close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Презентация

код для вставкиСкачать
Планиметрия
Лекция 9
Теоремы, аксиомы, определения
•
Доказательство – рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство.
•
Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и
требующее доказательства. Теоремы называются также леммами,
свойствами, следствиями, правилами, признаками, утверждениями.
Доказывая теорему, мы основываемся на ранее установленных свойствах;
некоторые их них также являются теоремами. Однако некоторые свойства
рассматриваются в геометрии как основные и принимаются без
доказательств.
•
Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и
принимаемое без доказательства. Аксиомы возникли из опыта, и опыт же
проверяет их истинность в совокупности. Можно построить систему аксиом
различными способами. Однако важно, чтобы принятый набор аксиом был
минимальным и достаточным для доказательства всех остальных
геометрических свойств. Заменяя в этом наборе одну аксиому другой, мы
должны будем доказывать заменённую аксиому, так как она теперь уже не
аксиома, а теорема.
Прямая, луч, отрезок
Мысленно можно неограниченно продолжить прямую
линию в обе стороны. Мы рассматриваем прямую как
бесконечную. Прямая линия, ограниченная с одного
конца и неограниченная с другого, называется лучом.
Часть прямой, ограниченная с двух сторон, называется
отрезком.
Углы
Угол – это геометрическая фигура ( рис.1 ),
образованная двумя лучами OA и OB ( стороны угла ),
исходящими из одной точки O ( вершина угла ).
Прямой, острый, тупой углы
•
Угол в 90° ( рис.2 ) называется прямым; угол, меньший,
чем 90° ( рис.3 ), называется острым; угол, больший,
чем 90° ( рис.4 ), называется тупым.
Перпендикулярные линии
Прямые линии, образующие прямой угол, называются
взаимно перпендикулярными.
Знаки углов
Угол считается положительным, если вращение
выполняется против часовой стрелки, и
отрицательным – в противном случае. Например,
если луч OA смещается к лучу OB,
то AOB = + 90 º ; но на рис.5 AOB = – 90 º .
Смежные углы
•
Смежные углы – это углы AOB и COB, имеющие общую
вершину O и общую сторону OB; две другие стороны
OA и OC являются продолжениями одна другой. Таким
образом, сумма смежных углов равна 180°.
Вертикальные углы
Вертикальные углы– это два угла с общей вершиной,
у которых стороны одного являются продолжениями
сторон другого: AOB и COD ( а также AOC и DOB ) вертикальные углы.
Параллельные прямые
•
•
•
Две прямые AB и CD называются параллельными,
если они лежат в одной плоскости и не пересекаются,
сколько бы их ни продолжать.
Обозначение: AB|| CD.
Все точки одной параллельной прямой находятся на
одинаковом расстоянии от другой параллельной
прямой. Все прямые, параллельные одной прямой,
параллельны между собой.
•
Все перпендикуляры ( AB, CD, EF, рис.12 ) к одной и той же
прямой KM параллельны между собой. Обратно, прямая KM,
перпендикулярная к одной из параллельных прямых,
перпендикулярна и к остальным. Длина отрезка
перпендикуляра, заключённого между двумя параллельными
прямыми, есть расстояние между ними.
При пересечении двух параллельных прямых третьей
прямой, образуются восемь углов, которые попарно
называются:
• 1) соответственные углы ( 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 ); эти
углы попарно равны: ( 1 = 5; 2 = 6; 3 = 7; 4 = 8 );
• 2) внутренние накрест лежащие углы ( 4 и 5; 3 и 6 ); они
попарно равны;
• 3) внешние накрест лежащие углы ( 1 и 8; 2 и 7 ); они
попарно равны;
• 4) внутренние односторонние углы ( 3 и 5; 4 и 6 ); их
сумма равна 180° ( 3 + 5 = 180° ; 4 + 6 = 180° );
• 5) внешние односторонние углы ( 1 и 7; 2 и 8 ); их сумма
равна 180° ( 1 + 7 = 180°; 2 + 8 = 180°).
•
Углы с соответственно параллельными сторонами
либо равны друг другу ( если они оба острые, или оба
тупые, 1 = 2, рис.14 ), либо их сумма равна 180° ( 3 + 4
= 180°, рис.15 ).
•
Углы с соответственно перпендикулярными
сторонами также либо равны друг другу ( если они
оба острые, или оба тупые ), либо их сумма равна
180°.
Теорема Фалеса.
При пересечении сторон угла
параллельными прямыми
стороны угла делятся на
пропорциональные отрезки:
Аксиомы геометрии Евклида
Аксиома принадлежности
Через любые две точки на плоскости можно
провести прямую и притом только одну.
Аксиома порядка
Среди любых трёх точек, лежащих на прямой, есть
не более одной точки, лежащей между двух других.
Аксиома конгруэнтности (равенства)
отрезков и углов
Если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то
они конгруэнтны между собой.
Аксиома параллельных прямых.
Через любую точку, лежащую вне прямой, можно
провести другую прямую, параллельную данной, и
притом только одну.
Аксиома непрерывности (аксиома
Архимеда)
Для любых двух отрезков AB и CD существует
конечный набор точек A1 , A2 ,…, An , лежащих на
прямой AB, таких, что отрезки
AA1 , A1A2 ,…, An – 1 An
конгруэнтны отрезку CD, a точка B лежит между A
и An .
Треугольник
Определение
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами
(или тремя углами). Стороны треугольника
обозначаются часто малыми буквами, которые
соответствуют заглавным буквам, обозначающим
противоположные вершины.
Углы в треугольнике
Если все три угла острые, то это остроугольный
треугольник.
Если один из углов прямой, то это прямоугольный
треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол,
называются катетами; сторона c, противоположная
прямому углу, называется гипотенузой.
Если один из углов тупой, то это тупоугольный
треугольник.
Равнобедренный и равносторонний
треугольник
Треугольник ABC - равнобедренный, если две его
стороны равны ( a = c ); эти равные стороны
называются боковыми, третья сторона называется
основанием треугольника.
Треугольник ABC– равносторонний, если все его
стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a ≠ b ≠ c )
имеем неравносторонний треугольник.
Основные свойства треугольников.
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
3. Сумма углов треугольника равна 180 º .
Из двух последних свойств следует, что каждый угол в
равностороннем треугольнике равен 60 º.
4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем
внешний
угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних
углов,
не смежных с ним: BCD = A + B.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других
сторон и больше
их разности
( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).
Признаки равенства треугольников.
Треугольники равны, если у них соответственно равны:
a) две стороны и угол между ними;
b) два угла и прилегающая к ним сторона;
c) три стороны.
Признаки равенства прямоугольных
треугольников
Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется
одно из следующих условий:
1) равны их катеты;
2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и
гипотенузе другого;
3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны
гипотенузе и острому углу другого;
4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника
равны катету и прилежащему острому углу другого;
5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника
равны катету и противолежащему острому углу другого.
Высота в треугольнике
Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из
любой вершины на противоположную сторону ( или её
продолжение ).
Эта сторона называется основанием треугольника. Три
высоты треугольника всегда пересекаются в одной
точке, называемой ортоцентром треугольника.
Медиана
Медиана – это отрезок, соединяющий любую
вершину треугольника с серединой
противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной
точке O, всегда лежащей внутри треугольника и
являющейся его центром тяжести.
Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1,
считая от вершины.
Биссектриса
•
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от
вершины до точки пересечения с противоположной
стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE,
CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда
лежащей внутри треугольника и являющейся
центром вписанного круга
Биссектриса делит противоположную сторону на
части, пропорциональные прилегающим сторонам;
например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .
Срединный перпендикуляр
•
Срединный перпендикуляр – это
перпендикуляр, проведенный из
средней точки отрезка (стороны).
Три срединных перпендикуляра
треугольника АВС ( KO, MO, NO,
рис.30 ) пересекаются в одной
точке О, являющейся центром
описанного круга ( точки K, M, N –
середины сторон треугольника ABC
).
Теорема Пифагора
В прямоугольном
треугольнике квадрат
длины гипотенузы равен
сумме квадратов длин
катетов.
c2= a2+b2
Параллелограмм и трапеция
Определение
Параллелограмм ( ABCD, рис.32 ) – это
четырёхугольник, противоположные стороны которого
попарно параллельны.
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма равны (
AB = CD, AD = BC ).
2. Противоположные углы параллелограмма равны
3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их
пересечения пополам ( AO = OC, BO = OD ).
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов его четырёх сторон:
AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²
Признаки параллелограмма
Четырёхугольник является параллелограммом, если
выполняется одно из следующих условий:
1. Противоположные стороны попарно равны ( AB = CD, AD =
BC ).
2. Противоположные углы попарно равны.
3. Две противоположные стороны равны и параллельны (
AB = CD, AB || CD ).
4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам (AO =
OC, BO = OD ).
Прямоугольник
Если один из углов параллелограмма прямой, то все
остальные углы также прямые. Такой параллелограмм
называется прямоугольником ( рис.33 ) .
Основные свойства прямоугольника
1.
Стороны прямоугольника являются одновременно
его высотами.
2.
Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.
3.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме
квадратов его сторон:
AC 2 = AD 2 + DC 2
Ромб
Если все стороны параллелограмма равны, то этот
параллелограмм называется ромбом.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят их углы пополам.
Квадрат
Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и
равными сторонами ( рис.35 ). Квадрат является
частным случаем прямоугольника и ромба
одновременно; поэтому он обладает всеми их
вышеперечисленными свойствами.
Трапеция и параллелограмм
Трапеция - это четырёхугольник, у которого две
противоположные стороны параллельны
Параллелограмм может рассматриваться как частный
случай трапеции.
Средняя линия
Средняя линия треугольника – это
отрезок, соединяющий средние точки боковых
сторон треугольника. Средняя линия треугольника
равна половине его основания и параллельна ему.
Подобие плоских фигур. Признаки
подобия треугольников
Определение
Если изменить ( увеличить или уменьшить ) все
размеры плоской фигуры в одно и то же число раз (
отношение подобия ), то старая и новая фигуры
называются подобными.
Признаки подобия треугольников
Два треугольника подобны, если:
1) все их соответственные углы равны (достаточно
равенства двух углов);
2) все их стороны пропорциональны;
3) две стороны одного треугольника пропорциональны
двум сторонам другого, a углы, заключённые
между этими сторонами, равны.
Подобие прямоугольных треугольников
Два прямоугольных треугольника подобны, если:
1) их катеты пропорциональны;
2) катет и гипотенуза одного треугольника
пропорциональны катету и гипотенузе другого;
3) два угла одного треугольника равны двум углам
другого.
Площади подобных фигур
Площади подобных фигур пропорциональны
квадратам их сходственных линий ( например,
сторон ).
Так, площади кругов пропорциональны отношению
квадратов их диаметров ( или радиусов ).
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
163
Размер файла
614 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа