close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Движение материальной точки в центральном силовом поле

код для вставкиСкачать
ДИНАМИКА
ТОЧКИ
ЛЕКЦИЯ 6:
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
1. Следствия из Т. об изменении
момента количества движения
1) При движении под действием центральной силы траектория точки
есть плоская кривая
Для изучения движения будем пользоваться полярными координатами r , F Fr ( r )
r
r
2) Движение точки происходит с постоянной секторной скоростью
d
(закон площадей)
rv 2
c
d
dt
d - секторная скорость
1
dt
основание вы сота 2
1
1
2
r rd 1
r d
2
2
r 2
2
Закон площадей
c - постоянная площадей
r c
2
dr
d 2 drd rd d
r
d 1 1
2
r d
2
2. Скорость точки
Кинематика: v r r , v r
радиальная
компонента
v r r 2
2
d 1
vr r 2
c
d
r d
d r c dr
новая переменная
vr c
2
трансверсальная
компонента
Исключаем время используя закон площадей
dr
2
u 1/ r
du
d
, v cu
2
2 du 2
v c u d 2
t v r c
r
1
dt c r d 2
3. Уравнение Бинэ
Интеграл энергии
1
r0
m v ( r ) const
2
(r ) 2
F
r
( r ) dr
r
2
c m d du dr
2
u
F
(
r
)
0
r
2 d d d
2
Дифференцируем по dr
d
du
1
d
1 du
u d
2
c m du d u
du F r ( r ) du
2
2
u
0
2
2
2 d d
d u
d
2
2
Диф. уравнение траектории точки, движущейся под
действием центральной силы (уравнение Бинэ).
2
d u
d
2
u F r (1 / u )
2 этапа решения задачи
1) Из уравнения Бинэ найти траекторию u u ( ) r r ( )
2) Из закона площадей найти закон движения по траектории
2
mc u
2
4. Пример: движение по
окружности
Найти закон центральной силы, под действием которой точка будет
двигаться по окружности r a
2
d u
u 1
a
d
2
Fr
u 2
mc u
Fr 2
2
2 du 2
v c u d 2
Fr mv
v c
mc
a
3
2
const
const
a
2
a
Движение свободной материальной точки по окружности происходит с
постоянной скоростью под действием постоянной притягивающей силы
(центростремительная сила), равной по модулю m v 2 a
5. Законы Кеплера
1) Все планеты (и кометы) описывают вокруг Солнца плоские
орбиты, следуя закону площадей.
2) Орбиты эти суть конические сечения, в одном из фокусов
которых находится Солнце.
3) Квадраты звездных времен обращения планет вокруг Солнца
пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.
Из законов Кеплера Ньютон нашел закон, по которому изменяется
сила, действующая на планету при ее движении вокруг Солнца,
а затем пришел к закону всемирного тяготения. Как он мог это сделать?
1-й закон
действующая на планеты сила есть сила центральная,
направление которой проходит через Солнце
6. Следствие из второго закона
сила, действующая на планеты, будет силой,
притягивающей их к Солнцу обратно пропорционально
квадрату расстояния.
2-й закон
p
Уравнение конического сечения в полярных координатах
r
x r cos y r sin p x
p r cos r
a b
2
Для эллипса
2
2
1 cos d u
d
p
2
mc u
p
2
cos u cm
r
2
x y
2
b
2
2
a
фокусы
F r (1 / u )
2
mc u
c c
2
b
p
p
1 1 2 p
1 cos F r
Fr c m u 2
2
2
- эксцентриситет p a
u 1 cos 1 2
2
p
постоянная Гаусса
a
x
7. Следствие из третьего закона
постоянная c будет одна и та же для всех тел
солнечной системы.
3-й закон
c
площ адь эллипса
период обращ ения
p
b
2
ab
T
c c
2
p
a
2
T
2
3
const
По третьему
закону
a
Постоянная Гаусса есть величина, одинаковая для всех тел, движущихся под
действием притягивающей силы Солнца, и поэтому должна зависеть только от
массы Солнца c ( M )
Для тел, движущихся под действием притяжения Земли, существует своя
гауссова постоянная з ( m )
2
м арс
с
3ий з-н
Солнце притягивает Землю с силой Fсз c m r
з 2 Ньютона
M
m
m м арс
Земля притягивает Солнце с силой Fзс з M r
Отношение гауссовой постоянной любого тела к его массе F f M m
r
2
есть константа, называемая гравитационной постоянной.
r
f
8. Задача Ньютона
Найти траекторию материальной точки, притягиваемой неподвижным
центром с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния
Fr m
r
2
mu
2
d u
d
2
2
2
d u
Fr
u 2
mc u
выбор начала отсчета 0
d
1
p
u
1
p
a cos 0 2
0
ap
2
u u
1
r
1 cos p c
2
p
Траекторией точки будет коническое сечение (эллипс, парабола или
гипербола), один из фокусов которого совпадает с притягивающим ценцентром. Конкретный вид траектории зависит от значений постоянных и p , т. е. от начальных условий.
9. Виды траекторий
Пусть в точке Р (перицентр) известна скорость v P . Каков будет вид траектории?
dr
d
P
p sin 1 cos dr
d
1
r
1 cos r
v II vI p
2
xp
xp
v p v
0
2
0
vr
rv r
P
ЗП:
0
P
xp P
c x pv p
x p c
2
p v
xp p
1 2
vpxp
1
c
p
2
v p v II
y
1
P
параболическая скорость
v
v p v II
круговая скорость
(траектория –окружность)
Если начальная скорость задана вблизи Земли
( x p R ), то v I 7.9 км ./c. v II 11.2 км /с.
2
0
1
1 v v
p
II
xp
x
2
vpxp
10. Виды траекторий и
энергия
Выразим эксцентриситет через постоянную энергии
1
Нормированный на m интеграл энергии
v 2
p
2
кинетическая
2
4
2
2
1 2
e
xp
полная
энергия
потенциальная
vpxp
vpxp
vpxp
2v p x p
2
1 1 1 2
2
2
2
2
c
2
2
2
2
1 2
c
v p 2 2 e
xp 2
e
вид траектории зависит от знака полной энергии:
e<0 – эллипс, e=0 –парабола, e>0 - гипербола
11. Определение параметров
траектории по начальным данным
Известны v 0 , r0 , 0 Найти p , , 0
0
A0
v0
r0
0
0
0
1) Найти константы площадей и энергии
O
e
c r0 v 0 r0 v 0 cos 0
v 0 r v 0 sin 0
v 0 v 0 cos 0
2) Найти
2
c
2
1 2
3) Найти 0 из уравнения траектории
r
1 cos v0 2
p,
p p
1
1 p
cos 0 1 r0
c
2
2
e
r0
12. Движение вдоль орбиты.
Уравнение Кеплера
a
p
1 O O1 d
Закон площадей
2
p
1 a
2
t t0 A
r
E
O1
A1
O
p
dt
2 2c
0
1 1 cos E 1 cos 1 cos 2
cos E cos 1 cos 1 cos cos E dE 1
2
1
1 cos cos 1 cos sin cos E
1 cos d
1 cos 2c
p
2
1 cos эксцентрическая
аномалия
cos E p
1 2
d 2
2
cos 1 cos 1 sin 2
2
sin E 1 2
2
2
2
2
p cos r
E
a cos E r cos OO1
p
d
2c
1 cos Замена переменных
B
1 cos 1 2
1 cos E dE
3/2
d
1 cos 2
13. Движение вдоль орбиты.
Уравнение Кеплера
E
n t t0 1 cos E dE E sin E
0
n t t 0 E sin E
E 2
Период обращения
T 2
n
2
T
t t0 E sin E
n
2 c 1 p
2
3/2
2
Уравнение Кеплера
Документ
Категория
Презентации по физике
Просмотров
201
Размер файла
434 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа