close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Производная, первообразная

код для вставкиСкачать
.
Производной функции f(x) в точке х=х0
называется отношение приращения
функции в этой точке к приращению
аргумента, при стремлении последнего к
нулю.
f ( x ) f ( x x) f ( x)
x
при x 0
f (x)=(2-√x) tg x
2. f (x)=(x² +5)(x³-2x+2)
3. f (x)=(4-x²)sin x
4. f (x)=sin 3x+cos 5x
5. f (x)=(3-2x³)⁵
1.
f
f
f
f
f
(x)=x²(x-2)²
(x)=sin² x-sin x
(x)=x³-3x²-9x
(x)=1-2sin 2x
(x)=x-ln x
1°. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если
функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:
1) в этой точке имеется касательная к графику функции,
2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, существует предел отношения Δy/Δx. Но отношение Δу/Δx
есть тангенс угла секущей СМ (черт.).
lim tgα = tg(limα)
Δ x→0
Δ x→0
Δy/Δx=tgx
(1)
Значит, согласно условию, существует
Из равенства (1) следует:
α=arctg(Δy/Δx).
Вследствие непрерывности арктангенса, имеем:
Но, по условию, существует и равен числу f '(х). Поэтому
lim α = arctg f’(x).
Δ x→0
Полагая arctg f '(x)=φ, получаем:
lim α = φ.
Δ x→0
lim α = φ.
Δ x→0
Следовательно, существует предел α. Значит, существует прямая, проходящая через точку С,
угол которой с Ох равен Такая прямая есть касательная в данной точке С[х, f(x)] и ее
угловой коэффициент tgφ = f '(x).
2°. Замечания. 1. Угловой коэффициент k прямой y=kx+b называется наклоном
прямой к оси Ох. Наклоном кривой y=f(x) в точке (х1, у1) называется угловой
коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в этой
точке, т. е. tgφ = f '(х1).
2. Если касательная в точке (х1, y1) кривой y=f(x) образует с Ох: а) острый угол φ,
то производная f '(x)>0, так как tgφ >0 (черт.); б) тупой угол φ, то производная f
'(х1)<0, так как tgφ<0 (черт.). Если касательная параллельна оси Оx (черт.), то
угол φ=0, tgφ=0 и f '(х1) = 0.
Когда касательная перпендикулярна оси Ох, то стремление α к π/2 может дать
один и тот же бесконечный предел как «справа», так и «слева»: tgφ= + ∞ (черт.)
пли tgφ=- ∞(черт.), или давать «слева» и «справа» бесконечные пределы
разного знака (на черт. в точке С «слева» tgφ = +∞, а «справа» tgφ= - ∞). В
первом случае, в точках А и В, функция f(x), говорят, имеет бесконечную
производную; во втором случае, в точке С, не существует ни конечной, ни
бесконечной производной.
Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках
непрерывности функции f(x).
3. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее производная в
этой точке конечна. Функция f(x) дифференцируема в промежутке а<х<b, если
ее производная f '(х) конечна в каждой точке промежутка.
4. Кривая, имеющая касательную, иногда расположена по обе стороны
касательной (черт.). В этом случае говорят, что касательная пересекает кривую.
4°. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной,
называется нормалью к кривой. Согласно условию взаимной
перпендикулярности прямых, угловой коэффициент нормали есть -1/f '(x1).
Первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией данной
функции f называют такую F, производная которой (на всей области
определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной
заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс
называется интегрированием.
Для примера: F(x) = x3 / 3 является первообразной f(x) = x2. Так как
производная константы равна нулю, x2 будет иметь бесконечное
количество первообразных; таких как x3 / 3 + 45645 или x3 / 3 − 36 … и т.
д.; таким образом семейство первообразных функции x2 можно обозначить
как F(x) = x3 / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных
смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от
значения C.
Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F —
первообразная интегрируемой функции f, то:
Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют
неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде
интеграла без указания пределов:
Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда
каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда
существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют
постоянной интегрирования.
Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в
виде интеграла от f с переменным верхним пределом:
Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют
первообразную. Например,
с f(0) = 0 не
непрерывна при x = 0,
но имеет первообразную
с F(0) = 0.
Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут
быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены,
экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции,
обратные тригонометрические функции и их комбинации).
Первообразная суммы равна сумме
первообразных
Первообразная произведения константы и
функции равна произведению константы и
первообразной функции
Достаточным условием существования
первообразной у заданной на отрезке функции
f является непрерывность f на этом отрезке
Необходимыми условиями существования
являются принадлежность функции f первому
классу Бэра и выполнение для неё свойства
Дарбу
У заданной на отрезке функции любые две
первообразные отличаются на постоянную.
Неопределенный
интеграл.
Неопределенным интегралом функции f(x)
называется совокупность первообразных
функций, которые определены
соотношением:
F(x) + C.
Определенный интеграл.
Определенным интегралом функции f(x) от
a до b называют разность значений
первообразной этой функции в точках a и
b.
Выполнила: Трунькина Татьяна
Проверила: Дубровская В.М
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
273
Размер файла
135 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа