close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Уравнения высших степеней

код для вставкиСкачать
Уравнения высших
степеней.
Методы решения уравнений:
Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x))
уравнением f(x) = g(x)
Разложение на множители.
Введение новой переменной.
Функционально – графический метод.
Подбор корней.
Применение формул Виета.
Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x))
уравнением f(x) = g(x).
Метод можно применять только в том случае,
когда y = h(x) – монотонная функция, которая
каждое свое значение принимает по одному
разу. Если функция немонотонная, то
возможна потеря корней.
Решить уравнение
(3x + 2)²³ = (5x – 9)²³
y = x ²³ возрастающая функция, поэтому от
уравнения (3x + 2)²³ = (5x – 9)²³ можно
перейти к уравнению 3x + 2 = 5x – 9, откуда
находим x = 5,5.
Ответ: 5,5.
Разложение на множители.
Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить
совокупностью уравнений
f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0.
Решив уравнения этой совокупности, нужно
взять те их корни, которые принадлежат
области определения исходного уравнения, а
остальные отбросить как посторонние.
Решить уравнение
x³ – 7x + 6 = 0
Представив слагаемое 7x в виде x + 6x,
получим последовательно:
x³ – x –6x + 6 = 0
x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0
x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0
(x – 1)(x² + x – 6) = 0
Теперь задача сводится к решению
совокупности уравнений
x –1 = 0;
x² + x – 6 = 0.
Ответ: 1, 2, – 3.
Введение новой переменной.
Если уравнение y(x) = 0 удалось
преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно
ввести новую переменную u = g(x), решить
уравнение p(u) = 0, а затем решить
совокупность уравнений
g(x) = u1; g(x) = u2; … ; g(x) = un ,
где u1, u2, … , un – корни уравнения p(u) = 0.
Решить уравнение
2 x 3x x 3x 2 0
4
3
2
Особенностью этого уравнения является
равенство коэффициентов его левой части,
равноудаленных от ее концов. Такие
уравнения называют возвратными.
Поскольку 0 не является корнем данного
уравнения, делением на x² получаем
2x 3x 1 2
3
x
2
x
2
0
1 1
2
2 x 2 3 x 1 0
x x
y x
Введем новую переменную
Тогда
y x 2
2
1
2
2
è
x
x 2
x
Получаем квадратное уравнение
2 y 2 3 y 1 0,
2
y1 1,
Так как
y x
1
1
1
x
2
y 2.
2
2y 3y 5 0
2
y 2 2 ,5 .
2,
x
корень y1 = – 1 можно не рассматривать.
Получим
1
2
x 2 ,5 , x 2 ,5 x 1 0
x
x1 2 , x 2 0 , 5
Ответ: 2, 0,5.
Решите уравнение
6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7x +12) + ( x² – 7x + 12)² = 0
Данное уравнение может быть решено как однородное.
Поделим обе части уравнения на (x² – 7x +12)² (ясно,
что значения x такие, что x² – 7x +12=0 решениями не
являются).
x 4
2
Теперь обозначим
Имеем
t.
x 7 x 12
1
2
6 t 5 t 1 0 , t1 ,
2
2
x 4
2
Отсюда
Ответ:
x 7 x 12
2
x1 0 ,
x2 1
1
2
3
4
,
t2 1
.
3
x 4
2
è
x 7 x 12
1
x 3 1, x 4 1 .
3
2
1
3
Функционально – графический
метод.
Если одна из функций у = f(x),y = g(x)
возрастает, а другая – убывает, то
уравнение f(x) = g(x) либо не имеет
корней, либо имеет один корень.
Решить уравнение
x 5 x 42 0
5
Достаточно очевидно, что x = 2 – корень
уравнения. Докажем, что это единственный
корень.
Преобразуем уравнение к виду x 5 42 5 x .
5
Замечаем, что функция y x
возрастает, а функция
y 42 5 x
убывает. Значит, уравнение имеет только
один корень.
Ответ: 2.
Подбор корней
Теорема1:
Если целое число m является корнем многочлена с целыми
коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m.
Теорема 2:
Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет
дробных корней.
Теорема 3:
n
n 1
Пусть a 0 x a1 x ... a n 0 – уравнение с целыми
p
коэффициентами. Если число x 0 , где p и q – целые числа
q
p
несократима, является корнем уравнения,
и дробь
q
то p есть делитель свободного члена an , а q – делитель
коэффициента при старшем члене a0 .
Теорема Безу.
Остаток при делении любого многочлена на двучлен
(x – a) равен значению делимого многочлена при x = a.
Следствия теоремы Безу
Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность
этих же чисел;
Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как
на разность этих чисел, так и на их сумму;
Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму
этих чисел;
Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих
чисел;
Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на
сумму этих чисел;
Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность
этих чисел, так и на их сумму;
Многочлен делится нацело на двучлен (x – a) тогда и только тогда, когда
число a является корнем данного многочлена;
Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его
степень.
Решить уравнение
x³ – 5x² – x + 21 = 0
Многочлен x³ – 5x² – x + 21 имеет целые коэффициенты.
По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся
среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21.
Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем.
По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (x – 3).
Таким образом, x³– 5x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2x – 7).
Ответ:
x1 3,
x 2 ,3 1 2 2
Решить уравнение
2x³ – 5x² – x + 1 = 0
По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1.
Проверка показывает, что данные числа не являются корнями.
Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные
рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4:
8x³ – 20x² – 4x + 4 = 0
Сделав подстановку 2x = t, получим
t³ – 5t² – 2t + 4 = 0.
По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны
быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4.
В данном случае подходит t = – 1. Следовательно x1 0 , 5 .
По следствию из теоремы Безу многочлен 2x³ – 5x² – x + 1 делится на (x + 0,5):
2x³ – 5x² – x + 1 = (x + 0,5)(2x² – 6x + 2)
Решив квадратное уравнение 2x² – 6x + 2 = 0, находим остальные
корни: x 2 , 3 3
5
.
2
Ответ: x1 0 ,5 ,
x 2 ,3 3
2
5
.
Решить уравнение
6x³ + x² – 11x – 6 = 0
По теореме 3 рациональные корни этого уравнения
следует искать среди чисел
1, 2 , 3, 6 ,
1
,
2
3
1
2
1
, , , .
2
3
3
6
Подставляя их поочередно в уравнение,
найдем, что
x1 1,
x2 3
2
,
x3 2
удовлетворяют
3
уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения.
Ответ:
1;
3
2
;
2
3
.
Формулы Виета.
Для корней x1 , x 2 , ..., x n уравнения a 0 x a1 x
имеют место формулы:
n
x1 x 2 ... x n a1
n 1
... a n 0
,
a0
x1 x 2 x1 x 3 ... x1 x n x 2 x 3 ... x n 1 x n a2
,
a0
x1 x 2 x 3 x1 x 2 x 4 ... x1 x 2 x n x 2 x 3 x 4 ... x n 2 x n 1 x n a3
a0
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...
x1 x 2 x 3 ... x n ( 1)
n
an
a0
.
,
Найти сумму квадратов корней
уравнения x³ + 3x² – 7x +1 = 0
По теореме Виета
x1 x 2 x 3 3
x1 x 2 x1 x 3 x 2 x 3 7
Заметим, что
x1 x 2 x 3 1 .
x1 x 2 x 3 2 x12 x 22 x 32 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x 3 ,
откуда
x x x x1 x 2 x 3 2 x1 x 2 x1 x 3 x 2 x 3 2
1
2
2
2
3
3 2 7 23 .
2
2
Укажите, каким методом можно решить каждое из данных
уравнений. Решите уравнения № 1, 4, 14, 15, 17.
1.
4 x 5 x 6 x 10 x 12 3 x .
2.
x 5 x 6 0.
3.
2 x 2 5
4.
y 5 y 2 y 16 0 .
5.
x 4 x 5 x 2 0.
6.
x x 10 .
7.
Ïóñòü
x1 , x 2 , x 3
Íàéäèòå
:
8.
2
3
5 x 9 .
5
2
1
x1 x 2
êîðíè
1
x1 x 3
1
x 2 x3
3
2
x 2 2 x 1 2 x 2 x 2 1 2 x 1 2
12.
2 x 7x 3
14.
Èçâåñòíî
2
,
ðàçëè÷íûõ
2
óðàâíåíèå
öåëûõ
îòðèöàòåëü
15.
x 2006 x 2007 0 .
17.
2 x 15 x 40 x 45 x 18 0 .
3
4
3
0.
3 x 3 x 4 .
÷òî
2
3
2
9.
10.
2
.
2 x x 4 x 2 0.
3
3
x 6 x 15 x 1 0 .
óðàâíåíèÿ
7
íûõ
9
28 x 3 x 3 x 1 0 .
13.
2 x 7 x 6 x 7 x 6 0.
2
êîðíÿ.
5 x 1 .
11.
ax bx cx 6 0 ,
3
9 x 9
3
4
ãäå
Íàéäèòå
16.
18.
2
3
2
a ,
èìååò
3
a.
24 x 16 x 3 x 2 0 .
4
3
x 3 x 3 x 2 0.
3
2
Ответы и указания:
1. Введение новой переменной.
2. Функционально – графический метод.
3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).
4. Разложение на множители.
5. Подбор корней.
6 Функционально – графический метод.
7. Применение формул Виета.
8. Подбор корней.
9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).
10. Введение новой переменной.
11. Разложение на множители.
12. Введение новой переменной.
13. Подбор корней.
14. Применение формул Виета.
15. Функционально – графический метод.
16. Разложение на множители.
17. Введение новой переменной.
18. Разложение на множители.
1. Указание. Запишите уравнение в виде
4(x²+17x+60)(x+16x+60)=3x²,
Разделите обе его части на x². Введите переменную
ó x 16 60
.
x
Ответ: x1 = – 8; x2 = – 7,5.
4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6y и
– 6y и запишите его в виде
(y³ – 2y²) + (– 3y² + 6y) + (– 8y + 16) = (y – 2)(y² – 3y – 8).
Ответ:
1,
3
41
2
,
3
41
2
.
6
14. Указание.
По теореме Виета x1 x 2 x 3 .
a
Так как x1 , x 2 , x 3 , a – целые числа, то корнями
уравнения могут быть только числа –1, – 2, – 3.
Ответ: a 1 .
15. Ответ: –1.
17. Указание. Разделите обе части уравнения на x²
и запишите его в виде
9 3
2
2 x 2 15 x 40 0 .
x x
3
Введите переменную y x .
x
Ответ: 1; 1,5; 2; 3.
Самостоятельная работа.
Решите уравнения:
Вариант 1.
Вариант 2.
1).
x 3x 6x 8 0
1).
x 3 x 16 x 48 0
2 ).
6 x 13 x 12 x 13 x 6 0
2 ).
6 x 25 x 12 x 25 x 6 0
3 ).
2 x 3 x 32 x 15 0
3 ).
x 6 x 15 x 14 0
4 ).
x 10 x 11 0
4 ).
x 3x 4 0
3
2
4
3
3
3
2
2
3
2
4
3
5
3
2
2
Ответы.
Вариант 1.
1).
2 ).
4;
1;
2
1
;
1
Вариант 2.
1).
2.
2 ).
.
3
2
3 ).
3;
0 ,5 ;
4 ).
1.
4;
1
2
5.
3 ).
2.
4 ).
1.
3;
;
1
3
4.
;
2;
3.
Библиография.
Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 2003).
Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 1993).
Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Мнемозина, 2003).
Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.:
Просвещение, 2000).
Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. «Сборник задач по алгебре, 8 – 9»
(М.: Просвещение, 1997).
Карп А. П. «Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10 – 11» (М.:
Просвещение, 1999).
Шарыгин И. Ф. «Факультативный курс по математике, решение задач, 10» (М.:
Просвещение. 1989).
Скопец З. А. «Дополнительные главы по курсу математики, 10» (М.: Просвещение,
1974).
Литинский Г. И. «Уроки математики» (М.: Аслан, 1994).
Муравин Г. К. «Уравнения, неравенства и их системы» (Математика, приложение к
газете «Первое сентября», №2, 3, 2003).
Колягин Ю. М. «Многочлены и уравнения высших степеней» (Математика,
приложение к газете «Первое сентября», №3, 2005).
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
167
Размер файла
594 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа