close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая справка

код для вставкиСкачать
Математическая справка
1. Цилиндрическая и сферическая системы
координат
Системой координат называется совокупность
одной,
двух,
трех
или
более
пересекающихся
координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются,
– начала координат – и единичных отрезков на каждой из
осей.
Каждая точка в системе координат
определяется упорядоченным
набором нескольких чисел –
координат. В конкретной
координатной системе каждой точке
соответствует один и только один
набор координат.
График 1. Декартова система координат.
График 2.
Координаты точки в декартовой
системе координат. Важно отметить,
что порядок записи координат
существенен; так, например, точки
A (–3; 2) и B (2; –3) – это две
совершенно различные точки.
График 3.
Расстояние от точки A (x0; y0) до оси OX равно |y0|.
Расстояние от точки A (x0; y0) до оси OY равно |x0|.
Расстояние от точки A (x0; y0) до начала координат
Расстояние |AB| между точками A (x1; y1) и
B (x2; y2) равно
Полярная и сферическая системы
координат
Для определения координат в декартовой системе координат
используются координатные оси. Однако в ряде случаев удобно в
качестве координат использовать не метрические величины, а
величины других размерностей, например, углы.
График 4. Полярная система
координат
Полярные координаты легко
преобразовать в декартовы.
Сферическая система координат
Закон преобразования координат от декартовых к
сферическим
x sin cos y sin sin z cos 0
0
0
2
Цилиндрическая система координат
Закон преобразования координат
от декартовых к сферическим
x r cos y r sin z z
0 r 0 2 z 2. Элементы векторной алгебры
Рис. 1 Обычный отрезок AB.
Рис. 4. Коллинеарные вектора
Рис. 2 Вектор АВ.
Рис. 3 Вектор а
Рис. 5. Угол между векторами
Плоскость Oxy, точка А1(x1, y1) – начало вектора,
а точка А2(x2, y2) – конец вектора a.
Координатами вектора а называются числа
а 1 x1 x 2 ;
а 2 y1 y 2
а a 1 , a 2 Длина отрезка А1А2 равна а а а
2
1
2
2
Радиус-вектором r(M) точки M (x; y) плоскости
Oxy называется вектор с началом в точке O (0, 0)
и концом в точке M (x; y).
Операции с векторами и их свойства
1. Сумма векторов a и b
Рис. 6. Правило
параллелограмма
Рис. 7. Правило треугольника
Рис. 8. Построение суммы
векторов по правилу треугольника
2. Разностью векторов a и b называется сумма a+(-b): a-b= a+(-b) .
3. Произведение вектора на число
а а 1 , а 2 b b1 , b 2 •
Для любых векторов a, b, c и любых вещественных
1.
чисел , выполняются следующие свойства:
Коммутативность сложения
a b b a
2.
Ассоциативность сложения
3.
Сложение противоположно
ab c a b c
а а
4.
Ассоциативность к числам
5.
Дистрибутивность к умножению
6.
а b a b
Дистрибутивность к умножению
на вектор
a a 0
направленных векторов
на число
a a a
Проекции вектора
Пр l a a cos а i a x ja y ka z
Скалярное произведение
• Скалярным произведением векторов a и b
называется число с, равное
с а b a b cos ii 1
ji ki 0
a b i a x ja y ka z i bx jb y kbz a xbx a yb y a zbz
Векторное произведение
• Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c,
удовлетворяющий условию
a b a b c a b sin а) вектор c ортогонален векторам a и b;
б) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого
сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против
часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются
совмещенными).
i
j
k
a,b b , a
a
\b
i
j
k
i
0
k
-j
а b ax
ay
a z a y b z a z b y , a z b x a x b z , a x b y a y b x j
-k
0
i
bx
by
bz
k
j
-i
0
Смешанное произведение
Смешанное произведение abc
некомпланарных векторов равно
объему
параллелепипеда,
сторонами
которого
служат
векторы a,b,c, взятому со знаком
" +", если векторы образуют
правую тройку, и со знаком "- ",
если - левую.
ab c a b c
Правая тройка
ab c c ab b c a b ac c b a ac b
Левая тройка
Двойное векторное произведение
a , b , c b a , c c , a , b
3. Элементы математического анализа
• Производная. Если f(x) - непрерывная функция одной
переменной, то ее производной называется
f
'
x
df
lim
f x x f x x 0
dx
x
• Частная производная. f(x, y, z) - непрерывная функция
нескольких переменных. Частной производной по одной из
переменных называется: f lim f x x , y , z f x , y , z ;
3 x
3 x
2
2
2y
3
2y
3
x
'
x
'
y
6 x;
f
6y
y
f
z
x 0
lim
y 0
lim
z 0
x
f x, y y, z f x, y, z y
f x, y, z z f x, y, z z
;
.
• Полная производная сложной функции f(x,y,z,t),
где x=x(t), y=y(t), z=z(t),
df
f x f y f z f
t – параметр (время).
dt
x t
y t
z t
t
Правила дифференцирования
u v ' u ' v '
cu ' cu ' , c const
u v ' u ' v '
uv ' u ' v uv '
'
u ' v uv '
u
2
u
v
f u x x
'
f
'
u
u x u ' x Производные элементарных функций
C ' 0
u n '
x
nx
log a u x
'
sin u x
'
cos u x
'
tgu x
'
ctgu x
'
n 1
sin
u ,n R
'
x
u
'
x
, a 0, a 1
u ln a
'
x
2
cos x
arcsin u 'x
arctgu x
'
1 tg u u
2
'
x
arcctgu 'x
2
x
ux
arccos u x
sin u u x
1 u
2
u
'
x
1 u
'
ux
1 u
2
'
1 ctg u u x
'
'
cos u u x
u
'
ux
ux
1 u
2
2
2
'
Неопределенный интеграл
F(x) называется первообразной
функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в
любой точке этого отрезка верно равенство:
F’(x) = f(x).
Первообразных для одной и той же функции может
быть бесконечно много:
F1(x) = F2(x) + C, где С = const.
• Неопределенным интегралом функции f(x)
называется совокупность первообразных функций,
которые определены соотношением: F(x) + C.
•Записывают:
f x dx
F x C
Свойства:
f x dx ' F x C ' 2 .d f x dx f x dx
1.
f x 3 . dF x F x C
4 . u v w dx udx vdx wdx
5 . C f x dx C f x dx
Определенный интеграл
y f x f ~
xi x
~
xi
a
S lim
f ~
x i x i b
b
f x dx
a
b
f x dx
a
F b F a 
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
37
Размер файла
561 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа