close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Уравнение Шредингера

код для вставкиСкачать
Волновые свойства микрочастиц
Волновое движение носит
распространено в природе.
разнообразный
характер
и
весьма
Любая волна несет с собой энергию.
До конца XIX в. считалось, что излучение имеет чисто волновую
природу. Правда, гипотеза о корпускулярном строении света
высказывалась ранее неоднократно. Её разделял, например, Ньютон.
Однако, после исследований Френеля и Юнга в начале XIX в. по
интерференции и дифракции световых волн и, особенно, после
создания Максвеллом электродинамики во второй половине XIX в.
возобладала волновая концепция.
Но на рубеже XIX и XX вв. появились факты, свидетельствующие в
пользу квантовой природы излучения.
В 1900 г. Планк в основу теории чёрного тела положил гипотезу о
квантованных осцилляторах. Он предположил, что стенки полости
обмениваются энергией с полем излучения, причём порции энергии не
могут быть меньше, чем ħω, где ω — собственная частота осциллятора.
Позднее, в 1905 г. Эйнштейн предложил объяснение фотоэффекта, в
котором квантовые свойства имеет уже само излучение, а не только
гипотетические осцилляторы полости.
Электромагнитное излучение характеризуется волновым вектором k и
частотой ω. Описание плоской волны с точки зрения волновой теории
имеет вид:
где ψ— любая величина, принимающая участие в волновом движении,
а ψ0 — её амплитуда
По Планку энергия кванта (фотона) связана с частотой волны:
а его импульс — с её волновым вектором:
В результате корпускулярная интерпретация формулы (1)
выглядит следующим образом:
В этом уравнении описание волны в качестве параметров содержит
энергию и импульс, параметры свойственные лишь частицам.
Физика в своем развитии часто встречалась с границами применимости
существующих теорий. При этом разрабатывались новые, более общие
решения. «Более общие» в том смысле, что старая теория входила в
новую как частный, ограниченный случай.
Совсем по-другому сложились взаимоотношения волновой и квантовой
оптики. Ни одна из них не стала частью другой. Остались задачи
(дифракция, интерференция, поляризация электромагнитных волн)
которые решаются в рамках только волновой теории излучения. С
другой стороны, были обнаружены явления (фотоэффект, эффект
Комптона, “ультрафиолетовая катастрофа” в теории Рэлея-Джинса
теплового излучения), которые объясняются только корпускулярной
природой света.
Как пошутил Уильям Брэгг, «сложилась ситуация, когда каждый
физик вынужден по понедельникам, средам и пятницам считать
свет состоящим из частиц, а в остальные дни – из волны».
Гипотеза де Бройля
Такая двойственность теории излучения – корпускулярно-волновой
дуализм света привела молодого французского физика Луи
Виктора де Бройля, потомка великой королевской династии Бурбонов,
к мысли о глобальном характере этой двойственности.
Если волна – частица, то и материальная частица – волна.
Он показал, что движению электрона может соответствовать некоторая
волна материи, так же как движению светового кванта соответствует
световая волна. Де Бройль предложил объяснить квантовые условия
теории Бора с помощью представления о волнах материи. Волна,
движущаяся вокруг ядра атома, по геометрическим соображениям может
быть только стационарной волной; длина орбиты должна быть кратной
целому числу длин волн.
Волна-частица обладает энергией и импульсом. Де Бройль назвал ее
“фазовой волной”. По де Бройлю (1924) любая материальная частица
обладает волновыми свойствами и может характеризоваться
соответствующей частотой и длиной волны
Волны Де Бройля для электрона с n = 2, 3, 4
В 1923 году в одном из своих докладов Парижской Академии наук де
Бройль говорил о возможных путях экспериментальной проверки своей
теории:
«Поток электронов, проходя через узкую щель, должен был бы дать
явление дифракции»
Однако первое подтверждение справедливости волновой механики
было получено в опытах по интерференции электронов.
Интерференция частиц
Пучок ускоренных электронов падает на экран с двумя узкими щелями. Если закрыть одну
щель, то электроны, прошедшие через другую, дадут определенное распределение
интенсивности. Подобное же распределение, но несколько смещенное будет получено,
если закрыть вторую щель и открыть первую. Теперь оставим открытыми обе щели.
Здравый смысл подсказывает, что новое распределение частиц должно равняться сумме
первых двух (распределение 1). Однако опыт свидетельствует совсем о другом (
распределение 2).
Распределение электронов отвечает интерференции двух когерентных волн. Таким
образом, на движение каждого отдельного электрона оказывают влияние обе щели. Этот
эксперимент подтверждает тот факт, что микрочастица-волна не просто «маленькое»
материальное тело.
Первый эксперимент осуществили в 1927 г. американские физики Клинтон Джозеф
Дэвиссон (1881–1958) и Лерстер Джермер (1896–1971).
Пучок ускоренных электронов направлялся на монокристалл никеля. Одна из вершин
этого кристалла сошлифована перпендикулярно к большой диагонали кристаллической
ячейки. Отраженные электроны улавливались «цилиндром Фарадея», соединенным с
гальванометром. Этот измерительный цилиндр мог перемещаться по дуге вокруг
кристалла. Сам кристалл тоже мог поворачиваться относительно оси, совпадающей с
направлением падающего пучка электронов.
Были воспроизведены с дополнениями условия опыта, поставленного Дэвиссоном еще
в 1921 г, работавшим тогда в фирме ”Белл телефон” – он еще тогда обнаружил
закономерность в углах отклонений электронов, отраженных от никелевой пластинки,
но не смог найти подходящего объяснения.
Расстояние между атомными плоскостями монокристалла никеля – d было известно из
рентгенографических исследований. Сила тока рассеянных электронов оказалась
максимальной при определенном значении угла рассеяния θ. Длина волны,
соответствующая этому интерференционному максимуму, оказалась равной
d cosθ = m λ ⇒ λ = 1.65 Å.
В то же время легко рассчитать длину волны де-Бройля падающих электронов
λ = 2πh / p = 2πh /(mv) =1.65A,
где v = 2eU m — скорость электронов при ускоряющем напряжении U = 54 В.
Совпадение этих длин волн и явилось первым подтверждением волновых свойств
частиц – в данном случае электронов.
Дифракция на щели
Дифракция на щели исследовалось в лабораториях П.С. Тартаковского,
Джорджа Паджета Томсона (1892–1975), Валентина Александровича
Фабриканта (1907–1991) и др. ученых. Схемы их опытов очень близки.
Тонкий пучок ускоренных электронов пронизывал золотую фольгу (в
опытах П.С. Тартаковского) и падал на фотопластинку. Результат
дифракции электронов на кристаллической решетке приведен на рис.
Уравнение Шредингера
Исходя из идеи де Бройля о волнах материи, австрийский физик Эрвин
Шрёдингер в 1926 г. получил основное уравнение волновой механики,
содержащее волновую функцию и позволяющее определить возможные
состояния квантовой системы и их изменение во времени.
При решении задачи построения физических теорий, объясняющих некоторые экспериментальные
факты, обычно сначала выдвигается физическая идея, объясняющая явление качественно, «на пальцах».
Затем идея проверяется на количественное согласие с экспериментом, если ее удается корректно
представить в понятиях математики. В этой процедуре все величины, входящие в уравнения, получают
свое истолкование на стадии составления уравнений, поэтому проблем с интерпретацией их
физического смысла не возникает.
В ряде случаев, однако, за неимением иной возможности, поступают противоположным образом.
Сначала, после ряда математических операций, добывают результат, а затем решают вопрос
физического смысла входящих в решение уравнения величин. Так было в случае с уравнениями
Максвелла, преобразованиями Лорентца, соотношением неопределенности, так было и с уравнением
Шредингера.
Эрвин Шрёдингер
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger
(1887—1961)
Австрийский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики.
Лауреат Нобелевской премии по физике (1933).
Шрёдингеру принадлежит ряд фундаментальных результатов в области квантовой теории, которые легли
в основу волновой механики: он сформулировал волновые уравнения (стационарное и зависящее от
времени уравнения Шрёдингера), показал тождественность развитого им формализма и матричной
механики, разработал волновомеханическую теорию возмущений, получил решения ряда конкретных
задач.
Шрёдингер предложил оригинальную трактовку физического смысла волновой функции; в
последующие годы неоднократно подвергал критике общепринятую копенгагенскую интерпретацию
квантовой механики (парадокс «кота Шрёдингера» и прочее).
Кроме того, он является автором множества работ в различных областях физики: статистической
механике и термодинамике, физике диэлектриков, теории цвета, электродинамике, общей теории
относительности и космологии; он предпринял несколько попыток построения единой теории поля. В
книге «Что такое жизнь?» Шрёдингер обратился к проблемам генетики, взглянув на феномен жизни с
точки зрения физики. Он уделял большое внимание философским аспектам науки, античным и
восточным философским концепциям, вопросам этики и религии.
Уравнение Шредингера не выводится строго, но его можно получить из
так называемого классического волнового уравнения, которое описывает
любое волновое движение
Согласно гипотезе де Бройля, каждой движущейся микрочастице
должна быть сопоставлена волна.
Пусть свободной микрочастице, летящей вдоль оси x, cоответствует
плоская волна.
Свяжем параметры волны с энергией и импульсом микрочастицы
Теперь уравнение
можно записать в виде
Продифференцируем это выражение один раз по времени и дважды –
по координате:
В случае свободного движения нерелятивистской частицы, ее энергия
и импульс связаны простым соотношением E=p2/2m. Теперь,
принимая во внимание это соотношение, легко связать предыдущие
уравнения
Это и есть волновое уравнение Шредингера для одномерного движения
свободной частицы.
В случае движения микрочастицы в силовом поле, потенциальная энергия U,
полная энергия E и импульс р частицы связаны соотношением p2/2m=E–U.
Объединяя в этом выражении те же уравнения,
получим:
Это уравнение Шредингера для одномерного движения микрочастицы в
силовом поле. Для частицы, движущейся в произвольном направлении, запишем
волновое уравнение в таком виде:
Это
уравнение
получило название
уравнение Шредингера . Здесь
нестационарного
волнового
При движении микрочастицы в стационарном (неизменном во времени)
силовом поле, решение УШ может быть представлено произведением
двух множителей, один из которых является функцией только
координат, а другой – только времени
Используем это решение
дифференциальном
уравнении
микрочастицы в силовом поле
для
одномерного
в
движения
Сократив на общий множитель exp[−i(E/h)t], получим УШ для
стационарных состояний
Из указанных
универсальным
Шрёдингер ввел греческую букву ψ (пси) для обозначения «волновой
функции» – зависящей от координат и времени переменной, которая в
определенных ситуациях носит простой колебательный характер, т.е.
представляет собой волну.
вариантов
нестационарное
уравнение
является
Однако в общем случае функция ψ в общем случае комплекснозначная,
и поэтому было трудно понять, каков ее физический смысл.
Шредингер полагал, что в волновой механике «…обычные правила квантования
могут быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится каких-либо «целых
чисел». Целочисленность получается при этом … сама по себе подобно тому, как сама по
себе получается целочисленность узлов при рассмотрении колеблющейся струны».
Основополагающая серия работ в журнале «Annalen der Physik» с 27 января по 21
июня 1926 года.
Принцип неопределенности Гейзенберга
В 1927 годы Гейзенберг и Борн пришли к выводу, что квадрат модуля
волновой функции в любой точке пространства и в любой момент
времени есть вероятностная мера того, что соответствующая частица
находится в этой точке и в этот момент.
Иными словами Борн и Гейзенберг предполагают существование
частицы и связанной с ней непрерывной волны Ψ, но частица не
имеет ни определённой скорости, ни определённой траектории. Речь
может идти лишь о вероятности нахождения частицы в той или иной
области пространства.
Поток микрочастиц подлетает к экрану со щелью. Пусть экран
перпендикулярен потоку.
Достоверно известно, что перед щелью х-компонента импульса
микрочастицы рx = 0. Здесь скорость частиц перпендикулярна экрану,
т.е. оси x. Погрешность этого сведения Δрx = 0. Однако при этом
совершенно не определена х-координата частицы.
Теперь рассмотрим движение частицы-волны за щелью Δх. За щелью
дифрагировавшие частицы будут отклонены в пределах угла ± φ. Это
максимальный угол, соответствующий дифракционному минимуму
Δx sinφ = λ . Отклонение на угол φ означает, что у микрочастицы
появилась х-компонента импульса
Кроме того, теперь в щели мы можем указать х-координату с
погрешностью Δx . Тогда Δpx = 2πh / Δx или Δp ⋅Δx = 2πh = h .
Последний результат обобщен Гейзенбергом и сформулирован как
один из основных принципов квантовой механики: произведение
неопределенностей значений двух сопряженных переменных не
может быть меньше постоянной Планка h
ΔA⋅ΔB ≥ h
Сопряженными величинами являются координаты и соответствующие
проекции импульса, энергия и время. Произведение неопределенностей
этих величин не может быть меньше по порядку величины постоянной
Планка ħ , т.е.
Последнее соотношение означает, что чем точнее мы хотели бы
измерить энергию частицы, тем большее время займет это измерение.
В классической механике предполагается, что человек может наблюдать явление,
не нарушая его естественного хода. Например, можно наблюдать движение
небесных тел в телескоп, и это никак не отразится на их движении. Астроном
может произвести измерения и составить точное математическое описание
движения объекта. Используя полученные формулы, можно предсказать, куда
движется данный объект и где он будет находиться в любой момент времени.
В микромире дело обстоит иначе. Например, исследуя движение электрона с
помощью микроскопа (если бы такое было возможно), мы бы наблюдали
отраженные от электрона волны света, энергия которых по величине
сопоставима с энергией самих исследуемых частиц. Поэтому при выполнении
измерений нами неизбежно вносились бы изменения в состояние электрона
(местоположение, скорость, направление движения и т.д.). Значит, на основании
наших измерений бессмысленно говорить о точном местоположении электрона
в каждый момент времени.
Принцип неопределённости указывает на то, что частицы могут вести
себя как волны – они как бы "размазаны" в пространстве, поэтому можно
говорить не об их точных координатах, а лишь о вероятности их
обнаружения в определённом пространстве.
Таким образом, квантовая механика фиксирует корпускулярноволновой дуализм – в одних случаях удобнее частицы считать
волнами, в других, наоборот, волны частицами.
С принципом неопределённости поначалу соглашались далеко не все
физики; его всеобщему признанию предшествовала довольно
длительная дискуссия. Осуществлённая Гейзенбергом и развитая Бором
интерпретация квантовой теории получила название копенгагенской.
Шрёдингер полагал, что частицы можно наглядно представлять как
волновые пакеты, должным образом составленные из набора
собственных функций, и, таким образом, полностью отказаться от
корпускулярных представлений.
Невозможность этого обяснялась современными ему учеными: в общем
случае волновые пакеты неизбежно расплываются, что находится в
противоречии с явно корпускулярным поведением частиц в
экспериментах по рассеянию электронов.
Решение проблемы данное Максом Борном, предложившим
вероятностную интерпретацию волновой функции, была для него
абсолютно неприемлема
«Шредингер был, по меньшей мере, столь же, как и Эйнштейн, упрям в своем
консервативном отношении к квантовой механике: ведь он отвергал не только
статистическое ее толкование, но и настаивал на том, что его волновая механика
означает возврат к классическому мышлению. »
М. Борн
Высказывание Шредингера, сделанное им уже в преклонном возрасте – в
1957 году:
«Я хочу ясно сказать, что отныне и впредь беру на себя всю
ответственность за свое упрямство. Я иду против течения, но
направление потока изменится»
Документ
Категория
Презентации по физике
Просмотров
230
Размер файла
706 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа