАВНЕНИЙ
Специаль
ные
Разложе
ние
на
множите
ли
Замена
перемен
ной
Использование
свойств
функций
Использование
графиков
Несколько
приемов
Рациональные
+
+
+
+
+
+
Иррациональные
+
+
+
+
+
+
Показательные
+
+
+
+
+
+
Логарифмические
+
+
+
+
+
+
Тригонометрические
+
+
+
+
+
+
Равносильные
+
+
+
+
+
+
+
Комбинированные
Содержащие
переменную под
знаком модуля
С параметром
+
+
+
+
+
+
+
2
Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать
уравнения, неравенства, и системы
СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Подстановка
Алгебраическое
сложение
Введение
новых
переменных
Использова
ние свойств
функций
Использова
ние
графиков
функций
Рациональных
+
+
+
Иррациональных
+
+
+
+
+
Показательных
+
+
+
+
+
Логарифмических
+
+
+
+
+
Тригонометрические
+
+
+
+
+
Комбинированных
+
+
+
+
+
С параметром
+
+
+
+
+
+
Равносильность
систем уравнений
3
Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать
уравнения, неравенства, и системы
Неравенства,
системы
неравенств
Неравенства
Системы
неравенств
Методы решений
Метод
интервалов
Использование
свойств
функций
Использо
вание
графиков
функций
Равносиль
ные
преобразо
вания
системы
Использова
ние свойств
и графиков
функций
+
+
+
+
+
Показательные
+
+
+
+
Логарифмические
+
+
+
+
Рациональные
Равносильность
неравенств,
систем
неравенств
Комбинированные
Равносильные преобразования
+
+
С параметром
Равносильные преобразования
+
+
4
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных
вариантов ЕГЭ-2010 по математике
Решите систему уравнений
cos 2 y cos y
2
x 2 x 2 sin y
Решение
1.
Анализ решения
(требования к
учащимся)
2
Ограничения для переменных x, y: x 2 x 0 ,
sin y 0
x 0, x 2
sin y 0
2. Решим первое уравнение системы с учетом ограничений для
переменной y:
cos 2 y cos y 0
2 cos
sin y 0
2
y cos y 1 0
sin y 0
cos y 1, cos y 0 ,5
sin y 0
Полученная система равносильна совокупности систем:
cos y 1,
y 2 k , k Z
sin y 0 ;
2
y
2 n , n Z
cos y 0 ,5 ,
3
sin y 0 ;
1. Анализ условия
задачи и выбор способа
решения системы
(подстановка).
2. Учет ограничений для
переменных на основе
понятий ОДЗ, ООУ.
3. Решение
тригонометрических
уравнений.
4. Отбор множества
корней уравнения с
учетом заданных
условий (ограничений)
для переменной.
5
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных
вариантов ЕГЭ-2010 по математике
Решение системы уравнений
(продолжение)
3. а) если
Анализ решения
(требования к
учащимся)
cos 2 y cos y
2
x 2 x 2 sin y
y 2 k , k Z , òî sin y 0 тогда второе уравнение
x 2x 0
x1 0, x 2 2 .
системы примет вид:
, откуда
Так как 0 и 2 принадлежат множеству допустимых значений
переменной x, следовательно 0 ; 2 k ; 2 ; 2 k | k Z решения системы.
2
б) если
y 2
2 n , n Z , òî sin y 3
3
, тогда второе уравнение
2
системы примет вид:
x 1 1,
3, x2 3.
x 2x 2
Значения -1 и 3
принадлежат множеству допустимых значений переменной x,
2
2
2 ò ; 3;
2 ò / n Z
1;
3
3
следовательно
- решения
системы.
2
2
Ответ. 0 ; 2 k ; 2 ; 2 k | k Z ; 1;
2 ò ; 3;
2 ò / n Z
3
3
5. Вычисление
значений
тригонометрических
функций при заданных
значениях аргумента.
6. Решение
иррациональных
Уравнений.
7. Запись решений
системы уравнений в
виде пар чисел или
соответствующих
значений переменных.
8. Отбор решений
системы уравнений с
учетом ограничений и
равносильности
преобразований всех
уравнений системы.
9. Запись ответа.
6
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных
вариантов ЕГЭ-2010 по математике
Выводы
Объем содержания учебного
материала, подлежащего повторению
при подготовке к итоговой аттестации
по теме «Уравнения»
•Основные виды рациональных,
иррациональных, показательных,
логарифмических, тригонометрических,
комбинированных уравнений и методы их
решения;
• Равносильность преобразований
уравнений;
•Системы уравнений и методы их решения
Отбор и дидактическое
преобразование учебного материала
при подготовке учащихся к итоговой
аттестации по разделу «Уравнения»
•Структурирование содержания по видам
уравнений и методам решений
•Разработка дидактических материалов для
организации самостоятельной учебной
деятельности выпускников при повторении
курса математики (на примере раздела
«Уравнения»)
7
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических,
тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения
Основные понятия, теоремы
Основные понятия
Равенство вида
f x и g1 x f 1 x g 1 x (1), где 1
- функции, заданные на некотором числовом
множестве М, наз.уравнением с одним неизвестным.
Решением (корнем) уравнения (1) наз.
значение неизвестного, взятого из множества М,
которое обращает данное уравнение в верное
равенство.
Решить уравнение – найти множество всех его
решений или установить, что их нет.
Областью определения уравнения (1) или ОДЗ
неизвестного уравнения (1) наз. множество всех
значений, взятых из числового множества М, при
которых существуют обе функции f 1 x и g 1 x .
Пусть в результате преобразования уравнения (1)
получилось уравнение f 2 x g 2 x (2). Если все
решения уравнения (1) являются решениями
уравнения (2), то уравнение (2) является
следствием уравнения (1).
Два уравнения (1) и (2) с одним и тем же
неизвестным наз. равносильными, если уравнение
(2) является следствием уравнения (1) и, наоборот,
уравнение (1) является следствием уравнения (2)
или если оба уравнения решений не имеют.
Теоремы
Т1 Если над частями данного уравнения
произвести тождественные преобразования, не
меняющие области определения этого
уравнения, то получим уравнение,
равносильное данному.
Т2. Если к обеим частям данного уравнения
прибавить одно и то же число или одно и то же
выражение, имеющие числовой смысл при всех
значениях неизвестного из области
определения этого уравнения, то получим
уравнение, равносильное данному.
Следствие. Члены уравнения можно переносить из
одной части уравнения в другую, изменив их знаки на
противоположные.
Т3. Если обе части уравнения умножить на
одно и то же число, неравное нулю, или на
одно и тоже, выражение, имеющее смысл
и неравное нулю при всех значениях
неизвестного из области определения
этого уравнения, то получим уравнение,
равносильное данному.
Следствие. Если все члены уравнения делятся на одно и
то же число или выражение, неравное нулю при всех
знач. неизвестного из области определения уравнения,
то их можно разделить на это число или выражение.
8
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических,
тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения
Основные теоремы (продолжение), правила
Т4. Если уравнение (1)
равносильно уравнению (2), а
уравнение (2) равносильно
уравнению (3), то уравнение (1)
равносильно уравнению (3).
Если при некоторых преобразованиях ОДЗ
уравнения расширяется, то полученное уравнение
может иметь посторонние корни для данного
уравнения, которые следует проверить
подстановкой в него (в исходное уравнение).
Если при некоторых преобразованиях данного
уравнения ОДЗ полученного уравнения сузилось по
сравнению с ОДЗ данного уравнения, то можно
потерять корни данного уравнения. В этом случае
необходимо дополнительно исследовать, нет ли
среди тех значений неизвестного, на которые
сузилась ОДЗ данного уравнения, его корней.
Если решение данного уравнения проведено
исключительно на основании теорем 1-4, то
проверка найденных корней необязательна. Если
же приходилось пользоваться какими-либо
преобразованиями, не входящими в условия этих
теорем, то проверка найденных значений
неизвестного по условию уравнения обязательна,
т.е. является составной частью решения
уравнения.
9
Основные виды рациональных, иррациональных,
показательных, логарифмических, тригонометрических,
комбинированных уравнений и методы их решения
Рациональные уравнения (информационная карта для ученика)
Общие теоретические сведения
Основные формулы:
a b 2 a 2 2 ab b 2 , a 2 b 2 a b 2 2 ab
a b 3
a 3 a b 3 ab b
3
2
2
3
,
a b 3
, a b a b a b ,
2
2
3
3
a b 3 ab a b , a b a b a ab b
x 1 , x 2 - корни уравнения ax 2 bx c 0 .
3
3
2
2
ax bx c a x x 1 x x 2 , где
Т. Безу: Если многочлен Pn x a n x n a n 1 x n 1 ... a 1 x a 0
разделить на двучлен x-a,
то в остатке получим число R Pn a .
Опр. Уравнение вида Pn x 0 , где Pn x - многочлен степени n, называется рациональным
2
алгебраическим уравнением.
Опр. Дробным рациональным алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется
уравнение, содержащее хотя бы в одной части дробное рациональное выражение относительно
неизвестного.
Виды уравнений
1.
ax b 0 ,
Основа решения
1.1. если a 0 , , то
x b
Примеры
заданий
[1] : №№ …
a
1.2. если a 0 , b 0 , то нет корней;
1.3. если a=0 и b=0, то x – любое д.ч.
10
,
Основные виды рациональных, иррациональных,
показательных, логарифмических, тригонометрических,
комбинированных уравнений и методы их решения
Рациональные уравнения (продолжение)
Виды уравнений
2.
ax
bx c 0 , a 0
2
ax
2
Основа решения
а)
x 1, 2 2 kx c 0
x px q 0
2
б)
b
в)
[1] : №№ …
b 4 ac
2
2a
x 1, 2 k x 1, 2 k
Примеры заданий
[2] : №№ …
2
ac
a
p
2
p
2
q
4
г) теорема Виета ….
3.
Pn x 0
n>2
Метод разложения левой части на множители.
Метод понижения степени многочлена:
если x=a – корень многочлена P x , то
Pn x x a Pn 1 x 3.
Pn x Q m x 0
Pn x Q m x 0
Pn x 0
Q m x 0
[1] : №№ …
[2] : №№ …
n
[1] : №№ …
[2] : №№ …
11
Системы рациональных уравнений
1.
Решите систему уравнений:
x3 y3 7
3 3
x y 8
Решение
x3 y3 7
3 3
x y 8
Анализ задачи
x y x 2 xy y 2 7
xy 2
x y x 2 2 y 2 7
xy 2
2
x y x y 2 2 xy 2 7
x y x y 2 2 2 7 xy 2
xy 2
x y 3 6 x y 7 0
xy 2
(*)
Пусть (x+y)=t, тогда первое уравнение системы (*) примет вид:
t 6t 7 0 ,
3
t1 1
- единственный действительный корень.
Система (*) равносильна системе
x y 1
xy
2
x 1
y 2
x 2
t 1
1.
Можно применить
способ подстановки,
выразив y 3 из первого
уравнения и подставив во
второе. Затем решить
уравнение 6-ой степени.
2. Представленный способ
опирается на прием
понижения степени
уравнения и
использование
подстановки, метода
замены переменой.
Ответ. (-1; 2); (2; -1)
12
Системы рациональных уравнений
Решите систему уравнений:
2) 3)
x
x y 9
x 2 y xy 2 6
y
x y x
xy x y 5
20
(4)
5) 12 x y 2 x 2 ,5 y
2
6 x y x 0 ,125 y
xy 3
y
ОДЗ: y 0 .
Пусть x y a ,
(3)
4) x 4 y 4 82
x
y
b
, тогда система (2) примет вид: a b 20
xy x y 6
. Пусть x y a , xy b , тогда система примет вид: ab 6
xy x y 5
a b 5
( x y 2 2 xy ) 2 2 x 2 y 2 82
xy 3
x y 2 6 10
xy 3
x y 2 6 10
xy 3
Ответ.
ab 9
2
2
x y 6 2 3 2 82
xy 3
2
2
x y 6 100
xy 3
…
x y 4
xy 3
x y 4
xy 3
…
(-1; -3); (-3; -1); (1; 3); (3; 1).
13
Системы рациональных уравнений
Вывод
Решение систем рациональных уравнений:
Решение линейных, квадратных, алгебраических уравнений
Решение дробно-рациональных уравнений
Применение основных способов решения систем уравнений:
подстановка, алгебраическое сложение, графический способ;
Преобразование уравнений системы на основе равносильных
преобразований;
Использование различных приемов преобразования уравнений системы:
с помощью формул сокращенного умножения, разложения на множители,
введение новых переменных, преобразование системы к решению
квадратного уравнения;
использование свойств функции для исследования уравнения:
нахождения ОДЗ, оценка значений выражений, определение количества
корней уравнения, системы;
Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля;
Исследование решения уравнения, системы с помощью параметра.
Решение систем рациональных уравнений – подготовительная работа к
решению уравнений и систем других видов.
14
Основные виды рациональных, иррациональных,
показательных, логарифмических, тригонометрических,
комбинированных уравнений и методы их решения
Иррациональные уравнения (информационная карта для ученика)
Общие теоретические сведения
Основные формулы:
n
a | a |, n четное a , n нечетное n
mn
a
mk
n | k |, n четное
a
k
n a , n нечетное
n
n
a
b
ab n
n
n
| a | n
;
|b| | a | n | b |;
n k
k
a
m
n
a
mk
a
m
nk
a
m
;
;
2. Основные методы решения иррациональных уравнений:
возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
введение новых переменных
3.При решении иррациональных уравнений методами (2) возможно появление посторонних
корней, поэтому необходимой частью решения иррациональных уравнений является проверка корней
либо подстановкой корней в исходное уравнение, либо путем доказательства равносильности
уравнений, получаемых на всех этапах решения.
Возведение в четную степень обеих частей
уравнения сохраняет равносильность уравнений на множестве М, если:
обе части уравнения определены на множестве М;
обе части уравнения неотрицательны на множестве М.
Виды уравнений
1.
f (x) a
Основа решения
f (x) a
нет
решений , если
a 0
2
f ( x ) a , если
a 0
Примеры
заданий
[1] : №№ …
[2] : №№ …
15
Основные виды рациональных, иррациональных,
показательных, логарифмических, тригонометрических,
комбинированных уравнений и методы их решения
Иррациональные уравнения (продолжение) (информ. карта для ученика)
Виды уравнений
2.
f (x) g (x)
Основа решения
f ( x) g 2 ( x)
g ( x ) 0
[1] : №№ …
*
1 . ОДЗ уравнения
обеих частей уравн . в квадрат ;
2 . возведение
*
3 . отбор корней поОДЗ ;
4 . проверка
корней подстановк ой
3.
f (x) g (x)
4.
f (x) 5.
f (x) g ( x) h( x)
f (x) m a
f ( x) m
f (x) f ( x)
n
k
a
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
ОДЗ
f ( x) Примеры заданий
( x)
2
g ( x)
h ( x)
2
[2] : №№ …
(
x 2 x 1
[1] : №№ …
[2] : №№ …
[1] : №№ …
[2] : №№ …
h( x) 0
Метод введения новой переменной
[1] : №№ …
[2] : №№ …
g (x) a
16
)
Основные виды рациональных, иррациональных,
показательных, логарифмических, тригонометрических,
комбинированных уравнений и методы их решения
Иррациональные уравнения (продолжение) (информ. карта для ученика)
Виды уравнений
6. Уравнения,
решаемые с помощью
исследования ОДЗ,
оценки МЗФ
Основа решения
Сравнение ОДЗ, МЗФ в левой и
правой частях уравнения
Примеры заданий
[1] : №№ …
[2] : №№ …
(
x 3 x 16 x 3
2
x 4 2
7. Уравнения,
решаемые подбором
корней
Доказательство единственности
корня уравнения, подбор, проверка
корня подстановкой
2 1 1 2 x
x 1 3 5x
2
2
2
)
[1] : №№ …
[2] : №№ …
3 x 3 x
(
3
2x 1 3
x 1 1
)
17
Система задач по теме «Иррациональные уравнения»
1 тип:
x 2 x 1
Решение
1 способ: ОДЗ:
x2
x1 2
1
x 2
x 1 ,
2
5
2
, x2 ОДЗ.
Проверка …?
1
x x 1 0
2
5
. Корни удовлетворяют условию
2
(Затруднение)
2 способ:
x 2 x 1
x 1 0
x2
x 1
1 5
1 5 , x2 x 2
1
2
Ответ
Анализ решения
(требования к учащимся)
1
5
2
x 1 2
x1 1
2
5
1.
Понимание неравносильности
преобразования уравнения с
помощью возведения его в четную
степень.
2. Знание основных видов
иррациональных уравнений и
способов решения.
3. Анализ задачи и определение
вида иррационального уравнения.
4. Выбор алгоритма (способа)
решения иррационального
уравнения в зависимости от вида
уравнения.
5. Правильное применение
выбранного способа (алгоритма)
решения.
2
18
Система задач по теме «Иррациональные уравнения»
4 тип:
4 x 12 x 9 2 x 3 x 4 9
2
Решение
4 x 12 x 9 2 x 3 x 4 9
2
2x 3 2x 3 x 4 9 3
Ответ
3
x 2
x 4 4
4 x 3
2
x 4 4x 6
2 x 3 2
Анализ решения
(требования к учащимся)
2x 3 x 4 9
3
x
2
2 x 3 2 x 3
4 x 3 2 x 2 x 3
3
x
2
x 12
4 x 3
2
39
x1 0, x 2 16
x4 9
3
2
x4 9
x 12
x 0
1. Анализ задачи и выявление
особенностей условия
(имеется полный квадрат
двучлена).
2. Применение формулы
квадрата двучлена и свойства
арифметического квадратного
корня из степени к
преобразованию уравнения.
3. Применение определения
модуля числа к равносильному
преобразованию уравнения с
модулем.
4. Решение иррационального
уравнения с учетом имеющихся
ограничений и равносильности
преобразований.
x 1 0 , x 2 12
19
Основные виды рациональных, иррациональных,
показательных, логарифмических, тригонометрических,
комбинированных уравнений и методы их решения
Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля (информационная карта)
Общие теоретические сведения
f x , åñëè
f x f x , åñëè
Основные формулы:
Виды
уравнений
1. |f(x)| = a
2. |f(x)| = g(x)
f x 0
Основа решения
íåò
f x a,
ðåøåíèé
,
åñëè
[1] : №№ …
[2] : №№ …
a 0
1 способ:
2 способ:
g ( x) 0
f (x) 0
f ( x) g ( x)
1 способ:
f ( x) g ( x)
D ( f ( x ))
D ( g ( x ))
2
Примеры
заданий
f x a
g ( x ) 0 или
f ( x) 0
f ( x) g ( x)
3. |f(x)| = |g(x)|
f x 0
2
[1] : №№ …
[2] : №№ …
g ( x) 0
2
2
f ( x) g ( x)
2 способ:
Применение метода
интервалов
[1] : №№ …
[2] : №№ …
20
Основные виды рациональных, иррациональных,
показательных, логарифмических, тригонометрических,
комбинированных уравнений и методы их решения
Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля (продолжение)
Виды уравнений
4. |f(x)| ± |g(x)| = h(x)
Основа решения
1 способ:
Применение метода интервалов для
определения промежутков
знакопостоянства подмодульных
выражений, рассмотрение всех
возможных случаев.
2 способ:
Примеры
заданий
[1] : №№ …
[2] : №№ …
h( x) 0
2
2
| f ( x ) | g ( x ) | h ( x )
21
Системы иррациональных уравнений
1. Преобразования, приводящие к системе, равносильной данной:
линейные (алгебраическое сложение);
замена уравнения на равносильное уравнение;
замена уравнения совокупностью алгебраических уравнений;
использование метода подстановки ( одно из уравнений содержит одно из неизвестных в первой
степени).
2.Основные методы решения систем иррациональных уравнений:
метод подстановки;
метод введения новых неизвестных;
преобразование уравнений системы возведением обеих частей в степень.
Пример 1. Решите систему:
x y 3 x y 6
6
3
2
x y x y 8
Решение
1.
ОДЗ:
Анализ решения
x y
x y 3 x y
2. 6
3
2
x y x y u v 6,
u v 8 . Откуда
6
8
u1
v
1
u 2
v2
. Подстановка:
2,
4;
4,
2.
Ответ. (34; -30); (12; 4)
3
3
x y u,
3
получим:
x y v,
x y 2,
x y 4; x y 4,
x y 2.
x 1 34 ,
y 30 ;
1
x 2 12 ,
y 2 4.
1. Анализ условия задачи и
выделение особенностей
условия.
2. Введение новых переменных и
преобразование системы.
3. Решение системы
алгебраических уравнений.
4. Решение простейших
иррациональных уравнений.
5. Отбор решений системы
уравнений с учетом
22
равносильности преобразований.
Системы иррациональных уравнений
Примеры. Решите систему:
2) 3 x y 3 y x 12 , 3) 3
x 3 y 4
xy 64
x y 28
4)
2 x y 11 3 x y 9 3,
5)
4
4
2 x y 11 3 x y 9 3 .
Решение
2)
ОДЗ:
x 0
y 0
2
6
2. x
u 2 v 2 u v 12 ,
6 6
u
v
64
;
6
y
2
6
y 6
x u 0,
6
y v 0
xy 64
uv 2 u v 12 ,
uv
2
;
u v 3,
uv 2 ;
…
Ответ. (1; 64); (64; 1).
3)
Пусть
3 x u,
3
y v
2. Система примет вид:
u v 4,
2
2
u v u uv v 28 ;
u v 4,
3
3
u v 28 ;
u v 4,
2
u v u v 3uv 28 ;
20 y
x
16 x
x y x y,
x y x y.
5y
Анализ решения
x 12 , Пусть
6
1. Нахождений ОДЗ и
введение новых
переменных на основе
анализа условия.
2. Применение опыта
преобразования
систем рациональных
уравнений к
полученной системе.
3. Решение
простейших
иррациональных
уравнений.
u v 4,
…
uv 3 .
Ответ. (1; 27); (27; 1).
23
Системы иррациональных уравнений
Примеры. Решите систему:
4) 2 x y 11 3 x y 9 3,
4
4
2 x y 11 3 x y 9 3 .
5)
20 y
x
16 x
x y x y,
x y x y.
2
2
6) x y x y 1,
3
2
2
x x y 0.
5y
Решение
4) 1. Пусть
4
2 x y 11 u ,
4 2 x y 11 2 ,
4
3
x
y
9
1
,
4
3x y 9 v,
u v u v 3,
u v 3;
u 2 v 2 3,
примет вид: u v 3;
2.
u 0;
Анализ решения
2 x y 11 16 ,
3 x y 9 1,
u v 1,
u v 3.
x 3,
y 1.
, тогда система
v 0
… u=2≥0, v=1≥0.
3. Проверка …
Ответ. (3; 1).
5) 1. Умножив первое и второе уравнения, получим уравнение:
20 4
5
y
x
x
y
x y
2
x y
,
2
откуда y=4.
4
x
x4 x 4,
2. Подставив значение y=4 во второе уравнение, получим 5 2
В результате возведения уравнения в квадрат и упрощения его левой и правой
2
x 1, 2 5
частей, получим: 5 x 16 3 x , откуда
пара чисел (5; 4) – решение системы.
Ответ. (5; 4).
. Проверка показала, что
1. Введение новых
переменных и
определение их ОДЗ
на основе анализа
системы.
2. Решение
полученной системы
рациональных
уравнений на
основе
использования
формул
сокращенного
умножения и
подстановки.
3. Решение
простейших иррац.
уавнений.
24
Системы иррациональных уравнений
Примеры. Решите систему:
6)
2
2
x y x y 1,
3
2
2
x x y 0.
Решение
Анализ решения
6) 1. Второе уравнение системы заменим совокупностью уравнений:
1. Анализ условия и
3
2
2
выбор уравнения
x 0 èëè
x y 0 . Корень первого уравнения x=0 не удовлетворяет
для преобразования.
2
2
ОДЗ
x y 0,
2
2
2. Преобразование
x y 0
2
2
x
y
x
y
1
уравнения системы
переменных:
. Исходная система примет вид: на основе свойства
равенства нулю
x 2 y 2 0,
произведения двух
x y x y 0 ,
x y 0,
x 0 , 5;
множителей к
x
y
1
;
x
y
1
;
y
0
,
5
.
x y 1
совокупности
уравнений.
3. Отбор найденных
корня (зависимости)
Найденная пара чисел удовлетворяет заданной системе.
по условию ОДЗ.
Ответ. (0,5; 0,5).
4. Преобразование
системы на основе
установленной
зависимости между
переменными.
5. Отбор (проверка)
решений.
25
Системы иррациональных уравнений
Вывод
Решение систем иррациональных уравнений предполагает использование
опыта учащихся:
решения систем рациональных уравнений;
решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля;
решения различных видов иррациональных уравнений;
анализа и учета равносильности преобразований уравнений и системы;
26
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и
методы их решения
Показательные уравнения (информационная карта для ученика)
Общие теоретические сведения
a
a
a
x
a
1
1,
0
x
x R a 0 , x R x
0 ; a 1 a 1 1
x
0
1, x или
b,
a
a 0, a 1 .
f x à)
á)
b
a
b
x
a
a
x
ðåøåíèé
íåò
x log a b ,
m
a
b
a
a
3.
f1 x b
0 , a 1;
F a
f x 0,
f2 x ,
b 0 , b 1
a 0, a 1
log
c
a
f1 x log
,
a 2,
x
Примеры
заданий
[1] : №№ …
[2] : №№ …
b 0,
åñëè
åñëè
x1
b 0.
x m.
â)
2.
a
Основа решения
1.
x
è
x1 x 2 .
òî
0, x 0 Виды уравнений
a
a 0, a 1
Åñëè
a
x
1
c
a
b |:
a
b
x
x
b
0,
x
0
a
b
x 0.
[1] : №№ …
a 0 , b 0 , c 0 , c 1 [2] : №№ …
f2 x f 1 x log
x
c
a f 2 x log
c
b
Введение новой переменной
[1] : №№ …
[2] : №№ …
27
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и
методы их решения
Показательные уравнения. Примеры.
1)
1
x
а) 3 x 1
243
3
3) а)
б) 30 2 5
x
9 6 2
x
x
x
360
x
в) 13
5 x 1
17
2 x2
13
3 x 1
г)
x
3 3
x
x 1
3 3
5
x
x 1
5
x 5 0,
x 1
2
x 5 ,
2
x 5,
2
x 11 x 24 0 ,
Ответ. 8.
3 а)
3
2x
3
2
t t 2 0;
2
3 2 22
x
2x
x 1
3 39
x
(требования к учащимся)
x 5,
x 8.
x 1 3, x 2 8 ,
3
Анализ решения
3 x 1 x 5 x 1 5 x2
2 x 1
Решение
а)
3
x
2x
0,
|: 2
x
3
2 0,
2
t1 2 , t 2 1;
3
2
t 1
2x
0
ïðè
âñåõ
x R.
t 0,
òîãäà
x
ïóñòü
ïîñòîðîííè
3
t,
2
é
êîðåíü
4. Решать основные виды
показательных уравнений
x
1,
1. Знание основных видов
показательных уравнений и
способов (алгоритмов)их
решения.
2. Умения преобразовывать
уравнение, содержащее
неизвестное в показателе
степени к известному виду
на основе свойств степени,
разложения левой части
уравнения на множители,
замены переменной.
3. Понимание условий
равносильного перехода от
показательного уравнения к
алгебраическому.
x 0.
Ответ. 0.
28
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и
методы их решения
Комбинированные уравнения: показательно-степенные
(информационная карта для ученика)
Виды уравнений
Основа решения
1.
g x f1 x g x f x g 2 x g1 x f2 x 1)
f x 4à )
4 â)
g x 0,
g x 1,
f x f x ;
2
1
2)
g x 1,
f1 x 2 m , m Z ;
f x 2n, n Z ;
2
g x 1,
2m
,m Z,
f1 x 2
k
1
f x 2n , n Z ,
2
2p 1
g x 1,
D f 1 x ,
D f x ;
2
4á
3)
g ( x ) 0,
f1 x 0,
f x 0;
2
[1] : №№ …
[2] : №№ …
g x 1,
f 1 x 2 m 1, m Z ,
f x 2 n 1, n Z ;
2
k N ; 4 ã)
p N;
Примеры
заданий
f1 x f x 2
g x 1,
2m 1
,m Z,
2k 1
2n 1
,n Z,
2p 1
k N,
p N.
29
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и
методы их решения
Комбинированные уравнения: показательно-степенные. Примеры.
x 1
2
lg x 2 lg x
x 1
3
Решение:
Анализ решения
(требования к учащимся)
ОДЗ: x 1,
1.
Анализ условия:
2
понимание, что т.к. МЗФ y lg x 2 lg x
- любое действительной число, то по
определению степени с действительным
показателем x 1 0 , откуда x 1
.
2. Применение определения логарифма к
нахождению ОДЗ переменной.
3. Правильное применение теоремы о
равносильном переходе от показательного
уравнения к алгебраическому:
x 0.
1 способ: уравнение равносильно совокупности систем:
x 1,
x 1,
или x 0,
x 0,
x 1 1,
x 1 1.
lg 2 x 2 lg x 3
Ответ. 0,1; 2; 1000.
Åñëè
a 0, a 1 è a 1 a 2 ,
2. способ: так как x 1 0 , то при всех x из ОДЗ обе
части уравнения положительны, следовательно
òî
x1 x 2 .
уравнение равносильно системе:
x 1,
4. Понимание, что использование данной
x 0,
теоремы сужает ОДЗ, то есть исключает
2
lg
x
2
lg
x
3
lg x 1 ; значения x, при которых x 1 1 .
lg x 1
5. Рассмотрение уравнения при x , для
1
которых выполняется условие x 1 30
x
x
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и
методы их решения
Логарифмические уравнения (информационная карта для ученика)
Общие теоретические сведения
Теорема:
Åñëè
log
a
x 1 log
a
x2
a
0 , a 1, x 1 0 , x 2 0 ,
Преобразование уравнения с помощью свойств логарифма:
x1 x 2
òî
log
a
xy log
a
x log
a
y,
x
log a log a x log a y ,
y
p
log a x p log a x ,
log
не являются равносильными.
Виды уравнений
1. log
2.
a
log
f x b,
a
a 0, a 1
f 1 x log
a
a
f 2 x 0, a 1
2. F g x 0 ,
a
0, a 1
a
p
x 1
log
p
Основа решения
f x a
x, p 0
Примеры
заданий
[1] : №№ …
[2] : №№ …
b
1 способ:
[1] : №№ …
[2] : №№ …
2 способ:
f1 ( x ) 0
f2 (x) 0
f (x) f (x)
2
1
a
1. f1 ( x ) f 2 ( x )
2 . îòáîð
êîðíåé
ïîäñòàíîâê
Метод введения новой переменной
îé
[1] : №№ …
[2] : №№ …
31
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и
методы их решения
Комбинированные уравнения: показательно-логарифмические
(информационная карта для ученика)
Виды уравнений
2.
a
log
g x f x log
Пример:
2 log
2t 1
t
log
3x7
g x log
9 12 x 4 x log
3x7
2 x 3 2
log
2 x3
2 x3
6 x
2 t 3t 1 0 ,
2
t1 1,
2
23 x 21 4
2 x 3 3 x 7 2 x 3 log 2 x 3 3 x 7 1 4 ,
3 0, [1] : №№ …
[2] : №№ …
h x 2
3x7
Примеры
заданий
Логарифмирование обеих частей уравнения
h x log b f x Решение:
Основа решения
t 2 0 ,5 .
пусть
log
3x7
4,
t log
2 x 3 ОДЗ:
3x7
x 0 , 25 .
2 x 3 ,
0 ,5 ,
3 x 7 2 x 3,
1, 5 x 1 ,
log
x 1
тогда :
3x7
2 x 3 1,
2 x 3 3 x 7,
x 4.
-0,25 – принадлежит ОДЗ; -4 – не принадлежит ОДЗ. Так как все преобразования уравнения были
равносильны на ОДЗ, то проверка не требуется.
Ответ. -0,25.
32
Системы, содержащие показательные и логарифмические
уравнения
1.
2.
3.
4.
Способ подстановки;
Способ алгебраического сложения;
Метод введения новой переменной;
Равносильность преобразований уравнений.
Примеры. Решите систему:
x
y
2 2 16 ,
1) log 3 x log 3 y 1 .
x
y
28
y
x
7
7 ,
2)
log 9 x log 1 y 1,5 .
9
2
2
3x
y
0,
log x 3) 9 y x 9 y 2 1 y 2 log 9 x 8 .
Решение
(1) ОДЗ:
x 0,
y 0.
(2) ОДЗ: x
0,
y 0.
x y 4,
...
xy 3;
x3 y3
28 ,
xy
xy 27 ;
3;1 , 1;3 óäîâëåòâîð
x 3 y 3 28 27 ,
...
xy 27 .
Анализ решения
ÿþò ÎÄÇ .
3;9 , 9 ;3 ÎÒÂÅÒ .1;3 , 3;1 .
óäîâëåòâîð
ÿþò
Все преобразования системы равносильны на ОДЗ, проверка не требуется.
Ответ. (3; 9), (9; 3).
ÎÄÇ .
1. Анализ условия
и определение
способов
преобразования
уравнений системы
на основе умений
решать
показательные ,
логарифмические
уравнения.
2. Решение систем
рациональных ур.
33
Системы, содержащие показательные и логарифмические
уравнения
Примеры. Решите систему:
3x
y
0,
log x 3) 9 y x 9 y 2 1 y 2 log 9 x 8 .
Решение
Анализ решения
(3) ОДЗ: y 2,
0 x 1, x 1
y
2
1
y 2
log 9 x 8 y 2,
y 2,
0 x 1, x 1
0 x 1, x 1
1 log 9 x 8 ,
x 1,
y
2
1
y 3.
y 3
Подставив значение y=3 в первое уравнение, получим:
log
1
x
3
x
x9
0 log
x
3
возрастающая, а функция
x
x9
y 1
log
9
3
x 1
9
x
. Так как функция y log 3 x
- убывающая на ОДЗ переменной x, то
x
полученное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x=9.
Проверка показала, что пара чисел (9; 3) – решение системы.
Ответ. (9; 3).
1. Находить ОДЗ,
выбирать способ
преобразования
уравнений на основе
анализа связей между
членами уравнения.
2. Знание
показательностепенного
уравнения, способов
его преобразования
на основе понимания
определения степени
с дейст. показателем,
теоремы о
преобразовании
показательного
уравнения, и учете
ограничений при ее
использовании.
34
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и
методы их решения
Тригонометрические уравнения (информационная карта для ученика)
Виды уравнений
1. простейшие:
sin x = a,|a|≤1;
cos x = a, |a|≤1;
tg x = a;
ctg x =a;
Основа решения
А)
Б)
sin x a , a 1
x arcsin a 2 n , n Z ,
x arcsin a 2 n , n Z ,
èëè
x 1 arcsin a n , n Z
÷àñòíûå
ñëó÷àè :
n
sin z 1,
x 2
sin x 1,
2 n , n Z ,
2 n , n Z ,
2
x n, n Z .
x sin x 0 ,
cos x a ,
алгоритм решения:
a sin x b cos x 0 .
tgx a 1,
[1] : №№ …
[2] : №№ …
x arccos a 2 k , k Z ,
÷àñòíûå
ñëó÷àè
cos x 1, x 2 k , k Z ,
x 2 k , k Z ,
cos x 1,
cos x 0 ,
x k,k Z
2
В)
tgx a
x arctga n , n Z
Г)
2.
Примеры
заданий
ctgx a ,
x arcctga n , n Z .
a sin x b cos x 0 |
: cos x 0
[1] : №№ …
[2] : №№ …
b
,a 0
a
b
Если
cos x( =0,) то
x arctg
получим
k , k Z противоречие основн. тригон.
a
Тождеству, значит cos x ≠0.
35
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и
методы их решения
Тригонометрические уравнения (информационная карта для ученика)
Виды уравнений
Основа решения
3.
(3) Алгоритм:
a
a sin x b cos x c , c 0
a b
2
sin x 2
b
a b
2
Примеры
заданий
cos x 2
c
a b
2
[1] : №№ …
[2] : №№ …
,
2
Существует такое число φ (0<φ <2π), что
cos a
a b
2
b
, sin a b
2
2
cos sin x sin cos x ,
, тогда
2
c
a b
2
x ( 1) arcsin
c
n
a b
2
4.
A sin
2
y B sin y cos y C cos
2
y 0
5. Уравнения, решаемые
методом замены
переменной
2
n, n Z
2
, sin( x ) c
a b
2
, где arccos
,
2
a
a b
2
2
[1] : №№ …
[2] : №№ …
[1] : №№ …
[2] : №№ …
36
Системы тригонометрических уравнений
Замечание: в записи решений тригонометрических уравнений, решаемых в системе,
используются разные буквы, обозначающие целые множители (n, k), так как
использование одного и того же символа может привести к потере решения.
Общие способы решения систем тригонометрических уравнений:
Подстановки;
Алгебраического сложения;
Введение новых переменных
Информационная карта для учащихся
Образцы решений
Способ подстановки
Пример 1 sin( x y ) 2 sin x sin y ,
x y 2
Задания
y x,
y x,
2
2
sin( x ( x )) 2 sin x sin(
sin(
x)
2 x ) 2 sin x cos x
2
2
2
y x,
y y x,
y x,
x,
2
2
2
2
n
x cos
2
x
2
sin
x
cos
x
,
cos
2
x
sin
2
x
,
tg
2
x
1
,
,n Z,
8
2
5
k
y ,k Z,
8
2
n
x ,n Z.
8
2
n, n Z ;
2
Ответ. 8
5
8
[1] :
№№ …
[2] :
№№ …
k
y ( ), k Z ,
2
8
2
n
x ,n Z,
8
2
k,k Z 2
37
Системы тригонометрических уравнений
Информационная карта для учащихся
Образцы решений
Задания
Способ алгебраического сложения
Пример 2. Решение: (1) + (2): sin x cos y cos x sin y 0 ,
1
sin x cos y 2
1
cos x sin y 2
[1] : №№ …
[2] : №№ …
sin( x y ) 0 .
(1)-(2):
sin x cos y cos x sin y 1,
sin( x y ) 1 .
исходная система примет вид:
x y n, n Z
sin( x y ) 0 ,
x
y
2 k , k Z .
sin(
x
y
)
1
,
2
x y n,
x y (1 ) ( 2 ) :
2x x 4
Ответ.
2 k ,
n 2 k ,
x y 2y y 4
2
4
2 k ,
2
(1 ) ( 2 ) :
k , n Z , k Z
n k ;
2
4
( 2 )
x y n,
2
2
n
(1)
n
n 2 k
2
k , n Z , k Z
2
n k n Z , k Z .
2
38
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных
вариантов ЕГЭ-2010 по математике
Выводы
Объем содержания учебного
материала, подлежащего повторению
при подготовке к итоговой аттестации
по теме «Уравнения»
•Основные виды рациональных,
иррациональных, показательных,
логарифмических, тригонометрических,
комбинированных уравнений и методы их
решения;
• Равносильность преобразований
уравнений;
•Системы уравнений и методы их решения
Отбор и дидактическое
преобразование учебного материала
при подготовке учащихся к итоговой
аттестации по разделу «Уравнения»
•Структурирование содержания по видам
уравнений и методам решений
•Разработка дидактических материалов для
организации самостоятельной учебной
деятельности выпускников при повторении
курса математики (на примере раздела
«Уравнения»)
39
Анализ задач C3, проверяющих умения решать
неравенства и системы неравенств
Неравенства,
системы
неравенств
Неравенства
Системы
неравенств
Методы решений
Метод
интервалов
Использование
свойств
функций
Использо
вание
графиков
функций
Равносиль
ные
преобразо
вания
системы
Использова
ние свойств
и графиков
функций
+
+
+
+
+
Показательные
+
+
+
+
Логарифмические
+
+
+
+
Рациональные
Равносильность
неравенств,
систем
неравенств
Комбинированные
Равносильные преобразования
+
+
С параметром
Равносильные преобразования
+
+
40
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
28
Размер файла
1 947 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа