close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ft1-pasternak-dzeta

код для вставкиСкачать
WydziaЕ‚ Fizyk i Informatyki Stosowanej
Funkcja пЃє Riemanna
Dariusz Pasternak
Plan Prezentacji
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Opis funkcji пЃє(s)
ZbieЕјnoЕ›Д‡ szeregu
PrzedЕ‚uЕјenie analityczne funkcji пЃє(s)
Równość Eulera – dowód
ZaleЕјnoЕ›Д‡ pomiД™dzy пЃє(s) a пЃ‡(s)
PowiД…zanie funkcji пЃє(s) z FunkcjД… пЃђ (x)
Funkcja Li(x)
Liczby Pierwsze a analiza zespolona
Opis funkcji пЃє(s)
Funkcja dzeta Riemana okreЕ›lona jest wzorem:
п‚Ґ
1
 (s)= s
n|1 n
Dla re s > 1
ZbieЕјnoЕ›Д‡ szeregu
п‚Ґ
1
1 1 1
пЃє (s)= пЃ“ s пЂЅ 1пЂ« s пЂ« s пЂ« s пЂ« ...
n=1 n
2 3 4
| nпЂ­s |пЂЅ nпЂ­пЃі
re s > 1
Dla s пЂЅ пЃі пЂ« it mamy
. A stД…d wynika, Ејe
szereg ten jest zbieЕјny jednostajnie w kaЕјdym
podzbiorze zwartym tej pЕ‚aszczyzny i funkcja пЃє jest
holomorficzna.
PrzedЕ‚uЕјenie analityczne
O funkcji пЃє(s) Riemanna dowodzi siД™ Ејe:
1. Jest ona przedЕ‚uЕјalna analitycznie na caЕ‚ej
pЕ‚aszczyЕєnie otwartej bez punktu s=1 i w punkcie
s=1 ma biegun o czД™Е›ci gЕ‚Гіwnej 1/(z-1).
2. W pГіЕ‚pЕ‚aszczyЕєnie re s > 1 funkcja пЃє(s) jest rГіЕјna od
zera, w pГіЕ‚pЕ‚aszczyЕєnie re s < 0 ma zera jednokrotne
a w pasie [0;1] ma nieskoЕ„czenie wiele zer.
PrzedЕ‚uЕјenie analityczne
Rozszerzenie funkcji dzeta
definiujemy jako:
1
1
k пѓ¦ nпѓ¶
пЂ­s
пЃє ( s) пЂЅ
(пЂ­1) пѓ§ пѓ· (k пЂ«1)
1s  n1 
1 пЂ­ 2 n|0 2 k|0
пѓЁk пѓё
п‚Ґ
п‚Ґ
Iloczyn Eulera
Prawdziwa jest nastД™pujД…ca toЕјsamoЕ›Д‡, gdzie w
iloczynie wystД™pujД… wszystkie liczby piewsze:
пѓ¦
1
1пѓ¶
пЂЅ пѓ•пѓ§1пЂ­ s пѓ·
пЃє (s) p пѓЁ p пѓё
DowГіd
ZaЕ‚ГіЕјmy Ејe przemnoЕјymy funkcjД™ пЃє(s)
w nastД™pujД…cy sposГіb:
1 1 1 1
пЃє (s) s пЂЅ s пЂ« s пЂ« s пЂ« ...
2 2 4 6
nastД™pnie
1 1
пѓ¦ 1пѓ¶
пЃє (s) пѓ§1 пЂ­ s пѓ· пЂЅ 1 пЂ« s пЂ« s пЂ« ...
3 5
пѓЁ 2 пѓё
DowГіd
Podobnie raz jeszcze
пЃє (s) пѓ¦пѓ§1 пЂ­
пѓЁ
1 пѓ¶пѓ¦ 1 пѓ¶
1 1 1
1
пЂ­
пЂЅ
1
пЂ«
пЂ« s пЂ« s ...
s пѓ·пѓ§
s пѓ·
s
2 пѓёпѓЁ 3 пѓё
5 7 11
Bardziej ogГіlnie
1 пѓ¶
1
пѓ¦ 1 пѓ¶пѓ¦ 1 пѓ¶ пѓ¦
пЃє (s) пѓ§1 пЂ­ s пѓ·пѓ§1 пЂ­ s пѓ· ...пѓ§1 пЂ­ s пѓ· пЂЅ 1 пЂ« s пЂ« ...
pN пЂ«1
пѓЁ 2 пѓёпѓЁ 3 пѓё пѓЁ pN пѓё
DowГіd
W zwiД…zku z tym Ејe rozkЕ‚ad przybiera takД… formД™
możemy kontynuować procedurę ostatecznie
otrzymujД…c wzГіr na Iloczyn Eulera:
пѓ¦
1пѓ¶
пЃє (s)пѓ•пѓ§1пЂ­ s пѓ· пЂЅ 1
p пѓё
p пѓЁ
ZaleЕјnoЕ›Д‡ pomiД™dzy пЃє(s) a пЃ‡(s)
п‚Ґ
пЃ‡(s) пЂЅ пѓІ x e dx
s пЂ­1 пЂ­ x
0
podstawiamy x=nt
пЃ‡(s) пЂЅ n
s
пѓІ
п‚Ґ s пЂ­1 пЂ­ nt
0
t e dx
korzystajД…c z identycznoЕ›ci
k
пЂ­ nt
e

n|1
пЂ­ kt
пЂ­ kt
пѓ¦
пѓ¶
1
пЂ­
e
1
пЂ­
e
пЂЅ eпЂ­t пѓ§
пЂЅ t
пЂ­t пѓ·
пѓЁ 1 пЂ­ e пѓё e пЂ­1
re s > 0
ZaleЕјnoЕ›Д‡ pomiД™dzy пЃє(s) a пЃ‡(s)
Otrzymujemy
1
1 п‚Ґ eпЂ­kt sпЂ­1
пЂЅ
t dt

s
t
пѓІ
пЃ‡(s) 0 e пЂ­1
n|1 n
k
dla re s > 1, k dodatnich
1
1 п‚Ґ t sпЂ­1
1 п‚Ґ eпЂ­kt sпЂ­1
пЂЅ
dt пЂ­
t dt

s
t
t
пѓІ
пѓІ
пЃ‡(s) 0 e пЂ­1
пЃ‡(s) 0 e пЂ­1
n|1 n
k
ZaleЕјnoЕ›Д‡ pomiД™dzy пЃє(s) a пЃ‡(s)
PoniewaЕј obie czД™Е›ci sД… zbieЕјne wykaЕјe Ејe drugi czЕ‚on
dД…Ејy do 0 gdy k dД…Ејy do nieskoЕ„czonoЕ›ci
пѓІ
п‚Ґ
0
пЂ­ kt
п‚Ґ e
eпЂ­kt s пЂ­1
пЃі пЂ­1
t dt п‚Ј пѓІ t t dt
t
0 e пЂ­1
e пЂ­1
przyjmijmy пЃҐ > 0, oraz takie пЃ¤ Ејe:
пѓІ
пЃ¤
0
пЂ­kt
пЃ¤
пЃі пЂ­1
e
t
пЃі пЂ­1
t dt п‚Ј пѓІ t dt пЂј пЃҐ
t
0 e пЂ­1
e пЂ­1
ZaleЕјnoЕ›Д‡ pomiД™dzy пЃє(s) a пЃ‡(s)
nastД™pnie dobieramy takie duЕјe k aby:
п‚Ґ
пѓІпЃ¤
пЂ­ kt
п‚Ґ
пЃі пЂ­1
e
t
пЃі пЂ­1
пЂ­ kпЃ¤
t dt п‚Ј e пѓІ t dt пЂј пЃҐ
t
пЃ¤ e пЂ­1
e пЂ­1
w rezultacie otrzymujemy:
п‚Ґ
п‚Ґ
s пЂ­1
1
1
t
 ( s)   s 
dt
t
пѓІ
пЃ‡(s) 0 e пЂ­1
n|1 n
PowiД…zanie funkcji пЃє(s) z FunkcjД…
пЃђ (x)
PowiД…zanie funkcji пЃє(s) z FunkcjД…
пЃђ (x)
Funkcja Li(x) (logarytm caЕ‚kowy)
Li( x) пЂЅ пѓІ
x
2
dt
log t
Funkcja Li(x) okazaЕ‚a siД™ niezwykle przydatna przy
szacowaniu liczby liczb pierwszych.
Jest dokЕ‚adniejsza niЕј zaproponowanie przez Gausa
zaleЕјnoЕ›Д‡:
n
пЃ° (n)
log n
Wykresy funkcji
Wykresy funkcji
Wykresy funkcji
Liczby Pierwsze a analiza
zespolona
Twierdzenie o liczbach pierwszych
пЃ° (n)
lim n
nп‚®п‚Ґ
log n
Tw.
1
p p  
пЂЅ1
Literatura
1. F.Leja „Funkcje Zespolone”
2. S.Ponnusamy, Herb Silverman „Complex Variables with
Aplications”
3. Funkcja Dzeta Riemana, Praca Riemana z 1859r.
4. http://students.mimuw.edu.pl/~pta/riemann/riemann.pdf
5. http://www-users.mat.uni.torun.pl/~philip/prime.html
DziД™kujД™
Dariusz Pasternak
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
6
Размер файла
685 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа