close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Тригонометрические функции

код для вставкиСкачать
Алгебра и начала
анализа
Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа 10 – 11
http://www.pm298.ru/muravn.php
http://www.uztest.ru/abstracts#
Требования к зачету:
Конспекты
Выучить нужные формулы!!!
Решение задач по теме
Контрольная работа
Повторение
Действия с дробями
Формулы сокращенного
умножения
2
2
2
(a+b) =a +2ab+b
2
2
a −b
= (a +b)(a −b)
Квадратные уравнения
Дискриминант:
Если D > 0, то кв. ур-е имеет два
различных корня: которые могут быть
вычислены по формулам:
Если D = 0, то кв. ур-е имеет единственный корень .
Если D < 0, то действительных корней нет.
Свойства степеней
a n · a k = a n+k
a n : a k= a n–k
( a n ) k= a nk
a n · b n = ( ab ) n
b n a n =(ba)n
a0=1
Синус. Косинус. Тангенс.
Теорема Пифагора. Теорема синусов.
Теорема косинусов.
Теорема Пифагора:
с
2
AC
a
2
2
b
AB
sin A a
2
c
cos A c
tg A BC
AB
AC
b
ctg A BC
AC
b
a
2
BC
AB
b
a
AB
BC
2
Тригонометрические
функции числового
аргумента
10 класс
Радианная мера
Угол в 1 радиан –
это такой
центральный угол,
длина дуги
которого равна
радиусу
окружности
Радианная и градусная меры
связаны зависимостью:
180
0
n 0
n
180
Пример
Выразить в радианной Выразить в градусной
мере величины углов: мере величины углов:
120
0
310
0
150
0
3
5
36
72 0
90 0
3
5
9
tg C
π
90° 2
1 F
М
R=1
Д
A cos ; sin 180°π
-1
ctg 0
0 1
B N К 360°2π
В ОСК :
B AB О : ОА 1
AB
sin OA
cos OB
OA
По
АВ
tg АВ ОМ
1
ОВ
270° -1
3π
2
ОВ
1
теореме
Пифагора
2
2
ОК
КС
КС
1
В ODN :
ctg ON
DN
:
tg sin cos 1
КС
sin cos ON
ON FD
1
ctg cos sin Определения
Синусом числа х называется ордината точки А,
косинусом числа х называется абсцисса точки А,
которая получена поворотом начальной точки
единичной окружности на угол х.
Тангенсом числа х называется отношение
синуса числа х к косинусу числа х,
котангенсом числа х называется отношение
косинуса числа х к синусу числа х.
Основные тригонометрические
функции
sin cos 1
2
tg 2
sin cos ctg cos sin tg ctg 1
tg 1 1
2
cos ctg 1 2
2
1
sin 2
Знаки синуса, косинуса,
тангенса и котангенса
Знаки синуса
Знаки косинуса
Знаки тангенса и
котангенса
Пример
Упростите выражения: 19 cos 2 9 19 sin 2 Найдите sinβ, если cosβ = -0,6 и π < β <
3
2
Найдите значение выражения 2 26 sin x ,если
5 , 3
<х<2π
cos x 26
2
Формулы сложения
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tg ( ) tg ( ) tg tg 1 tg tg tg tg 1 tg tg Пример
Упростите выражения:
1) sin
2
cos
9
5
cos
18
2
sin
9
5
18
2 ) cos 45 cos 15 sin 45 sin 15
0
0
0
0
Формулы приведения
sin sin 2
2
sin α
cos cos cos α
sin sin tg α
ctg ctg tg ctg α
tg tg 3
2
ctg ctg 2
2 cos cos cos cos sin tg 3
sin sin cos ctg ctg tg tg tg ctg Пример
Найдите значение выражения
если cos 0 ,8
Вычислите:
2
cos 15
0
sin
2
75
0
sin( 270
0
)
,
Формулы суммы и разности
синусов (косинусов)
sin x sin y 2 sin
x y
cos
x y
2
sin x sin y 2 sin
2
x y
cos
x y
2
cos x cos y 2 cos
2
x y
cos
2
cos x cos y 2 sin
2
x y
2
tgx tgy tgx tgy sin( x y )
cos x cos y
sin( x y )
cos x cos y
x y
sin
x y
2
Пример
Докажите тождество: sin
7
12
sin
12
2
2
Формулы двойного
аргумента
sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin 2
tg 2 2
2 tg 1 tg 2
cos 2 1 2 sin 2
cos 2 2 cos 1
2
Формула половинного
аргумента
cos
2
2
sin
2
2
tg
tg
tg
1 cos 2
1 cos 2
1 cos 2
1 cos sin 2
1 cos 1 cos 2
sin Пример
Вычислите значение выражения:
2 cos
2
24 1
0
sin 21 cos 21
0
0
Вычислите:
3
2
(cos
4
75 соs 15 )
0
4
0
1
2
x
y
-1
М
1
0 2
0
0
2
-y
-1
2
1
-x
М1
3
3
2
-1
2
1) D y ; 2 ) E y 1;1
3 )T 2 4 )Функция
нечетная
а ) D y симметричн а
относитель но точки
б ) y x y x 5 ) y 0 при х n
6 ) у наиб . 1 при
7 ) y наим . 1 при
О
2 n
2 х 2 n
2
х
8 ) монотоннос ть
а ) функция на 2 n ; 2 n 2
2
3
б ) функция на 2 n ;
2 n 2
2
9 ) промежутки
знакопосто янства
а ) у 0 на
б ) у 0 на
nZ
2 n ; 2 n 2 n ; 2 2 n 2
1
1
2
x
1 0
-1
y
0
2
2
0
2
-x
-1
3 2
-1
2
2
1) D y ; 2 ) E y 1;1
3 ) Периодично сть : T 2
4 )Функция
четная
а ) D y симметричн а
относитель но оси ОУ
б ) y x y x 5 ) y 0 при
6 ) у наиб . 1 при
х
n
2
х 2 n
7 ) y наим . 1 при
х 2 n
8 ) монотоннос ть :
а ) функция на 2 n ; 2 n б ) функция на
2 n ; 2 n 9 ) промежутки
знакопосто янства :
а ) у 0 на 2 n ; 2 n 2
2
3
б ) у 0 на 2 n ;
2 n 2
2
nZ
3
1
-1
tgx
2
x у
1
1 0 2
0
-1
3
-х -у
0
2
2
3
2
-1
2
2
1) D y : х 2
n
2 ) E y ; 3 ) Периодично сть : T 4 )Функция
нечетная .
5 ) Нули функции :
y 0 при х n
8 ) монотоннос ть :
а ) функция на n ; n 2
2
9 ) промежутки
знакопосто янства :
б ) у 0 на n ; n 2
а ) у 0 на n ; n 2
nZ
-y
1
y
2
1
x
1 0 2
-1
0
0
2
-х
-1
3
3
2
2
-1
2
2
8 ) монотоннос ть :
1) D y : х n
2 ) E y ; 3 ) Периодично сть : T 4 )Функция
5 ) Нули
нечетная
функции :
y 0 прих n
а ) функция на n ; n 9 ) промежутки
знакопосто янства
б ) у 0 на n ; n 2
а ) у 0 на n ; n 2
nZ
2
Пример
Найдите множество значений функций
у cos x 2
у 2 sin
2
х
Преобразование графиков
Рассмотрим функцию у = f(х)
Параллельный перенос вдоль оси Оу
f(x) + m=y
если m > 0, то
вверх
если m < 0, то
вниз
Параллельный перенос вдоль оси Ох
y = f(x + m)
если m > 0,
то влево
если m < 0,
то вправо
Симметрия относительно оси Ох
y = - f(x)
Симметрия относительно оси Оy
y = f(- x)
Растяжение или сжатие вдоль оси Оу
у = а· f(х)
если
если
если
если
если
а > 0, то растяжение
0 < а < 1, сжатие
а = - 1, то симметрия относительно Ох
а < - 1, то растяжение
-1 < а < 0, то сжатие
Растяжение или сжатие вдоль оси Ох
у = f(а· х)
если а > 1, сжатие
если 0 < а < 1, то растяжение
Пример
Построить график функции
у = 1 + 2sin x
Построение
Четная функция
Функция f называется четной,
если для любого х из ее
области определения
f(- x) = f(x)
Нечетная функция
Функция f называется
нечетной, если для любого х
из ее области определения
f(- x) = - f(x)
Свойства четных и нечетных
функций
1.
2.
График четной функции
симметричен относительно оси
ординат
График нечетной функции
симметричен относительно начала
координат
Пример
Укажите график функции, не обладающей
свойством четности или нечетности.
2
y = f (x)
y
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
1
2
3
4
x
6
5
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1.
-3
-2
-1
0
2
3
4
2
y = f (x)
y
y
1
1
2
3
4
5
6
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
1
2
3
4
5
y = f (x)
3.
-3
x
6
5
-3
1
-4
1
-2
-3
-5
0
-1
2.
-2
2
y = f (x)
y
4.
-3
6
x
Периодичность
Функция f называется
периодической с периодом Т ≠0,
если для любого х из области
определения значения этой
функции в точках х, х – Т и х + Т
равны, т.е.
f(x +T) = f(x) = f(х – Т).
Определение
Функция f возрастает на
множестве Р, если для любых х1 и х2
из множества Р, таких что х2 > х1,
выполнено неравенство f(х2) > f(х1)
Определение
Функция f убывает на множестве
Р, если для любых х1 и х2 из
множества Р, таких что х2 > х1,
выполнено неравенство f(х2) < f(х1)
Пример
Укажите график функции, убывающей на
отрезке 1; 4 .
3
y
y
y = f (x)
2
-7
-5
1
0
-1
1
2
3
3
4
6
7
1
x
-5
-1
0
-1
3
2
1
x
6
4
-1
1.
2.
-3
y = f (x)
-3
-5
y
y
y = f (x)
3
3
1
-5
-1 0
1
1
2 3
4
6
x
-5
-1
3.
-3
y = f (x)
-1
0
-1
4.
-3
1
2
3
4
6
x
Окрестностью точки а
называют любой интервал,
содержащий эту точку
Пример
Интервал (2; 6) – одна из
окрестностей точки 3
Определение
Точка х0 называется
точкой
минимума
функции f, если
для всех х из
некоторой
окрестности х0
выполнено
неравенство
f ( x ) f ( x0 )
Определение
Точка х0 называется
точкой
максимума
функции f, если
для всех х из
некоторой
окрестности х0
выполнено
неравенство
f ( x ) f ( x0 )
Для точек максимума и
минимума функции
принято общее название –
точки экстремума
Схема исследования функций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Найти область определения и значения данной
функции
Выяснить, обладает ли функция особенностями,
облегчающими исследование, т.е. является ли
функция: а) четной или нечетной; б) периодической
Вычислить координаты точек пересечения графика с
осями координат
Найти промежутки знакопостоянства функции
выяснить, на каких промежутках функция возрастает,
а на каких убывает
Найти точки экстремума, вид экстремума (max или
min) и вычислить значения функции в этих точках
Исследовать поведение функции в окрестности
характерных точек, не входящих в область
определения и при больших (по модулю) значениях
аргумента
Асимптоты
Вертикальные
Горизонтальные
1
2
arcsin a
arccos a a
x
a
a 1;1
arcsin
-1 2
a arcsin
a arccos a 0 ; arcctg a arctga x , tgx a
x
arctg a arctg a arctga
a ctgx
arccos a
x
a 1;1
1
a
arctga
2
a
arccos a arccos a
a
2
arccos a x , cos x a
0
x
arcsin a ; 2 2
a
tgx
-1 a
arcsin a x , sin x a
x
arcsin
arccos a
arccos a
a
arcctga
x
arcctga x , ctgx a
0
aR
aR
arcctga 0 ; arctga ; 2 2
arcctg a arcctga
Пример
Найдите:
2
arcsin
2
arcsin( 1
)
2
3
arccos
2
2
arccos( )
2
arctg 1 arctg ( 3 ) arcctg
1
3
arcctg ( 3 ) Решение уравнения cos x=a
cos x a , где 1 a 1
x arccos a 2 n , n Z
Частные случаи:
1) cos x 0
x
n
2
2 ) cos x 1
х 2 n
3 ) cos x 1
x 2 n
Пример
Решить уравнение: cos x 1
2
Решение уравнения sin x=a
sin x a , где 1 a 1
x 1 arcsin a n , n Z
n
Частные случаи:
1) sin x 0
х n
2 ) sin x 1
x
2 n
2
3 ) sin x 1
x
2
2 n
Пример
x
Решить уравнение: sin( ) 3
2
2
Решение уравнения tg x=a
arctg a arctga
tgx a ,
х
а ; n
2
х arctga n
Пример
Решить уравнение:
3 tg (
x
3
3
)3
5
6
5
6
6
1
1
sin x 2
13 1
6
2
2
2 n x 6
2
5
2
3
4
2
2
4
3
4
2 x 2 n x 6
2
4
2 n
5
4
2
2
13 2 n
6
sin x 0
1
2
5
2 n
6
sin x sin x 2 n x 4
2
2
5
4
4
nZ
2 n
cos x 6
3
2
2
2 n x 6
3
2
11
6
6
3
4
4
2
cos x 4
2 n
6
2
2
2
5
2 n x 2
11 6
6
3
3
2 n
3
cos x 6
2
2
3
4
2 n x 5
4
2 n
2
cos x 2
3
4
3
2 n x 4
3
4
nZ
2 n
2
tgx
2
6
3
6
tgx 3
3
3
n x 6
tgx
3
3
n
2
tgx 7
3
3
n x 2
n
6
6
5
6
2
3
2
2
tgx
tgx
3
2
3
2
4
tgx 1
tgx 3
3
3
2
3
n x n
2
3
n x 2
2
4
4
-1
nZ
n
1
1
ctgx
4
0
5
n
4
3
ctgx
2
ctgx 1
2
4
3
4
ctgx 1
n x ctgx
5
4
4
3
3
3
2
ctgx
3
0
2
ctgx 2
5
3
3
3
ctgx n x 3
n x n
n x n
2
3
5
3
nZ
3
3
n
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
100
Размер файла
1 462 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа