close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Заголовок слайда отсутствует

код для вставкиСкачать
Глава 5: Статистика электронов и дырок в полупроводниках
2 задачи
(1) Нахождение числа возможных квантовых состояний электронов (дырок)
(2) Нахождение распределения электронов по этим квантовым состояниям в условиях
термодинамического равновесия
5.1. Плотность состояний в зонах
Состояние электронов (дырок)
в зонах характеризуется
1) квазиимпульсом p k
2) номером зоны l
3
( 2 )
, где V – объем кристалла
Объем в зоне на каждое значение p V
Отсюда число состояний в элементе объема
2
dp
1
( 2 ) / V
3
V
2dp
( 2 )
dp Объем в
N (E ) p
1
2 2
1
2m e
2
E
(2m c )
3/2
E
Число состояний N(E)dE
E Ec E
dE
-пространстве
3
на единицу объема кристалла
2 - Вырождение по спину
3
Перейдем к энергиям от E до E+dE
Если известно E ( p ) нет проблем
Вблизи края зоны
2
p
или p 2 m ( E E c )
E Ec 2m e
dp
2
d p p dp 4
1/ 2
Аналогично для дырок:
N (E ) 1
2 2
3
(2m h )
3/2
E
1/ 2
5.2. Распределение Ферми-Дирака
1
f (E,T ) для электронов
1 exp(
E F
)
kT
для дырок
1
fp 1 f 1 exp(
F E
)
kT
F>0 электронный газ вырожден - Функция распределения Ферми-Дирака
Если F<0 и
E
f C exp( E F
1
kT
Распределение Больцмана
(Максвелла-Больцмана)
Электронный газ не вырожден
)
kT
5. 3. Концентрация электронов и дырок в зонах
N
n c
( E E c ) / kT x
( E ) f ( E , T ) dE
Ec
- химический потенциал электронов
F Ec F
n (2m )
3/2
2 2
3
(E Ec )
( kT )
1/ 2
1/ 2
( kT )
1
1/ 2
1 exp(
dE
F E
)
kT
F
*
F / kT
kT 2
0
( 2 mkT )
( 2 )
3
3/2
2
x
1/ 2
dx
N cФ1 / 2 ( F )
*
1 exp( x F )
x
эффективная
интеграл
плотность состояний N c Ферми-Дирака
Аналогично для дырок подсчитываем пустые места в валентной зоне
kT
*
p N p Ф 1 / 2 ( F p )
где
*
Fp Ev F
kT
Невырожденные полупроводники.
F* 0
Ф 1 / 2 ( F *) 2
e
N c (E),
Случай сильного вырождения
x dx exp( F *)
0
Eg
np N c N v exp( Схематический вид функций
x
kT
) ni
2
f(E.T) и dn/dE
F * 0
exp
Ec F
1
kT
n Nc
2
xm
x
1/ 2
dx 0
( 3 )
2
F 4
3 2/3
2m n
Схематический вид функций
N c (E),
f(E.T) и dn/dE
2
n
N c xm
2/3
3/2
F E
Nc
3 kT 4
3/2
5. 4. Эффективная масса плотности состояний
Если закон дисперсии отличен от изотропного?!
2
2
2
py
px
pz
E ( p) Ec 2m x
2m y
2m z
n 2
( 2 )
3
dp x dp y dp z
1 exp(
E F
2
( 2 kT )
)
( 2 )
kT
Если имеется долин.
Для невырожденного газа
n N
c
( E ) exp( 0
E
n 2
) dE
kT
3/2
3
(m x m y m z )
( 2 kT )
( 2 )
1/ 2
exp( F *)
3/2
3
(m x m y m z )
2 m ds kT
N c 2 2
( 2 )
т.е. эффективная масса плотности состояний
1/ 2
exp( F *)
3/2
m ds 2/3
(m xm ym z )
1/3
В общем случае масса плотности состояний не равна массе электропроводности
Так в Ge
m e , ds 0 . 57 m 0
m e , 0 . 12 m 0
Si
m e , ds 1 . 08 m 0
m e , 0 . 26 m 0
5.6 Плотность состояний в квантующем магнитном поле.
По правилам статистики число электронов N в объеме V
N f (E ,T )
- совокупность квантовых чисел, от которых зависит энергия электрона E,
- кратность вырождения.
2
и проекция спина на ось 0z (+,-)
В магнитном поле n , k z n z
L
mc
Кратность вырождения была найдена нами ранее
L m c
2
т.е.
N 2 где
E Ec f (E ,T ) nz
2
N L
m c
( 2 ) 2
2 n ,n z
2
kz
2
gB c ( n 1 / 2 )
f ( E , T ) kz nz
L
2
E – четная функция
3
2
f (E ,T )
2m
L
L
f ( E , T ) dk
z
2 dk
0
z
f (E ,T )
n
n N
c,
( E ) f ( E , T ) dE
,
1 / 2 0 gB
где плотность состояний
N c, 2 eB
m
( 2 ) c
2
(E
n0
E c c ( n 1 / 2 ) gB )
осциллирует –
Осцилляции Шубникова – де Гааза (магнитосопротивления )
- де Газа- Ван Альфена (Магнитной восприимчивости)
1 / 2
5.7 Электроны и дырки на локальных уровнях
5.7.1 Однозарядные центры
_____________________ Ec
Невырожденные состояния примеси
Ed либо заполнен одним электроном
либо пустой
-------------------------------- Ed
N
заполнено
пустые
N f FD ( E F )
f
N empty N (1 f FD )
N
f
N empty
EF Ed exp 1 f
kT
f
Если состояние вырождено: то нужно ввести кратность вырождения
g1
N
f
N empty
g1
- заполненных;
exp
EF Ed
g0
g 0 - пустых
(на центре только 1 электрон !!! всегда)
kT
Отсюда находим
N
f
N
f
N
N
empty
N
f 1 (1 g0
g1
exp
Ed EF
)
1
kT
Если полупроводник не вырожден, то концентрация электронов в зоне
и
N1
N
n
n
g0
g1
где
Ec Ed
N c exp( Ec Ed
)
kT
энергия связи электрона на примеси
n N c exp
EF Ec
kT
----Учет возбужденных состояний
____________________ Ec
------------------------------ Ek
------------------------------
вероятность того, что
электрон находится на уровне k
- кратность вырождения
k
k- уровня
1
fk
____________________ Ed
1
fk
f empty
k
g0
EF Ek exp kT
Полная вероятность, что электрон находится на одном из уровней
f
1
1
fk
k 1 ...
Отношение концентрации центров с электроном к концентрации пустых центров равно
отсюда
N
1
N
0
f
f
1
(0)
g1 1 1
g0
k
exp
EF Ek
k exp( k 2 , 3 ...
g1
kT
Ek Ed
g0
exp
EF Ed
kT
)
kT
5.7.2 Многозарядные центры
а) Пустой уровень E 1
б) Уровень E 1 - заполнен
Появляется уровень E 2
в) Уровень E 2 заполнен
Появляется E 3
E F E1
E 2 E F E1
E 3 E F E1
и т. д.
Подчеркнем отличие от нескольких однородных центров, когда.
все уровни существуют всегда !!!
Распределение Ферми в простом виде к многозарядным центрам неприменимо – нужен более общий подход
Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц
Внутри среды с объемом V0,
полным числом частиц N0 и энергией E0=const
выделим тело с объемом V, находящееся
в термодинамическом равновесии и
с возможностью перехода частиц из V0 в среду V и обратно
Допустим, что в тело V перешло j частиц
Новое число частиц в V – N+j
Частицы заняли энергии E m( j )
т.е. новая энергия тела стала E E E m( j )
Вероятность перехода j частиц
в состояние m
( j)
S
( j)
m
,
(5.1)
f m A exp
k
где А – нормировочный множитель
- изменение энтропии среды
При этом изменение свободной энергии в условиях термодинамического равновесия (Т=const)
S m
( j)
Fm
( j)
Em
( j)
TS m
( j)
При V=const производная
j E m
( j)
т.е.
S
( j)
m
F
j
V ,T
свободная энергия на одну частицу
T
j E m
( j)
f
A exp
и из (5.1)
распределение Гиббса для системы
kT
с переменным числом частиц
Применим эту формулу к многозарядному центру
( j)
M
M
Условие нормировки
j E m
( j)
( j)
m
j0
m
fm
1
exp
j0
m
где M максимальное число электронов
kT
Если не важно, в каком основном или возбужденном состоянии находится электрон, то
f
( j)
f
f j exp
( j)
m
M
m
f j exp
j E
kT
( j)
j E
kT
j0
fj j где
jm exp
m 1 , 2 ...
( j)
E
( j)
Em
( j)
kT
E(j) энергия центра с j электронами в основном состоянии
jm кратность вырождения соответствующих уровней
называется химическим потенциалом.
часто отсчитывается от края зоны проводимости
Если есть электрическое поле, то
электрохимический потенциал
e дополнительная потенциальная энергия электрона в поле.
Очевидно, что Формула Гиббса применима к обычному однородному примесному центру
j либо 0 либо 1.
E
( j)
exp
f т.е.
Ed
g 0 g1 1
( E d )
1
kT
Ed Ed 1 exp 1 exp kT
kT
EF
5.8 Определение положения уровня Ферми
Если известна концентрация, то все просто
Nc
NV
E F E c kT ln
E V kT ln
n
n
Если известна концентрация ND и NA
Из классической электродинамики известно, что заряд рассасывается за
(максвелловское время релаксации)
время 4 В полупроводниках с характерными величинами =10; ~ 1 oм-1см-1
10
12
сек
т.е. можно считать полупроводник электронейтральным и
уровень Ферми нужно находить из условия
n h N D (1 f ) ( n e N A (1 f )) 0
В собственном полупроводнике
т.е.
или
N
D
N
A
0
EF Ec EV E F N c exp N V exp kT
kT
EF E c EV
2
1
2
kT ln
Nc
NV
E c EV
2
3
4
kT ln
mc
mh
В легированном полупроводнике n-типа
ND
g1
1
EF Ec
exp
g0
2
ND n
n (
g0
g1
g0
g1
ED Ec
NDNc)
1/ 2
kT
(5.2)
kT
N c exp
nh<<ne
EF Ec N cФ 1 2
kT
exp
Невырожденный полупроводник
n
NA=0
EF Ec
kT
n1
*
ED Ec
exp
kT
Для невырожденных полупроводников из (5.2) следует, что
EF
где
n
E c kT ln 2
2Nc
1
n g0
g1
N c exp( 4N D
1
1
n
Ec Ed
)
kT
При низких температурах эта формула сводится к
EF Ec 1
2
(Ec ED ) g N kT ln 0 D 2
g1N c 1
При T~0 уровень Ферми располагается посередине между Ec и ED
С ростом температуры он уходит на середину запрещенной зоны
EF
Гл. 6
Явления в контактах (Монополярная проводимость)
6.1 Потенциальные барьеры
Разные химпотенциалы в разных веществах - потенциальные барьеры
Вблизи контакта электронейтральность нарушается – искривление зон
В случае металлов толщина барьеров меньше длины волны де-Бройля
благодаря большой концентрации электронов
Поэтому электроны свободно проходят через барьер в результате туннельного эффекта
В полупроводниках картина противоположная и роль контатных эффектов необычайно велика
6.2 Плотность тока; Соотношение Эйнштейна
n=n(x); ток состоит из дрейфа электронов в электрическом поле
+ диффузия ( n ).
j e j др j диф en e E eD e n
(6.1)
Для дырок:
j h en h h E eD h n h
В изотропной среде или в кубических кристаллах в отсутствие магнитного поля
D D Для невырожденного полупроводника
en n E
kT
kT
n n 0 exp
en
e
kT
(6.2)
Чтобы понятие диффузии имело смысл, изменение n на длине свободного пробега должно быть мало
eEl
n l n ;
1
kT
E Uk
L экр
eU
k
l
L экр
kT
n и
если
- контактная разница потенциалов
Uk
Dn
L экр
- радиус экранирования заряда
1
зависят друг от друга
так как они определяются одной величиной jn 0
; то из 6.1 и 6.2 следует, что
en e E eD e ( en
E) 0
kT
Для невырожденного полупроводника
e
De
В общем случае:
e
(6.3)
kT
e , e
d ln n ( kT )
kT d ( E F e )
(6.4)
D e ,
6.3 Условие равновесия контактирующих тел
электрохимический потенциал = const
dn
*
введем e
E
n *
kT
F
kT
kT
e D e d (ln n )
je n ( e )
*
kT e d d
*
1
dn
kT d *
Рассмотрим общий случай, т.е. используем формулу (6.4)) для De
Находим je e e n n ( e ) 0
электрохимический потенциал
e const
металл n велико, ( барьер 0
Контакт
Металл-полупров.
Высота барьера, равная
eU
k
*
e )
мал
полупров.n мало,
( e ) велик
вся в полупроводнике.
EF
EF
п о луп ро в
мета лл
6.4 Граница полупроводник-вакуум; Равновесие:
Электроны «испаряются» из полупроводника в вакуум
n электронов/сек; столько же должно возвращаться
Электронный газ в вакууме не вырожден: скорость по Максвеллу
js 1
4
8 kT
n вакуум v T e , где v T
m 0
n вакуум N c , вакуум exp( Ф
2(
или
2 m 0 kT
( 2 )
j s AT
2
2
kT
)
3
)
2
exp( Ф
kT
)
где
A
4 m 0 ek
( 2 )
3
2
для всех веществ !!!
Ф называется термоэлектронной работой выхода из полупроводника или металла
В металлах
Ф работа по удалению электрона с поверхности Ферми.
В полупроводниках:
На уровне EF нет электронов
Удаление электронов перераспределение
электронов зонах по энергиям
В металлах Ф=const
В полупроводниках
(1) Ф зависит от легирующей примеси !!!
(2) От примесей на поверхности, которые ведут к искривлению зон
т.е. определение Ф для полупроводника - деликатная задача !!!
6.5 Контактная разность потенциалов
Измерение работы выхода –
- нагрев до высокой температуры - что проблематично для многих кристаллов
- измерение контактной разности потенциалов – между несоприкасающимися
кристаллами в электронном равновесии (равновесие с помощью соединения металлическим проводником)
Контакт металл- металл
1) нет контакта между незаряженными металлами –
поле между ними Е=0. электрический потенциал const
термоэлектронная работа выхода равна F1=E0-F1, F2=E0-F2
2) соединяем - F1=F2
поле Е не равно нулю – появятся заряды на поверхности. электрический потенциал const
по определению – контактная разность потенциалов
– разность потенциалов между точками 1 и 2 вне металлов,
но находящимися в непосредственной близости от их поверхностей.
euk=e(12)=F2-F1=F1F2
Контакт металл-полупроводник
до контакта
после соединения
Электрическое поле частично проникает в полупроводник
Полная разность потенциалов u (Ф Ф ) / e распределяется между зазором и слоем
объемного заряда в полупроводнике
k
1
2
6.6 Распределение электронов и потенциала в слое объемного заряда
Одномерный случай вдоль x
Невырожденный полупроводник n-типа для определенности
3 уравнения:
(1) j en e E e kT dn
соотношение Эйнштейна использовано
(2)
(3)
dE
dx
t
d
4 уравнение Пуассона
j
уравнение непрерывности
x
e( N D N A n )
Стационарное решение:
N i , n f ( x, t)
т.е.
j const
и
ED EF
Пусть
ND ND
N
A
N
E A E F kT
A
В этом случае
j en e
d 2
dx
2
4 e
d
dx
e kT
dn
dx
(6.5)
(6.6)
(n n 0 )
n0 - равновесная концентрация в глубине полупроводника
Положим, что контакт при x=0 и (x=0)=0
n(x=0)=nk
При x -- =uk+u n=n0
Здесь u внешняя разность потенциалов
eu k
)
В отсутствие тока nk связано с n0 соотношением n k n 0 exp( kT
Если j 0 то плотность тока через контакт можно выразить через nk и n(x=0)
тепловой поток электронов из полупроводника в металл ~n(x=0)
обратно
~nk (так же, как и в отсутствие тока)
1
j ev T [ n ( 0 ) n k ]
т.е.
4
1
и можно считать, что n ( 0 ) n k
j ev T n k
Даже для относительно больших токов
4
Можно оценить границы применимости:
для nk=1013 cм-3 и vT=102 см/с ¼ evTnk~10
n ( x ) n k exp(
При j=0 из (6.5 ) имеем
e
A / см
2
)
kT
Подставляем в (6.6) и получаем уравнение
d 2
dx
2
4 e
n k (exp
e
exp
e a
kT
)
kT
4 e
n 0 (exp
e ( k )
1)
(6.7)
kT
Из которого можно найти распределение потенциала в полупроводнике (x)
6.7 Длина экранирования
Если искривление зон мало, т.е. e k kT , разлагаем exp в ряд находим из (6.7)
d 2
dx
2
uk
(6.8)
2
LD
где
LD 2
kT
4 e n 0
2
- длина экранирования Дебая
Решение u k [1 exp( x
LD
)]
LD~1/n для n=1015 cм-3 при комнатной температуре LD=10-5 см
Уменьшаем n - величина LD – растет, пока не станет существенным вклад от зарядов на остаточных примесях
6.8 Обогащенный контактный слой
euk<0; | euk >>kT|;
Рассмотрим отдельно области вблизи контакта (1) и в объеме полупроводника, где зоны уже не искривлены (2)
область (1)
exp(
eu k
e
) exp
kT
И из уравнения (6.7)
d kT
2
dx
2
4 e
n k exp
e
kT
Умножаем обе части уравнения на d/dx и интегрируем по ( d / dx ) 2
8 kT
n k exp
e
C
kT
Постоянная интегрирования из граничных условий = uk ; d/dx=0
8 n k kT
eu k
т.е.
C В силу условия euk<<e
exp
kT
величиной с можно пренебречь, т.е
8 n k kT dx
d
1/2
exp
e
(6.8)
2 kT
т.к. обогащенный слой,. который мы рассматриваем –
- электронный <0 и || растет с x. т.е. решение со знаком .
Интегрируя (6.8) от 0 до получаем
1/2
e 2 kTkn (1 x
)
,
где
a
ekT
a 2 n e 2
k
т.е. a 2 L D , где в LD стоит nk
Потенциал изменяется по логарифмическому закону
Область (2) вдали от контакта = uk
n n k exp
eu k
kT
e
a n n k exp
nk kT
a x
2
n 0
Таким образом, электропроводность слоистых структур металл-диэлектрик-металл может быть велика,
даже если электропроводность диэлектрика мала.
6.9 Истощенный контактный слой
Предельный случай сильного обеднения – запорный контакт
Контакт металл-полупроводник
К контакту приложено внешнее напряжение u, создающее обедненный слой.
В первом приближении считаем, что в слое толщиной d зарядов свободных нет,
только заряженные центры
т.е. euk >0 (запорный слой)
exp
e eu k
1
kT
и уравнение (6.7) имеет вид
d 2
dx
2
4 en 0
const
Принимая во внимание граничные условия
x=0:
=0
x=d:
=u+ euk
d/dx=0
интегрируем d2/dx2=0 два раза и получаем
d
4 en 0
dx
uk u где
(d x )
2 en 0
(d x )
(u k u ) d 2
en
0
2
1/2
- толщина запорного слоя
Контакт двух полупроводников (p) и (n) типа-
p-n переход
Толщины слоев dn и dp
зависят от концентрации
доноров и акцепторов
Резкий p-n переход
n0 N D N
p0 N
*
A
A
ND
*
x dn
x d
p
Объемный заряд равен
p - область
n-область
Положим, что =0 на границе
x=-dp: =up, d/dx=0
x=dn: =un, d/dx=0
P uP n un un u p u uk 2 ep 0
2 en 0
2 e
(x d p )
2
(x dn )
2
(n 0 d n p o d p )
2
2
u- внешнее напряжение источника
ep 0 ........( d
p
x 0)
0 .......... .......... x d
en 0 ........( 0 x d n )
0 .......... .......... x d n
p
6.10 Токи, ограниченные пространственным зарядом
Токи через границу металл-полупроводник во внешнем электрическом поле
Картина различна для контактов с обогащенным и обедненным слоями в полупроводниках
(1) случай обогащенного слоя
Край Ec - без тока -e увеличивается по
логарифмическому закону в области объемного
заряда и равен const вне этой области
ток диффузии = току дрейфа
Если прикладывается + к полупроводнику
Энергия электронов в объеме понижается.
В точках максимума ( x’) напряженность электрического поля =0
т.е. ток дрейфа равен нулю и весь ток определяется диффузией в точке x’э
поле растет, точка x’ приближается к контакту – в область с большей концентрацией электронов
– растет ток
Очень большое напряжение везде есть дрейф.
Такой контакт называется антизапорным или омическим.
Металлический контакт – выступает в качестве катода – т.е. в роли эмиттера электронов
(2) блокирующий контакт; Выпрямление в контакте
Влияние барьера зависит от соотношения между шириной барьера LD и длиной волны электрона :
LD << туннелирование
LD > только через барьер
n0=1015 cм-3; 300 K
LD~10-5 см - классический барьер
( (300K) ~10-6 см).
n0=1018 -1019 cм-3
нужно учитывать туннельный ток
Классический слабо легированный барьер
j1 ток электронов
из полупроводника в металл
j2 ток электронов
из металла в полупроводник
Расчет тока
(1) длина свободного пробега l >>LD
(2) длина свободного пробега l <<LD
2 случая:
Ge
300 K; l~10-5 см ~LD при n~ 1015 cм-3;
n> 1015 cм-3 диодная теория
15
-3
n <10 cм диффузионная теория
Диодная теория ( число соударений в запорном слое мало, l >>LD)
В полупроводнике преодолеть барьер могут электроны с энергией
1
mv
2
2
x
e ( u k u ) из больцмановского хвоста
Ранее мы нашли, что плотность тока термоэмиссионной эмиссии из металла равна
j s AT
2
Ф
exp( )
kT
В нашем случае работа выхода Ф e ( u k u ) E c E F
Т.е.
j1 4 emk
( 2 )
2
3
T
2
exp( Ф
kT
)
nn
электроны из полупроводника
2 mkT
n 0 2 2
( 2 )
Концентрация электронов в глубине
Средняя тепловая скорость
Отсюда
vT (
8 kT
m
)
3/2
exp(
EF Ec
)
kT
1/2
e(u k u ) en 0 v T exp 4
kT
1
j1 j 2 j1 ( u 0 ) eu k en 0 v T exp 4
kT 1
j1 j2 j s [exp( u ) 1] ,
где
js 1
4
en 0 v T exp( u k ) ,
=e/kT
В реальности есть сопротивление объема, т.е. u=v-ir
диффузионная теория ( число соударений в запорном слое велико, l <<LD)
В диффузионной теории нужно исходить из уравнений:
j en d
kT
dx
d 2
dx
2
4 e
kT
dn
d
(n n 0 )
При этом после вычислений опять же получаются формула
j j s [exp( u ) 1]
Только
j s en 0 d
dx
x0
exp( u k )
В диффузионной теории ток меньше, чем в диодной!
Глава 7. Неравновесные электроны и дырки
7.1 Неравновесные носители тока
В условиях термодинамического равновесия
V12=v21 для всех переходов
( Принцип детального равновесия )
Это означает, что частоты переходов
из зоны проводимости в валентную зону и обратно равны.
Внешнее дополнительное воздействие нарушает
термодинамическое равновесие
12 12
;
21
21
В равновесии:
и
n e 0 n h0
12 21
При внешнем воздействии появляются
n е n e 0 n el
n h n h0 n h
n l , n h
7.2 Время жизни неравновесных носителей
dn e
dt
g e Re
dn h
dt
g h Rh
(7.1)
ge,h генерация за счет внешнего воздействия
(кроме тепла!)
Ri=ri-gi,T - темп рекомбинации свободных электронов (i=e) и дырок (h)
где ri - полный темп ухода из зоны i, gi,T генерация за счет тепла
Можно ввести среднее время жизни одного избыточного носителя
Ri=ni/i; и (7.1) записать в виде dni/i =gi-ni/i
В стационаре ni/i=0
В случае отсутствия тока находим установившееся стационарное значение
ni=gii
В общем случае i зависит от n, T и т.д.
Если i не зависит от концентрации
ni=gii - Cexp (-t/ i )
Если при t=0 было термодинамическое равновесие, т.е. ni(0)=0, то
ni=gii (1- exp (-t/ i ) )
(7.2)
Если при t=0 выключена генерация, т.е. ni(0)=(ni)1
ni(0)=(ni) exp (-t/ i )
т.е. 1/ i - вероятность рекомбинации
(7.3)
7.3 Уравнение непрерывности
Включим в рассмотрение электрический ток
В объеме V:
dn e
dt
j ey
j ez
1 j ex
e x
y
z
1
div j h
t e
где j e , h токи
j e e E eD e n e
j h h E eD h n h
1
div j e
e
n h
электронов и дырок
(7.4)
где i en i
Полные темпы изменения концентраций электронов и дырок
n e div j e t
e
e n h
n h 1
g h div j h t
e
h n e
ge 1
(7.5)
(7.5) – это уравнения непрерывности для электронов и дырок
При нарушении термодинамического равновесия изменяются
и концентрации связанных электронов и дырок
Возникает объемный заряд
e(n h n e N D N D )
Электрическое поле в (7.4) определяется уравнением Пуассона
и граничными условиями.
4 div E Заметим, что с учетом очевидного тождества
уравнения (7.5) дают обычное выражение для заряда t
1
(gh div j
e
n h
h
) (g e n e
e
) (N N )
D
A
t
В общем случае нужно решать всю задачу.
Однако в целом ряде случаев использование уравнения Пуассона может оказаться излишним
Возникновение заряда приводит к появлению токов диффузии и дрейфа,
которые стремятся уничтожить изменение объемного заряда
Если диффузионно-дрейфовое равновесие устанавливается быстрее,
чем термодинамическое - объемный заряд успевает обратиться в нуль
за время M (максвелловское время релаксации), которое много меньше e,h.
В этом случае можно положить на частотах <<1/ M ~0;
При этом
div j 0
E
Из уравнения Пуассона подставив имеем: div ( j )0
4 t
Второе слагаемое – ток смещения Максвелла
т.е. линии полного тока – конвекционного j и тока смещения Максвелла - непрерывны
Таким образом, рассматриваемый случай div j=0 означает, что токи смещения малы.
Из написанных уравнений два важных следствия
(1) Если N D , N A n i , то из условия ~0 ne = nh
(2) Если генерация только зона-зона, тогда
n h
t
n e
t
n h
h
И следовательно
n e
e
0
h e 7.5 Фотопроводимость
Фотовозбуждение неравновесных электронов и дырок
Собственная генерация пар
примесная генерация пар
E g
E g
I(x) световой поток на единицу поверхности
g коэффициент поглощения
dI=I(x)gdx число поглощенных фотонов в слое dx
I(x)g число поглощенных фотонов в единице объема
g ( )g ( ) I ( x )
где () - квантовый выход
электрон (дырка) имеют энергию при t=0 E0
время релаксации по энергии E<<e - время жизни
e ( e n e h n h )
При однородной генерации divj=0 (собственная фотопроводимость)
d dt
e( e h ) g фп
Стационарный случай
( ) s e ( e h ) фп
Если фп=const
( ) s [1 exp После выключения при
tT
( ) s exp t
фп 7.6 Квазиуровни Ферми
В равновесии
E Fe E Fh E F
Фотовозбуждение
n e n 0 n N e exp
E Fe E e
n h n h 0 n h N V exp
n e n h n exp
2
i
E Fe E Fh
kT
E V E Fh
kT
kT
Ток при неоднородном возбуждении
: j n E F
j n e e E Fe
e
j h n h h E Fhe
t ]
фп Глава 8. Проблемы обоснования зонной теории
8.1 Вопросы зонной теории
Мы рассматриваем одноэлектронное приближение
Электрон в периодическом поле
2
2m 0
где
U E
2
U (r ) U (r a n )
Но ядра тоже движутся.
Движение ядер и фононы.
(1) Можно ли движение электронов рассматривать отдельно от движения ядер?
(2) Можно ли пренебречь взаимодействием электронов с фононами рассматривая задачу об энергетическом спектре электронов
(3) Электронов много когда можно пренебречь их взаимодействием?
8.2 Адиабатическое приближение
Оправдывает раздельное рассмотрение движения электронов и тяжелых частиц (ядер)
Физическая причина: различие масс.
Электроны движутся быстро и характер их движения определяется мгновенным расположением ядер.
Ядра движутся медленно и поэтому «замечают» лишь среднее расположение электронов.
Квантовомеханическое оформление этих соображений:
Электроны i,j…
их радиус-вектор ri, масса m0
Ядра…a,b…………их радиус-вектор Ra, ….масса Ma
r={r1….)
R={R1…}
U 1 U 1 ( ri r j )
Энергия взаимодействия
Уравнение Шредингера
U2
U 2 ( ri R a )
U3
U 3 (Ra Rb )
H W
(r, R )
H i
2
2m 0
2
i
2
2M
a
a 2
a
1
2
U 1 ( ri r j ) i j
Ищем волновую функцию в виде
1
U
(
r
R
2 i a) 2
i ,a
U
(
R
R
3 a b)
a b
( r , R ) ( r , R ) ( R )
Желательно, чтобы в (r,R) переменные R можно было считать параметрами,
т.е. чтобы по R не было дифференцирования
2
H 2m0
2
2m0
a
a
i 2
i
1
M
1
2
a 2
a
U 1 ( ri r j ) i j
U
(
r
R
)
2 i a i ,a
U
(
R
R
) 3
a
b
2 ab
1
i
a , i a
M
a
8.1
2
2
W a
2M
a
В третьей строке производные от по координатам ядер
они существенно меньше, чем в первой строке,
т.е. в первом приближении можно положить, что
2
2m0
и
i 2
i
2
2M
2
1
2
1
2
U 1 ( ri r j ) i j
U
(
r
R
2 i a ) E (R)
U 3 ( R a R b ) E ( R ) W a b
8.2
i ,a
8.3
(8.2) уравнение Шредингера для системы электронов, взаимодействующих друг с другом
и с ядрами «прибитыми»в данный момент времени.
Умножим (8.2) на * и проинтегрируем по всем ri и учтем, что * d r1 ... d ri 1
a
a
Получаем
E (R) 2
2m 0
*
2
i
i
1
U
2
1
( ri r j ) i j
U
i ,c
2
( ri R c ) dr
8.4
E(R) есть квантовомеханическое среднее значение полной энергии электронов
при заданной конфигурации ядер.
Далее уравнение (8.3) это уравнение Шредингера для ядер с потенциальной энергией
V (R) 1
2
U
3
(Ra Rb ) E (R)
a b
т.е. разделили ядра и электроны.
Такое разделение и есть Адиабатическое приближение
- описывает поведение системы электронов при бесконечно медленном
изменении координат ядер R.
Оператор неадиабатичности (третья строка в уравнении (8.1))
(r, R )
a
2
2
2
M a , 2 M a
a
Поправку к адиабатическому приближению
через теорию возмущения (Если возбужденное состояние имеет большую энергию по отношению к основному).
Расчет показывает, что поправки пропорциональны (m0/M)1/4.
8.3 Приближение малых колебаний
(амплитуда колебаний мала по сравнению с постоянной решетки)
Потенциальная энергия ядер зависит от состояния электронов,
Следовательно, и положение ядер и их колебания относительно
равновесных положений зависят от состояния электронов (r)
Этот эффект при рассмотрении рассеяния электронов в теории подвижности
электронов невелик:
испускание или поглощение нескольких фононов слабо влияет на интегральный эффект
При захвате или испускании электрона одним центром –
ситуация может отличаться кардинально – D-центры в III-V полупроводниках и т.д.
Влияние неидеальности решетки из-за колебаний решетки
Взаимодействие с акустическими и оптическим колебаниями в неполярных кристаллах
в приближении малых колебаний поправки обычно невелики.
Исключение составляют полярные кристаллы.
Колебания атомов ионов изменение дипольных моментов поляризационные колебания
Дипольные моменты – поле спадает медленно –
- ячеек, с которыми взаимодействует электрон - много
Поэтому представление о движении электронов в идеальной решетке становится неоправданным.
В этом случае движение электронов – вызывает поляризацию ионов в среде
которая, в свою очередь, взаимодействует с электронами и понижает энергию электронов
автолокализация электронов
Электрон движется вместе с созданной им поляризацией “полярон”.
Если поляризация среды мала, то этим эффектом можно пренебречь.
Si, Ge ….ковалентные полупроводники
В III-V – поправки малы
В II-VI и особенно I-VII – поправки весьма существенны.
8.4 Сведение многоэлектронной задачи к одноэлектронной. Метод самосогласованного поля
He 2
1
2
i U 0 ( ri ) 2m 0
2
i
U0
U 2 ( ri R a )
a
Нужно U 1 ( ri
rj )
U
1
( ri r j )
i j
заменить эффективным полем, так чтобы
i j
H e H
i
i
i
тогда
H
i
i
2
2
( ri ) U
(
r
)
U
i
0
i
2m
0
( ri ) E ( R ) N
(r
( r1 ... r N ) j
)
j 1
N
N
H i ( ri ) ( ri ) ( r j ) E ( r j ) ( ri )
ji
i
ji
H i ( ri ) ( ri ) E i ( ri )
Решение
где
Ei E
(8.5)
Уравнение (8.5) это уже одноэлектронное уравнение Шредингера
Теперь нужно определить U 0 ( ri ) и U ( ri )
1
U ( r ) 2 U
i
i
1
( ri r j )
i j
такое равенство невозможно !!!
Можно попробовать, чтобы это равенство удовлетворялось в среднем.
2
U ( ri ) e ji
2
)
(
r
j
dr ri r j
При этом U’ не задано априори !!!
Последовательные приближения U ( ) , U U
и т.д.
Снова из U (, )
Такое поле называют самосогласованным.
( r ) функции Блоха
Если взять в качестве
То получим U’ периодичную функцию !!! i
i
i
i
2
N
( r1 ... rN ) d r1 ... d r N j
( r1 ... rN )
2
i
( ri ) dr i
i 1
т.е. в приближении самосогласованного поля попадание электрона в элементы
независимые события
Причина - не учтена корреляция электронов из-за
а) Принцип Паули
б) Отталкивание электронов
dr 1 ... dr N
( N ! ) Det ( ( r j ))
i
Соответственно, изменения в формуле (8.5) для U’
Отталкивание поправки
В целом,
E кул e
2
rij 1
e
2
1
n
3
Кинетическая энергия Вырожденный газ - из-за принципа Паули
2
E kin k
2m
2
2
n
2
2m
3
U кул
E kin
1
1
n
3
Таким образом, парадоксальный результат ---- чем больше плотность, тем идеальнее газ электронов!
Невырожденный газ
E kin kT ;
U кул
E kin
Чем меньше плотность, тем идеальнее газ
1
n
3
kT
8.4 Электроны и дырки как элементарные возбуждения многоэлектронной системы в полупроводниках
Сильно взаимодействующая система Слабо возбужденные состояния такой системы
можно представить как идеальный или слабо неидеальный газ квазичастиц –
элементарных возбуждений
(1) Эти квазичастицы будут либо Бозе либо Ферми
(2) будут иметь импульс (квазиимпульс)
(3) могут иметь заряд, спин, и т.д.
Заряженные частицы должны возникать парами (закон сохранения заряда)
Электроны и дырки в полупроводнике суть элементарные возбуждения квазичастицы.
Пока не рассматривается взаимодействие между квазичастицами
зонная теория и многоэлектронная теория неразличимы (кроме слов).
Одноэлектронная теория
Элементарные возбуждения
Зона проводимости пуста
валентная зона заполнена
нет электронов
нет дырок
основное
состояние
Энергетический зазор между
зоной проводимости и валентной
зоной
минимальная энергия создания
1 электрона и 1 дырки
ширина
запрещенной
зоны
Зона проводимости частично
заполнена
Валентная зона частично пуста
возбуждено какое-то количество
eиh
возбужденное
состояние
полупроводника
Переход электрона из валентной
зоны в зону проводимости
генерация e-h пары
Поглощение
света
8.5. Выход за пределы одноэлектронного приближения
8.5.1 Экситон
Эксперимент свет поглощается - фототока нет
Связанное состояние электрона и дырки
2
2
Ee pe
2m e
Eg
Eh ;
ph
2m h
Пусть электрон и дырка движутся на расстоянии друг от друга r>> a
a - параметра решетки
т.е. метод эффективной массы можно использовать
2
2
2
e
2
2
(8.6)
E E
2m e
re
re rh
rh
2m h
g
выход за пределы одноэлектронного приближения
( )
где ( re , rh )
Eg E
В уравнении при Уравнение (8.6) аналогично уравнению для атома водорода
r re rh
2
2
r 2m
2
ip R
( r , R ) exp R R ;
2
e
m e re m h rh
me mh
m me mh
;
m
2
( E E g )
r
(r )
2
2
2
e
p
2
(E E g ) уравнение
2
r
2m
2
memh
для 1) 0 непрерывный спектр аналог зонного решения
4
2) <0
e
,
где n=1, 2, …
2 n
2
2
2
const exp r
a
B где
a B 2
e
2
0 e
2
2a B
боровский радиус экситона
наиболее вероятное расстояние между e и h.
GaAs aB~100 A
Экситоны Ванье-Мотта
Si
aB~30 A
Возможны экситоны Френкеля, когда aexc~ amol
Экситоны Френкеля - в молекулярных кристаллах и в кристаллах инертных газов
с малой диэлектрической постоянной и большой эффективной массой
Использовать приближение эффективной массы и диэлектрическую постоянную кристалла
в расчетах в этом случае нельзя
8.5.2 Границы применимости экситонного приближения
До тех пор, пока концентрация экситонов мала
газ экситонов можно считать невзаимодействующим
Что же возможно при повышении концентрации?:
1) Очевидное развал экситонов на электроны и дырки
e-h плазма с постоянной плотностью.
2) Электронно-дырочная жидкость с плотностью n1, окруженная экситонами с плотностью n2
3) Экситонные молекулы
4) Бозе-конденсат экситонов
Глава 9. ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
9.1 Межзонное поглощение света
E
Ec
Законы сохранения
E e E h pПрямые
p h kпереходы
0
e
Ev
k
Электромагнитное поле может быть описано векторным потенциалом
H rot A
div A 0
A( r , t )
+ Условие Лоренца
Гамильтониан электрона с зарядом e в периодическом поле кристалла V
+электромагнитное поле
H e 2
( p A ( r , t )) V ( r )
2m
c
1
2
e 2
2
e e
2
[ p A] p 2 A p 2 A
c
c
c
( p A A p i div A )
0
Т.е. возмущение света
где
мало
H
ie Ap A
mc
mc
e
A ( r , t ) A e exp i ( k r t )
1 A
E c t
E 1 A
c t
2
c
A 0 sin( k r t )
Матричный элемент энергии возмущения H связанный с поглощением фотона для перехода из валентной зоны в зону проводимости
c , k 2 H v , k 1 где
d
i , k exp( Pvc exp
Pvc ie mc
A0
i
i
3
r
ck 2
H vk1
i ( k ) t ) exp( i k r ) u ik ( r )
( c ( k 2 ) v ( k 1 ) )t
1
e * 3
( r ) e u ( r ) A
d
r
u
( e p cv )
0
ck
vk
V V
mc
Коэффициент поглощения
1
e
2
m 2 cnv
3
2
d
k
(
e
p
)
(
(
k
)
(
k
) )
cv
c
v
e p cv ( k ) e p cv ( k 0 ) e p cv ( k )
k
k k0
(k k 0 )
0 разрешенны е _ переходы
e p cv ( k 0 )}
0 запрещенны е _ переходы
разрешенные переходы
запрещенные переходы
~ ( g )
~ ( p )
1
Eg
2
3
2
Eg
9.2 ЭКСИТОННЫЙ ВКЛАД В ПОГЛОЩЕНИЕ
9.2.1 Одноэлектронное приближение
ПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
E
Eg
E
E=hck
Eex
Eex
K=ke+kh
Для экситонов
Eg
E
поглощение совпадает с энергией Eex при k~0
НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Переход из состояния i
в состояние j
1 + 2
либо
3
+
4
фотон фонон
фонон фотон
k 0
фон
fm
M
W ~
(
if
m
2
ь
2
фот
M mi
i )
q k 2 k1
2
( f i q )
- т.е. второе приближение теории квантовых переходов
Законы сохранения энергии и импульса выполняются только для начального и конечного состояния
M
~ e p cv ( k )
фот
mi
M
2
фон
fm
~ C q ( N q 1 1 )
2
2
Nq число фононов, + испускание; - поглощение
~ e p cv
где i
2
3
d kd k
1
3
d
Вблизи края Eg
3
( m i )
k
~ 2
(
v d v
f
i q )
d 3 k ~ c d c
j
2
~ ( E g ) ( N q 1 1 )
2
Eg -h
2
Эксперимент
9.2.2 Экситонное поглощение
РАЗРЕШЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
p cv const
E=hck
E
~
d k ( exc )
3
Eex
d
~ exc K=ke+kh
9.2.3 Экситонная рекомбинация
РАЗРЕШЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
I ( ) ~ ( ) f ( exc )
E=hck
E
Eex
экситоны – бозоны,
но при малых плотностях
статистика Больцмана
f ~ exp K=ke+kh
I
exp(-E/kT)
E1/2
Eexc-h
E
( exc )
kT
( ) ~
exc Низкие температуры
только испускание фононов
Узкая линия с шириной 1,8 kТ
9.3 ЭКСИТОННЫЕ МОЛЕКУЛЫ
9.3.1 Излучение ЭМ
По аналогии с H2 экситоны должны образовывать экситонные молекулы
Основное состояние спиновый синглет для 2-х
электронов и спиновой синглет для 2-х дырок в экситоне
E M 2 E ex M
где M - энергия связи молекулы
Оптический переход E M ( 2 k 0 ) M E ex ( k 0 k ) ( k 0 k )
E ex ( k 0 ) ex ( k 0 )
M ex m ( k ) / 2 M ex
2
Излучение экситонов и биэкситонов
в одноосно сжатом Si вдоль оси [100]
Линия излучения должна лежать со стороны меньших
энергий от экситона
В условиях равновесия M =2ex nM
2
2 4 n ex M ex kT
2
3
2
M
ex
exp
M
,
kT
где nM,ex концентрации молекул и экситонов;
M,ex их кратности вырождения
M энергия связи молекулы
т.е. с увеличением плотности nM ~nex2
9.3.2 Разрушение молекул магнитным полем:
Молекулы в основном состоянии находятся в состоянии спинового синглета
В магнитном поле энергия спинового синглета в первом приближении (без учета диамагнетизма)
не зависит от поля
Экситон включает электрон и дырку с неспаренными спина
E ex E ex ( B 0 ) ( s z g e B B ) ( j z g h B B )
В Si, Ge спин электрона sz=1/2 спин дырки jz=3/2
при ( g 3 g ) B происходит развал молекулы на экситоны
2Eex
e
B4>B3>B2>B1=0
h
B
M
EM
Bcr
B
9.4 Электронно-дырочные капли
Исследования излучения недеформированных Si и Ge показали, что поведение их спектров излучения
с ростом накачки не соответствует описанному для экситонных молекул
В спектре вместо излучения молекул –
широкая линия, отстоящая от линии
излучения экситона на ~10 мэВ,
что сравнимо с энергией связи экситона
и полностью отсутствует излучение молекул.
В чем же отличие недеформированного Si и Ge
от одноосно сжатых кристаллов,
в которых наблюдаются экситонные молекулы?
большая кратность вырождения зоны
число долин (вырожд.) вырожд. Валентной зоны
Si
6 (12)
4
т.е. только Ge[111]
Ge
4
(8)
4
является аналогом
Si[100]
2 (4)
2
для водорода !!!
Ge[111]
1
(2)
2
Энергия e-h состояний зависит
от кулоновской энергии взаимодействия электронов и дырок Eкул ~1<r>~n1/3
и кинетической энергии вследствие локализации электронов и дырок
2
2
1
1
E кин ~ N e n 3 ~ ( N e , на _ одну _ долину ) n 3
число долин
Чем больше долин, тем меньше средняя кинетическая энергия,
тем более связанные состояния могут образоваться.
1
В Si - 6 долин минимум полной энергии находится при(na B3 ) 3 1
Причина
E
Eex=Eg-Ry
Eg
Eкин n=1
n=6
n=1
Etot
n=6
n1/3
EЭДЖ
Равновесная
плотность ЭДЖ
n1/3>aB-1
Eкул
Экситоны разваливаются и образуется
металлическая e-h жидкость с энергией связи ~ 10 мэВ,
что в 10 раз больше энергии связи
экситонных молекул (~1 мэВ)
.
В результате в системе экситонов происходит расслоение на разреженный газ экситонов и
плотную электронно-дырочную жидкость в согласии с условием exc=ЭДЖ
Экспериментальное наблюдение излучения металлической e-h жидкости в
недеформированном и одноосно сжатом вдоль разных направлений Si
Вырождение
зоны
валенпровотной
димости
зоны
12
4
12
2
8
2
4
2
P||<111>
P||<110>
P||<100>
Ширина линии излучения ЭДЖ равна
сумме энергий Ферми электронов и дырок EFe+EFh)
Расстояние между фиолетовым краем
линии излучения ЭДЖ и красным краем линии
излучения экситона – энергия связи ЭДЖ
С уменьшением вырождения валентной
зоны и зоны проводимости величина энергии связи
и энергии Ферми (и, следовательно, плотность
жидкости) монотонно уменьшаются
(Энергия связи уменьшается в 4 раза, а плотность в
3 раза при уменьшении числа долин с 6 до 2 и
отщеплении зоны легких дырок в валентной зоне
9.5 Бозе-Эйнштейштейновская конденсация экситонов в импульсном пространстве
в непрямых полупроводниках
Экситоны – бозоны,
при малых плотностях X<X , |X-X|>>kT
статистика Больцмана
Спектр излучения
I ( ) ~
exc exp( exc
)
kT
Узкая линия с шириной 1,8 kТ
В одноосно сжаты кристаалах Ge c с одной долиной в загне проводимости и
невырожденной валентной зоной в магнитном поле оказываются нестабильными и
экситонные молекулы и электронно –дырочная жидкостью. Поэтому с ростом плотности
экситонов химпотенциал может увеличиваться
вплоть до энергии экситонного уровня
T=
2.15 K
При |X-X|<kT Статистика Бозе- Эйнштейна
f ~ 1 /(exp( 1.75 K
exc
) 1)
kT
Спектр излучения
I ( ) ~
exc /(exp( exc ) 1)
kT
C ростом плотности возбуждения наблюдается сужение линии
В пределе X=X спектр, который достигается при nX=
В спектре излучения ожидается излучения -функция на энергии экситона, отвечающая излучению
конденсата, со слабым фиолетовым хвостом, отвечающим излучению надконденсатных частиц.
В эксперименте предел не был достигнут из-за разогрева экситонного газа с ростом
плотности возбуждения
9. 6 Экситонные поляритоны
Energy, E
Законы дисперсии прямых экситонов и фотонов пересекаются
Если симметрия одинаковая, то термы должны расталкиваться. Величина расталкивания
определяется константой экситон-фотонного взаимодействия - , или частотой Раби.
В результате образуются смешанные экситон-фотонные состояния, получившие
название – экситонные поляритоны с двумя ветвями нижней (low polariton LP) и верхней
(upper polariton, UP) Условие образования поляритонов ck
частота Раби должна превышать обратное время рассеяния
экситонов по импульсу, X,p-1.
UP
Eex
pol(k)=kX(k)+kph(k)
Дисперсия поляритонных мод описывается уравнением
LP
( ck / ) b 4 /( 1 / ex ( k ) )
2
2
2
где 4(0) – сила осциллятора для экситонного перехода
k=0 =0 и ex(0)(1+ 4/) 1/2
0
k
Одной энергии в кристалле 2 волны с разными к и с разными
скоростями распространения –
Следует ожидать
при импульсном возбуждении – 2 импульса, выходящих из
кристалла с задержкой друг относительно друга
при стационарном возбуждении – интерференции для
интерференции
Оба эффекта были наблюдены экспериментально
Energy, E
Квазидвумерный свет
d~
ck
Плоский микрорезонатор –
Квантование света в направлении,
перпендикулярном зеркалам
Свет распространяется только в плоскости
Минимальная энергия света Eph(0)~1/d
Кардинальное изменение закона дисперсии света :
0
Почти параболический закон дисперсии
E ph ( k ) E ph ( 0 ) ( ck ) / 2
2
с очень малой эффективной массой (~10-5 m0)
k
Квазидвумерные экситонные поляритоны
excitation
Z
detection
Брегговские
зеркала
X
Y
E cav
В режиме сильного взаимодействия,
реализующегося при энергии экситон-фотонного
взаимодействия , превышающей затухание
экситонной ex-1 и фотонной ph-1 мод
Экситон-фотонное взаимодействие приводит
к образованию двух поляритонных мод
с законами дисперсии
EU ,L ( k ) [ ( k ) (k ) 4 E (k ) E
2
4
2
X
2
ph
2
2
2
UP
Upper
polariton
branch
Photon
exciton
(k ) ] / 2
где
( k ) E X ( k ) E ph ( k ) Energy, E
Квантовые
ямы
2
– рассогласование экситонной и фотонной мод
=EC(k=0) – EX(k=0)
LP
Lower
polariton
branch
0 wavevector, k
Energy, E
LP
Lower
polariton
branch
9.5 Экситонные поляритоны в микрорезонаторах
(1) Сильная зависимость
эффективной массы от квазиимпульса
(2)Время жизни зависит от вклада фотона в поляритоне,
т.е. уменьшается с k.
(3) размер поляритона с большим фотонным вкладом ~ мкм
(4) В отличие от объемных экситонных поляритонов
0 wavevector, k
E (k 0) 0
т.е. возможность накопления
поляритонов на дне зоны.
При этом т.к. поляритоны бозоны эффективность рассеяния на дно зоны растет с
увеличением
заполнения моды k=0 при достижении заполнения этой моды (k=0)>1.
То есть появляется возможность
конденсации при очень низкой плотности, т.к. масса очень мала
реализации нового типа лазера «бозера» в системе без инверсии
(беспороговый
лазер)
Ограничения
сверху по мощности плотность должна быть много меньше aB-2 , чтобы сохранялись
экситонные состояния
по экситонному рассеянию рассеянию: 1/X
энергия экситон-фотонного взаимодействия
1/ растет с температурой
Пока эксперименты
GaAs T< 20K, CdTe T<80 K, GaN 300 K
Квазидвумерные экситонные поляритоны
Малая плотность возбуждения –
Поляритоны медленно релаксируют по
дисперсионной ветке за счет рассеяния на фононах
и высвечиваются, не успев добежать до дна зоны
Большая плотность возбуждения –
Поляритоны быстро релаксируют на дно
зоны за счет поляритон-поляритонного
рассеяния
и конденсируются в k=0
Рапределение их по энергии E<<kT
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
10
Размер файла
3 932 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа