close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Слайд 1 - МОУ Тацинская Средняя

код для вставкиСкачать
Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая
величина принимает наибольшее и наименьшее значение, принято называть задачами «на экстремум» (от латинского слова extremum «крайний») или задачами «на максимум и минимум» (от латинских
maximum и minimum -соответственно «наибольшее» и «наименьшее»).
Такие задачи часто встречаются в технике и естествознании, в
Повседневной деятельности людей.
Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим
количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик, чтобы при
заданном расходе материала его объем был наибольший? В каком месте
сле-Дует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через
него и соединяющая два города, была кратчайшей?
Эти задачи (им легко можно придать геометрический вид) имеют большое
практическое значение. С их помощью можно решить важный во всяком деле вопрос,
как, по словам русского математика П. Л. Чебышева, «Располагать средствами своими
для достижения по возможности большей выгоды». Уметь решать подобные задачи
очень важно, и поэтому они привлекают большое внимание математиков.
Самая простая и, вероятно, самая древняя геометрическая задача на экстремум такая:
какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?
Решение ее было известно древнегреческой математике. Оно изложено в VI книге
«Начал» Евклида (см. Евклид и его «Начала»), где доказывается, что если рассмотреть
прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет
больше. Доказательство очень простое, оно основано на сравнении площадей (рис.
1.1). Площадь прямоугольника равна So + S1( а площадь квадрата So + S2 и S, < S2,
если х < а. Таким образом, мы получаем, что из всех прямоугольников с заданным
периметром наибольшую площадь имеет квадрат. В решении Евклида, во-первых,
указан ответ (квадрат) и, во-вторых, доказано, что по площади он превосходит все
другие возможные фигуры (прямоугольники данного периметра). Именно так
понимается в математике решение задачи на экстремум: дать ответ и доказать его
экстремальное свойство.
Рис. 1
Рассмотренная задача относится к широкому классу
геометрических задач на экстремум - так называемым
изопериметрическим задачам, в которых фигура с
экстремальным свойством отыскивается среди других с
равным периметром. Изопериметрические задачи
рассматривались древнегреческим математиком Зенодором,
жившим во II—I вв. до н.э. Ему приписывают, например,
доказательство следующих утверждений:
из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон
наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;
из двух правильных многоугольников с равным периметром большую
площадь имеет тот, у которого число углов больше.
Зенодор также формулирует изопериметрическое свойство круга: из всех
плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг, но
полным доказательством этого свойства греческая математика не
располагала. Строгое доказательство было дано только
в XIX в.
Изопериметрические задачи объединяют также
еще одним названием-«задачи Дидоны». Они
названы так по имени легендарной
основательницы города Карфагена и его первой
Рис. 2
царицы. Согласно легенде, вынужденная бежать
из своего родного города, Дидона вместе со
своими спутниками прибыла на северный берег
Африки и хотела приобрести у местных жителей
землю для нового поселения. Ей согласились
уступить участок земли, однако не больше, чем
объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона
разрезала воловью шкуру на узкие ремешки и,
разложив их, сумела ограничить гораздо большую
площадь по сравнению с той, которую можно
было покрыть одной воловьей шкурой.
Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то
математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать
так: какой формы должна быть кривая длины /, чтобы площадь фигуры,
ограниченная этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей? (Рис. 2.)
В некоторых частных случаях задача Дидоны имеет простое решение.
Например, если береговая линия есть прямая и ограничиваемый участок
прямоугольной формы (рис. 3), то наибольшую площадь будет иметь
прямоугольник с длинами сторон 1/4 и 1/2, примыкающий большей стороной к
береговой линии. Решать задачу можно, используя, например, свойства
квадратного трехчлена.
В общем случае, когда береговая линия кривая Г-произвольной формы, задача
Дидоны очень сложна и решается с привлечением понятий и методов
математического анализа (см. Дифференциальное исчисление). Решение ее
относится к специальному разделу высшей математики, так называемому
вариационному исчислению. Заметим, что в математическом анализе
Рис. 3
разработаны очень сильные общие способы
решения задач на экстремум (нахождение экстремумов функций). Геометрические задачи на
экстремум могут быть сведены к
алгебраическим и также решены методами
математического анализа. Однако иногда эти
задачи удается решить элементарными
методами, при этом решения бывают весьма
изящны и поучительны.
Одним из сильных методов решения геометрических задач на экстремум
является применение неравенств, в частности неравенства о среднем
арифметическом и среднем геометрическом (см. Средние значения). Для
примера рассмотрим такую задачу: каких размеров должен быть ящик
(прямоугольный параллелепипед),
чтобы при заданной площади поверхности его объем был наибольшим?
Пусть а, Ь, с длины трех ребер (рис. 4), S-площадь полной поверхности, Vобъем. Очевидно, что S = 2{аb + be + ас), a V= аbс. Если заметить, что сумма
трех величин ab, bc, ас равна S/2, а их произведение равно V2, и применить
неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, то
будем иметь:
Рис. 4
Как следует из теоремы о среднем, знак
равенства достигается лишь в случае
ab = bc = ас, т. е. при а = b = с, и при этом
значение объема V принимает наибольшее
возможное значение. Отсюда заключаем, что
среди всех ящиков с заданной площадью
полной поверхности наибольший объем имеет
ящик кубической формы.
Назовем еще метод симметрии, эффективный
при решении некоторых геометрических задач на
экстремум.
Суть его применения станет ясна, если мы рассмотрим такую простую задачу:
на прямой а требуется найти такую точку М, чтобы сумма расстояний от нее до
точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, имела наименьшее возможно
значение (рис. 5).
Пусть точка А' симметрична точке А относительно прямой а, а точка М-точка
пересечения прямых А'В и а. Точка М и будет искомой. Действительно,
\АМ .Для любой другой точки Р прямой а справедливо неравенство: \А'Р\ +
\РВ\>\А'В\(последнее следует из того, что ломаная длиннее отрезка,
соединяющего ее концы).
Решение этой задачи приписывают Герону Александрийскому, жившему в I в.
Решал он, правда, физическую задачу: если в точке А находится источник
света, а в точке В-глаз, то в какой точке М отразится от плоского зеркала
выходящий из точки А световой луч, если известно, что угол падения равен
углу отражения? (Последний факт был известен задолго до Герона
Александрийского).
Как легко заметить, построенная выше точка М как раз такова, что угол между
прямыми AM и а равен углу между прямыми MB и а, т. е, точка М и будет точкой
отражения светового луча. Из решения этой задачи Герон сделал такой
вывод: отражаемый луч света выбирает
кратчайший возможный путь между источником
света и глазом. Заметим, что это один из первых
примеров в истории науки, когда при описании
физического явления использовался «принцип
минимума», согласно которому природа всегда
Рис. 5
стремится избрать наиболее экономный способ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
О задачах на максимумы и минимумы мы узнаём в школе. Вот одна
из них: требуется найти наибольшую площадь прямоугольного
треугольника с заданной суммой длин катетов. Это задача о
максимуме. Во многих случаях ищут минимум — наименьшее
значение чего-либо. Оба понятия, максимум и минимум
объединяются термином экстремум (от лат. extremym —
«крайнее»). Задачи на отыскание максимума и минимума
называются экстремальными задачами. Почти тот же смысл
вкладывается в термин «задачи оптимизации».
Разные причины побуждают людей решать задачи на экстремум.
Добиться наивысшего при заданных условиях результата (прибыли,
мощности, скорости) или понести наименьшие потери (времени,
материалов, энергии) — желание вполне понятное и естественное.
Поэтому задачи оптимизации играют большую роль в экономике и
технике.
Другая причина может показаться неожиданной: как выяснилось, многие
законы природы основаны на экстремальных принципах. Например, луч света
распространяется по самому быстрому пути. Пифагору принадлежит
высказывание: «Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей
плоской фигурой — круг». Почему круг и шар — «прекраснейшие»? Николай
Коперник в бессмертной книге «Об обращениях небесных сфер» даёт такой
ответ: «Мир является шарообразным... потому, что эта форма обладает
наибольшей вместимостью, что более всего приличествует тому, что должно
объять всё». Иначе говоря, размышляя о строении мира, Коперник полагал,
что его «архитектура» подчинена принципам экстремальности и
совершенства.
Рис. 6
Задачи на максимумы и минимумы
всегда привлекали внимание
математиков. Встречаются они и в
трудах трёх величайших геометров
Древней Греции — Евклида,
Аполлония Пергского и Архимеда. В
«Началах» Евклида
есть такая задача: в треугольник
АВС нужно вписать параллелограмм
BFDE наибольшей площади (рис. 6).
Архимед нашёл шаровой сегмент,
вмещающий максимальный объём
среди всех сегментов, имеющих
заданную площадь боковой
поверхности (им оказался полушар).
Аполлоний отыскивал кратчайшие
расстояния от точки до эллипса,
гиперболы и параболы. Многие
красивые задачи на экстремум
геометрического содержания были
решены в эпоху Возрождения.
Рис. 7
К 30-м гг. XVII в. появилась необходимость
отыскать какие-то общие методы решения
экстремальных задач. Первый аналитический
приём был найден Пьером Ферма. Открытие
состоялось, по-видимому, в 1629 г., но впервые
автор достаточно полно изложил свой метод
только в 1636 г. Приём Ферма сводится к рис. 7
следующему: если функция у= f(х) достигает
своего экстремума в точке х0, то в данной
точке производная функции должна обратиться
в нуль, т. е. должно иметь место равенство f’(
x0)=0 Намёки на этот приём встречаются также
в знаменитой книге Иоганна Кеплера «Новая
стереометрия винных бочек»
(1615 г.), где учёный решил множество
интересных задач на максимум и минимум.
Кеплер писал: «Вблизи максимума изменения
<функции> бывают нечувствительными». На
геометрическом языке мысль Кеплера и
результат Ферма можно выразить так в точке
экстремума касательная к графику функции должна быть
горизонтальной (если касательная не горизонтальна, то изменения
функции «чувствительны»). Ньютон высказал ту же мысль подругому: «Когда величина является максимальной или
минимальной, она не течёт ни вперёд, ни назад» (Рис.2).
Ферма проиллюстрировал свой метод на примере той
геометрической задачи, с которой мы начали рассказ. Если через а
обозначить сумму катетов, а через х — длину одного из них, то
площадь прямоугольного треугольника пропорциональна х(а - х).
Уравнение S’(х) = 0 имеет единственный корень
х0= а/2. Это и есть решение задачи: у прямоугольного треугольника
наибольшей площади катеты равны. Интересно, что задача Евклида
формализуется точно так же: если длину стороны ВС обозначить
через а, то площадь параллелограмма СВЕР пропорциональна
S(х) = х(а - х). Значит, у параллелограмма максимальной площади
точка F — середина стороны ВС.
Точный смысл идея Ферма приобрела несколько десятилетий
спустя. смысл
В 1684 идея
г. появилась
работа Готфрида
Вильгельма
Точный
Ферма приобрела
несколько
десятилетий
Лейбница
«Новый
метод нахождения
наибольших
и наименьших
спустя.
В 1684
г. появилась
работа Готфрида
Вильгельма
Лейбница
значений...»,
которой заложен
основы иматематического
«Новый
методв нахождения
наибольших
наименьших значений...»,
само основы
название
труда показывает,
какую Уже
важную
ванализа.
которойУже
заложен
математического
анализа.
само
роль сыграла
о нахождении
экстремума
становлении
название
трудазадача
показывает,
какую важную
роль в
сыграла
задача о
современной
математики.
Большинство
излагаемых математики.
Лейбницем
нахождении
экстремума
в становлении
современной
фактов было излагаемых
к тому времени
известнофактов
Ньютону,
но кработ
эту
Большинство
Лейбницем
было
тому на
времени
тему до 1736
г. он не
известно
Ньютону,
нопубликовал.
работ на эту тему до 1736 г. он не публиковал.
Следующийшаг
шагввтеории
теорииэкстремума
экстремумабыл
былсделан
сделанНьютоном.
Ньютоном.ВВ
Следующий
ВулсторпеНьютон,
Ньютон,решая
решаязадачи
задачина
напроведение
проведениекасательных
касательныхкк
Вулсторпе
кривым,вычисляя
вычисляяплощади
площадикриволинейных
криволинейныхфигур
фигур, ,создает
создаетобщий
кривым,
общийрешения
метод решения
такихметод
задач-флюксий
метод флюксий
метод
таких задач(производных) и
(производных)
иу
флюэнт,
которыеназывались
у Г. В. Лейбница
назывались
флюэнт,
которые
Г. В. Лейбница
дифференциалами.
дифференциалами.
Ньютон вычислил
производную
и итерграл
Ньютон
вычислил производную
и интеграл
любой степенной
любой степенной
функции. О дифференциальном
и
функции.
О дифференциальном
и интегральном исчислениях
интегральном
исчислениях
ученый
подробно
в своей
ученый
подробно
пишет в своей
самой
работе пишет
по математике
самой работе
по математике
«Метод
флюксий».
ней были
«Метод
флюксий».
В ней были
заложены
основыВматематического
заложены
основы
математического
анализа.
Первой
задачей
анализа.
Первой
задачей
была техническая
задача
о поверхности
была техническая
задача онаименьшее
поверхностисопротивление
вращения,
вращения,
испытывающей
в некой
испытывающей
«редкой»
среде. наименьшее сопротивление в некой «редкой»
среде.
Решение многих физических, биологических, технических и других практических
задач сводится к решению дифференциального уравнения
y’=ky
(1)
где k—заданное число. Решениями этого уравнения являются функции У=Сеkx (2)
где С—постоянная, определяемая условиями конкретной задачи.
Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распад
вещества. Если т’(t)-скорость радиоактивного распада в момент времени t, то
т’ (t)=-kт(t), где k - постоянная, зависящая от радиоактивности вещества. Решениями
этого уравнения являются функции
т(t)=Се-kt.
(3)
Если в момент времени t масса равна т0, то
С=m0, и поэтому
m(t)=m0e-kt
Заметим, что на практике скорость распада радиоактивного вещества
характеризуется периодом полураспада, т. е. промежутком времени, в
течение которого распадается половина исходного вещества.
Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства при t=Т получаем
m0/2= m0 e-kt, откуда
k=ln2/T.
Поэтому формула запишется так: m(t)=mо2 -t/T
Например, скорость т‘(t) размножения бактерий связана с массой т(t) бактерий в
момент времени t уравнением
т' (t)=km(t), где k — положительное число, зависящее от вида бактерий и внешних
условий. Решениями этого уравнения являются функции
m(t)=С ekt.
Постоянную С можно найти, например, из условия, что в момент t=0 масса m0 бактерий
известна. Тогда m (0)=m0= Сe k0 = С, и поэтому
т (t)=т0 еkt.
Цилиндрический бак, высота которого равна 5 м, а радиус
основания равен 0,8 м, заполнен водой. За какое время вытечет
вода из бака через круглое отверстие в дне бака, если радиус
отверстие равен 0,1 м?
Обозначим высоту бака H, радиус его основания R радиус
отверстия r (длины измеряем в метрах, время - в секyндах).
Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба
жидкости х и вычисляется но формуле Бернулли
V= σ √2gx
(6)
где g=9.8, σ - коэффициент, зависящий от свойства жидкости, для
воды σ =0,6. Поэтому по мере убывания воды в баке скорость
вытекания уменьшается (а не постоянна), пусть t(x) - время, за
которое вытекает вода из бака высотой х с тем же радиусом
основания R и с тем же отверстием радиуса r. Найдем приближенн
разностное отношение
(t(x+h)-t(x))/h считая, что за время t1=t(x+h)-t(x)
скорость вытекания воды постоянна и выражается формулой (6).
За время t1, объем воды, вытекшей из бака, равен объему
цилиндра высотой h с радиусом основания R (рис. 3), т.е.
равен πR2h. С другой стороны, этот объем равен объему
цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне бака, а
высота равна произведению скорости вытекания v на время t т. е.
объем равен πr2v t1. Таким образом, πR2h = πr2v t1. Отсюда,
учитывая формулу (6) и обозначение t1 =t(x+h) – t(x), получаем
(t(x+h) – t(x))/h ~ R2 /( r2 σ √2g√x), причем
погрешность приближения стремится к нулю при h- 0.
Следовательно, при h-0 получается равенство
t’ (x)= R2 /( r2 σ√2g√x)
откуда
t(x)=R2 /( r2 σ √2g2√x)+С.
Если х=0 (в баке нет воды), то t(0)=0, поэтому С=0. При х=h находим
искомое время
t(H)= (R2 √2H)/ (r2 σ √g)
Используя данные задачи, вычисляем 108 с.
Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для
ее сжатия на 0,01 м требуется сила 10 H.
По закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию
пружины, т. е. F=kx, где х— величина растяжения или сжатия (в м),
k—постоянная. Из условия задачи находим k. Так как при х=0,01 м
сила F= 10 Н, то k=F/x= 1000. Следовательно, F (х)=kx= 1000x. Работа
силы F(x) при перемещении тела из точки а в точку b равна
b
A= ∫ F(x)dx.
a
Используя данные задачи, получаем 3,2 (ДЖ).
Рис. 4
Задача (бумажный змей)
Змею, имеющему вид кругового сектора, желают придать
форму такую, чтобы он вмещал в данном периметре
наибольшую площадь. Какова должна быть форма сектора?
Решение
Уточняя требование задачи, мы должны разыскать, при
каком соотношении длины сектора и его радиуса площадь
его достигает наибольшей величины при данном периметре.
Если радиус сектора X. дуга Y, то его периметр L и площадь
S выразятся так (Рис. 4).
L=2X+Y,
S=XY/2=(X(L-2X))/2
Величина S достигает максимума при том же значении X,
что и произведение 2X(L-2X), т. е. учетверенная площадь.
Так как рис. 4 сумма множителей 2X(L-2X)=L есть величина
постоянная то произведение их наибольшее, когда 2X=L-2X ,
откуда X=L/4,
Y=L-2*L/4=L/2.
Итак, сектор при данном периметре замыкает наибольшую
площадь в том случае, когда его радиус составляет
половину дуги (т. е. длина его дуги равна сумме радиусов или
длина кривой части его периметра равна длине ломаной).
Угол сектора равен ~115 0 – двум радианам.
Задача (дачный участок)
При постройке дачи нужно было отгородить
дачный участок. Материала имелось на L
погонных метров изгороди. Кроме того, можно
было воспользоваться ранее построенным
забором (в качестве одной из сторон участка).
Как при этих условиях отгородить
прямоугольный участок
Рис. 5
Решение
Пусть длина участка (по забору) равна х , а
ширина ( т. е. размер участка в направлении,
перпендикулярном к забору) равна y (рис.5).
Тогда для огораживания этого участка нужно
Х+2У метров изгороди, так что Х+2У=L
Площадь участка равна S=ХУ=У(L-2Y). Она
принимает наибольшее значение
одновременно с величиной 2У(L-2У) .
Удвоенной площадью, которая представляет
собой произведение двух множителей с
постоянной суммой L. Поэтому для достижения
наибольшей площади должно быть 2У=L-2У.
Откуда У=L/4 , Х=L-2У=L/2. Иначе говоря ,
Х=2У, т. е. длина участка должна быть вдвое
больше его ширины. наибольшей площади?
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
23
Размер файла
4 813 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа