close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Договоры и коалиционное доминирование в неполных рынках

код для вставкиСкачать
Договоры и коалиционное
доминирование в неполных
рынках
В. М. Маракулин
Научный доклад № 02/04
Проект (R01-1091) реализован при поддержке
Российской программы экономических исследований
Доклад публикуется в рамках направления
Предприятия и рынки
c Российская программа экономических исследований 2002
c В. М. Маракулин 2002
JEL Classification: C 62, D 51
МАРАКУЛИН В.М. Договоры и коалиционное доминирование в
неполных рынках. — М.: РПЭИ, 2003. — 114 с.
В работе предлагается и изучается концепция доминирования, основанная на
понятии менового контракта (договора). Классическое понятие коалиционного доминирования переносится на системы (сети) договоров и, тем самым, на
отвечающие им договорные распределения (состояния), чьи свойства стабильности исследуются. Предложенное понятие ядра в неполном рынке описывается как совокупность распределений, реализуемых сетями контрактов, обладающих особым типом устойчивости при разрыве имеющихся и заключении
новых контрактов. Показано, что в случае полноты рынка введённое понятие
совпадает с классическим. Доказано, что в условиях совершенной конкуренции ядро неполного рынка совпадает с множеством равновесных распределений. Эти свойства обосновывают корректность введённого понятия ядра.
Ключевые слова и фразы: экономика обмена, контракт, равновесие, ядро,
неполный рынок.
Благодарности. Автор признателен экспертам РПЭИ, особенно Ричарду
Эриксону, за плодотворные обсуждения и предложения, указание на источники литературы и глубокое понимание проблематики.
Валерий Михайлович Маракулин
Институт математики им. Соболева, Сибирское отделение РАН
630090 Новосибирск, проспект академика Коптюга, 4.
Тел.: (3832) 33 26 83
Факс: (3832) 33 25 98
E-mail: marakul@math.nsc.ru
————————————————————————————————–
Формат 60 × 90/16. Объём 7,25 п.л. Тираж 500 экз.
Отпечатано в ОАО “Экос”.
117209, Москва, ул. Зюзинская, 6, корп. 2. Тел.: (095) 332 35 36.
Оглавление
Введение
4
1 Абстрактная экономика договоров
9
1.1 Модель договорной экономики обмена . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Базисные понятия теории договоров . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Договоры в стандартной экономике обмена . . . . . . . . . . . . 25
2 Неполные рынки как договорная экономика
47
2.1 Модель неполного рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Договорной подход в неполных рынках . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Заключение
89
Литература
96
3
Введение
Одна из основных целей экономической теории и её составной части — теории
общего равновесия — состоит в том, чтобы описать распределение ресурсов,
реализуемые через систему рынков. В исходном классическом варианте (неявно) предполагается, что вся экономическая жизнь протекает как бы в отдельно
взятом временном периоде, в котором физические параметры остаются (болееменее) неизменными, агенты обладают достаточно полной информацией о значении экономических переменных для принятия собственных рациональных
решений, сделки осуществляются за бесконечно малое время и т. д. О такого рода постановках принято говорить, что это полный рынок, описываемый
классической теорией распределения ресурсов, представленный в наиболее законченном виде теорией (моделью) Эрроу–Дебре. Однако в мире реальной
экономики индивидуумам приходится принимать решения в условиях неопределённости, обусловленной как неполнотой информации так и объективной
неопределённостью будущего. В результате в современной экономике наряду
с рынками обычных продуктов можно наблюдать сложившиеся рынки специфических финансовых инструментов, называемых активами (assets). Функционирование этих рынков нацеленно именно на разрешение задач, связанных
с неопределённостью будущих событий. Примерами рынков этого типа могут
служить страховой бизнес, рынки фьючерсных контрактов, торговля опционами1 разного типа и т. д. Данная проблема, связанная с неопределённостью
будущего, понималась и классиками экономической теории (см. обзор Radner
(1982)), но привлекла особо пристальное внимание экономистов к началу 80-х
годов 20 века, когда классическая теория Эрроу–Дебре исчерпала возможности дальнейшего развития. Результатом проведённых исследований явилось
построение, в расширенных структурных рамках модели Эрроу–Дебре, теории неполных рынков (см. Geanakoplos, J. (1990), Magill and Shafer (1991)).
Термин неполный здесь аппелирует к тому обстоятельству, что потенциально
бесконечное многообразие возможных реализаций будущего (событий) заведомо шире множества придуманных людьми “страховочных вариантов”, выраженных в форме финансовых активов. Таким образом, теория неполных
рынков моделирует экономические обстоятельства, в которых экономические
агенты живут и функционируют в рамках ограничений, предопределенных
возможными различиями во временных моментах появления товаров на рын1
Это торговля правом на будущую необязательную сделку, где — “call” — на покупку и
“put” — на продажу какого-нибудь продукта.
4
Введение
5
ке и объективно обусловленной неопределённостью будущего по отношению к
настоящему. При этом из многообразия способов моделировать неопределённость и время эта теория выбирает те из них, которые в наибольшей степени
отражают специфические финансовые черты, присущие реально существующим рыночным экономикам, покрывая одновременно классическую теорию
распределения ресурсов. Тем не менее в современном варианте теория неполных рынков содержит весьма существенный пробел, состоящий в отсутствии
удовлетворительной концепции коалиционного доминирования (распределений ресурсов) и, как следствие, — сколь-нибудь приемлемой концепции ядра.
Действительно, в классической постановке концепция конкурентного равновесия получает существенную поддержку в виде того (стабилизирующего) фактора, что никакая группа агентов (коалиция) не имеет стимулов к образованию автономной подэкономики (говорят, что равновесное распределение принадлежит ядру — т. е. не доминируется никакой коалицией). Более того, в
условиях совершенной конкуренции каждое распределение из ядра допускает
ценовую децентрализацию, — т. е. является равновесным распределением (это
известная гипотеза Эджворта). Таким образом, в идеальном мире экономики Эрроу–Дебре конкурентное равновесие, изначально определённое в сугубо
дескриптивных категориях, получает нормативное обоснование как идеально
стабильное (устойчивое в указанном смысле) распределение. Представляется,
что и в неполных рынках должна быть подобная ситуация с ядром и равновесием. Более того, прояснение данного теоретического вопроса позволит
лучше понять какого рода (коалиционной) стабильностью обладают реально
наблюдаемые финансовые рынки и что препятствует их стабилизации. В дальнейшей перспективе полученный ответ возможно прояснит ту роль, которую
может играть государство (регулирующий орган) для достижения стабильности финансовых рынков, что в практическом плане может быть важным для
ещё только формирующихся рынков, для стран с переходной экономикой, чьё
исходное состояние далеко от равновесного.
Основная теоретическая цель настоящей работы состоит в том чтобы предложить и исследовать концепцию ядра в модели неполного (финансового)
рынка — трудного вопроса экономической теории, который пока ещё не нашёл
своего удовлетворительного решения. По твёрдому мнению автора “правильная” концепция ядра должна наследовать основные свойства классических
рынков и удовлетворять двум безусловным требованиям:
• пусть модель экономики описана в терминах неполного рынка, но при этом
является полной — математически эквивалентна классической модели чистого
обмена, в которой равновесные распределения отвечают финансовым равновесиям — формально это ситуация, в которой матрица финансовых отдач от
активов имеет ранг равный числу спотовых рынков в будущем. Тогда к модели применима как классическая концепция ядра, так и понятие ядра в неполном рынке. В таком случае множество распределений из ядра, отвечающего
неполному рынку, должно совпадать с распределениями из ядра стандартной
экономики обмена.
6
Введение
• в условиях совершенной конкуренции ядро и равновесие в неполных рынках должны совпадать — в обычных рынках это совпадение равновесий по
Эджворту (распределения из ядра в каждой из реплик исходной модели) и
обычных рыночных равновесий.
Таким образом, мы принимаем указанные свойства как (основной) критерий корректности понятия ядра и коалиционного доминирования в финансовых рынках.
В основу понятия доминирования и отвечающей ему концепции ядра предлагается положить формально-математическое понятие контракта (договора).
Идея договора (контракта) принадлежит В. Макарову (1980), (1982). Для
экономики обмена любой договор это просто допустимый обмен продуктами среди потребителей. Договора можно складывать и любому (конечному)
множеству договоров можно сопоставить итоговое распределение продуктов
среди экономических агентов — как результат суммирования дoгoвoрoв и “начальнoгo” распределения. Причем предполагается, что достижимые множества (допустимых) договоров — назовём их “сетями контрактов” — могут
изменятся в течении экономической жизни. Любой экономический агент или
их коалиция может разрывать контракты в которых он участвует, а коалиция агентов может также заключать новые контракты. В рамках стандартной
экономики чистого обмена данный подход получил своё развитие в работах А.
Козырева (1981), (1982), который в частности предложил частично разрывать
контракты, и В. Васильева (1984). В этих работах были получены первые позитивные результаты о совпадении (при некоторых технических предположениях) равновесных с так называемыми “вполне договорными”, или “правильно
договорными” распределениями2 — это распределения, которые можно реализовать системами договоров, устойчивыми в отношении (одновременной) процедуры их частичного разрыва и заключения новых договоров. В то же время
распределения из ядра получили описание в терминах (просто) “договорного”
состояния, — это такие состояния, которые можно реализовать системой договоров, устойчивой в отношении (одновременной) процедуры их разрыва и заключения новых договоров. Таким образом, различие между двумя понятиями договорного распределения сводится к тому, что в первом случае допустим
частичный разрыв контрактов, а во втором их можно рвать только целиком.
При этом равновесие получает описание в чисто теоретико-игровых терминах, не аппелирующих к каким-либо стоимостным параметрам (механизму).
Математическая природа этого феномена та же, что при совпадении равновесий с элементами нечёткого ядра экономики (или равновесий Эджворта), что
является одним из допустимых (и математически эквивалентных) способов
моделирования условий совершенной конкуренции.
В анализе современных моделей экономики договорной подход имеет, по
твёрдому мнению автора, ряд серьёзных преимуществ по сравнению с классическим. Прежде всего, этот подход обеспечивает более чёткий и ясный язык,
избавленный от частной специфики конкретной модели. На языке договоров
2
В настоящей работе терминология изменена.
Введение
7
легче выразить, как в содержательных, так и формально-математических терминах, идеи, работающие в громоздких конструкциях современных моделей.
Действительно, пестрота модельного ряда3 и трудности анализа многих моделей обусловлены как объективной сложностью объекта исследования (экономики), так и, с другой стороны, отсутствием унифицированного в достаточной
мере инструментария исследования. Последнее влечёт множественность концепций решения, отраженную в первую очередь в понятии (коалиционного)
доминирования и, вытекающего из него, понятия ядра экономики. Причина
этого кроется в том, что, следуя классической традиции, основное внимание
концентрируется на анализе итогового распределения ресурсов. Тот факт, что
в реальной экономической системе это распределение является итогом множества сделок обмена между группами экономических агентов (коалициями)
обычно остаётся без внимания. Причём не каждая сделка (обмен) осуществима в реальной экономике, чему может быть множество причин, выраженных
на институциональном, физическом, информационном и проч. уровнях (этическом, поведенческом). Мы считаем, что фокус теории должен быть скорректирован и сконцентрирован собственно на сделках по обмену продуктами —
контрактах или договорах, — которые и должны составлять элементную базу
(primitives) теоретических построений (наряду с другими элементами модели),
т. е. мы считаем, что контракт по обмену товарами должен стать основным
модельным инструментом. Используя договорной подход можно дать более
ясное описание процесса перехода к стабильному (не доминируемому) распределению ресурсов (из ядра), он гораздо ближе к интуитивному представлению
о реальных процессах формирования цен и объёмов потребляемых ресурсов,
что, в частности, обеспечивает ещё один “мостик” между кооперативными и
индивидуалистическими представлениями о поведении экономических агентов. С математической точки зрения договорной подход добавляет к анализу
двойственных переменных (цен) анализ прямых переменных — сделок по обмену. Последнее, будучи слабо изученным ранее, и позволяет, в частности,
получать новые интересные результаты. Мы надеемся, что этот подход, как
дополняющий классический, поможет в будущем прояснить и разрешить многие трудные вопросы экономической теории, появляющиеся при анализе несовершенных рынков.
В работе развивается теория договоров, элементы которой были заложены в упомянутых выше работах Макарова (1980), (1982) и Козырева (1981),
(1982), сначала в рамках абстрактной модели экономики4 , а затем применительно к обычным и неполным рынкам. Рассматриваются и изучаются формальные правила оперирования с множествами допустимых договоров. Показано, что при этом разным правилам оперирования с сетями договоров мо3
В современной экономической теории имеется уже достаточно широкий спектр моделей
несовершенных рынков; помимо модели неполного рынка, в этом ряду находятся также
рынки с ассиметрией в информированности экономических агентов (о будущих состояниях
мира и др.), секвенциональные рынки (учтён в наиболее специфической форме фактор
времени и доверия) и проч., см. список литературы.
4
Эта часть исследования была опубликована в Маракулин (2002).
8
Введение
гут отвечать различные типы стабильности сетей и реализуемых ими распределений. Виды этих “стабильностей”, совместно со свойством допустимости
контрактов из данной сети, отражают различные поведенческие, физические
и институциональные принципы, формально заданные в теоретико-игровой
форме, которые имеются в реальной жизни и неоклассической экономической
теории. Различным видам стабильности соответствуют разные виды договорного или контрактного распределения, а также их модификации, которые могут ослабить или усилить эту стабильность. Используя договорные распределения того или иного типа и с учётом структуры допустимых контрактов
можно описать многие хорошо известные в экономической теории понятия —
такие как ядро, конкурентное равновесие, границу Парето и т. д. — в терминах
стабильных сетей контрактов.
В рамках модели неполного рынка с помощью этого подхода дано описание финансового равновесия (см. определение в основном тексте). Важным
для этого является тот факт, что содержательно в неполном рынке не всякий
обмен продуктами может быть реализован, т. е. не всякий контракт является допустимым. Например, невозможен прямой обмен продуктами между
разными состояниями мира (возможно ли представить себе договор по обмену продуктами между разными событиями из будущего, при том, что только
одно из них — или никакое — может фактически реализоваться?). Но некоторые из этих обменов можно реализовать с использованием активов (assets) —
финансовых инструментов особого рода, наличие которых, (наряду с множественностью сoбытий), и характеризует в наиболее специфической форме
неполный рынок — ибо торговля или обмен по этим “стандартным контрактам” происходит в одном состоянии природы — “настоящем”. Таким образом,
в контексте неполного рынка логично предполагать, что допустимы только
те контракты, которые заключены в каком-либо (фиксированном) состоянии
мира. Следовательно, новый контракт, который коалиция намерена заключить, должен отвечать единственному событию — настоящему или одному из
событий будущего. Агенты могут также частично или полностью разрывать
контракты в настоящем и разрывать каждый (возможно даже в некотором
смысле эквивалентный) контракт в любом из будущих состояний мира. Если
нет такой коалиции, что относительно этих процедур (рассмотренных в одновременном или раздельном режиме) члены коалиции могут увеличить свою
полезность, то с учётом разных возможностей можно получать разного рода
договорные распределения, которые можно условиться называть сложно договорными. На этом пути даётся описание не только финансового равновесия,
но и идентифицируется тип сложно договорных распределений, которые и
можно принять в качестве распределений из ядра экономики неполного рынка. Можно проследить аналогию между ядром и равновесиями, как только
они определены в терминах контрактов, аналогию между случаем стандартной экономики чистого обмена и неполным рынком. Более того, это не просто
аналогия, но в результате это будет означать, что в условиях совершенной
конкуренции ядро и равновесие неполного рынка совпадают.
Глава 1
Абстрактная экономика договоров
1.1
Модель договорной экономики обмена
Рассмотрим обычную модель экономики обмена (нет производства). В этой
модели E обозначает (конечномерное) пространство продуктов и имеется
(конечное) множество агентов (торговцев или потребителей) I = {1, . . . , n}.
Потребитель i ∈ I стандартным образом характеризуется собственным потребительским множеством Xi ⊂ E, вектором исходных запасов ωi ∈ E и
отношением предпочтения, описанным как точечно-множественное отображение Pi : Xi ⇒ Xi , где множество Pi (xi ) содержательно означает совокупность
всех потребительских наборов, строго предпочитаемых агентом i набору xi .
Будет использоваться также обозначение yi i xi , которое по определению
эквивалентно yi ∈ Pi (xi ). Таким образом, экономика чистого обмена может
быть представлена в виде тройки
E = I, E, (Xi , Pi , ωi )i∈I .
В дальнейшем всегда предполагается, что модель E удовлетворяет следующему предположению (A).
Обозначим символом ω = (ωi )i∈I вектор исходных запасов (всех) торговцев
рассматриваемой модели, положим X = i∈I Xi и определим
A(X ) = {x ∈ X |
xi =
i∈I
ωi }
i∈I
— это множество всех достижимых распределений (состояний) модели E, а
pr|X A(X ) — его проекция на Xi , i ∈ I.
i
(A) Для каждого i ∈ I: множество Xi выпукло и замкнуто, ωi ∈ Xi и
для каждого xi ∈ pr|X A(X ) существует открытое выпуклое Gi ⊂ E, такое,
i
что Pi (xi ) = Gi ∩ Xi и xi ∈ Pi (xi ) \ Pi (xi ).1
1
Символом A обозначено замыкание множества A, а \ означает теоретикомножественную разность.
9
10
Глава 1. Абстрактная экономика договоров
Пусть L = E I обозначает пространство состояний экономики E. В рамках
модели E можно рассмотреть формальный механизм заключения, разрыва
и перезаключения договоров (который можно назвать договорным механизмом). Этот механизм отражает идею того, что (любая) группа агентов способна реализовывать (допустимые) обмены продуктами между членами этой
группы (коалиции), которые называются контрактами, и определяет правила
оперирования с их множествами (договоров).
Формально любое перераспределение продуктов v = (vi )i∈I ∈ L, где vi ∈ E,
i ∈ I, т. е. любой вектор v ∈ L, удовлетворяющий i∈I vi = 0, называется
контрактом.
Однако не всякое перераспределение можно реализовать в экономике —
существуют институциональные, физические и поведенческие ограничения в
моделях экономики разного вида. По этой причине абстрактная модель договорной экономики, в дополнение к стандартной структуре экономики обмена,
оснащается также новым элементом — множеством допустимых (разрешённых) договоров W ⊂ L. Таким образом, договорная экономика (обмена) может
быть в краткой форме описана как четвёрка
E c = I, E, W, (Xi , Pi , ωi )i∈I .
Дополнительно к предположению (A) для модели договорной экономики в
общем случае постулируется, что
(C) Множество W является звёздным в нуле в L, т. е.
v ∈ W =⇒ λv ∈ W
∀ 0 ≤ λ ≤ 1.
Назовём модель E c , а также экономику E гладкой если для каждого i ∈ I
Pi (xi ) = {y ∈ Xi | ui (y) > ui (xi )}
∀ xi ∈ Xi
для некоторой дифференцируемой функции ui , определённой на (некоторой)
открытой окрестности множества Xi .
1.2
Базисные понятия теории договоров
В рамках договорной экономики нас могут интересовать только такие множества контрактов, которые реализуют достижимые распределения и которые
допускают такой вид операций с этим множеством как разрыв части (возможно любой) договоров. Сказанное мотивирует следующее важное определение.
Конечная совокупность V допустимых контрактов называется сетью контрактов относительно y ∈ X если
y+
v∈X
v∈U
∀ U ⊂ V.
1.2. Базисные понятия теории договоров
11
Символом xy (U ) обозначено достижимое распределение, которое реализует
сеть договоров U относительно y, т. е. полагаем
xy (U ) := y +
v.
v∈U
Соответственно, Vy (x) обозначает некоторую сеть, реализующую x относительно y, т. е.
x = xy (Vy (x)) ⇐⇒ x = y +
v.
v∈Vy (x)
Сеть контрактов V относительно ω называется сетью контрактов или просто
сетью. Заметьте, что V = ∅ является сетью относительно любого y ∈ A(X ).
Введём также обозначение
∆(V ) =
v
=⇒
xy (V ) = y + ∆(V ), x(V ) = xω (V ) = ω + ∆(V ),
v∈V
где V — произвольная совокупность контрактов (по соглашению ∆(∅) = 02 ).
В таком случае тот факт, что V является сетью договоров, просто означает,
что
xω (U ) ∈ X ∀ U ⊂ V.
Далее введём операции разрыва существующих и заключения новых договоров. Для любого контракта v ∈ V положим
S(v) = supp(v) = {i ∈ I | vi = 0},
— это носитель контракта v. Предполагается, что любой контракт v ∈ V может быть разорван (исключён из сети) любым торговцем из S(v), ибо он может
просто не выполнить своих обязательств. Кроме того, любая непустая группа (коалиция) потребителей может заключить (подписать) несколько новых
контрактов. Будучи рассмотрены совместно, т. е. как одновременная процедура, эти операции позволяют коалиции T ⊂ I создавать новые сети контрактов. Условимся обозначать множество всех таких сетей символом F (V, T ).
При этом с формальной точки зрения постулируется, что каждый элемент
U ∈ F (V, T ) удовлетворяет следующим требованиям:
(i)
v ∈ V \ U ⇒ S(v) ∩ T = ∅,
(ii)
v ∈ U \ V ⇒ S(v) ⊂ T ,
(iii)
v∈U \V
λv v ∈ W
для всех 0 ≤ λv ≤ 1, v ∈ U \ V .
Условие (i) означает, что только члены T способны разрывать контракты из
V , условие (ii), — что только члены T могут подписывать новые контракты,
2
Чтобы не загромождать изложение малозначимыми формализмами, проще всего договориться об отождествлении сети V = {0} с сетью, заданной пустым множеством.
12
Глава 1. Абстрактная экономика договоров
(iii) является видом совместной допустимости новых договоров, что будет полезным в приложениях договорной экономики, роль этого условия будет ясна
позже. Последнее требование можно также понимать как допущение возможности коалиции заключать единственный новый договор.
Заметьте, что в силу изложенных требований и по определению сети договоров (контрактов), коалиция может рвать любые подмножества договоров
данной сети, лишь бы было выполнено требование (i). В противном случае —
имея дело с произвольными наборами договоров — коалиция должна была бы
учитывать возможность реализации недопустимого распределения, что инициирует разрыв других договоров не-членами коалиции. Тем самым последствия разрыва становятся плохо предсказуемыми, и, главное, неоднозначно
прогнозируемыми для членов коалиции, что приводит к определённым концептуальным затруднениям.
Далее распространим понятие доминирования по коалиции на сети договоров. Это свойство, будучи записанно как U V (читается: U доминирует V
T
по коалиции T ), означает, что
(i)
U ∈ F (V, T ),
(ii)
xi (U )
i
xi (V ) для всех i ∈ T .
Заметьте, что доминирование по коалиции может быть усиленно, если в (i) для
каждого u ∈ U дополнительно потребовать, чтобы [S(u) ⊂ T или S(u) ⊂ I \T ].
Последнее вполне согласуется с идеей, что члены коалиции T намерены отделится от прочих агентов и, следовательно, должны разорвать все ненулевые
контракты с агентами из I \ T . Ясно, что будучи принята, эта последняя модификация расширяет множество недоминируемых сетей и распределений и
ослабляет их свойства стабильности.
Определение 1.1 Сеть контрактов V называется стабильной, если не существует сети U и такой коалиции T ⊂ I, T = ∅, что U V .
T
Распределение x называется договорным, если x = x(V ) для некоторой стабильной сети V .
Стабильность сети может быть как ослаблена так и усилена, наиболее важные из имеющихся возможностей описываются ниже.
Определение 1.2 Сеть контрактов V называется стабильной снизу, если
нет такой сети U и коалиции T ⊂ I, T = ∅, что U V и U ⊂ V .
T
Сеть контрактов V называется стабильной сверху, если нет такой сети U и коалиции T ⊂ I, T = ∅, что U V и V ⊂ U .
T
Стабильная сверху и снизу сеть контрактов называется слабо стабильной.
Распределение x называется договорным снизу, сверху или слабо договорным, если x = x(V ) для некоторой стабильной снизу, сверху или слабо стабильной сети V , соответственно.
1.2. Базисные понятия теории договоров
13
Должно быть понятно, что все данные выше понятия стабильности и доминирования могут применяться в стиле — “относительно данного достижимого
распределения” — это распределение просто используется вместо вектора исходных запасов ω. Также должно быть ясно, что понятие слабо стабильной сети (слабо договорного распределения) действительно слабее чем соответствующее понятие стабильной сети (договорного распределения). Разница состоит
в том, что в первом случае операции разрыва и заключения новых договоров
применяются раздельно, а во втором случае — одновременно. Ниже, в рамках
модели рынка, будут рассмотрены соотношения между множествами договорных, снизу, сверху и слабо договорных распределений, они соответствуют
хорошо известным в экономической теории понятиям.
Каким же образом может протекать процесс заключения новых и разрыва
имеющихся договоров? Мы предполагаем, что идёт что-то вроде процесса нащупывания (кооперативный tˆatonnement), который, например, может протекать таким образом. Для простоты рассуждений представим себе, что имеется
упорядоченный список всех коалиций. На первом этапе (итерации) коалиции
в указанном порядке начинают заключать новые контракты и/или рвать имеющиеся (переходя к сетям из F (Vξ , Tξ ), где ξ — номер коалиции Tξ ). Причём
первая коалиция “стартует” с исходного распределения ресурсов ω и, так как
до неё контрактов не заключалось, с сети V1 = ∅. Этап заканчивается, когда коалиция с наибольшим номером сделала свой выбор. Далее начинается
второй этап, где происходит то же, что и на первом, но при условии, что
1-я в списке коалиция имеет дело с сетью договоров, сложившейся в конце
первого этапа. Неподвижные точки такого итеративного процесса и отвечают
в точности договорным распределениям и устойчивым системам договоров.
Ясно, что порядок “появления на арене” какой-либо коалиции в рамках одного этапа не является существенным фактором. Более того, данная коалиция
может “появляться” несколько раз в течении одной итерации, а собственно
порядок “появления” коалиций может меняться от одного этапа к другому.
Действительно важно только то, чтобы каждая коалиция имела шанс появится в течении бесконечного числа итераций. В целом сценарий не предполагает
каких-либо временных рамок продолжительности итераций, а их общее число
потенциально неограниченно (тем самым итерация длится бесконечно малое
время). На неформальном содержательном уровне мы просто предполагаем,
что процесс закончится за “разумное время”, и экономика в целом перейдёт
в некоторое стационарное состояние. Именно эти, потенциально возможные
стационарные состояния, и являются предметом нашего внимания. Отметим,
что если в рассматриваемом итерационном процессе, начиная с некоторой итерации (кроме первой), запретить коалициям заключать новые договора, то
таким образом можно реализовать стационарные состояния и сети договоров,
устойчивые снизу (в одном из смыслов, описанном выше или ниже, — это зависит от того, какой тип разрыва договоров допустим — можно рвать только
полностью, частично или с переходом к эквивалентным). Аналогичным образом, запрещая разрыв контрактов или, действуя в смешанном режиме, (через
итерацию — запрет на подписание нового контракта, затем запрет не разрыв и
14
Глава 1. Абстрактная экономика договоров
т. д.), можно реализовать устойчивые сверху и слабо устойчивые договорные
распределения, соответственно. Графическое представление о том, как может
протекать процесс перезаключения договоров, дано на рис. 1.1. Здесь коалиTξ
✲
{1, 4}
Vξ
Tξ+1
Tξ+2
Tξ+3
{1, 5}
{2,4,5}
{2, 3}
✲ Vξ+1
✲ Vξ+2
✲ Vξ+3
Tξ+4
✲
{1, 3, 4}
Рис. 1.1: процесс перезаключения договоров
ция Tξ = {1, 4}, разрывая часть договоров W из сети Vξ−1 и заключая новый
договор w = (w1 , 0, 0, w4 , 0, . . . , 0) ∈ Rln , формирует сеть Vξ такую, что
v1ξ−1 + w1
ω1 +
1
v ξ−1 ∈Vξ−1 \W
v ξ−1 ∈Vξ−1
v4ξ−1 + w4
ω4 +
v1ξ−1 ,
ω1 +
v ξ−1 ∈Vξ−1 \W
4
v4ξ−1 .
ω4 +
v ξ−1 ∈Vξ−1
Под знаком суммы в левой части этих соотношений фигурируют договора из
Vξ−1 , сохранённые коалицией {1, 4}. Напротив, в правой части суммирование
ведётся по всем договорам сети Vξ−1 . Далее сеть Vξ подобным образом трансформируется коалицией Tξ+1 = {1, 5} и т. д.
Продолжим далее список различных видов стабильности и их модификаций, усиливая стабильность в отношении процедуры разрыва договоров. Ясно, что сеть, которая не является стабильной снизу, не может сколь-нибудь
долго существовать в реальной экономике. По этой причине внимание в последующих рассмотрениях будет ограничено только стабильными снизу сетями.
Прежде всего введём отношение эквивалентности на множестве всех таких сетей, это отношение позволяет частично делить контракты. Чтобы определить
его, сначала рассмотрим отношение частичного порядка на множестве сетей.
Это упорядочивание определяется по правилу:
U ≥ V ⇐⇒ ∃ отображение на f : U → V такое, что
(i) λf (u) = u для некоторого 0 ≤ λ ≤ 1 и каждого u ∈ U ,
(ii)
u∈f −1 (v)
u = v для каждого v ∈ V .
В силу этого определения легко видеть, что сеть U состоит из (конечного)
разбиения контрактов из V (здесь множество контрактов f −1 (v) является разбиением контракта v). Минимальные элементы в смысле данного отношения
порядка в множестве всех сетей могут быть названы корневыми. Заметьте,
что из определения следует ∆(U ) = ∆(V ). Отношение эквивалентности может быть теперь введено следующим образом:
U
Ясно, что U
V ⇐⇒ ∃ сеть W такая, что V ≥ W & U ≥ W.
V просто означает, что эти сети имеют общий корень.
1.2. Базисные понятия теории договоров
15
Определение 1.3 Распределение x называется правильно договорным (соотв. правильно договорным снизу, слабо правильно договорным), если существует сеть V , такая, что x = x(V ) и для каждого U
V распределение
x = x(U ) является договорным (соотв. договорным снизу, слабо договорным).
Экономическое значение понятия правильно договорного распределения состоит, как уже отмечалось выше, в том, что наряду с возможностью заключать новые контракты агенты могут частично рвать старые контракты (в
одновременном или раздельном — для “слабых” — стиле). В силу последнего
определения свойство распределения быть стабильным (в одном из смыслов)
существенно усиливается когда к термину добавляется прилагательное “правильное”. Ниже понятие правильности переносится на отдельный контракт.
Определение 1.4 Пусть V — сеть. Контракт v ∈ V называется когерентным, если каждая сеть U , такая, что U
{v} стабильна снизу относительно (x(V ) − v) (т. е. взятых как исходные запасы). Эквивалентно для
предпорядковых предпочтений — контракт v когерентный, если
xi (V )
i
xi (V ) − λvi
∀ 0 ≤ λ ≤ 1, ∀ i ∈ I.
Подсеть U ⊆ V , состоящая из когерентных контрактов, называется
когерентной.
Подсеть U ⊆ V называется правильной, если для каждой сети W
U
сеть (V \ U ) ∪ W — стабильная снизу.
Распределение, реализуемое когерентной сетью договоров, называется когерентно договорным (снизу).
Заметьте, что разница между когерентными и правильными сетями состоит
только в том, что в первом случае сеть устойчива относительно частичного
разрыва любого (но единственного!) договора, а во втором — относительно
разрыва (частичного) любых договоров из сети. В общем случае эти понятия
не являются эквивалентными (см. Пример 1.2). Более того, не эквивалентны уже понятия когерентного и правильного договора — в последнем случае
(для правильного) допускаются также разрывы других договоров из сети. На
рисунке 1.2 в системе координат потребителя i ∈ I геометрически изображена типичная ситуация правильной сети договоров {u, v}, а на рисунке 1.3 —
неправильная, но устойчивая снизу. Действительно, частично разрывая договора u и v, агент i может реализовать любой потребительский набор вида
ωi + λvi + µui = x¯i − (1 − λ)vi − (1 − µ)ui , λ, µ ∈ [0, 1],
т. е. он может осуществить переход к любому потребительскому плану из
выпуклой комбинации четырёх точек:
ωi , ωi + vi , ωi + ui , x¯i = ωi + vi + ui .
16
Глава 1. Абстрактная экономика договоров
✻2
✻2
xi
xi
Pi (¯
xi )
ui ✕
vi
ω i vi ③
Pi (¯
xi )
¯i
③x
✕
✛
ui
x1i
vi
x¯
✿✛ i
ui
ωi
✲
Рис. 1.2: сеть {u, v} правильная
ui
vi
✿
x1i
✲
Рис. 1.3: сеть {u, v} неправильная
Однако в случае, когда допустим только полный разрыв договоров, только
именно эти четыре точки и могут реализоваться после разрыва. Таким образом, геометрически разница состоит в том, что в первом случае весь параллелограмм договоров не пересекается с Pi (¯
xi ), а во втором — пересекается,
хотя все вершины не принадлежат Pi (¯
xi ).
Следующее утверждение полностью характеризует когерентные контракты в выпуклых договорных экономиках. В частности, в гладком случае из
утверждения следует, что договор v ∈ V является когерентным только если производная функции полезности по направлению vi неотрицательна для
каждого i ∈ supp(v).
Утверждение 1.1 Пусть V — некоторая сеть договоров. Тогда договор
v ∈ V будет когерентным тогда и только тогда, когда найдутся такие
линейные функционалы pvi = 0, что
pvi , Pi (xi (V )) > pvi , xi (V )
3
&
pvi , vi ≥ 0
(1.1)
для каждого i ∈ I. Более того, если предпочтения потребителей являются
гладкими, то (1.1) выполняется для pvi = grad ui (xi (V )), i ∈ I.
Доказательство Утверждения 1.1. Начнем с проверки достаточности условия (1.1). Предположим, что для каждого i ∈ I существуют pvi = 0, для
которых выполнено (1.1), а договор v не является когерентным. Тогда после
частичного разрыва договора v в объеме 0 ≤ αv ≤ 1 участники реализуют
новое распределение вида
xαi = xi − αv vi ,
i∈I
такое, что xαi
i xi для некоторого i ∈ S(v), откуда из первой части (1.1)
v α
заключаем pi xi > pvi xi . Но, используя вторую часть соотношения (1.1), для
этого i получаем pvi xαi ≤ pvi xi — противоречие.
3
Для A, B ⊂ E полагаем A, B = { a, b | a ∈ A, b ∈ B} и A > b означает a > b для всех
a ∈ A, симметрично для ≥.
1.2. Базисные понятия теории договоров
17
Чтобы установить необходимость (1.1), предположим, что договор v ∈ V
когерентный, то есть, что система договоров V устойчива к процедуре частичного разрыва договора v. Для каждого i ∈ I рассмотрим множества вида
Ui (x) = {xi − αv vi | 0 ≤ αv ≤ 1} ⊂ Xi .
По построению Ui — непустые, выпуклые и замкнутые множества, а из условия
когерентности договора v ∈ V следует, что
Pi (xi ) ∩ Ui (x) = ∅
∀ i ∈ I.
По предположению (A) существует открытое выпуклое множество Gi ⊂ E
такое, что Gi ∩ Xi = Pi (xi ) = ∅ и xi ∈ Gi для данного x ∈ A(X ). Тогда из
предыдущего получаем
Gi ∩ Ui (x) = ∅ & xi ∈ Gi
∀ i ∈ I.
Следовательно, по теореме отделимости для каждого i ∈ I существуют отделяющие функционалы pvi ∈ E такие, что pvi = 0 и
pvi , Gi > pvi , xi ≥ pvi , Ui (x) .
Причём для дифференцируемых функций полезности можно положить pvi =
grad ui (xi (V )), i ∈ I. Из левого неравенства сразу следует первая часть соотношения (1.1), а из второго получаем
pvi xi ≥ pvi xi − αv vi , pvi ,
0 ≤ αv ≤ 1.
Следовательно, vi , pvi ≥ 0.
Нижеследующие следствия характеризуют правильно договорные распределения в терминах когерентных (и правильных) сетей.
Следствие 1.1 Пусть E c — гладкая договорная экономика. Тогда распределение x является правильно договорным снизу тогда и только тогда, когда
существует когерентная сеть V такая, что x = x(V ). Более того, соотношение (1.1) истинно для каждого v ∈ V при pi = pvi = grad ui (xi (V )), i ∈ I.
Доказательство Следствия 1.1. Из определения правильно договорного снизу состояния следует, что x можно реализовать некоторой сетью договоров
V = Vω (x), устойчивой по отношению к процедуре частичного разрыва, причём в данном случае можно рвать несколько договоров одновременно. Отсюда
в частности следует, что каждый договор из V является когерентным, а значит
V — когерентная сеть договоров. Таким образом, достаточно доказать, что в
условиях следствия каждая когерентная сеть U , реализующая x = x(U ), является устойчивой снизу в отношении процедуры частичного разрыва нескольких договоров.
Действительно, в силу Утверждения 1.1 для дифференцируемых полезностей для каждого v ∈ Uω (x) функционал (вектор) pvi = grad ui (xi ) = pi
удовлетворяет условию (1.1) для всех i ∈ I. Следовательно, имеет место
Gi ∩ Mi (x) = ∅
∀ i ∈ I,
18
Глава 1. Абстрактная экономика договоров
где
Mi (x) = {xi −
αv vi | 0 ≤ αv ≤ 1, v ∈ U } ⊂ Xi ,
v∈V
что всё и доказывает.
Утверждение Следствия 1.1 в частности показывает, что для гладких экономик когерентные сети договоров являются просто устойчивыми в отношении процедуры частичного разрыва (нескольких) договоров и, таким образом,
совпадают с правильными сетями. При этом предположение о дифференцируемости функций полезности является существенным, соответствущие примеры легко строятся (см. Пример 1.2, вторая часть). Из предыдущего следствия
непосредственно получаем
Следствие 1.2 Пусть E c — гладкая договорная экономика. Тогда распределение x является устойчивым сверху и правильно договорным снизу тогда
и только тогда, когда существует устойчивая сверху когерентная сеть V
такая, что x = x(V ). Более того, соотношение (1.1) истинно для каждого
v ∈ V при pi = grad ui (xi (V )), i ∈ I.
Другое важное свойство правильных договоров состоит в том, что их можно замещать другой правильной системой договоров, сохраняя свойство стабильности снизу у полученной в результате этого замещения новой системы,
и это свойство также следует из Утверждения 1.1. Напомним, что Vy (x) = V
обозначает систему договоров, реализующую распределение x относительно
начального распределения продуктов y, т. е. x = y + ∆(V ).
Следствие 1.3 Пусть E c — гладкая экономика и x ∈ A(X ). Тогда любая
когерентная сеть договоров Vω (x) обладает следующим свойством наследования: для любого когерентного (правильного) договора v ∈ Vω (x) и любой когерентной сети договоров Wx−v (x), новая система договоров U =
(Vω (x) \ {v}) ∪ Wx−v (x) является сетью, устойчивой снизу относительно
частичных разрывов (нескольких) договоров, т. е. является правильной.
Доказательство Следствия 1.3. В силу Утверждения 1.1 (необходимости)
функционалы pi = grad ui (xi ) удовлетворяют соотношению (1.1) как для (когерентного) контракта v, так и для договоров из когерентной сети Wx−v (x),
ибо последняя является устойчивой по отношению к частичным разрывам отдельных договоров и при этом x − v + w∈Wx−v (x) w = x. То есть, для каждого
i существует такой pi = 0, что соотношения
pi , Pi (xi ) > pi , xi ,
pi , vi ≥ 0 ∀ v ∈ V
и
pi , wi ≥ 0
∀ w ∈ Wx−v (x)
выполняются одновременно. Следовательно, объединяя второе соотношение с
предыдущим для договоров из U и рассуждая аналогично Следствию 1.1 в
части достаточности, мы получаем истинность Следствия 1.3.
1.2. Базисные понятия теории договоров
19
Характеризацию правильных сетей договоров в негладком случае в двойственных терминах даёт следующее утверждение, доказательство которого
имеет много общего с доказательством Следствия 1.1.
Утверждение 1.2 Пусть V — некоторая сеть договоров и x = x(V ). Тогда сеть V будет правильной, т. е. x правильно-договорное снизу, тогда и
только тогда, когда найдутся такие линейные функционалы pi = 0, что
pi , Pi (xi (V )) > pi , xi (V )
&
pi , vi ≥ 0 ∀ v ∈ V
(1.2)
для каждого i ∈ I.
Доказательство Утверждения 1.2. Тот факт, что сеть V правильная эквивалентен тому, что в условиях предположения (A) имеет место
Gi ∩ Mi (x) = ∅
∀ i ∈ I,
где
Mi (x) = {xi −
αv vi | 0 ≤ αv ≤ 1, v ∈ U } ⊂ Xi .
v∈V
Применяя теорему отделимости к множествам Gi и Mi (x) устанавливаем
необходимость (1.2). Достаточность проверяется непосредственно.
В приложениях договорных моделей будет использоваться ещё одно сильное свойство стабильности договоров — так называемые совершенные контракты. Чтобы ввести это понятие мы рассмотрим ещё один вид эквивалентности сетей договоров, определённой на множестве всех правильных сетей. Это
(слабое) отношение эквивалентности можно определить следующим образом:
пусть U и V некоторые правильные сети, тогда
U ∼ V ⇐⇒
u=
u∈U
v.
v∈V
Ясно, что U ∼ V просто означает, что эти сети являются правильными и
реализуют то же самое распределение. Также ясно, что U
V влечёт U ∼
V для всех правильных сетей U , V . Если x = x(V ) и U ∼ V , то сеть U в
дальнейшем будет также называться виртуальной для сети V .
Определение 1.5 Распределение x называется совершенно договорным, если существует правильная сеть V , такая, что x = x(V ) и для каждой
правильной сети U , такой, что U ∼ V , распределение x = x(U ) — договорное.
Экономическое содержание совершенно договорных распределений отражает
идею того, что в процессе заключения контрактов агенты должны заботится
не только о том, чтобы эти контракты были достаточно короткими (небольшими по объёму), как в случае правильно-договорного поведения, но также
о том, чтобы контракты были различным образом “направлены”, т. е. имели
различные меновые пропорции — так много насколько это возможно — с тем,
20
Глава 1. Абстрактная экономика договоров
чтобы при определённых обстоятельствах иметь возможность разорвать ту их
часть, которая окажется “неудачно направленной”. Таким образом, в данном
сценарии допускается, чтобы агенты имели возможность не только частично
разрывать контракты, но также чтобы они могли (в некотором смысле) изменять направление (пропорции обмена) контрактов без потери их стабильности
снизу. Здесь напрашивается аналогия с политикой хеджирования4 , различие с
которой по сути состоит только в том, что мы говорим о контрактах по обмену товарами, используя которые, и продвигаясь в договорённостях “галсами”,
агенты достигают конечного распределения.
Концепцию совершенно договорного распределения можно также трактовать как форму необязательного соглашения, а реализующую его сеть договоров как совокупность “протоколов о намерениях”, являющуюся итогом
предварительной стадии переговоров по обмену товарами. Это соглашение
(распределение) является защищенным от потенциальной возможности того,
что какая-либо коалиция может инициировать новый процесс перезаключения договоров. Члены коалиции исходят из того (могут надеяться), что в
этом новом процессе им удастся повысить собственный уровень потребления
(в терминах полезности или просто как реализацию более предпочтительных
потребительских программ). Сценарий может быть следующим. Через своих
членов коалиция предлагает агентам, не являющимся членами коалиции, но
вовлечённым в контракты с её членами, переписать контракты на следующих
условиях:
(i) новое распределение ресурсов совпадает с текущим,
(ii) ни у кого не появится стимула частично разрывать новые контракты,
т. е. у новой сети сохранится свойство устойчивости снизу относительно
частичных разрывов договоров, (что имело место у исходной сети).
В таком случае не-члены коалиции могут пойти на это новое соглашение, ибо
у них нет явных побудительных мотивов для отказа, (а возможно члены коалиции являются убедительными переговощиками). Но вот когда цель достигнута, коалиция рвёт часть контрактов и заключает новый, что обеспечивает
более предпочтительное потребление членам коалиции.
Описанную схему взаимодействия агентов экономики в процессе заключения и разрыва договоров иллюстрирует нижеследующий Пример 1.1. Кроме
того, в этом примере описывается правильно договорное распределение, которое не является совершенно договорным.
Пример 1.1 Рассмотрим экономику обмена с двумя продуктами и тремя
агентами, имеющими следующие характеристики. Пусть Xi = R2+ , i = 1, 2, 3 —
4
Хеджирование это политика нейтрализации риска инвестиций путём использования взаимопогашающих (друг друга) контрактов, в результате чего (потенциальные) выгоды и
убытки компенсируются.
1.2. Базисные понятия теории договоров
21
потребительские множества агентов, предпочтения которых заданы функциями полезности ui : Xi → R. Пусть запасы ωi ∈ Xi и полезности имеют следующий вид:
u1 (z) = min{4z1 + 4z2 , z1 + 7z2 },
u2 (z) = min{4z1 + 6z2 , 3z1 + 7z2 },
u3 (z) = min{20z1 + z2 , z1 + 20z2 },
ω1 = (2, 21 ),
ω2 = ( 45 , 94 ),
ω3 = ( 43 , 54 ).
Рассмотрим распределение x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R6+ , где
x1 = (1, 1), x2 = (2, 2), x3 = (1, 1).
Это распределение реализуется сетью, состоящей из единственного договора
w = x − ω. Так как u1 (x1 ) = 8 > 5 12 = u1 (ω1 ), u2 (x2 ) = 20 > 18 21 = u2 (ω2 ),
u3 (x3 ) = 21 > 16 41 = u3 (ω3 ), то распределение x индивидуально рационально. Поскольку в нашем случае для каждого агента множества Pi (xi ) строго
предпочтительных потребительских планов представляют из себя пересечение некоторого (открытого) конуса с началом в точке xi с положительным ортантом, то из индивидуальной рациональности x следует, что сеть W = {w}
является правильной относительно ω. Более того, в следующем разделе будет доказано более сильное свойство — само распределение x(W ) является
правильно договорным.
Далее, коалиция {1, 2} может выйти с предложением к агенту 3 переписать договор w = x − ω, разбивая его с помощью распределения y ∈ X на
два договора: u = x − y и v = y − ω, образующих виртуальную правильную
сеть {u, v} ∼ {w}. Агент 3 может принять это предложение, ибо в таком случае он реализует ту же потребительскую программу, но при этом, используя
частичный разрыв новых договоров, он получает потенциально более широкие игровые возможности по доминированию текущего распределения. Пусть
распределение y = (y1 , y2 , y3 ) удовлетворяет требованию
h = x1 + x2 − (y1 + y2 ) = (−3ε, ε),
ε > 0.
Это условие совместимо со свойством правильности сети {u, v}. Например,
можно взять
y1 = ( 47 , 23 ), ε =
1
24
=⇒ y2 = ( 11
, 55 ), y3 = ( 87 , 25
).
8 24
24
Чтобы убедиться в правильности сети {u, v}, воспользуемся Утверждением
1.2. Для агента 1 рассмотрим опорный к P1 (x1 ) в точке x1 функционал p1 =
(1, 7). Имеем
11
.
p1 (x1 − y1 ) = 1, p1 (y1 − ω1 ) = 12
Для агента 2 рассмотрим опорный функционал p2 = (4, 6). Имеем
p2 (x2 − y2 ) = p2 (y2 − ω2 ) = 43 .
Для агента 3 возьмём опорный функционал p3 = (20, 1). Находим
7
p3 (x3 − y3 ) = 2 11
, p3 (y3 − ω3 ) = 2 24
.
24
22
Глава 1. Абстрактная экономика договоров
Описанные функционалы удовлетворяют условию (1.2) Утверждения 1.2, что
в силу его достаточности доказывает правильность сети {u, v}. Изложенный
анализ иллюстрирует рис. 1.4, где левая картинка представляет ящик Эджворта5 , построенный отдельно для коалиции {1, 2}, а правая описывает ситуацию
для агента 3 в его собственной системе координат. Здесь ω
˜ 2 = x1 + x2 − ω 2 ,
P2 (x2 ) = x1 + x2 − P2 (x2 ), y˜2 = x1 + x2 − y2 — представление исходных запасов,
предпочтений и потребительского вектора y2 в системе координат агента 1, соответственно. Заметьте, что ω
˜ 2 = ω1 и y˜2 = y1 , ибо ω1 + ω2 = x1 + x2 = y1 + y2 .
3
x1 + x2 = (3, 3)
✻
✛
✻
h = y˜2 − y1
P1 (x1 )
P3 (x3 )
ω3
x1 = (1, 1)
1
1
y˜2 ω
˜
❦ 2
y1 ω1
P2 (x2 )
1
❄✲
3
x3 = (1, 1)
y3
1
✲
Рис. 1.4: ящик Эджворта для коалиции {1, 2} и потребления агента 3
Наконец, когда агент 3 принимает предложение коалиции {1, 2}, члены
коалиции могут разорвать договор u = x − y, реализуя распределение y как
“новое начальное”, и заключить новый договор g = (g1 , g2 ), где g1 = x1 −
y1 + δ(1, 1), g2 = x2 − y2 − h − δ(1, 1), δ > 0. По определению h это контракт,
причём новые потребительские наборы составят вектора z1 = x1 + δ(1, 1),
z2 = x2 + (3ε − δ, −ε − δ). На новом потребительском наборе z1 полезность
первого агента возросла в силу монотонности его предпочтения. Полезность
второго также возрастёт, если δ достаточно мало:
u2 (z2 ) = u2 (x2 )+min{6ε−10δ, 2ε−10δ} = u2 (x2 )+2ε−10δ > u2 (x2 ) при δ < ε/5.
Тем самым, действуя указанным образом, коалиция {1, 2} способна добиться
более высокого уровня потребления для своих членов (считаем все договора допустимыми), и рассмотренное распределение x не является совершенно
договорным.
Конечно, стабильность совершенно договорных распределений является
сильнейшим из всех рассмотренных типов стабильности. Следующее определение переносит термин совершенный на отдельные контракты.
5
По поводу ящика Эджворта см. также Пример 1.2 из следующего раздела.
1.2. Базисные понятия теории договоров
23
Определение 1.6 Пусть V — сеть контрактов. Когерентный контракт
v ∈ V называется совершенным, если каждая сеть U , такая, что U ∼ {v},
является стабильной относительно (x(V ) − v), выбранных в качестве исходных запасов.
Правильная сеть, состоящая из совершенных контрактов, называется
совершенной.
Замечание 1.1 Нужно указать на одну альтернативную возможность определения совершенной подсети контрактов некоторой данной сети.
Пусть V — сеть и U ⊂ V . Тогда подсеть U называется совершенной, если она правильная и для каждой правильной сети W относительно
(x(V ) − u∈U u), такой, что W ∼ U , сеть (V \ U ) ∪ W — стабильная. Контракт
v ∈ V называется совершенным, если подсеть {v} — совершенная.
Заметьте, что по этому определению сеть, содержащая по крайней мере
один совершенный контракт, является стабильной. Отметим также разницу,
которая в таком случае появляется, между двумя (неэквивалентными) выражениями для U ⊂ V : “U — совершенная подсеть” и свойство “U — совершенная сеть относительно (x(V ) − u∈U u)”. Из первого следует второе, однако в
общем случае обратное неверно (ибо в первом случае допускается рвать контракты из V \ U , а во втором нет).
В случае, когда принимается последнее определение совершенного контракта, контракты и их сети (подсети), отвечающие Определению 1.6, можно
переименовать в совершенно когерентные. Отметим также, что в силу Утверждения 1.1 и его cледствий для гладких экономик указанные варианты определения совершенного контракта и совершенной сети эквивалентны.
Графическое представление о логических взаимосвязях между разными
концепциями стабильности сетей договоров и отвечающих им договорным
распределениям представлены на рис. 1.5. Здесь стрелка указывает на более
сильное свойство из наиболее близких понятий.
Заканчивая галерею разных видов стабильности, которые могут применяться к распределению в контрактной экономике, давайте предположим, что
множество допустимых контрактов можно представить как (конечное) объединение звёздных множеств, т. е. это множество имеет вид
W=
Vξ .
ξ
Заметьте, что в частности множества Vξ могут быть выпуклыми или, более
того, представлять из себя подпространства (как это имеет место в неполных
рынках). В таком случае контракты из заданной сети V можно дифференцировать по признаку принадлежности к множествам Vξ (одному или нескольким) и можно потребовать, чтобы если v ∈ Vξ для данного ξ, то контракт
v обладает одним из описанных свойств стабильности, (а это всегда стабильность снизу). Если такого рода соответствие установлено, то распределение
x(V ) называется сложно договорным. Другими словами, сложно договорное
24
Глава 1. Абстрактная экономика договоров
ДОГОВОРНЫЕ КОНЦЕПЦИИ
✲ когерентная сеть
сеть V
✲ когерентно
договорное
❄
✟ ❘
сн.
прав.
сеть
V
x(V ) сверху ⇐⇒ стаб.
x(V ) снизу ⇐⇒ стаб. ✲
правильная ⇐⇒ договорное
сверху
снизу
договорное
договорное
✡
✠
✡
✠
☛ ✎
❄
x(V ) слабо
договорное
⇐⇒
❄
x(V )
договорное
q☛
✟
❄
✠
☛
✟
✞
❘
✠ ☎ стаб. сверху
сл.
прав.
✲
⇐⇒ договорное
✝слабо стабильная ✆ правильная
✡
✠
❄
❄
⇐⇒
✲ x(V ) правильно
V стабильная
договорное
✎
V совершенная
❄
✲ x(V ) совершенно
договорное
Рис. 1.5: логические взаимосвязи между договорными
концепциями стабильности сетей и распределений
распределение является стабильным относительно процедур разрыва договоров соответствующего типа (в зависимости от множества, которому принадлежит контракт) и относительно заключения новых (допустимых) контрактов. Кроме того могут быть и дополнительные требования в отношении сети, реализующей сложно договорное распределение, требования к совместной
стабильности договоров из данной сети. Например, в дальнейшем, при рассмотрении неполных рынков в контексте договорной экономики, мы будем
идентифицировать множества Vξ с подпространствами пространства продуктов, которые в точности соответствуют состояниям мира — торговый обмен
(сделка) допускается только в настоящем или только в некотором (одном!)
событии будущего. Там же будет установлено, что при некоторых технических предположениях распределения, отвечающие финансовым равновесиям,
совпадают (как множество) с множеством сложно договорных распределений,
которым отвечают слабо стабильные сети, содержащие правильные договора в
настоящем и совершенные в будущих событиях. В этих терминах распределения из ядра получают описание как сложно договорные, реализуемые сетями,
в которых для будущих событий задействованы совершенные договора и нет
ограничений на тип договора в настоящем.
1.3. Договоры в стандартной экономике обмена
1.3
25
Договоры в стандартной экономике обмена
В классической постановке модель экономики чистого обмена неявным образом предполагает, что между потребителями возможны любые обмены товарами. Единственным ограничением является требование того, чтобы реализованные потребительские программы (наборы) принадлежали потребительским множествам, т. е. чтобы распределение было достижимо. Поэтому при
пополнении модели обмена договорным механизмом логично считать, что допустимы любые договоры, т. е. предполагать, что W = L, где L — пространство состояний. На самом деле достаточно требовать несколько меньшего, и,
говоря о стандартной экономике обмена, мы тем самым предполагаем, что ей
сопоставляется модель договорной экономики, в которой допустимые договоры образуют выпуклое радиальное (поглощающее6 ) в точке ноль в L множество W. Во всех прочих отношениях стандартная модель полностью совпадает
с моделью E. Далее напомним некоторые определения.
Пара (x, p) называется квазиравновесием модели E, если x ∈ A(X ), p = 0 —
линейный функционал над E и
p, Pi (xi ) ≥ p · xi = p · ωi
∀ i ∈ I.
Квазиравновесие, такое, что yi i xi влечёт p · yi > p · xi называется вальрасовским или конкурентным равновесием.
Говорят, что распределение x ∈ A(X ) доминируется (блокируется по)
коалицией (непустой) S ⊂ I, если существует такой y S ∈
i∈S Xi , что
S
S
i∈S yi =
i∈S ωi и yi ∈ Pi (xi ) для каждого i ∈ S.
Ядро модели E — обозначенное как C(E) — это множество всех x ∈ A(X ),
которые не блокируются никакой коалицией.
Слабая граница Парето модели E — обозначение PB w (E) — это множество
таких x ∈ A(X ), которые не блокируются коалицией I (всех агентов).
Распределение x ∈ A(X ) индивидуально рационально, если не доминируется одноэлементными коалициями — IR(E) обозначает множество всех таких
распределений.
Из определений следует, что всегда имеет место
C(E) ⊂ PB w (E) ∩ IR(E).
Обратное вообще говоря верно только если в модели ровно два торговца.
Другое важное понятие, плодотворно работающее в теории экономического
равновесия — это концепция нечёткого ядра. Напомним, что любой вектор
t = (t1 , . . . , tn ) = 0, 0 ≤ ti ≤ 1 ∀ i ∈ I
6
Множество A ⊂ L радиально в точке a ∈ A если для любого b ∈ L элемент λb ∈
(A − a) для всех действительных 0 ≤ λ ≤ λb при некотором λb > 0. Заметьте, что выпуклое
радиальное множество является звёздным в любой собственной точке.
26
Абстрактная экономика договоров
отождествляется с нечёткой коалицией, где вещественные ti интерпретируются как мера участия потребителя i в данной коалиции. Говорят, что коалиция t доминирует (блокирует) распределение x ∈ A(X ), если найдётся такой
y t ∈ I Xi , что
ti yit =
i∈I
ti (yit − ωi ) = 0
ti ωi ⇐⇒
i∈I
(1.3)
i∈I
и при этом
yit
i
xi
∀ i ∈ supp(t) = {i ∈ I | ti > 0}.
(1.4)
Условия (1.3), (1.4) можно эквивалентным образом переписать в виде7
0∈
ti (Pi (xi ) − ωi ).
i∈I
Множество всех неблокируемых по нечетким коалициям достижимых состояний, обозначенное как C f (E), называется нечетким ядром модели E.
Далее мы сделаем некоторые замечания в отношении понятия оптимальности по Парето (границы Парето). В теории хорошо известна и более сильная
концепция, называемая иногда сильной границей Парето. Предположим, что
каждое отношение i иррефлексивно и транзитивно8 . Тогда x = (xi )I ∈ A(X )
сильно оптимален по Парето, если не существует z = (zi )I ∈ A(X ), удовлетворяющего
xi i zi ∀ i ∈ I & ∃ j ∈ I : zj j xj ,
что для предпорядковых предпочений9
zi
i
xi ∀ i ∈ I
i
эквивалентно требованию
& ∃ j ∈ I : zj
j
xj .
Обозначим PB s (E) сильную границу Парето (множество всех сильно оптимальных по Парето распределений). Из определений следует PB s (E) ⊂
PB w (E).
Теоретически имеется еще одна возможность определения понятия оптимальности в модели экономики, занимающая промежуточное место между
слабой и сильной оптимальностью по Парето. Как мы увидим ниже, именно
такого рода оптимальность реализуется в договорных сверху распределениях.
Назовём распределение x = (xi )I ∈ A(X ) (строго) оптимальным по Парето, если не существует коалиции S ⊂ I, для которой найдётся y S ∈ i∈S Xi ,
такой что i∈S yiS = i∈S xi и yiS i xi для каждого i ∈ S. Другими словами x
является распределением из ядра в экономике, совпадающей с исходной моделью с единственным отличием, — именно это распределение принимается в
7
Допуская некоторую небрежность, здесь и ниже мы иногда отождествляем вектор с,
содержащим его, одноэлементным множеством.
8
Известно, что строгое бинарное отношение будет иррефлексивно и транзитивно, если оно определено как строгая компонента некоторого нестрогого отношения , которое
рефлексивно и транзитивно.
9
Это рефлексивное, полное и транзитивное нестрогое бинарное отношение.
Договора в стандартной экономике обмена
27
качестве исходного. По нашему мнению последняя концепция оптимальности
является наиболее точной формой оптимальности по Парето.
Обозначим PB(E) строгую границу Парето, (опуская индексы w и s, —
это множество всех строго оптимальных по Парето распределений). Из определений легко следует, что всегда имеет место
PB s (E) ⊂ PB(E) ⊂ PB w (E).
Следовательно, если некоторый x = (xi )I ∈ PB w (E) и при этом условия таковы, что можно показать, что x сильно оптимален по Парето (это будет так,
если, например, имеется локальная ненасыщаемость — включено в (A) — и
x ∈ intX)10 , то это распределение будет и строго оптимальным по Парето.
Следующая теорема даёт характеризацию распределений из ядра и других
описанных множеств в терминах разного вида договорных.
Теорема 1.1 Пусть W = L для договорной экономики E c . Тогда:
(i) распределение x является договорным ⇐⇒ x ∈ C(E) ∩ PB(E),
(ii) распределение x является договорным сверху ⇐⇒ x ∈ PB(E),
(iii) распределение x является договорным cнизу ⇐⇒ x ∈ IR(E),
(iv) распределение x является слабо договорным ⇐⇒ x ∈ IR(E) ∩ PB(E).
Доказательство Теоремы 1.1. В сторону необходимости истинность (i) − (iv)
следует из определений. Чтобы убедится в достаточности рассмотрим для x ∈
A(X ) сеть Vω (x), состоящую из единственного контракта v = x − ω. Это сеть,
так как по условию теоремы (x−ω) ∈ W. Доказательство завершает рутинная
проверка Определений 1.1, 1.2.
Замечание 1.2 Предположение W = L в последней теореме может показаться избыточным и можно попробовать заменить его более слабым требованием
радиальности в точке ноль множества W. В таком случае распределение x
можно реализовать сетью, состоящей из контрактов вида (x − ω)/r для достаточно большого натурального r. Однако применительно к понятию ядра
этого недостаточно и нужно также модифицировать правило доминирования
сетей по коалиции. А именно, нужно предполагать, что доминирующая коалиция “рвёт все связи” с дополняющей коалицией, т. е. носители договоров из
доминирующей сети должны содержаться в этой коалиции или в её дополнении. Кроме того, необходимо допустить возможность заключения нескольких
новых договоров и снять требование (iii) из определения множеств F (V, T ).
Более того, могут появиться проблемы с договорными снизу и слабо договорными распределениями ибо, разрывая часть контрактов, члены коалиции
могут реализовать любое из распределений вида ω + mr (x − ω), m = 0, . . . , r.
10
Кроме того известно, что если предпочтения строго монотонны и Xi = Rl+ (l — число
продуктов) для всех i, то понятия сильной и слабой оптимальности по Парето совпадают.
28
Абстрактная экономика договоров
Характеризацию равновесных распределений в терминах договорных даёт
следующая
Теорема 1.2 Пусть E c — гладкая договорная экономика, множество W радиально в точке ноль в L и x ∈ intX — достижимое распределение. Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
(i) x равновесное распределение,
(ii) x оптимально по Парето и существует когерентная сеть V , реализующая это распределение, т. е. x = x(V ) и сеть V когерентная и
устойчивая сверху,
(iii) x правильно договорное распределение,
(iv) x совершенно договорное распределение.
Более того, если (x, p) равновесие и V — некоторая сеть, реализующая
x = x(V ), то V — когерентная сеть тогда и только тогда, когда pvi = 0
∀ v ∈ V , ∀ i ∈ I.
Замечание 1.3 Несложный анализ доказательства теоремы показывает, что
импликация (i)⇒(iii) имеет место в общем случае — для негладких предпочтений и без требования x ∈ intX, т. е. в стандартной модели обмена каждое
равновесие является правильно договорным.
Отметим также, что условие теоремы x ∈ intX будет выполнено автоматически, если потребовать Pi (ωi ) ⊂ intX для всех i ∈ I.
Кроме того, напомним, что в силу Теоремы 1.1(ii), пункт (ii) из Теоремы
1.2, в котором постулируется оптимальность по Парето распределения x, будет
эквивалентен существованию когерентной устойчивой сверху сети договоров,
реализующей это распределение.
Доказательство Теоремы 1.2. Чтобы установить эквивалентность (i)–(iv) напомним, что в условиях теоремы x ∈ A(X ) является оптимальным по Парето
тогда и только тогда, когда для p = grad ui (xi ) при некотором (фиксированном) i ∈ I имеет место
Pj (xj ), p > p, xj
∀ j ∈ I.11
(1.5)
Далее заметим, что (iv)⇒(iii)⇒(ii). Чтобы установить (ii)⇒(i) воспользуемся
Утверждением 1.1. Полагая p = grad u1 (x1 ), заключаем pvi ≥ 0 для всех v ∈ V
и i ∈ I. Суммируя неравенства по v ∈ V , для каждого i ∈ I находим
p, ∆i (V ) ≥ 0 =⇒ pxi ≥ pωi .
Отсюда, используя достижимость (сбалансированность) x, заключаем pxi =
pωi для всех i, что в силу (1.5) влечёт равновестность пары (x, p).
11
Отсюда в частности следует, что grad ui (xi ) и grad uj (xj ) совпадают с точностью до
нормировки для всех i = j.
Договора в стандартной экономике обмена
29
Установим (i)⇒(iv). Положим v = v r = (x − ω)/r, где натуральное r выбрано из условия v ∈ W (такой r существует, ибо по предположению W поглощающее множество), и образуем сеть V , состоящую из r штук идентичных
контрактов v. Ясно, что V — сеть. Теперь из равновесности пары (x, p) следует pvi = 0 ∀ v ∈ V , ∀ i ∈ I и значит выполнено (1.1) (в условиях теоремы в
качестве равновесных цен для x можно принять p = grad u1 (x1 )). Применяя
Утверждение 1.1 в сторону достаточности заключаем, что V — когерентная и,
более того, правильная сеть. Теперь пусть U ∼ V для некоторой правильной
сети U . Из правильности U в силу Утверждения 1.1 (необходимость) и в силу единственности векторов pvi = p (с точностью до нормировки) заключаем
pui ≥ 0 ∀ u ∈ U , ∀ i ∈ I. Но тогда из определения договора ( i∈I ui = 0) следует pui = 0 ∀ u ∈ U , ∀ i ∈ I. Наконец, если для некоторой коалиции T ⊂ I,
T = ∅ и сети W ∈ F (U, T ) имеет место W T U , то из определения равновесия
заключаем
p, yi (W ) > p, xi (U ) ∀ i ∈ T.
Теперь, суммируя эти неравенства по i ∈ T , в силу предыдущего и определения договора w ∈ W \ U (ибо i∈T wi = 0 и wj = 0, j ∈
/ T , т. к. S(w) ⊂ T в
силу W ∈ F (U, T ) и пункта (ii)), приходим к противоречию. Заключительная
часть теоремы также ясна.
Далее рассмотрим пример, демонстрирующий различие в понятиях договорного распределения разного типа. Конечно, чтобы это различие проявилось при допущении частичного разрыва договоров необходимо, чтобы нарушились условия Теоремы 1.2 — либо полезности должны быть негладкими,
либо распределение принадлежит границе множества X.
Следующий пример, принадлежащий Козыреву (1982), показывает, что
для недифференцируемых функций полезности правильно договорное распределение может не быть равновесным. Мы также покажем на этом примере,
что когерентно-договорное и оптимальное по Парето распределение может не
быть правильно-договорным.
Пример 1.2 Рассмотрим двухпродуктовую модель экономики чистого обмена с двумя потребителями, в которой Xi = R2+ , а предпочтения задаются строго монотонными функциями полезности, определёнными на R2+ и имеющими
вид:
√
√
u1 (x1 , x2 ) = 2 x1 x2 + x1 + x2 , u2 (x1 , x2 ) = 2 x1 x2 + x1 + x2 + min{x1 , x2 },
где верхний индекс указывает на номер продукта. В качестве исходных запасов
примем вектора
ω1 = (1, 0),
ω2 = (0, 1),
ω
¯ = (1, 1),
ω = (ω1 , ω2 ) = ((1, 0), (0, 1)).
Дальнейшие рассуждения удобно вести в пределах “ящика Эджворта” — в
данном случае это множество вида
EB(¯
ω ) = {x ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ (1, 1) = ω
¯ },
30
Абстрактная экономика договоров
точки которого x ∈ EB(¯
ω ) можно понимать как потребление 1-го, (¯
ω − x)
— как потребление 2-го потребителя и, наконец, их можно ассоциировать с
распределением продуктов (x, ω
¯ − x).
Соображения симметрии и непосредственный анализ показывают, что границей Парето в данном примере является множество
PB = co{(0, 0), (1, 1)} = {x ∈ EB(¯
ω ) | x1 = x2 = α},
т. е. это диагональ в EB(¯
ω ).
Так как равновесное распределение оптимально по Парето и, если это внутренняя точка из ящика, то с точностью до нормировки вектор равновесных
цен должен совпадать с grad u1 (x1 ), то равновесными ценами должен быть
вектор (1, 1). Ясно, что точки (1, 1) и (0, 0) не отвечают равновесным распределениям, поэтому p = (1, 1) — единственный (с точностью до нормировки)
вектор равновесных цен. Используя бюджетные ограничения pxi = pωi , находим (единственное) равновесное распределение, которому в ящике Эджворта
отвечает вектор потребления 1-го агента ( 12 , 12 ).
Ядро в экономике с двумя потребителями совпадает с множеством
PB ∩ IR, которое, в свою очередь, является множеством всех договорных и
слабо договорных распределений, и может быть легко вычислено:
PB ∩ IR = { x ∈ PB | u1 (x) ≥ u1 (ω1 ), u2 (¯
ω − x) ≥ u2 (ω2 ) } = co{ ( 41 , 41 ) , ( 45 , 54 ) }.
Наконец, найдём множество правильно договорных распределений. Ясно,
✻x21
✛
ω
¯ = (1, 1)
u1 ≥ 2.4
√
3
2
( 45 , 45 )
3
4
( 35 , 35 )
( 21 , 12 )
✒p
( 41 , 14 )
√1
2
u2 ≥ 2.5
5
6
ω1 = (1, 0)
✲ 1
x1
❄
Рис. 1.6: негладкие предпочтения
что это множество всех таких точек x = (α, α) из PB ⊂ EB, для которых
Договора в стандартной экономике обмена
31
производные функций полезности u1 и u2 неположительны по направлениям
h1 = ω1 − (α, α) и h2 = ω2 − (1 − α, 1 − α), т. е. необходимо решить систему
неравенств
∂h1 u1 (α, α) ≤ 0, ∂h2 u2 (1 − α, 1 − α) ≤ 0.
Непосредственное вычисление даёт
grad u1 (α, β) = (
β/α + 1,
α/β + 1)
для всех α > 0, β > 0 и
grad u2 (1 − α, 1 − β) = (
(1 − β)/(1 − α) + 2,
(1 − α)/(1 − β) + 1)
при α > β > 0, 1 − α > 0, откуда после вычисления скалярных произведений
и подстановки α = β (т. е. переходя к пределу при β → α) получаем
1 − 2α ≤ 0,
5α − 3 ≤ 0.
В итоге множество всех правильно договорных распределений описывается
как co{ ( 12 , 21 ) , ( 35 , 35 ) } и не совпадает с множеством равновесных распределений, (но содержит его!). Ситуацию иллюстрирует рисунок 1.6.
В данной связи представляет интерес прояснить на этом примере структуру множества, отвечающего другой новой теоретической концепции — распределений, правильно договорных снизу. С этой целью прежде всего опишем множество распределений, неблокируемых коалицией {1} относительно
частичного разрыва договора x − ω (т. е. сети, состоящей из одного договора).
В ящике Эджворта это точки (α, β), удовлетворяющие условию
∂h1 u1 (α, β) ≤ 0,
h1 = ω1 − (α, β).
Вычисляя производную по направлению в виде скалярного произведения и
подставляя значение ω1 для (α, β)
0, приходим к соотношению
(1 − α)(
β/α + 1) − β(
α/β + 1) ≤ 0,
преобразуя которое находим
√
√
√
√
β/α ≤ ( α + β)2 − 1 ⇐⇒ ( α + β) ≤ ( α + β)2 α.
√
√
Последнее соотношение можно сократить на α + β > 0, что после преобразований даёт
1
βα ≥ 1 − α ⇐⇒ β + 2 ≥ + α.
α
Следовательно, искомое множество может быть описано как часть надграфика
кривой x21 = x11 + x11 − 2, удовлетворяющую ограничениям 0 ≤ (x11 , x21 ) ≤ (1, 1).
1
Соответствующее множество изображено на рисунке 1.7.
Провести аналогичный анализ для агента 2 в чисто аналитическом стиле
более затруднительно, поэтому обратимся также к геометрическим соображениям. Выберем индивидуально-рациональную точку (α, β) агента 2 в системе
32
Абстрактная экономика договоров
✛
✻x21
ω
¯ = (1, 1)
√
3
2
( 45 , 45 )
( 35 , 35 )
( 25 , 25 )
( 41 , 14 )
ω1 = (1, 0)
✲ 1
x1
❄
Рис. 1.7: распределения правильно договорные снизу
координат 1-го агента из внутренности ящика. Если эта точка принадлежит
диагонали, т. е. α = β, то, как мы уже выяснили выше, она удовлетворяет требуемому свойству только если α ≤ 3/5. Пусть точка (α, β) не принадлежит
диагонали, т. е. α = β. Выпустим из этой точки кривую безразличия 2-го
агента (в системе координат 1-го). Данная кривая отвечает графику некоторой вогнутой функции, поэтому, если точка искомая, т. е. ∂h2 u2 (1−α, 1−β) ≤ 0
при h2 = ω2 −(1−α, 1−β), то этому свойству будет удовлетворять каждая точка, находящаяся на кривой правее данной точки. Далее, если α ≤ β, то правая
часть кривой безразличия пересекает диагональ в некоторой точке (γ, γ), где
в силу сказанного и предыдущего γ ≤ 3/5. Причём в случае α < β, так как
тогда u2 (1 − α, 1 − β) = u1 (1 − α, 1 − β) + 1 − β, то, (вычисляя градиент и
переходя к пределу по (α, β) → (γ, γ) для γ ≥ 0, находим предельное значение
(2, 3)), точка (γ, γ) должна удовлетворять условию
(2, 3), (γ − 1, γ) ≤ 0 ⇒ γ ≤ 2/5.
В итоге в системе координат 1-го агента приходим к следующему. Искомое
множество является частью (удовлетворяющей x21 ≥ 0) подграфика кривой,
состоящей из трёх частей: на отрезке [0, 25 ] это график некоторой вогнутой
функции, равной 0 в 0 и 52 в точке 25 ; на отрезке [ 52 , 35 ] кривая совпадает с
диагональю; на отрезке [ 35 , 1] это опять график некоторой вогнутой функции, равной 35 в 35 и 0 в точке 1. Таким образом, мы приходим к некоторому
невыпуклому множеству. Пересечение этого второго множества с первым и
является представлением совокупности правильно договорных снизу распределений в ящике Эджворта. Если дополнительно пересечь его с границей Па-
Договора в стандартной экономике обмена
33
рето (диагональ), то мы прийдём к уже известному множеству всех правильно
договорных распределений, см. рис. 1.7.
В рамках данного примера также можно продемонстрировать различие в
понятиях когерентной и правильной сети договоров и различия в отвечающих
им типам устойчивости распределений экономики. Рисунок 1.8 иллюстрирует
дальнейшие рассмотрения.
✛
14
15
✻x21
ω
¯ = (1, 1)
❦
❪
u1 ≥ 2.4
-εw1
ε=
( 45 , 45 )
1
6
w1 = (3, −2)
( 35 , 35 )
v1
✠xε
v1 = (− 52 , 35 )
❪
1
ˆ1
εw1 = 5εh
( 12 , 13 ) = ω1ε
( 41 , 14 )
v1
εw1
u2 ≥ 2.0
√
3
2
1
10
ω1 = (1, 0)
✲ 1
x1
s
❄
Рис. 1.8: когерентно -договорное распределение не являющееся правильно договорным
Действительно, рассмотрим распределение, в котором 1-й участник поˆ 1 = (0, 1) −
требляет набор ( 35 , 35 ) (точка на ящике Эджворта). Положим h
ˆ 1 функции u1 в
( 35 , 35 ) = (− 35 , 25 ) и вычислим производную по направлению h
3 3
точке ( 5 , 5 ):
ˆ 1 = − 2 < 0.
∂hˆ 1 u1 ( 35 , 35 ) = (2, 2), h
5
В рассмотренном распределении потребительский набор 2-го потребителя — это точка недифференцируемости его функции полезности, — но её проˆ 2 = (1, 0) − ( 2 , 2 ) = ( 3 , − 2 ) можно найти как
изводную по направлению h
5 5
5
5
предельное значение скалярного произведения градиента функции u2 , вычисˆ 2 при (α, β) → ( 3 , 3 ).
ленного в точке (1 − α, 1 − β) при β > α > 0, на вектор h
5 5
Так как
grad u2 (1 − α, 1 − β) = (
(1 − β)/(1 − α) + 1,
(1 − α)/(1 − β) + 2)
при β > α > 0, 1 − β > 0, то после вычисления скалярных произведений и
подстановки α = β = 35 получаем
ˆ 2 = 0.
∂hˆ 2 u2 ( 25 , 52 ) = (2, 3), h
34
Абстрактная экономика договоров
Далее рассмотрим в качестве исходного распределение
ω ε = ω − εw
при достаточно малом ε > 0 и рассмотрим сеть договоров V ε = {v, εw}, где
v = (v1 , v2 ), v1 = −v2 = ( 53 , 35 ) − (1, 0) = (− 25 , 35 )
и
ˆ1
w = (w1 , w2 ), w1 = −w2 = (3, −2) = −5h
— договор, в котором 1-й потребитель обменивает 2 ед. продукта 2 на 3 ед.
продукта 1. Здесь можно, например, положить ε = 16 . Очевидно
ω ε + v + εw = (( 35 , 35 ), ( 25 , 52 )),
т. е. рассмотренное распределение реализуется сетью V ε относительно запаˆ 1, h
ˆ2
сов ω ε . Проделанные выше вычисления производных по направлениям h
3
и ранее — по направлениям h1 и h2 (для α = 5 ), показывают, что каждый договор сети V ε является когерентным относительно ω ε . Однако для каждого
ε ∈ (0, 61 ] сеть V ε не является правильной, ибо после разрыва половины договора εw и частичного разрыва договора v в объёме δ = 52 ε < 1 реализуется
распределение, в котором потребительская программа участника 1 имеет вид
1
ε(3, −2)
2
+ (1 − 52 ε)(− 25 , 53 ) + (1, 0) − ε(3, −2) = ( 53 , 35 ) − ε( 12 , 12 ) = xε1 .
Следовательно, предложенный частичный разрыв договоров оказывается выгодным для участника 2, так как при этом он увеличивает своё потребление
на ε( 12 , 12 ), а значит сеть V ε не является правильной относительно ω ε .
Представленный пример стимулирует более тщательное изучение математических свойств правильно-договорных, (а также совершенно-договорных),
распределений разного рода в ситуациях, когда нарушены условия Теоремы 1.2, что мы и намерены сделать далее.
Начнём с обсуждения свойств распределений, являющихся правильно-договорными снизу. По определению это распределения x(V ), реализуемые некоторой сетью договоров V , устойчивые относительно процедуры частичного
разрыва договоров. Так как в стандартной модели все контракты являются допустимыми (разрешёнными), то сеть V всегда можно заменить сетью
∆V = {u}, состоящей из единственного договора u = v∈V v = x − ω. При
этом из определений легко заключается, что из стабильности относительно
частичных разрывов элементов сети V следует аналогичная стабильность сети ∆V . Следовательно, при анализе правильно-договорных (не только снизу)
распределений можно ограничится рассмотрением сетей вида {x−ω}. В дальнейшем будет также видно, что основные выводы с лёгкостью переносятся на
случай множества нетривиальных договоров в сети. Однако в случае единственного договора в сети непосредственно из определения заключаем, что
Договора в стандартной экономике обмена
35
распределение x ∈ A(X ) является правильно-договорным снизу тогда и только
тогда, когда
[xi , ωi ] ∩ Pi (xi ) = ∅ ∀ i ∈ I,
(1.6)
где
[xi , ωi ] = {λxi + (1 − λ)ωi | 0 ≤ λ ≤ 1}.
Из сказанного, определений и Теоремы 1.1(ii) теперь легко заключить, что
слабо правильно-договорными являются в точности распределения, которые
оптимальны по Парето и удовлетворяют соотношению (1.6).
Вопрос о характеризации правильно-договорных распределений теперь получает следующее разрешение. Разрывая контракт x − ω в объёме 1 − λ и
заключая новый контракт v, члены коалиции S ⊂ I реализуют такой набор
потребительских планов y S = (yiS )S , что S yiS = S (λxi +(1 − λ)ωi )). Исключая эту возможность по определению правильно-договорного распределения,
заключаем, что это распределение должно принадлежать ядру экономики с
начальными запасами λx +(1 − λ)ω = ωxλ = ωx ∈ [x, ω]. Тем самым распределение является правильно-договорным тогда и только тогда, когда принадлежит
ядру каждой из этих экономик. Другими словами, если обозначить через C(Exλ )
ядро такой модели, то должно быть
C(Exλ ).12
x∈
ωx ∈[x,ω]
Теперь в похожих терминах мы можем описать и совершенно договорные
распределения. Действительно, для этого важно только понять к какого рода
“исходным распределениям” можно прийти после разрыва виртуальной сети
по отношению к {x − ω}. Прежде всего отметим, что в данном случае можно
ограничится анализом сетей, содержащих ровно два договора. Действительно,
пусть V некоторая правильная виртуальная сеть, реализующая распределение
x, т. е. V ∼ {x − ω} и пусть U ⊆ V — множество всех разрываемых договоров
(некоторой коалицией). Образуем сеть W = {∆(U ), ∆(V \U )}, в которой в один
договор “слиты” все разрываемые, а в другой — сохранённые договора. Ясно,
что сеть W правильная, W ∼ V и после разрыва договора ∆(U ) реализуется
распределение, совпадающее с распределением, полученным из V при разрыве
договоров U ⊆ V , что всё доказывает. Итак, пусть W = {u, v} ∼ {x−ω}. Тогда
в результате частичного разрыва договоров из этой сети может реализоваться
любая точка y из выпуклой оболочки множества, состоящего из 4-х точек: x,
ω, ω + v, ω + u. Ясно, что построенная для этого y сеть {x − y, y − ω} будет
правильной. Очевидно верно и обратное: если эта сеть правильная, то y ∈
A(X ) может реализоваться в результате разрыва части договоров некоторой
12
Заметьте, что из этой формулы следует, что на ящике Эджворта правильно-договорные
распределения совпадают со слабо правильно-договорными. Действительно, в экономике с
двумя агентами ядро описывается как PB ∩ IR. Однако из устойчивости снизу следует
xi (λxi + (1 − λ)ωi ), i = 1, 2, т. е. x ∈ IR(Exλ ), что совместно с оптимальностью по Парето
все доказывает.
36
Абстрактная экономика договоров
виртуальной сети, реализующей x. Таким образом, если положить
P C = {y ∈ A(X ) | сеть {x − y, y − ω} − правильная},
то множество всех совершенно договорных распределений можно описать в
виде
x∈
C(Ey ),
(1.7)
y∈P C
где y — вектор исходных запасов в модели Ey . Чтобы лучше понять содержание
данной формулы, необходимо прояснить структуру множества P C. Ситуацию
иллюстрирует рис. 1.11.
Далее обратимся к описанию интересующих нас объектов в терминах двойственных конусов. Последнее представляет также самостоятельный математический интерес и, как мы увидим ниже, в ряде интересующих нас ситуаций
способно привнести некоторое новое содержание в понятие разного рода договорного распределения.
Двойственным конусом к (выпуклому) множеству K ⊂ E называется выпуклый конус
K ∗ = {p ∈ E | p, K ≥ 0}.
Для каждого i ∈ I положим
Γ(xi ) = {p ∈ E | p, Pi (xi ) − xi ≥ 0}
— это двойственный конус к множеству Pi (xi ) − xi . Хорошо известно, (легко
доказать, используя теорему отделимости), что каждому слабо оптимальному
по Парето распределению можно поставить в соответствие некоторый (ненулевой) функционал цен p ∈ E , такой, что
p, Pi (xi ) ≥ p, xi
∀ i ∈ I.
Это описание имеет место всегда (для выпуклых, локально ненасыщаемых
предпочтений) в сторону необходимости и является достаточным во внутренних точках потребительских множеств (если, дополнительно, множества
Pi (xi ) относительно открыты в Xi ). Как видим, указанное требование очень
близко к точной характеризации оптимальности по Парето13 , но, чтобы быть
корректными, назовём удовлетворяющие ему распределения квазиоптимальными по Парето. В данных выше терминах их можно описать как удовлетворяющие свойству
Γ(x) =
Γ(xi ) = {0}.
(1.8)
I
Для каждого i ∈ I положим
G(xi − ωi ) = {p ∈ E | p, xi − ωi ≥ 0}, G(x) =
G(xi ).
I
13
Переходя к рассмотрению нестандартных цен можно получить необходимую и достаточную характеристику строго оптимальных по Парето распределений, причём без последнего условия внутренней точки и в виде строгих неравенств, однако здесь мы не будем
развивать эту тему и ограничимся стандартным анализом.
Договора в стандартной экономике обмена
37
Теперь легко видеть, что x квазиравновесие ⇐⇒
[G(xi − ωi ) ∩ Γ(xi )] = {0} ⇐⇒ G(x) ∩ Γ(x) = {0}.
(1.9)
I
В последующих эквивалентностях будем предполагать, что x ∈ intX 14 .
Далее, аналогично предыдущему, используя теорему отделимости и (1.6), убеждаемся в том, что распределение x правильно-договорное снизу ⇐⇒
G(xi − ωi ) ∩ Γ(xi ) = {0} ∀ i ∈ I ⇐⇒
∀ i ∈ I ∃ pi ∈ E , pi = 0 :
pi , Pi (xi ) ≥ pi , xi
& pi xi ≥ pi ωi .
(1.10)
В таком случае распределение будет слабо-правильно-договорным, если дополнительно имеет место (1.8).
Далее проанализируем свойства правильно-договорных распределений.
Имеет место следующая
Лемма 1.1 Если распределение x является правильно-договорным, то для
каждой коалиции S ⊆ I найдётся такой pS ∈ E , pS = 0, что
pS , Pi (xi ) ≥ pS , xi ∀ i ∈ S & pS
xi ≥ pS
S
ωi .
(1.11)
S
Если, дополнительно, x ∈ intX, то верно и обратное, т. е. из существования
pS ∈ E , pS = 0, удовлетворяющего (1.11) ∀ S ⊆ I, следует, что x правильнодоговорное распределение.
Содержательный смысл этой леммы состоит в том, что для правильнодоговорного распределения у каждой коалиции найдётся такая внутрикоалиционная цена, которая, во-первых, устраивает всех членов коалиции (левая
часть в (1.11), что можно трактовать как условие коалиционной эффективности), и, во-вторых, контракт x − ω является по этим ценам коалиционноприбыльным (правая часть в (1.11)). Таким образом, правильно-договорные
распределения это в точности распределения, удовлетворяющие условию коалиционной прибыльности (1.11). Утверждение леммы вполне аналогично описанию слабо-правильно-договорных распределений, данному в (1.10), с той
лишь разницей, что в лемме постулируется существование внутрикоалиционных цен, удовлетворяющих (1.11) для любых коалиций, а в (1.10) — только
для одноэлементных. Поэтому слабо-правильно-договорные распределения
являются только индивидуально прибыльными и оптимальными по Парето
(т. е. коалиция всех агентов тоже является прибыльной). Отметим также, что
утверждение Леммы 1.1 можно эквивалентным образом записать в виде
Γ(xi )
S
G(
xi −
S
ωi ) = {0} ∀ S ⊆ I.
S
14
Это условие совместно с (A) играет роль в сторону достаточности; в сторону необходимости оно не требуется (в силу (A)).
38
Абстрактная экономика договоров
Конечно, в общем случае это несколько более слабое требование чем (1.9).
Поэтому, чтобы установить (квази)равновесность правильно-договорного
распределения нужны дополнительные предположения, с тем чтобы гарантировать эквивалентность (1.9) и последнего соотношения (например, как это
сделано в Теореме 1.2 с большим “запасом” — предположить дифференцируемость полезностей и x ∈ intX).
Доказательство Леммы 1.1. Из вышеизложенного анализа следует, что распределение x является правильно-договорным если и только если оно “неулучшаемо” для каждой коалиции S ⊂ I относительно запасов xλ = λx + (1 − λω)
для всех λ ∈ [0, 1]. Положим PS (y S ) = S Pi (yi ) для y S = (yi )i∈S ∈ S Xi =
X S и пусть xλS = (xλi )i∈S . Тогда для фиксированного λ последнее можно записать в виде
PS (xS )
(ES + xλS ) = ∅, ES = {y S ∈ E S |
yi = 0}.
(1.12)
S
То есть должно выполнятся
PS (xS )
(ES + [xS , ω S ]) = ∅, xS = (xi )i∈S , ω S = (ωi )i∈S ,
где [xS , ω S ] — отрезок в E S , соединяющий точки xS и ω S (выпуклая оболочка
двух точек). В силу выпуклости множества ES +[xS , ω S ] и предположения (A)
применима классическая теорема отделимости, откуда заключаем существование линейного функционала (вектора) pS = (pi )i∈S ∈ (E )S , pS = 0, такого,
что
pS , PS (xS ) ≥ pS , ES + [xS , ω S ] .
В правой части этого неравенства записано некоторое ограниченное сверху
подмножество в R. Значит неравенство возможно только если ограниченно
pS , ES , и, так как ES подпространство в E S , то должно быть pS , ES = {0}.
Отсюда стандартным образом заключаем, что pi = pj = p ∀ i, j ∈ S (ибо
pS z S = 0 для всех z S ∈ E S , таких, что ziS = −zjS ∈ E и ztS = 0 для t =
i, j, t ∈ S). Причём, так как pS = (p, . . . , p) = 0, то p = 0. Далее, из (A)
следует, что PS (xS ) выпукло и xS ∈ PS (xS ). Значит, из последнего неравенства
и сказанного заключаем
pS , xS ≥ pS , [xS , ω S ]
⇐⇒ p
xi ≥ p
S
ωi .
S
Более того, ясно (от противного), что должно быть
pS , PS (xS ) ≥ pS , xS = sup pS , [xS , ω S ]
⇐⇒
p, Pi (yi ) ≥ p, xi
∀ i ∈ S.
Чтобы закончить доказательство в части необходимости осталось положить
pS = p.
Достаточность описанного в лемме условия следует из (A) и x ∈ intX, ибо
в этом случае неравенства в левой части (1.11) выполняются как строгие,
Договора в стандартной экономике обмена
39
что cовместно с правой частью (1.11) обеспечивает истинность (1.12) для всех
λ ∈ [0, 1].
Лемма 1.1 позволяет находить новые интересные, (а порой и неожиданные), специфические свойства правильно-договорных распределений. Например, одним из следствий этой леммы является результат о том, что правильнодоговорное распределение в двукратной реплике исходной модели является
равновесием в экономике с двумя потребителями или, альтернативно, при наличии хотя бы у одного из потребителей дифференцируемой функции полезности15 .
Напомним, что репликой объёма r ∈ IN называется модель экономики E r ,
в которой каждый потребитель исходной модели задаёт тип экономического
агента, представленного r точными копиями в E r . Для удобства агенты из
E r нумеруются двойным индексом (i, m), i ∈ I, m = 1, . . . , r и при этом полагается Xim = Xi , ωim = ωi , а предпочтения, определённые и принимающие
значение в Xim , задаются как Pim = Pi . Отметим, что каждому распределению x = (xi )I исходной модели можно каноническим образом поставить в
соответствие распределение из реплики по правилу xim = xi ∀ i, m. Верно и
обратное — если распределение из реплики симметрично, т. е. агенты одного
типа потребляют одинаковые продуктовые наборы.
Реплики экономики играют важную роль при анализе совершенной конкуренции, с целью подтверждения известной гипотезы Эджворта, утверждающей, что в условиях совершенной конкуренции ядро и равновесие совпадают.
При этом в реплике исследуются именно симметричные распределения, отвечающие исходной модели, в то время как доминирование допускается по
любым коалициям и внутрикоалиционным распределениям.
Теорема 1.3 Предположим, что в экономике имеется ровно два потребителя или, альтернативно, существует потребитель с гладким предпочтением, чей потребительский набор является внутренней точкой его потребительского множества. Тогда каждое распределение исходной модели, которое является правильно-договорным в 2-реплике экономики, есть квазиравновесие.
Доказательство Теоремы 1.3. Рассмотрим сначала первую альтернативу теоремы. Пусть I = {1, 2} и x = (x1 , x2 ) — некоторое правильно-договорное
распределение в 2-реплике. Теперь для x достаточно установить истинность
(1.9). С этой целью воспользуемся Леммой 1.1 и применим соотношение (1.11)
к коалициям S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} и S = {(1, 1), (2, 1), (2, 2)}. Отсюда заключаем существование таких ненулевых векторов p , p ∈ E , что
p , p ∈ Γ(x1 ) ∩ Γ(x2 )
15
Этот результат впервые был установлен Козыревым в (1981), (1982) с использованием
техники субдифференциального исчисления (применялась к вогнутым функциям полезности и пр.), что несколько ограничивает общность. Лемма 1.1 и собственно доказательство
нижеследующей теоремы вполне оригинальны.
40
Абстрактная экономика договоров
и
p (2x1 + x2 ) ≥ p (2ω1 + ω2 ), p (x1 + 2x2 ) ≥ p (ω1 + 2ω2 ).
Так как x1 + x2 = ω1 + ω2 , то последние неравенства эквивалентны
p x1 ≥ p ω1 & p x2 ≥ p ω2 .
Если одно из этих неравенств выходит на равенство, то (из достижимости x)
вектор p или p принадлежит пересечению из (1.9). Пусть оба неравенства выполнены как строгие. Но тогда в двумерном векторе (p (x1 − ω1 ), p (x2 − ω2 ))
первая компонента строго больше нуля, вторая строго меньше, и их сумма
равна нулю. Аналогично для вектора (p (x1 − ω1 ), p (x2 − ω2 )), в котором первая компонента строго меньше нуля. Далее найдём 0 < α < 1, такое, что
αp (x1 − ω1 ) + (1 − α)p (x1 − ω1 ) = 0 (положим α = −p (x1 − ω1 )/[p (x1 − ω1 ) −
p (x1 − ω1 )]). Ясно, что тогда автоматически [αp + (1 − α)p ](x2 − ω2 ) = 0.
Теперь определим p = αp + (1 − α)p = 0. Тогда из построения p(xi − ωi ) =
0 ⇒ p ∈ G(xi − ωi ), i = 1, 2 и при этом, из выпуклости Γ(xi ), имеем p ∈ Γ(xi ),
i = 1, 2. Последнее доказывает (1.9).
Докажем вторую альтернативу теоремы, установив истинность (1.9).
Прежде всего заметим, что, так как по предположению существует потребитель с гладким предпочтением, то если существует p ∈ Γ(xi ) ∀ i ∈ I, то такой
p = 0 единственный с точностью до нормировки. Теперь воспользуемся Леммой 1.1 и применим соотношение (1.11) к коалициям S i = {(i, 2)} ∪ I × {1},
i ∈ I — это все коалиции, в которых потребитель типа i представлен двумя
агентами, а все прочие типы только одним. Тогда существует вектор p ∈ Γ(xi )
∀ i ∈ I, p = 0, в силу сказанного он общий для всех S i , такой, что для каждого
i ∈ I выполнены неравенства
p[
xj + xi ] ≥ p[
j∈I
ωj + ωi ] =⇒ pxi ≥ pωi ,
j∈I
что всё и доказывает.
Используя рассуждения, подобные изложенным в доказательстве Леммы 1.1, можно дать двойственное описание совершенно-договорных распределений. С этой целью воспользуемся формулой (1.7) и далее опишем свойство
правильности сети {x − y, y − ω} в двойственных терминах. Так же как в (1.6),
заключаем, что {x − y, y − ω} правильная ⇐⇒
co{xi , yi , ωi , xi − yi + ωi } ∩ Pi (xi ) = ∅ ∀ i ∈ I.
Применяя теорему отделимости, находим, что эта сеть правильная если и
только если для каждого i существует ненулевой pi ∈ E , такой, что
pi , Pi (xi ) ≥ pi xi ≥ pi , co{xi , yi , ωi , xi − yi + ωi } .
Второе из неравенств эквивалентно pi xi ≥ pi yi ≥ pi ωi . Рисунки 1.9, 1.10, 1.11
иллюстрируют последние рассуждения.
Договора в стандартной экономике обмена
✻x2
i
41
✻x2
i
Pi (xi )
Pi (xi )
✕ pi
xi
xi
pi
✻
②
✒
✒
yi ②
ωi
yi
Область допустимых yi
pi
✻
✕ pi
ωi
x1i
✲
Рис. 1.9: допустимые изменения yi
для того чтобы сеть {x − y, y − ω}
была правильной
✛
x1i
✲
Рис. 1.10: область определения yi для правильности сети
{x − y, y − ω}
✻x21
ω
¯ = (1, 1)
u1 ≥ 2.2
( 45 , 45 )
( 35 , 35 )
, 11 )
( 11
20 20
( 12 , 12 )
PC
( 14 , 14 )
16
5
✠
u2 ≥ 2.25
7
8
−
1
8
11
12
−2
11
5
ω1 = (1, 0)
✲ 1
x1
❄
Рис. 1.11: совершенно договорные распределения
на ящике Эджворта для негладких предпочтений
Теперь можно сформулировать характеристическое свойство совершенно
договорных распределений. Будучи правильно-договорным, это распределение должно удовлетворять (1.11), и при этом для каждого y ∈ A(X ) из условия
∀ i ∈ I ∃ pi ∈ E , pi = 0 : pi , Pi (xi ) − xi ≥ 0 & pi xi ≥ pi yi ≥ pi ωi
(1.13)
следует, что x ∈ C(Ey ). Причём, так как это истинно для всех y ∈ [x, y] (всюду
заменяем в последних соотношениях y на y ), т. е. в силу того, что x является
правильно-договорным относительно y, можно применить Лемму 1.1. Таким
42
Абстрактная экономика договоров
образом, из условия (1.13) должно следовать, что для каждой коалиции S ⊆ I
найдётся такой pS ∈ E , pS = 0, что
pS , Pi (xi ) ≥ pS xi ∀ i ∈ S & pS
xi ≥ p S
S
yi .
S
Далее рассмотрим полученную характеризацию и Лемму 1.1 в контексте
Примера 1.1.
Пример 1.1 (продолжение) Используя Лемму 1.1 покажем, что рассмотренное распределение x = (x1 , x2 , x3 ),
x1 = (1, 1), x2 = (2, 2), x3 = (1, 1)
является правильно договорным. С этой целью установим истинность соотношения (1.11). Для одноэлементных коалиций это было установлено выше,
проверим (1.11) для двухэлементных коалиций и трёхэлементной коалиции
всех агентов. Чтобы сделать это найдём двойственные конуса, отвечающие
текущему распределению x:
Γ(x1 ) = cone{(4, 4), (1, 7)},
Γ(x2 ) = cone{ (4, 6), (3, 7) },
Γ(x3 ) = cone{(20, 1), (1, 20)},
где coneA символ конической оболочки множества A. Имеем
Γ(x1 ) ∩ Γ(x2 ) ∩ Γ(x3 ) = Γ(x1 ) ∩ Γ(x2 ) = cone{(2, 3), (2, 4 32 )}.
Отсюда в частности видим, что для коалиции всех агентов подходит вектор
pI = (2, 3). Для коалиции {1, 2} этот вектор также подходит, ибо тогда
(2, 3), x1 + x2 − ω1 − ω2 = (2, 3), (− 14 , 41 ) > 0.
Так как
(1, 7) ∈ Γ(x1 ) ∩ Γ(x3 ) &
(1, 7), x1 + x3 − ω1 − ω3 = (1, 7), (− 43 , 14 ) > 0,
то вектор (1, 7) можно взять в соотношении (1.11) для коалиции {1, 3}. Наконец, для коалиции {2, 3} опять подходит вектор (2, 3), ибо тогда имеем
(2, 3), x2 + x3 − ω2 − ω3 = (2, 3), (1, − 12 ) > 0.
Таким образом, в силу Леммы 1.1 доказано, что распределение x является
правильно договорным.
Наконец, используя полученную выше характеризацию совершенно договорных распределений, ещё раз покажем, что это распределение не является
совершенно договорным. Выше мы видели, что сеть {x − y, y − ω} является
правильной и, следовательно, виртуальной для сети {x−ω} при y = (y1 , y2 , y3 ),
где
, 55 ), y3 = ( 87 , 25
).
y1 = ( 47 , 32 ), y2 = ( 11
8 24
24
Договора в стандартной экономике обмена
43
Рассмотрим коалицию S = {1, 2} и проверим условие pS (x1 + x2 ) ≥ pS (y1 + y2 )
при pS ∈ Γ(x1 ) ∩ Γ(x2 ). Нормируя pS условием (pS )1 = 2, находим 3 ≤ (pS )2 ≤
4 32 . Но тогда имеем
pS (x1 + x2 − y1 − y2 ) = pS (−3ε, ε) = −6ε + ε(pS )2 ≤ −1 31 ε < 0,
ε=
1
.
24
Т. е. условие pS (x1 + x2 ) ≥ pS (y1 + y2 ) ложно при любом 0 = pS ∈ Γ(x1 ) ∩ Γ(x2 ),
что и требовалось доказать.
Далее мы намерены провести сравнительный анализ между правильно договорными распределениями и распределениями из нечёткого ядра. Начнём с
рассмотрения характеристических свойств распределений из нечёткого ядра.
Из определения распределения, недоминируемого по нечётким коалициям
и заданного соотношениями (1.3), (1.4), следует, что x ∈ C f (E) эквивалентно
условию16
0∈
/ co[∪(Pi (xi ) − ωi )],
I
откуда, в частности, (после применения теоремы отделимости) следует тот
факт, что элементы нечёткого ядра являются квазиравновесиями. Ниже мы
дадим близкое, но несколько отличное описание, данное в “геометрических”
терминах. С этой целью рассмотрим множества
Ωi (xi ) = co(Pi (xi ) ∪ {ωi }), i ∈ I.
В силу выпуклости Pi (xi ) заключаем
co(Pi (xi ) ∪ {ωi }) =
∪ [λPi (xi ) + (1 − λ)ωi ] =
0≤λ≤1
∪ λ(Pi (xi ) − ωi ) + ωi , i ∈ I.
0≤λ≤1
Отсюда следует, что условие z + ω ∈ I Ωi (xi ), где ω = (ω1 , . . . , ωn ), эквивалентно существованию таких 0 ≤ λi ≤ 1 и yi ∈ Pi (xi ), i ∈ I, что
z = (λ1 (y1 − ω1 ), . . . , λn (yn − ωn )).
Таким образом, в силу (1.3), (1.4) заключаем
x ∈ C f (E) ⇐⇒
z ∈ EI , z = 0 : z + ω ∈
Ωi (xi ) &
zi = 0
I
⇐⇒
Ωi (xi )
I
i∈I
{(z1 , . . . , zn ) ∈ E I |
zi =
i∈I
ωi } = {ω}.
i∈I
В случае двух потребителей это условие можно переписать в виде
Ω1 (x1 ) ∩ (¯
ω − Ω2 (¯
ω − x1 )) = {ω1 }, ω
¯ = ω1 + ω2 .
16
Ибо доминирование по произвольным нечётким коалициям эквивалентно доминированию по нормированным коалициям, отвечающим наборам весовых коэффициентов выпуклой комбинации, т. е. для доминирования достаточно использовать коалиции, удовлетворяющие i∈I ti = 1.
44
Абстрактная экономика договоров
Более того, в данном случае тот факт, что нечёткая коалиция (t1 , t2 ) > 0,
ti ≤ 1 доминирует распределение (x1 , x2 ), означает следующее. Рассмотрим
ящик Эджворта. По определению в нетривиальном случае доминирование возможно только если t1 = 0 & t2 = 0 и при этом:
∃ y1 , y2 ∈ R2+ : y1
1
x1 , y 2
2
x2 & t1 (y1 − ω1 ) = t2 (ω2 − y2 ).
Положим z2 = ω
¯ −y2 — это вектор, соответствующий потребительскому набору
участника 1 в случае, когда 2-й потребляет y2 . Этот вектор “изображает” y2
в естественной системе координат, отвечающей потреблению потребителя 1.
Подставляя z2 в правую часть последнего соотношения, находим
t1 (y1 − ω1 ) = t2 (ω2 − (¯
ω − z2 )) = t2 (z2 − ω1 ) ⇐⇒ z2 = ω1 +
t1
(y1 − ω1 ), t2 = 0.
t2
Геометрически равенство правой и левой частей этого соотношения означает,
что точки y1 и z2 находятся на общей прямой, проходящей через точку ω1 ,
причём по одну общую сторону от ω1 (находятся на одном луче). Кроме того,
по определению доминирования должно быть y1 ∈ P1 (x1 ) и z2 ∈ ω
¯ − P2 (x2 ). В
итоге приходим к следующему:
(x1 , x2 ) ∈
/ C f (E) ⇐⇒ ∃ луч, выходящий из точки ω1 , одновременно
пересекающий множества P1 (x1 ) и ω
¯ − P2 (¯
ω − x1 ).
Сказанное получает наиболее ясное геометрическое представление на ящике
Эджворта в случае двухпродуктовой экономики, см. рис. 1.12. Действительно,
✛
✻2
ω
¯
x1
✕p
P1 (x1 )
x1
ω1
P2 (x2 )
✲
❄
x11
Рис. 1.12: нечёткое ядро
здесь принадлежность распределения нечёткому ядру эквивалентна тому, что
Договора в стандартной экономике обмена
45
выпуклые оболочки множеств P1 (x1 )∪{ω1 } и [¯
ω − P2 (¯
ω − x1 )] ∪ {ω1 } пересекаются только по точке ω1 (альтернативно — в терминах конусов, “выпущенных”
из точки ω1 и “проходящих” через множество строго лучших потребительских
планов).
В данной связи любопытно рассмотреть на ящике эффект совпадения
правильно-договорных в 2-реплике E 2 и (квази)равновесных распределений
в экономике с двумя потребителями, указанный в Теореме 1.3. С этой целью изобразим на общей картинке возможности доминирования по коалициям, включающим в себя два агента одного типа и одного агента для другого.
Пусть v = x1 − ω1 = ω2 − x2 . По определению доминирование по коалиции
S = {(1, 1), (2, 1), (2, 2)} происходит17 , если найдутся такие y1 ∈ P1 (x1 ) и
y2 ∈ P2 (x2 ), что при некотором λ ∈ [0, 1] выполнено
1
1
y1 − ω1 − λv + 2(y2 − ω2 + λv) = 0 =⇒ y1 + (1 + λ)v = ω2 − y2 , y1 = (y1 − x1 ).
2
2
Теперь, если положить Υ = 21 (P1 (x1 ) − x1 ), чьим элементом является y1 , то
тот факт, что доминирования по коалиции S не происходит, можно записать
в виде
1
(Υ + [ v, v]) ∩ [ω2 − P2 (¯
ω − x1 )] = ∅.
2
Аналогично рассуждая для коалиции S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}, при доминировании найдём такие y1 ∈ P1 (x1 ) и y2 ∈ P2 (x2 ), что при некотором λ ∈ [0, 1]
выполнено
1
2(y1 − ω1 − λv) + y2 − ω2 + λv = 0 =⇒ 4y1 + (2 − λ)v = ω2 − y2 , y1 = (y1 − x1 ).
2
Следовательно, отсутствие доминирования по коалиции S означает
(4Υ + [v, 2v]) ∩ [ω2 − P2 (¯
ω − x1 )] = ∅.
Теперь, так как в силу (A) имеем Υ = 21 (P1 (x1 ) − x1 ) ⊂ 2(P1 (x1 ) − x1 ) = 4Υ, то
полученные заключения можно объединить в одно, эквивалентное тому, что
нет доминирования по каждой из коалиций:
1
(Υ + [ v, 2v]) ∩ [ω2 − P2 (¯
ω − x1 )] = ∅,
2
(1.14)
что, (добавляя ω1 к пересекаемым множествам), можно переписать в виде
1
ω − P2 (¯
ω − x1 )] = ∅,
(Υ + [ω1 + v, ω1 + 2v]) ∩ [¯
2
где второе множество в точности соответствует строго предпочитаемым потребительским наборам агента 2 в системе координат потребителя 1. Данное соотношение (и предыдущие построения) можно и изобразить на ящике
Эджворта, см. рис. 1.13, где P2 (x2 ) = ω
¯ − P2 (¯
ω − x1 ).
17
Можно считать, что агенты 2-го типа потребляют одинаковые потребительские наборы.
46
Абстрактная экономика договоров
✛
✻x2
ω
¯
1
✕
p
✛
x1
P2 (x2 ) ✲
P1 (x1 )
ω1
✲
❄
x11
Рис. 1.13: правильно-договорные в 2-реплике
Более того, используя (1.14) можно ещё раз увидеть, что в рассмотренных
условиях правильно-договорное распределение является квазиравновесным.
Действительно, применяя теорему отделимости к (1.14), заключаем существование такого p ∈ E , p = 0, что
1
p, Υ + [ v, 2v] ≥ p, [ω2 − P2 (¯
ω − x1 )] ,
2
откуда, так как 0 ∈ cl Υ и x2 ∈ cl P2 (¯
ω − x1 ) в силу (A), а по определению
v = ω2 − x2 , заключаем
1
p, [ v, 2v] ≥ pv ⇐⇒ pv = 0 ⇐⇒ pxi = pωi , i = 1, 2.
2
Тот факт, что p — опорный функционал к Pi (xi ) в точке xi для i = 1, 2 теперь
также легко выводится.
Глава 2
Неполные рынки как договорная
экономика
2.1
Модель неполного рынка
Рассмотрим в общих рамках экономики чистого обмена E (двухстадийную)
модель с двумя временными периодами t = 0, 1, в которой имеется l видов физически различных (потенциально) продуктов, достижимых либо сегодня (с
определённостью) либо завтра, представленном посредством s возможных событий (состояний природы) будущего. Таким образом в рассматриваемом случае полное пространство продуктов E можно отождествить с пространством
Rl(s+1) . Для удобства обозначим через σ = 0 состояние природы, отвечающее
событию “сегодня”. В каждом из состояний σ = 0, 1, . . . , s имеется собственный (спотовый) рынок каждого продукта. Цены на этих рынках представлены
векторами pσ ∈ Rl . В настоящем (т. е. в момент t = σ = 0) существует также
финансовый рынок “активов” или “ценностей” (assets), общим числом k штук,
которые обещают финансовые выплаты в состояниях будущего при t = 1. Цена на актив j представлена величиной qj и q = (q1 , q2 , . . . , qk ) — полный вектор
цен на активы. Определим
Π = {(p, q) ∈ Rl(s+1) × Rk | ∀ σ
pσ ≤ 1, q ≤ 1}
— множество всех допустимых цен на активы и обычные продукты. Элементы
этого множества будут в дальнейшем также обозначаться символом π = (p, q).
В максимально общей постановке структура активов задаётся отображением
A(·) = [aj (·)]j=1,...,k ,
определённом на Π × X; здесь A(π, x) — это (s × k)-матрица, j-й векторстолбец которой aj (π, x), для заданных p, q и x, указывает на финансовые
выплаты (с плюсом или минусом) j актива в будущих состояниях природы,
номинированные в единицах счёта. Другими словами, при покупке актива
типа j в единичном объёме, гарантированные финансовые “отдачи” в будущих
47
48
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
состояниях мира и составят вектор aj (π, x). Положим
λj (π, x) = (−qj , aj (π, x)),
Λ = [λj ]j=k
j=1 =
−q
A(π, x)
.
Тогда общее изменение стоимости среди различных состояний мира, которое
некоторый агент может получить от рынка активов, формируя “портфель”
заказов на ценности z = (z 1 , . . . , z k ) (торговая программа для активов), определяется вектором
Λ · z = z1
−q1
a1
+ · · · + zk
−qk
ak
.
В неполном рынке потребитель i обычным образом описывается своим потребительским множеством Xi ⊂ E и отношением предпочтения Pi : Xi ⇒ Xi .
Кроме того, при общем подходе этот потребитель дополнительно характеризуется множеством “допустимых портфелей” Zi ⊂ Rk и вектор-функцией
σ
αi (·) = (αiσ (·))σ=s
σ=0 , αi : Π × X → R,
показывающей какими стоимостями, при заданных ценах p = (pσ )σ=s
σ=0 , q и
“действиях” других агентов, обладает потребитель i в разных событиях. Следовательно, потребитель может выбирать свой потребительский план при следующих бюджетных ограничениях, имеющих форму векторного неравенства:
Pxi ≤ αi (¯
x, π) + Λzi , xi ∈ Xi , zi ∈ Zi ,
где матрица
P=
p0
0
p0 . . . 0
..
...
= . P1
ps
0
0
определяет потребительский стоимостной оператор. Заметьте, что обычно используемое в теории неполных рынков “квадратное произведение” — стандартl(s+1)
ное обозначение p x , означающее вектор (pσ xσ )σ=s
, совпадает
σ=0 , x ∈ R
l(s+1)
с обычным произведением матрицы на вектор — Px , x ∈ R
. Модель
неполного рынка также включает в себя вектор совокупных исходных запасов ω
¯ ∈ E, или же просто индивидуальные вектора ωi ∈ Xi , i ∈ I; в последнем
этом случае полагается ω
¯ = i∈I ωi . Далее мы напомним концепции равновесия, применяемые в теории неполных рынков.
Обозначим символом Z = i∈I Zi множество всех допустимых торговых
портфелей на активы, в этом множестве аккумулированы все имеющиеся в
экономике ограничения на рынке активов. При заданных действиях всех прочих агентов для текущих рыночных цен на потребительские продукты и при
заданных ценах на активы можно определить бюджетное множество агента i:
Bi (p, q, x) = { xi ∈ Xi | ∃ zi ∈ Zi : p xi ≤ αi (p, x) + Λ(p, q, x)zi }
— это множество всех его финансово достижимых потребительских программ,
из числа которых и только из них агент i может сделать свой потребительский
выбор.
2.1. Модель неполного рынка
49
Определение 2.1 Финансовое Z-равновесие это пара допустимых действий
и цен ((¯
xi , z¯i )i∈I , (¯
p, q¯)) ∈ X × Z × Π, удовлетворяющая условиям
(i)
для каждого i ∈ I:
p¯ x¯i ≤ αi (¯
p, x¯) + Λ(¯
p, q¯, x¯)¯
zi
Pi (¯
xi )
(ii)
i∈I
x¯i = ω
¯ и
i∈I
&
Bi (¯
p, q¯, x¯) = ∅,
z¯i = 0.
Условие (i) классическое и означает, что каждая пара (¯
xi , z¯i ) является оптимальным бюджетно-достижимым планом агента i при заданных ценах p¯, q¯
и “действиях” прочих агентов x¯. Требование (ii) заключает в себе условие
сбалансированности спроса и предложения на рынке обычных продуктов и на
рынке активов в предположении, что нет производства и невозможны межвременные запасы1 . Отметим, что если i∈I αi (¯
p, x¯) = p¯ ω
¯ , т. е. выполнен закон
Вальраса и все спотовые рынки ненасыщаемы, (что влечёт выход на равенство ограничений первого типа в (i)), то в условии (ii) требование i∈I z¯i = 0
является избыточным как только ранг матрицы Λ(¯
p, q¯, x¯) равен k — числу
активов.
Концепция потребительских множеств отражает идею наличия у агентов
экономики социологических и физиологических ограничений на допустимые
для потребления наборы продуктов, причём эти ограничения независимы от
ограничений на ресурсы. Подобная интерпретация для множеств допустимых
торговых портфелей на активы представляется более сомнительной. Поэтому
для экономической теории наибольший интерес представляет частный случай
финансового Z-равновесия, в котором нет никаких ограничений на торговлю
активами.
Определение 2.2 Финансовым или GEI-равновесием2 называется пара допустимых действий и цен, являющаяся финансовым Z-равновесием при
Zi = Rk для каждого i ∈ I.
p, x¯) = p¯ ω
Вновь отметим, что если i∈I αi (¯
¯ , то даже если матрица финансовых отдач Λ(¯
p, q¯, x¯) имеет ранг строго меньше чем k, условие i∈I z¯i = 0
является излишним в следующем смысле: изменяя портфель некоторого агента, легко ассоциировать финансовое равновесие с совокупностью “действий”
(достижимые потребительская и торговая программы) — ((¯
xi , z¯i )i∈I , p¯, q¯),
удовлетворяющей всем другим условиям Определения 2.2, за исключением
¯i = 0, причём верно и обратное. Другими словами, если имеется некоi∈I z
торое равновесие без условия i∈I z¯i = 0, то соответствующее распределение
и цены являются равновесными для некоторого (другого) набора портфелей,
удовлетворяющего этому условию.
1
Точнее, имеющиеся возможности по межвременному сохранению ресурсов аккумулированы в исходных запасах ωi = (ωiσ ), а через них — в функциях распределения дохода.
2
Аббревиатура от англоязычного термина “general equilibrium incomplete” — равновесие
неполного рынка.
50
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
Имеется три базисных типа активов, имеющих практическое значение в
экономической теории и наиболее часто рассматриваемых в литературе. Первый тип описывается как реальные активы — это вектора: a1 , a2 , . . . , ak ∈ Rls ,
j=k
которые как вектор-столбцы образуют матрицу A = [aj ]j=1
, т. е.
a11 a21 . . . ak1
A = ... ... . . . ... a1s a2s . . . aks
— (sl ×k)-матрица натуральных (продуктовых) отдач по “активам”. Этой матрице отвечает матрица финансовых отдач в будущих состояниях, задаваемая
по формуле
A(x, p, q) = (pσ · ajσ ) σ=1,...,s = P1 A.
j=1,...,k
Заметьте, что при реальных активах концепция финансового равновесия является инфляционно-состоятельной, т. е. изменение относительного масштаба
цен (типа их нормировки) на рынках будущего и настоящего не влияет на
распределение ресурсов (в силу однородности бюджетных ограничений).
Если для каждого состояния σ ≥ 1 из “будущего” задан некоторый потребительский набор (корзина) eσ ∈ Rl , который выбирается в качестве единицы
“исчисления”, то исчислимые активы задаются векторами ajσ = rσj eσ , rσj ∈ R,
и в этом частном случае реальных активов мы имеем второй тип матрицы
финансовых отдач:
A(x, p, q) = ((pσ · eσ )rσj ) σ=1,...,s .
j=1,...,k
При чисто финансовых отдачах — контрактах типа страхования — матрица
A(x, p, q) не зависит от p, q и это третий тип номинальных активов.
Должно быть понятно, что концепцию ядра можно осмысленно рассматривать только для неполных рынков с реальными активами, причём для этих
рынков функции дохода экономических агентов должны быть определены
на основе индивидуализированных векторов исходных запасов, отождествляемых с собственностью агентов, т. е. для
αiσ (p, q, x) = pσ ωiσ ,
ωi = (ωi0 , . . . , ωis )
на области определения αiσ (·) для всех i, σ. Заметьте, что в этом случае бюджетное ограничение потребителя i примет вид
Pxi ≤ Pωi +
где матрица
−q
P1 A
P1 = zi , xi ∈ Xi , zi ∈ Rk ,
p1
0
..
0
.
(2.1)
ps
определяет потребительский стоимостной оператор для событий из будущего,
т. е. для t = 1. Эта матрица является подматрицей P, образованной строками
2.2. Договорной подход в неполных рынках
51
с номерами от σ = 1 до σ = s и исключением первых l (нулевых) столбцов.
Ясно, что в этом случае имеем A(x, p, q) = P1 A.
В итоге, будучи записана в краткой форме, исследуемая модель неполного
рынка примет вид
E in = I, E, (Xi , Pi , ωi )i∈I , A .
Подробнее о теории неполных рынков см. Geanakoplos (1990), Magill and Shafer
(1991).
Примем в отношении экономики E in сделанные выше предположения (A)
и (C), а также дополнительно предположим, что для всех i потребительские множества “прямоугольные” относительно состояний природы, т. е. Xi =
s
σ
σ
σ
σ=0 Xi , Xi ⊂ Eσ , intXi = ∅ ∀ i, σ и при этом выполнено
(S) Предпочтения локально ненасыщаемы на каждом из спотовых рынков, т. е. для каждого σ и каждого i ∈ I имеет место
σ
xσi ∈ Pi (xσi , x−σ
i ) ∩ Exi
∀ xi = (xσi , x−σ
i ) ∈ Xi ,
где x−σ
= (x0i , . . . , xσ−1
, xσ+1
, . . . , xsi ) — фрагмент вектора xi , дополняющий xσi
i
i
i
до xi , Exσi = {y ∈ E | y −σ = x−σ
i } — афинное подпространство в E, отвечающее событию σ и потреблению xi .
2.2
Договорной подход в неполных рынках
Далее рассмотрим в структурных рамках неполного рынка модель договорной экономики, для которой в качестве совокупности допустимых контрактов
примем множество
σ=s
W=W
in
=
Vσ ,
σ=0
где Vσ ⊂ E I — подпространство в L = E I , соответствующее рынку в состоянии
мира σ. Точнее, эти подпространства определяются по формулам
Vσ = {v ∈ E I | vim = 0 ∀ m = σ, m = 0, . . . , s, ∀ i ∈ I}
для σ = 1, . . . , s, а для настоящего (t = 0) положим
V0 = {v ∈ E I | ∃ zi ∈ Rk : viσ = Aσ zi ∀ i ∈ I, ∀ σ = 1, . . . , s},
где Aσ — подматрицы матрицы A, соответствующие состояниям мира из будущего, т. е. Aσ = (ajσ )j=1,...,k . Заметьте, что если бы в модели имелись ограничения на торговлю активами (на их объёмы), то тогда следовало бы изменить
формулу, требуя чтобы zi ∈ Zi . Кроме того, из последнего определения легко
видеть, что v ∈ V0 является контрактом (договором), т. е. i∈I vi = 0, тогда и
только тогда когда найдутся такие zi ∈ Rk , i ∈ I, что i∈I zi = 0 и выполнено
viσ = Aσ zi для каждого i ∈ I и σ ≥ 1. Последнее позволяет, для удобства
дальнейших рассмотрений, перейти к исходным терминам неполного рынка
52
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
и работать с “портфелями” на активы, а не с изменениями потребительских
программ. Именно, в настоящем, избегая недоразумений, будем использовать
следующее специфическое понятие договора — это пара w = (u, z), удовлетворяющая u = (ui )i∈I ∈ E I , z = (zi )i∈I ∈ (Rk )I и
zi = 0 & uσi = 0 ∀ i ∈ I, ∀ σ = 1, . . . , s.
ui = 0,
i∈I
i∈I
Для удобства обозначений будем также в дальнейшем отождествлять контракт v ∈ Vσ для σ ≥ 1, который формально принадлежит пространству E I ,
с вектором v σ из пространства (Rl )I .
Из сказанного выше следует, что в модели неполного рынка договора классифицируются по признаку принадлежности тому или другому событию мира, а значит любая допустимая сеть контрактов V может быть представлена
в виде
s
Vσ
V =
W,
σ=1
σ
где V — множество всех договоров по обменам товарами в событии σ = 0, а
W — множество договоров в настоящем. Представление о структуре допустимых контрактов в неполном рынке дано на рис. 2.1.
✞
☎
✝t = 0 ✆
✞
☎
✝1-й актив ✆
будущие события
прямой контакт невозможен
✠
❄
σ=1
✻✻■
✞
☎
✝2-й актив ✆
❘
σ=2
σ=3
✒ ✻✻■
✒ ✻✻
Рис. 2.1: структура допустимых контрактов в неполном рынке
Пусть дана достижимая сеть договоров V . Тогда отвечающий этой сети
потребительский план yi агента i по определению удовлетворяет
yi0 (V ) = ωi0 +
yiσ (V ) = ωiσ +
u0i ,
(u,z)∈W
viσ
σ
v∈V
Aσ zi , σ = 1, . . . , s.
+
(u,z)∈W
Теперь, если ввести обозначения
∆0i (V ) = ∆0i (W ) =
u0i ,
(u,z)∈W
(2.2)
2.2. Договорной подход в неполных рынках
∆zi = ∆zi (W ) =
zi ,
53
∆σi (V σ ) =
(u,z)∈W
viσ ,
σ = 1, . . . , s
v∈V σ
и положить ∆σi (V ) = ∆σi (V σ ) + Aσ ∆zi для σ ≥ 1, то совокупное изменение
начального потребительского набора агента i составит вектор
∆i (V ) = (∆0i (W ), ∆1i (V 1 ) + A1 ∆zi , . . . , ∆si (V s ) + As ∆zi ),
который по определению является i-м фрагментом вектора ∆(V ) — совокупного изменения начального состояния ω. Сейчас соотношения (2.2) могут быть
переписаны в виде
yi0 (V ) = ωi0 + ∆0i (W ),
yiσ (V ) = ωiσ + ∆σi (V σ ) + Aσ ∆zi , σ = 1, . . . , s.
(2.3)
Из определения множества допустимых договоров неполного рынка W in ,
а также правил оперирования с сетями договоров, изложенными в разделе 1,
вытекают следующие правила заключения новых и разрыва уже имеющихся
договоров:
• агенты могут разрывать любые договора;
• в выделенном событии σ = 1, . . . , s агенты могут заключать новые договора – обмены по товарам, либо
• в событии σ = 0 (т. е. в настоящем) они могут заключать новые договора
по “активам” и обменам товарами, причём как в совместном режиме, так
и в раздельном.
Таким образом ситуация разрыва и заключения договоров несимметрична,
так как потребители могут разрывать любые договора, а заключать только
в фиксированном событии мира. Эта несимметрия вызвана специфическими
свойствами финансового рынка и вполне согласуется с пунктом (iii) определения множеств F (V, T ) — возможных сетей контрактов, которые могут сложиться в результате разрыва коалицией T части имеющихся и заключения
новых договоров.
Далее перейдём к рассмотрению в контексте неполного рынка соответствующих понятий договорных (контрактных) распределений, изложенных в разделе 1. Однако прежде отметим, что при разрыве всех договоров отвечающих
(какому-либо) событию из будущего может сложится ситуация, когда полученные таким образом потребительские планы, (которые являются в некотором
смысле новыми исходными запасами в этом событии), находятся за пределами
(отвечающих событию) потребительских множеств. Таким образом требование к допустимой совокупности договоров быть сетью в части событий из
будущего может быть слишком сильным. Эту проблему легко обойти просто
предполагая, что предпочтения распространимы на любые потребления из
будущего, но конечно так, чтобы если потребительский план является допустимым в нормальном смысле, то (верхнее лебеговское) множество нестрого
54
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
предпочитаемых ему потребительских наборов целиком содержится в пределах потребительского множества. Конечно это будет новое дополнительное
модельное предположение.
Чтобы охарактеризовать ядро и равновесия мы будем использовать два
вида сложно-договорного распределения, названные нами как полусовершенно
договорные и правильно-совершенно договорные, (а также как первое и второе
договорное).
Определение 2.3 Пусть V =
s
Vσ
W — слабо cтабильная сеть догово-
σ=1
ров, такая, что все договора из V σ cовершенные при σ ≥ 1. Распределение
x = x(V ) называется полусовершенно договорным, если для любых виртуальных U σ ∼ V σ , U σ ⊂ Vσ , σ ≥ 1 не существует S ⊂ I и V ⊂
что
supp(ˆ
v ) ⊆ S ∀ vˆ ∈ V
s
U σ , таких,
σ=1
(2.4)
и при t = σ = 0 найдётся такой договор w = (u , z ), supp(w ) ⊂ S, что
yi (V )
i
xi (V ) ∀ i ∈ S
выполнено для V = {w } ∪ V .
Обозначим множество всех полусовершенно договорных распределений
символом Dsp (E in ).
В порядке комментария к Определению 2.3 отметим, что распределение
x является полусовершенно договорным, если найдётся такая слабо стабильная сеть договоров, реализующая это распределение, в которой контракты
отвечающие будущему являются правильными и, более того, каждый из этих
контрактов можно заменить любой слабо эквивалентной ему (виртуальной!)
правильной сетью договоров, причём полученная при этом система не теряет свойства стабильности в следующем смысле. Коалиция рассматривает в
настоящем возможность полностью выделиться в автономную подэкономику.
Но, чтобы достичь этого, она должна разорвать все договора в настоящем и,
дополнительно, договора в каждом из будущих событий, в которых осуществляется нетривиальный обмен с не-членами коалиции. Последнее обеспечивает условие (2.4). После реализации этого акта, коалиция может заключить
новый договор в настоящем. При этом разрыв и заключение новых договоров рассматривается как одновременная процедура. Конечно, тот факт, что в
отношении будущих событий коалиция может использовать виртуальные договора является исключительно важным. Отметим только, что эти договора,
также как и собственно свойство контрактов из V σ быть совершенными, следует рассматривать в отношении договоров из V σ — только в пределах этого
множества допустимых договоров можно переходить к слабо эквивалентным.
Напомним также, что из того факта, что в будущих событиях используются совершенные договора, непосредственно из их определения, следует, что
нет такой коалиции, которая была бы способна увеличить полезность своим
2.2. Договорной подход в неполных рынках
55
членам, используя разрыв части эквивалентных договоров и заключая новый
договор в каком-либо фиксированном событии из будущего. Поэтому эта возможность и не рассматривается в определении полусовершенно договорного
распределения, но, конечно, учитывается в дальнейших рассмотрениях.
Как и в общем случае ясно, что стабильность сети договоров может только возрасти, если группу договоров, относящуюся к фиксированному событию мира, “слить” в один договор (так можно аггрегировать договора!), т. е.
заменить в сети эту группу их суммой3 . Отсюда следует, что систему всех договоров в настоящем — W — можно заменить на договор w∈W w и, значит,
условие (2.4) и прочие требования Определения 2.3 должны выполнятся при
разрыве единственного договора wˆ = w∈W w.
s
Определение 2.4 Пусть V =
Vσ
W — такая слабо cтабильная сеть
σ=1
договоров, что при σ ≥ 1, все договора из V σ cовершенные, а договора из
W — правильные. Тогда сложно-договорное распределение x = x(V ) называется правильно-совершенно договорным, если для любых виртуальных
U σ ∼ V σ , σ ≥ 1, и для любого разбиения W
W не существует S ⊂ I
и V ⊂
s
Uσ
W , таких, что при t = σ = 0 найдётся такой договор
σ=1
w = (u, z), S(w) ⊂ S, что
yi (V )
i
xi (V ) ∀ i ∈ S
выполнено для сети V = {w} ∪ V .
Обозначим множество всех правильно-совершенно договорных распределений символом Dcp (E in ).
Комментируя Определение 2.4 отметим, что договора в настоящем можно
частично разрывать и, кроме того, условие (2.4) не накладывается. Каждое из
этих отличий повышает требование к стабильности распределения. Кроме того, ниже будет ясно, что условие (2.4) не играет особой роли для определения
правильно-совершенно договорного распределения (и может быть добавлено),
ибо здесь главную роль играет коалиция всех агентов — I. Ситуация подобна
обычным рынкам, где действительно важно только то, чтобы распределение
было оптимально по Парето и чтобы договора были правильными, см. Теорему 1.2. Таким образом по сути правильно-совершенно договорные распределения отличаются от полусовершенно договорных только в том отношении,
что договора в настоящем можно рвать частично, а не только полностью, как
во втором случае. В частности всегда имеет место Dcp (E in ) ⊂ Dsp (E in ). Более
того, так как для x ∈ Dcp (E in ) каждый договор из реализующей x системы
является когерентным, то можно говорить о том, что x — договорное распределение в условиях совершенной конкуренции.
3
Заметьте, что так нельзя поступить с любой подсистемой договоров, ибо необходимо,
чтобы суммарный договор был допустим.
56
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
Анализ и ключевые свойства сложно-договорных распределений неполного рынка основывается на следующем наблюдении. Пусть дано некоторое
x¯ ∈ Dsp (E in ). Рассмотрим и зафиксируем событие σ ≥ 1 и объёмы потребления в других событиях. Далее рассмотрим редуцированную модель экономики E σ — модель, в которой допустимы обмены и возможно изменение
потребительских программ только в состоянии σ. Теперь, если принять вектора ωiσ + Aσ ∆zi в качестве исходных запасов потребителя i в редуцированной
модели, то мы приходим к стандартной экономике обмена, в которой потребительские множества являются соответствующими сечениями потребительских
множеств исходной модели. Наконец, если предположить x¯i ∈ intXi , а модель
экономики гладкая, то из совершенства договоров и устойчивости сверху в
“будущих состояниях” стандартным образом заключаем4 существование вектора цен
xi ),
pσ = (p1σ , . . . , plσ ) = λi grad|xσ ui (¯
i
pσ = 0,
λi > 0,
i ∈ I,
(2.5)
реализующего равновесие (¯
xσi )i∈I относительно xσi при фиксированных x−σ
i ,
−σ
σ−1
σ+1
0
где x¯i = (¯
xi , . . . , x¯i , x¯i , . . . , x¯si ), а grad|xσ ui (¯
xi ) обозначает фрагмент граi
диента функции полезности, вычисленный в точке x¯i , отвечающий состоянию
мира σ = 0. Следовательно, в силу сделанных предположений, выполнены
равенства в “бюджетных ограничениях” для x¯σi , т. е.
pσ x¯σi = pσ ωiσ + pσ Aσ ∆zi ,
σ = 1, . . . , s,
i ∈ I.
Обозначим совокупный вектор цен на рынках будущего как
l
p1 = (pσ )σ=s
σ=1 , pσ ∈ R , σ ≥ 1.
Определим
H = H(p1 ) = { x ∈ Rnl(s+1) | ∃ z ∈ Rnk :
&
i∈I zi = 0
σ
σ
pσ xi − pσ ωi = pσ Aσ zi ∀ σ = 1, . . . , s, ∀ i ∈ I }.
По построению x¯ ∈ H. Далее положим
Hi = Hi (p1 ) = {xi ∈ Rl(s+1) | ∃ zi ∈ Rk : pσ xσi − pσ ωiσ = pσ Aσ zi ∀ σ ≥ 1}
— это (фактически) проекция пространства H на подпространство, соответствующее потребительским программам агента i. Ясно, что
Hi = H + ωi , H = {y ∈ Rl(s+1) | ∃ z ∈ Rk : pσ y σ = pσ Aσ z, ∀ σ ≥ 1}.
(2.6)
Полезные свойства сложно-договорных распределений неполного рынка
(точнее полусовершенно договорных, а значит и правильно-совершенно договорных) устанавливаются в следующей лемме, доказательство которой содержится в следующем разделе.
4
Заметьте, что условие (S) здесь играет существенную роль.
2.2. Договорной подход в неполных рынках
57
Лемма 2.1 Пусть E in — гладкий неполный рынок и x¯ ∈ intX ∩Dsp (E in ). Тогда
(i) x¯ ∈ H и процедура соответствующего разрыва договоров по товарам и
“активам” не выводит за пределы подпространства H,
(ii) x¯ недоминируемо по Парето посредством распределений, находящихся
в подпространстве H,
(iii) x¯ недоминируемо по Парето посредством распределений, находящихся
в подпространстве Ex¯σ = {y = (yi )I ∈ E I | yi−σ = x¯−σ
∀ i ∈ I} ∀ σ ≥ 0.
i
Пункты (ii), (iii) этой леммы и предыдущие соображения мотивируют следующие терминологические определения.
Распределение x ∈ A(X ) называется σ-оптимальным по Парето, σ =
0, . . . , s, если оно не доминируется по Парето посредством распределений y ∈
A(X ), находящихся в подпространстве
Ex¯σ = {y = (yi )I ∈ E I | yi−σ = x¯−σ
∀ i ∈ I}.
i
Распределение, σ-оптимальное по Парето для каждого σ ≥ 0, назовём частично оптимальным по Парето.
Пусть x = (xσ )σ=s
σ=0 ∈ A(X ) — σ-оптимальное по Парето распределение.
Ненулевой вектор (функционал) pσ ∈ Rl назовём σ-паретовскими ценами,
если выполнено
pσ yiσ ≥ pσ x¯σi ∀ (yiσ , x¯−σ
xi ), ∀ i ∈ I.
i ) ∈ Pi (¯
(2.7)
Заметьте, что для гладких предпочтений и если x ∈ intX, соотношение (2.7)
выполняется в форме строгого неравенства и эквивалентно существованию
γiσ > 0, удовлетворяющих
grad|xσ ui (xi ) = γiσ pσ ∀ i ∈ I.
(2.8)
i
l
Набор (pσ )σ=s
σ=0 векторов pσ ∈ R назовём (частично) паретовскими ценами,
если (2.7) выполнено для всех σ = 0, . . . , s.
Распределение из H, которое не доминируется по Парето распределениями
из пространства H = H(p1 ),5 назовём H-оптимальным по Парето. Используя
(2.6) стандартным образом легко заключить, что это в точности распределения, которые не доминируются по Парето распределениями y ∈ A(X ), для
которых y − ω ∈ HI , и это своеобразная форма ограниченной оптимальности
по Парето.
Следующая лемма, доказательство которой дано сразу после доказательства предыдущей, устанавливает ключевые свойства H-оптимальных по Парето распределений.
5
Отметим, что здесь цены p1 не обязательно являются частично паретовскими.
58
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
Лемма 2.2 Пусть E in — неполный рынок и состояние x¯ ∈ intX ∩ A(X ).
Пусть p1 = (pσ )σ=s
¯ = (¯
xi )I ∈ H(p1 ). Тогда x¯ является
σ=1 и предположим, что x
H(p1 )-оптимальным по Парето тогда и только тогда, когда выполняется
следующее свойство. Пусть i0 ∈ I произвольно выбранный и фиксированный
агент. Тогда существует вектор p¯ = (¯
p0 , p¯1 , . . . , p¯s ) такой, что p¯σ = 0 для
всех σ ≥ 0 и выполнено
p¯yi > p¯x¯i ∀ yi ∈ Pi (¯
xi ) | ∃ zi ∈ Rk : pσ (yiσ − ωiσ ) = pσ Aσ zi ∀ σ ≥ 1
(2.9)
для всех i ∈ I. При этом для агента i0 выполнено более сильное свойство:
p¯yi0 > p¯x¯i0 ∀ yi0 ∈ Pi0 (¯
xi0 ).
(2.10)
Заметим, что из анализа доказательства леммы следует, что предположение
x¯ ∈ intX существенно только для того чтобы неравенство в левой части соотношения (2.9) было строгим.
Следующее следствие даёт удобную переформулировку Леммы 2.2 для
гладкого случая.
Следствие 2.1 В условиях Леммы 2.2 дополнительно предположим, что
E in — гладкий рынок и пусть ui (.) — функция полезности для i ∈ I. Тогда для
того, чтобы x¯ было H(p1 )-оптимально по Парето необходимо и достаточно
чтобы при
p¯ = grad ui0 (¯
xi0 )
для некоторого i0 для всех потребителей i = i0 и всех σ ≥ 1 нашлись действительные αi > 0 и некоторые действительные λσi , σ ≥ 1, такие что
grad| 0 ui (¯
xi ) = αi p¯0
x
i
grad|xσ ui (¯
xi ) = αi p¯σ + λσi pσ ∀ σ ≥ 1,
i
причём выполнено
σ=s
σ=1
λσi pσ Aσ = 0.
Применяя Лемму 2.2 и её следствие в случае, когда состояние x¯ ∈ intX
дополнительно является оптимальным по Парето на каждом из рынков будущего и (ненулевые) вектора спотовых цен удовлетворяют условию pσ =
γiσ grad|xσ ui (¯
xi ), γiσ > 0, т. е. (однозначно) найдены из необходимых условий
i
оптимальности (и, тем самым, являются паретовскими), непосредственно заключаем
Следствие 2.2 Пусть E in — гладкий неполный рынок и x¯ ∈ intX. Предположим, что x¯ частично оптимально по Парето и пусть p1 = (pσ )σ=s
σ=1 —
набор σ-паретовских цен (т. е. (2.7) истинно для σ ≥ 1). Предположим,
что x¯ = (¯
xi )I ∈ H(p1 ) и является H(p1 )-оптимальным по Парето. Тогда
2.2. Договорной подход в неполных рынках
59
существует вектор p¯ = (¯
p0 , p¯1 , . . . , p¯s ) такой, что p¯σ = βσ pσ для некоторых
βσ > 0 и всех σ ≥ 1, при этом для q¯ = σ=s
¯σ Aσ и каждого i ∈ I выполнено
σ=1 p
p¯0 yi0 − p¯0 ωi0 + q¯zi > p¯0 x¯0i − p¯0 ωi0 + q¯z¯i ∀ yi ∈ Pi (¯
xi )
(2.11)
для любых zi , z¯i ∈ Rk , удовлетворяющих
p¯σ (yiσ − ωiσ ) = p¯σ Aσ zi & p¯σ (¯
xσi − ωiσ ) = p¯σ Aσ z¯i ,
σ = 1, . . . , s.
Доказательство Следствия 2.2. Прежде всего заметим, что, так как (pσ )σ=s
σ=1
есть набор σ-паретовских цен, то в условиях следствия истинно соотношение
(2.8). Теперь возьмём вектор p¯ = grad ui0 (xi0 ) для i0 ∈ I из утверждения
Леммы 2.2 и используя (2.8) положим βσ = γiσ0 > 0. Теперь легко видеть, что в
условиях следствия имеем Hi (p1 ) = Hi (¯
p1 ), т. е. в правой части соотношения
(2.9) можно эквивалентным образом заменить вектор pσ на p¯σ для всех σ ≥ 1.
Наконец, записывая неравенство из левой части (2.9) в виде p¯yi − p¯ωi > p¯x¯i −
p¯ωi , куда подставляя представления
s
s
(¯
pyiσ
σ=1
−
p¯ωiσ )
s
=
p¯σ Aσ zi = q¯zi &
σ=1
s
(¯
px¯σi
−
p¯ωiσ )
σ=1
=
p¯σ Aσ z¯i = q¯z¯i ,
σ=1
имеем искомый результат.
Следующая теорема является одним из наиболее значимых результатов настоящей работы, здесь устанавливается эквивалентность правильносовершенно договорных и равновесных распределений неполного рынка.
Теорема 2.1 Пусть E in — гладкий неполный рынок. Тогда
intX ∩ Dcp (E in ) = W (E in ) ∩ intX,
где Dcp (E in ) — множество правильно-совершенно договорных, а W (E in ) —
множество GEI-равновесных распределений модели E in .
Используя свойство индивидуальной рациональности равновесных и договорных распределений, непосредственно получаем
Следствие 2.3 Если E in — гладкий неполный рынок и P i (ωi ) ⊂ intXi для
всех i ∈ I, то
Dcp (E in ) = W (E in ),
т. е. распределение является GEI-равновесием тогда и только тогда, когда
оно является правильно-совершенно договорным.
60
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
Далее перейдём к рассмотрению собственно понятия ядра в неполном рынке. В качестве множества распределений из ядра модели E in примем множество всех полусовершенно договорных распределений, отвечающих Определению 2.3, т. е. положим
C(E in ) = Dsp (E in ).
Ниже будут исследованы основные свойства множества C(E in ) и в частности
будет показано, что при некоторых предположениях, не слишком обременительных в контексте теории неполных рынков, множество C(E in ) соответствует
обычному понятию ядра как только рынок становится полным.
pσ ∈ Rl — фиксированный вектор цен на споРассмотрим p1 = (pσ )σ=s
σ=1 ,
товых рынках будущих состояний мира.
Определение 2.5 Распределение x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X, i∈I xi = i∈I ωi называется p1 -сбалансированным (или достижимым), если существует сеть
портфелей z = (z1 , . . . , zn ), zi ∈ Rk , i∈I zi = 0 такая, что выполнены равенства
pσ xσi = pσ ωiσ + pσ Aσ zi ∀ i ∈ I, ∀ σ = 1, . . . , s.
Определение p 1 -достижимого распределения x ∈ X можно записать в эквивалентной форме:
P1 (x1i − ωi1 ) ∈ L(P1 A), i ∈ I,
(2.12)
где L(P1 A) — линейная оболочка вектор-столбцов матрицы отдач по активам
P1 A при ценах p1 на рынках будущего.
Аналогичным образом можно определить понятие p1 -сбалансированного
распределения продуктов для произвольной коалиции S ⊂ I, осуществляя
всюду в Определении 2.5 замену множества I на S.
Обозначим через Ap (S) (или Ap1 (S)) множество всех p1 -сбалансированных
(достижимых) коалицией S распределений, где, напомним, p1 определено из
l
вектора p = (pσ )σ=s
σ=0 , pσ ∈ R , σ ≥ 0 путём отбрасывания компоненты p0 . Заметим, что множество Ap (S) = ∅ для всех S ⊂ I, поскольку вектор начальных
запасов ω S = (ωi )i∈S всегда принадлежит Ap (S). Кроме того, из определений
ясно, что Ap1 (I) = H(p1 ) ∩ X.
Определение 2.6 p-ядром Cp (E in ) будем называть множество p 1 -достижимых распределений, не доминируемых ни одной (непустой) коалицией,
т. е.
x ∈ Cp (E in ) ⇐⇒ x ∈ Ap (I) &
∃ S ⊂ I : ∃ y ∈ Ap (S) | yi
i
xi
∀ i ∈ S.
Пусть предпочтения потребителей определяются посредством функций полезности, (которые в данном случае предполагаются вогнутыми и непрерывными), и пусть вектор цен p1 на рынках будущего фиксирован. Тогда неполному рынку можно поставить в соответствие некоторую кооперативную игру
с нетрансферабельной полезностью (кратко НТП-игра, см. Мулен (1991)). Напомним, что НТП-игра (I, (V (S))S⊂I ) описывается множеством игроков (агентов) I = {1, . . . , n}, (n ≥ 2) и множествами допустимых векторов выигрышей
2.2. Договорной подход в неполных рынках
61
V (S) ⊂ RS для каждой (непустой) коалиции S ⊂ I, которые удовлетворяют
следующим свойствам:
• V (S) непустое, замкнутое подмножество в RS ,
• V (S) насыщенно (вниз), т. е., если x ∈ V (S) и y ≤ x, то y ∈ V (S),
• множество всех индивидуально-рациональных векторов выигрыша из
V (S), по определению это
Q(S) := {v ∈ V (S) | vi ≥ V ({i}) ∀ i ∈ S},
непусто и ограничено сверху в RS .
В нашем случае множество допустимых векторов выигрыша коалиции S задаётся по формуле
Vp (S) =
Vpx (S),
x∈Ap (S)
где
Vpx (S) = {(vi )i∈S ≤ (ui (xi ))i∈S | (xi )i∈S ∈ Ap (S)}.
Тот факт, что множества Vp (S) удовлетворяют свойствам, требуемым в определении НТП-игры, легко проверяется и следует из компактности множества
всех допустимых распределений и непрерывности функций полезности исходной модели экономики.
Напомним, что семейство B подмножеств в I называется сбалансированным, если для каждого S ∈ B существуют такие действительные λS ≥ 0, что
выполнено
λS = 1 ∀ i ∈ I
S∈B:i∈S
или, в эквивалентной форме,
λS eS = eI ,
S∈B
где, по определению, eS ∈ RI — вектор, удовлетворяющий eiS = 1 для i ∈ S
и eiS = 0 при i ∈
/ S, т. е. это характеристическая (индикаторная) функция
множества S.
Игра (I, V ) называется сбалансированной, если для каждого сбалансированного семейства коалиций B выполнено
pr−1
|S (V (S)) ⊆ V (I),
S∈B
где pr|S (.) — проектирующее отображение пространства RI на RS .
Известная теорема Скарфа утверждает, что ядро сбалансированной НТПигры (I, (V (S))S⊂I ) не пусто. С использованием теоремы Скарфа стандартными рассуждениями доказывается следующее
62
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
Утверждение 2.1 Пусть A(X ) компактно и предпочтения потребителей
заданы вогнутыми непрерывными функциями полезности. Тогда Cp (E in ) = ∅.
Следующая лемма является удобным инструментом исследования ядра
экономики неполного рынка.
Лемма 2.3 Пусть E in — гладкая экономика и x ∈ intX. Тогда x ∈ C(E in )
тогда и только тогда, когда истинно:
(i) x частично оптимально по Парето, т. е. для каждого σ ≥ 0 недоминируемо по Парето посредством распределений, находящихся в подпространстве Exσ = {y = (yi )I ∈ E I | yi−σ = x−σ
∀ i ∈ I},
i
(ii) x ∈ Cp (E in ), где (pσ )σ=s
σ=1 — набор σ-паретовских цен, отвечающих пункту (i).
Отметим, что если в отношении модели дополнительно предположить, что
P i (ωi ) ⊂ intXi для всех i ∈ I, то в предыдущей лемме предположение x ∈ intX
может быть опущено и, тем самым, в этом случае лемма даёт полное описание
множества C(E in ).
В ближайших результатах и рассуждениях будем предполагать, что модель
неполного рынка E in удовлетворяет следующему предположению о (строгой)
монотонности предпочтений на каждом из спотовых рынков.
(M) Для некоторого i ∈ I и x ∈ A(X ) выполняется
({xi } + E + ) \ {xi } ⊂ Pi (xi )6 .
Будем говорить, что рынок (т. е. модель E in ) является полным относительно p1 = (pσ )σ=s
σ=1 , если ранг матрицы P1 A равен s — числу возможных
будущих состояний мира.
Рынок называется полным, если он полный для любых цен спотовых рынков p1 , . . . , ps ∈ Rl , таких, что pσ
0, σ = 1, . . . , s.
Ясно, что такое свойство полноты рынка (равномерной по p1
0) является
ограничением на матрицу A, а точнее на финансовый рынок “активов”, число которых с необходимостью должно быть не менее s.7 Примером неполного
рынка, удовлетворяющего данному свойству, является описанный выше рынок исчислимых активов при eσ > 0,8 σ ≥ 1, в котором матрица R = (rσj ) σ=1,...,s
j=1,...,k
имеет ранг равный s.
Описание ядра экономики неполного рынка в привычных терминах в случае её “полноты” даёт следующее важное следствие Леммы 2.3.
6
Напомним, что символом E обозначено пространство продуктов экономики, здесь это
l(s+1)
E = Rl(s+1) , где E + = R+
.
7
Конечно, это условие не может быть достаточным.
8
Это вектор, определяющий “корзину” товаров, выполняющую роль единицы счета для
активов на рынках будущего.
2.2. Договорной подход в неполных рынках
63
Следствие 2.4 Пусть E in является гладкой и полной моделью экономики,
удовлетворяющей (M). Тогда
intX ∩ C(E in ) =
(Cp (E in ) ∩ intX).
p1
0
Если, дополнительно, E in такова, что P i (ωi ) ⊂ intXi для всех i ∈ I, то
C(E in ) =
Cp (E in ).
p1
0
Доказательство Следствия 2.4. Применяя Лемму 2.3 в сторону необходимости для x ∈ intX ∩ C(E in ), в силу (i) заключаем частичную оптимальность
по Парето распределения x. Следовательно, в силу предположений (S), (M),
существуют (и единственные) σ-паретовские цены p¯1 = (¯
pσ )σ=s
σ=1 , удовлетворя1
ющие p¯
0. Теперь применим пункт (ii) Леммы 2.3, получая
x ∈ Cp¯ (E in ) ⊂
Cp (E in ).
p1
0
Чтобы доказать обратное включение для полной модели E in выберем любой
x ∈ Cpˆ (E in ) ∩ intX при фиксированном pˆ1
0.
Далее прежде всего заметим, что благодаря полноте E in для каждого p1
0 следующая система линейных уравнений
P1 xˆ1i = P1 ωi1 + P1 Aˆ
zi
(2.13)
разрешима относительно zˆi при любых значениях прочих параметров. Заметим, что для того чтобы эти решения удовлетворяли i∈I zˆi = 0, в случае,
когда (ˆ
xi )i∈I образуют распределение, в (2.13) вместо P1 A достаточно взять
любую её квадратную невырожденную подматрицу размерности s × s. Следовательно каждое распределение (ˆ
xi )I является p1 -достижимым для каждого
p1
0. Значит условие x ∈ Cpˆ (E in ) ∩ intX при pˆ1
0 влечёт, что распределение x является оптимальным по Парето, откуда следует его частичная оптимальность по Парето. Отсюда в силу предположений (S), (M) существуют
¯1
0.
(и единственные) σ-паретовские цены p¯1 = (¯
pσ )σ=s
σ=1 , удовлетворяющие p
Теперь, с целью применить Лемму 2.3 в сторону достаточности, покажем, что
x ∈ Cp¯ (E in ). Пусть y ∈ Ap¯(S) при S ⊂ I. Но из полноты рынка мы опять
заключаем, что система (2.13) разрешима для всех i ∈ S относительно zˆi при
подстановке yi вместо xˆi и замене p1 на pˆ1 . Таким образом Ap¯(S) ⊂ Apˆ(S) и,
используя x ∈ Cpˆ (E in ), заключаем, что коалиция S не может доминировать
распределение x при ценах p¯. Применение Леммы 2.3 заканчивает доказательство следствия.
Характеризацию ядра неполного рынка для “полных” экономик обмена даёт следующая
64
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
Теорема 2.2 Пусть E in — гладкая модель экономики, удовлетворяющая
предположению (M), и такая, что P i (ωi ) ⊂ intXi для каждого i ∈ I. Тогда, если модель E in полная, то имеет место
C(E in ) = C(E).
Анализ концепции ядра продолжает ассимптотический аналог Теоремы 2.1, выраженный в терминах реплик модели неполного рынка, что в наибольшей степени отвечает привычным представлениям об условиях совершенной конкуренции. Доказательство этого результата следует хорошо известной
из литературы логике, основанной на сведении вопроса к рассмотрению доминирования по нечётким коалициям, с вытекающем отсюда понятием нечёткого ядра. Конечно, в нашем случае эта концепция должна быть надлежащим
образом адаптирована к неполным рынкам и предложенному нами понятию
(обычного) ядра. В последующем проблема сводится к применению теоремы
отделимости к нужным образом построенному выпуклому множеству и точке
0, которая по свойству нечёткого ядра не может ему принадлежать. При этом
анализ существенным образом основывается на применении характеристической Леммы 2.3 и использовании того факта, что множество рациональных
чисел плотно на числовой прямой.
Репликой неполного рынка объёма r ∈ IN назовём модель экономики Erin ,
в которой каждому потребителю исходной модели E in сопоставляется r точных копий в Erin . Агенты из Erin нумеруются двойным индексом (i, m), i ∈ I,
m = 1, . . . , r и при этом полагается Xim = Xi , ωim = ωi . Предпочтения агентов, определённые и принимающие значение в Xim , задаются как Pim = Pi .
Структура активов в реплике в точности повторяет структуру активов исходной модели. Распределению x = (xi )I модели E in поставим в соответствие
распределение xr = (xrim ) из реплики по правилу xim = xi ∀ i, m.
Определение 2.7 Распределение x называется GEI-равновесием Эджворта или равновесием Эджворта неполного рынка, если xr ∈ C(Erin ) для каждого натурального r = 1, 2, . . .
C e (E in ) обозначает множество всех равновесий Эджворта модели E in .
Рассмотрим далее наиболее характерные свойства равновесий Эджворта.
Анализ удобно проводить в рамках предположений, обеспечивающих истинность Леммы 2.3. Итак, пусть E in — гладкая экономика и x ∈ intX. Тогда в
силу Леммы 2.3 свойство x ∈ C e (E in ) эквивалентно тому, что распределение x
частично паретовское и для частично паретовских цен p1 = (pσ )σ≥1 это распределение принадлежит p-ядру рынка Erin для каждого натурального r. Рассмотрим последнее требование подробнее. Здесь важно то, что доминирование
допускается по любым коалициям и внутри-коалиционным распределениям.
Предположим для некоторого r коалиция S ⊆ I × {1, . . . , r} доминирует
распределение xr . Пусть I(S) ⊆ I множество всех типов агентов нетривиально представленных в коалиции S. По определению p-ядра доминирование
2.2. Договорной подход в неполных рынках
65
означает, что для каждого (i, m) ∈ S найдутся такие yim ∈ Pi (xi ), что для
некоторых zim ∈ Rk и каждого i ∈ I(S) выполнено
P1 yim = P1 ωi + P1 Azim
∀ m : (i, m) ∈ S
и при этом имеет место
yim =
(i,m)∈S
ωim .
(i,m)∈S
Теперь, если “усреднить” доминирующие потребительские наборы и портфели,
отвечающие каждому из типов агента, т. е. если положить
yi = (
yim )/si
& zi = (
m|(i,m)∈S
zim )/si
∀ i ∈ I(S),
m|(i,m)∈S
где si — число элементов (мощность) множества S i = {m | (i, m) ∈ S} (имеем
i ∈ I(S) ⇐⇒ S i = ∅), то из предыдущих равенств получим
P1 yi = P1 ωi + P1 Azi
&
si yi =
I(S)
si ωi .
I(S)
В силу выпуклости Pi (xi ) также имеем yi ∈ Pi (xi ) для всех i ∈ I(S). Определим далее вектор t = (t1 , . . . , tn ), полагая
ti = si /r, i ∈ I(S) & ti = 0, i ∈ I \ I(S).
Ясно, что в предыдущем равенстве натуральные числа si можно эквивалентным образом заменить на рациональные ti . Более того, изложенную логическую цепочку можно, при сделанных выше предположениях, и обратить, т.
е. показать достаточность описанных выше свойств для того, чтобы частично
оптимальное по Парето распределение оказалось доминируемым коалицией в
некоторой реплике. В итоге проведённых рассуждений мы приходим к концепции нечёткого доминирования в неполном рынке, описываемой ниже.
Напомним, что нечёткой коалицией называется любой n-мерный вектор
t = (t1 , . . . , tn ) = 0, 0 ≤ ti ≤ 1 ∀ i ∈ I. Пусть p1 = (pσ )σ≥1 некоторый
фиксированный набор цен спотовых рынков будущего. Введём далее понятие
нечёткого p-доминирования.
Нечёткая коалиция t называется p-доминирующей p1 -достижимое распределение x ∈ Ap (I), если найдётся y t ∈
Xi , для которого
i∈I
ti yit =
i∈I
ti ωi
(2.14)
i∈I
и при этом выполнено
yit
1
xi & ∃ zi ∈ Rk : P1 yit = P1 ωi1 + P1 Azi
∀ i ∈ supp(t) = {i ∈ I | ti > 0}.
(2.15)
in
e
in
Если E гладкая экономика и x ∈ intX, то свойство x ∈
/ C (E ) эквивалентно возможности его p-доминирования некоторой нечёткой коалицией с
рациональными компонентами относительно частично паретовских цен, отвечающих данному распределению.
i
66
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
Определение 2.8 Нечётким p-ядром называется множество Cpf (E in ) всех
p1 -достижимых распределений x ∈ Ap (I), для которых не существует pдоминирующей нечёткой коалиции.
В соответствии с данным определением концепция нечёткого p-ядра отличается от обычных требований только правой частью (2.15), где дополнительно
требуется потенциальная осуществимость финансирования потребительских
планов на рынках будущего при заданных ценах. Если дополнительно потребовать, чтобы эти цены были частично паретовскими, то мы приходим
собственно к понятию нечёткого ядра неполного рынка.
Определение 2.9 Нечётким ядром будем называть множество C f (E in ) достижимых распределений, которые удовлетворяют следующим свойствам:
(i) x частично оптимально по Парето, т. е. для каждого σ ≥ 0 недоминируемо по Парето посредством распределений, находящихся в подпространстве Exσ = {y = (yi )I ∈ E I | yi−σ = x−σ
∀ i ∈ I},
i
(ii) x ∈ Ap (I), т. е. p1 -достижимо, где p1 = (pσ )σ=s
σ=1 — набор σ-паретовских
цен, отвечающих пункту (i),
(iii) x ∈ Cpf (E in ), т. е. принадлежит нечёткому p-ядру неполного рынка.
Ключевые свойства нечёткого p-ядра устанавливает следующая
Лемма 2.4 Пусть p1 = (pσ )σ≥1 набор цен спотовых рынков будущего и x —
p1 -достижимое распределение. Тогда, если x ∈ Cpf (E in ) и xi0 ∈ intXi0 для
некоторого i0 , то найдётся такой вектор p¯ = (¯
p0 , p¯1 , . . . , p¯s ), что p¯σ = 0 для
всех σ ≥ 0 и выполнено
p¯yi ≥ p¯ωi ∀ yi ∈ Pi (¯
xi ) | ∃ zi ∈ Rk : pσ (yiσ − ωiσ ) = pσ Aσ zi ∀ σ ≥ 1
(2.16)
для всех i ∈ I. При этом для агента i0 выполнено более сильное свойство:
p¯yi0 > p¯ωi0 ∀ yi0 ∈ Pi0 (¯
xi0 ).
(2.17)
Утверждение этой леммы полезно сравнить с утверждением Леммы 2.2. Первое различие состоит в том, что в Лемме 2.4 неравенства нестрогие, второе —
в правой части неравенств используется стоимостная оценка начальных запасов. В этом смысле ситуация совершенно аналогична классической модели
рынка, где сравнивается свойство оптимальности по Парето и квазиравновесия. Далее отметим, что, используя предположение о локальной ненасыщаемости предпочтений на рынке настоящего (σ = 0 и (S)) и переходя в левой
части неравенств (2.16) к пределу, можно установить p¯xi ≥ p¯ωi ∀ i ∈ I, откуда
в силу i∈I xi = i∈I ωi непосредственно заключаем
p¯xi = p¯ωi ∀ i ∈ I.
2.2. Договорной подход в неполных рынках
67
Наконец, пусть x ∈ intX, модель гладкая и цены p1 = (pσ )σ≥1 частично
паретовские. Тогда, во-первых, неравенства в левой части (2.16) обращаются
в строгие. Однако теперь выполнены все условия Леммы 2.2 и её Следствия
2.2. Поэтому, используя рассуждения близкие к изложенным в доказательстве
Следствия 2.2, устанавливаем следующее
Следствие 2.5 Пусть E in — гладкий неполный рынок и x¯ ∈ intX ∩ C f (E in ).
Тогда существует вектор p¯ = (¯
p0 , p¯1 , . . . , p¯s ) такой, что p¯σ = 0 для всех
σ=s
σ ≥ 0, при этом для q¯ = σ=1 p¯σ Aσ и каждого i ∈ I выполнено
p¯0 yi0 > p¯0 ωi0 + q¯zi ∀ yi ∈ Pi (¯
xi ) | ∃ zi ∈ Rk : p¯σ yiσ = p¯σ ωiσ + p¯σ Aσ zi ∀ σ ≥ 1.
(2.18)
Используя это следствие, несложно доказать истинность ассимптотической
теоремы, утверждающей, что каждое равновесие Эджворта в неполном рынке
является GEI-равновесием.
Теорема 2.3 Пусть E in — гладкий неполный рынок. Тогда
C f (E in ) = C e (E in )
&
intX ∩ C e (E in ) = W (E in ) ∩ intX.
Доказательство Теоремы 2.3. Сначала покажем C e (E in ) = C f (E in ). Для этого достаточно установить включение C e (E in ) ⊆ C f (E in ) (обратное включение
выполнено по определению). Предполагая противное, найдём x ∈ C e (E in ), который доминируется нечёткой коалицией t = 0. По определению найдётся
y t ∈ I Xi , удовлетворяющий соотношениям (2.14) и (2.15). Покажем, что
тогда распределение x доминируется нечёткой коалицией q = (q1 , . . . , qn ) с
рациональными компонентами qi , i ∈ I. С этой целью для ti > 0 положим
xi = (ti /qi )yi + (1 − ti /qi )ωi =⇒ qi (xi − ωi ) = ti (yi − ωi ),
где рациональные qi удовлетворяют условию ti ≤ qi ≤ 1, а для ti = 0 определим
qi = 0 и xi = yit . Так как ωi ∈ Xi , то по построению x = (xi )I ∈ I Xi и
qi (xi − ωi ) = 0.
i∈I
Однако в силу (A) величины qi можно выбрать так, чтобы xi ∈ Pi (x) выполнялось для всех i, удовлетворяющих qi > 0. Более того, для этих i выполняется
1
∃ zi ∈ Rk : P1 xi = P1 ωi1 + P1 Azi ,
относительно σ-паретовских цен, отвечающих распределению x, поскольку подобные соотношения истинны для y t (положим zi = qtii zi ). Пришли к противоречию с выбором x ∈ C e (E in ).
68
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
Итак, в неполном рынке доказано совпадение нечёткого ядра с множеством
равновесий Эджворта. Применяя далее Следствие 2.5 и используя рассуждения, совершенно аналогичные изложенным во второй части доказательства
Теоремы 2.1, устанавливаем intX ∩ C f (E in ) = W (E in ) ∩ intX. Теорема 2.3 доказана.
В заключении раздела рассмотрим некоторые примеры моделей неполного
рынка в контексте введённого понятия ядра.
Пример 2.1 (Рынок с одним активом) Рассмотрим модель экономики с
двумя потребителями, в которой имеется два события в будущем и отсутствует настоящее. Отметим, что последнее не является существенным фактором,
ибо формально настоящее всегда можно добавить, причём, чтобы остались выполнены сделанные выше предположения о локальной ненасыщаемости, можно, например, считать агентов полными антагонистами в настоящем — пусть
их полезности являются сепарабельными, но при этом заданны линейными
монотонными и одинаковыми у обоих полезностями при σ = 0. Пусть в будущих событиях — σ = 1, 2 имеется по два продукта, и x = (xσ=1 , xσ=2 ) отвечает
потреблению 1-го агента, а y = (y σ=1 , y σ=2 ) — потребительская программа 2-го.
Пусть Xi = R4+ , i = 1, 2, полный вектор исходных запасов ω = (ωi )i=1,2 ∈ R8+
удовлетворяет ωi
0, i = 1, 2, а полезности задаются функциями
u1 (x) = ρ1σ=1 U1σ=1 (xσ=1 ) + ρ1σ=2 U1σ=2 (xσ=2 ),
u2 (y) = ρ2σ=1 U2σ=1 (y σ=1 ) + ρ2σ=2 U2σ=2 (y σ=2 ),
где при i, σ = 1, 2 действительные ρiσ > 0, а Uiσ являются (прологарифмированными) функциями Кобба–Дугласа:
U1σ (z) = ασ ln(z1 ) + (1 − ασ ) ln(z2 ), 0 < ασ < 1,
U2σ (z) = βσ ln(z1 ) + (1 − βσ ) ln(z2 ), 0 < βσ < 1.
В анализе ядра неполного рынка мы будем основываться на ключевой Лемме 2.3, которая в случае функций Кобба–Дугласа даёт полное описание ядра.
Теперь, чтобы воспользоваться пунктом (i) этой леммы, нужно прежде всего
дать конструктивное описание частично оптимальных по Парето распределений. В силу сепарабельности полезностей по состояниям мира, оптимальность
по Парето относительно σ распределения (x, y) полностью определяется потребительскими программами в данном событии (xσ , y σ ) (в общем случае зависимость может существовать), т. е. функциями U1σ (.), U2σ (.) и объёмами совокупных исходных запасов ω
¯ σ = ω1σ + ω2σ . Другими словами, при сепарабельных полезностях множество частично оптимальных по Парето распределений
представимо как декартово произведение (по σ) границ Парето, отвечающих
спотовым рынкам. Определим далее границу Парето в модели, индуцированной (сниженной) на σ.
Вычислим в общем виде границу Парето в классической модели рынка
с функциями Кобба–Дугласа. Пусть имеется два продукта и два потребителя, где как и ранее x означает потребление 1-го, а y — 2-го агента. В силу
2.2. Договорной подход в неполных рынках
69
условия индивидуальной рациональности нас будут интересовать только распределения из внутренности потребительских множеств, т. е. (x, y)
0. В
таком случае каждой оптимальной по Парето точке можно сопоставить (ненулевой) вектор цен p, который должен быть коллинеарен градиентам функций
полезности. Этот вектор находится однозначно с точностью до нормировки,
поэтому условия существования p = (p1 , p2 )
0 и λ > 0 таких, что
p = grad U1 = ( xα1 , 1−α
) ⇐⇒ x = ( pα1 , 1−α
) &
x2
p2
p, x = 1,
p = λgrad U2 = λ( yβ1 , 1−β
) ⇐⇒ y = λ( pβ1 , 1−β
) &
y2
p2
p, y = λ,
являются необходимым и достаточным условием оптимальности по Парето
распределения (x, y). Учитывая x + y = ω
¯ = (¯
ω1, ω
¯ 2 ), из правой части последних соотношений находим
( pα1 , 1−α
) + λ( ω¯β1 , 1−β
).
) + λ( pβ1 , 1−β
)=ω
¯ =⇒ p = ( ω¯α1 , 1−α
p2
p2
ω
¯2
ω
¯2
Таким образом, действительный λ > 0 однозначно параметризует границу
Парето (ибо x, y однозначно находятся по p и λ). Кроме того ясно, что данный
анализ границы Парето можно легко распространить на более общий случай —
любого (конечного) числа продуктов и любого числа потребителей. Отметим
только, что тогда число определяющих границу (положительных) параметров
будет равно числу агентов минус 1.
Далее обратимся собственно к модели неполного рынка. Рассмотрим здесь
случай единственного реального актива. Пусть, например, этот актив a имеет
вид
a = (aσ=1 , aσ=2 ), aσ=1 = −aσ=2 = (1, 0).
В таком случае при заданных ценах на спотовых рынках матрица финансовых
отдач P1 A от торговых портфелей финансового сектора будет иметь вид
P1 A =
p1σ=1
−p1σ=2
.
Теперь обратимся к пункту (ii) Леммы 2.3, который требует, чтобы текущее
частично оптимальное по Парето распределение (x, y) было p1 -достижимо и
являлось элементом p-ядра экономики для частично паретовских цен p, отвечающих данному распределению.
Чтобы упростить выкладки в дальнейшем анализе, будем считать, без
ограничения общности, что совокупные запасы каждого продукта в каждом
из состояний мира равны 1, т. е. положим ω
¯ σ=1 = ω
¯ σ=2 = (1, 1). Условие частичной оптимальности по Парето означает, что при некоторых λ > 0 и γ > 0
имеет место
pσ=1 =
ασ=1 1−ασ=1
, ω¯ 2
1
ω
¯ σ=1
σ=1
+λ
βσ=1 1−βσ=1
, ω¯ 2
1
ω
¯ σ=1
σ=1
ω
¯ σ =(1,1)
pσ=1 = (α1 + λβ1 , 1 − α1 + λ(1 − β1 )),
⇐⇒
(2.19)
70
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
pσ=2 =
ασ=2 1−ασ=2
, ω¯ 2
1
ω
¯ σ=2
σ=2
+γ
βσ=2 1−βσ=2
, ω¯ 2
1
ω
¯ σ=2
σ=2
ω
¯ σ =(1,1)
⇐⇒
pσ=2 = (α2 + γβ2 , 1 − α2 + γ(1 − β2 )).
(2.20)
Условие p1 -достижимости говорит о том, что существует такой действительный z, что P1 x = P1 ω1 + P1 Az, откуда с учётом структуры P1 A получаем
pσ=1 xσ=1 = pσ=1 ω1σ=1 + p1σ=1 z,
pσ=2 xσ=2 = pσ=2 ω1σ=2 − p1σ=2 z,
что в силу pσ xσ = 1 в свою очередь эквивалентно
p1σ=2 + p1σ=1 = p1σ=2 pσ=1 , ω1σ=1 + p1σ=1 pσ=2 , ω1σ=2 .
Используя (2.19), (2.20), находим
α2 + γβ2 + α1 + λβ1 =
= (α2 + γβ2 ) (α1 + λβ1 ), 1 − α1 + λ(1 − β1 )), ω1σ=1 +
+(α1 + λβ1 ) (α2 + γβ2 , 1 − α2 + γ(1 − β2 )), ω1σ=2 .
(2.21)
Таким образом распределение (x, y) является p1 -достижимым тогда и только тогда, когда определяющие его параметры λ > 0, γ > 0 удовлетворяют
уравнению (2.21).
Далее обратимся к свойству распределения быть недоминируемым по коалициям. Так как список коалиций исчерпывается одноэлементными и коалицией всех потребителей, то выполнение этого требования означает:
(i) u1 (x) ≥ u1 (ω1 ) & u2 (y) ≥ u2 (ω2 ),
(ii) распределение (x, y) является H(p1 )-оптимальным по Парето для частично паретовских цен p1 .
Здесь условие (ii) требует дальнейшего анализа. С этой целью воспользуемся
Следствием 2.1. В нашем контексте Следствие 2.1 утверждает, что распределение будет H-оптимальным если и только если найдётся такой µ > 0, что
вектор p˜ = grad u2 (y) − µp удовлетворяет требованию
p˜σ=1 aσ=1 + p˜σ=2 aσ=2 = 0 =⇒ p˜1σ=1 − p˜1σ=2 = 0,
что с учётом взаимосвязи grad u2 (y) с p даёт
1
1
1
1
( − µ)p1σ=1 − ( − µ)p1σ=2 = 0 ⇐⇒ µ(p1σ=2 − p1σ=1 ) = p1σ=2 − p1σ=1 .
λ
γ
γ
λ
Последнее соотношение распадается на следующие варианты:
a) p1σ=2 = p1σ=1 =⇒ λ = γ,
b) p1σ=2 > p1σ=1 =⇒ λp1σ=2 > γp1σ=1 ,
c) p1σ=2 < p1σ=1 =⇒ λp1σ=2 < γp1σ=1 .
2.2. Договорной подход в неполных рынках
71
Таким образом, учитывая соотношения (2.19), (2.20), распределение является
H-оптимальным если и только если выполнено одно из соотношений:
α2 + γβ2 = α1 + λβ1 & λ = γ,
(2.22)
α2 + γβ2 > α1 + λβ1 & λ(α2 + γβ2 ) > γ(α1 + λβ1 ),
(2.23)
α2 + γβ2 < α1 + λβ1 & λ(α2 + γβ2 ) < γ(α1 + λβ1 ).
(2.24)
Подведём итоги приведённого анализа. Мы предположили, без ограничения общности, что ω
¯ σ=1 = ω
¯ σ=2 = (1, 1). Распределения из ядра данной модели
неполного рынка однозначно параметризуется действительными λ > 0, γ > 0,
которые должны удовлетворять (2.21) и одному из соотношений (2.22)–(2.24).
При этом потребление 1-го находится по формулам
xσ=1 =
α1 1 − α1
,
p1σ=1 p2σ=1
, xσ=2 =
α2 1 − α2
,
p1σ=2 p2σ=2
,
где pσ=1 и pσ=2 определяются по λ, γ из формул (2.19), (2.20), а потребление
2-го агента y задаётся как
y = (1, 1, 1, 1) − x.
Кроме того, должны выполнятся соотношения
u1 (x) ≥ u1 (ω1 ) & u2 (y) ≥ u2 (ω2 ).
Данные требования непротиворечивы, поскольку равновесное распределение,
которое существует, всем им удовлетворяет. В общем случае ядро представляется как образ множества определяющих параметров, полученного как пересечение некоторой гиперболы, заданной уравнением (2.21) и множества,
полученного как объединение трёх множеств, определяемых соотношениями
(2.22)–(2.24). Дополнительно должны быть выполнены соотношения, следующие из свойства индивидуальной рациональности данного распределения.
В заключении скажем несколько слов о множестве, определяемом соотношениями (2.22)–(2.24). Ясно, что (2.22) может быть выполнено только при
специальных значениях параметров ασ , βσ , σ = 1, 2 (либо α1 −α2 и β1 −β2 одновременно не равны нулю и разного знака, либо α1 = α2 β1 = β2 одновременно)
и в общем случае определяет одноэлементное или пустое множество. Ограничения (2.23), (2.24) более нетривиальны. Действительно, рассмотрим прямую
α2 + γβ2 = α1 + λβ1 и гиперболу λ(α2 + γβ2 ) = γ(α1 + λβ1 ). Прямая пересекает
положительный ортант по некоторому лучу с положительным направляющим
вектором и делит всю плоскость на две открытые полуплоскости — левую и
правую. Гипербола имеет асимптоты параллельные осям координат, которые
1
, −α2 ). Так как точка (0, 0) удовлетвопересекаются в точке (λ0 , γ0 ) = ( β2α−β
1 β2 −β1
ряет уравнению гиперболы, то проходящая через неё ветвь и только она пересекается с ортантом. Причём заметьте, что точка пересечения гиперболы с
прямой в точности соответствует условию (2.22) (при (λ, γ)
0). Далее пусть,
72
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
например, β2 − β1 > 0. Тогда множество, определяемое соотношением (2.23),
можно описать как пересечение открытого надграфика левой ветви гиперболы
с открытой левой верхней полуплоскостью, заданной нашей прямой. Соотношение (2.24) будет выполнено в точках пересечения внутренности множества,
полученного как дополнение к надграфику левой ветви гиперболы в пределах
положительного ортанта, с открытой правой нижней полуплоскостью. Объединение этих двух множеств с точкой пересечения прямой и гиперболы полностью описывает совокупность точек (λ, γ)
0, удовлетворяющих условиям
(2.22)–(2.24). Подобным образом рассматривается случай β2 − β1 < 0. Однако
здесь точка пересечения асимптот гиперболы имеет первую отрицательную
компоненту и только правая ветвь гиперболы пересекает внутренность ортанта (она проходит через ноль). Поэтому искомое множество представляется
как объединение трёх множеств. Первое — это пересечение правой открытой
полуплоскости, заданной прямой, с частью внутренности положительного ортанта, ограниченной (строго) правой ветвью гиперболы (часть подграфика).
Второе — это пересечение левой открытой полуплоскости с частью внутренности положительного ортанта, из которой нужно удалить подграфик правой
ветви гиперболы. Наконец, нужно добавить точку пересечения гиперболы с
прямой, если таковая существует.
Рассмотрим далее более нетривиальный пример неполного рынка, в котором полезности потребителей описываются также как в Примере 2.1, однако
на финансовом рынке имеется два актива. Частный случай этого рынка известен в литературе как пример Харта, в котором GEI-равновесие может не
существовать.
Пример 2.2 (Пример Харта) Рассмотрим в контексте описанной в Примере 2.1 модели экономики финансовый рынок с двумя активами, имеющими
следующую структуру. Пусть
a1 = (a1σ=1 , a1σ=2 ),
a1σ=1 = a1σ=2 = (1, 0)
a2 = (a2σ=1 , a2σ=2 ),
a2σ=1 = a2σ=2 = (0, 1).
и
Таким образом, купленный в единичном объёме, 1-й актив обещает отдачу
в виде единицы продукта 1 в будущем (каждом из событий). Аналогичные
отдачи по второму активу составляют единицу продукта 2 для будущего. В
целом матрица A материальных отдач имеет вид
1
0
A=
1
0
0
= Aσ=1
1 0 = Aσ=2
1
Отсюда находим матрицу финансовых отдач P1 A от торговых портфелей фи-
2.2. Договорной подход в неполных рынках
нансового сектора при заданных ценах p1 на спотовых рынках
0
1
pσ=1
1
2
pσ=1 0
pσ=1
1
= p1σ=1 pσ=1
P1 A = =
2
1
0
pσ=2 pσ=2
pσ=2
pσ=2
pσ=2
0
1
73
.
Как и в Примере 2.1, в анализе ядра мы основываемся на Лемме 2.3. В силу
пункта (i) этой леммы, каждому распределению из ядра (однозначно) отвечают частично паретовские цены p1 = (pσ )σ=1,2 . Далее, с учётом анализа, проведённого в Примере 2.1, для удобно нормированных частично паретовских цен,
в силу (2.19), (2.20) (здесь без ограничения общности ω
¯ σ=1 = ω
¯ σ=2 = (1, 1)),
получаем
α1 + λβ1 1 − α1 + λ(1 − β1 )
P1 A =
,
α2 + γβ2 1 − α2 + γ(1 − β2 )
где λ > 0 и γ > 0 некоторые вещественные параметры, однозначно параметризующие частичную границу Парето. В силу пункта (ii) Леммы 2.3 для того,
чтобы текущее частично оптимальное по Парето распределение (x, y) было
элементом неполного ядра также необходимо (и достаточно), чтобы оно было
p1 -достижимо и являлось элементом p-ядра экономики для частично паретовских цен p1 , отвечающих данному распределению. Условие p1 -достижимости
говорит о том, что существует такой вектор z = (z1 , z2 ), что P1 x = P1 ω1 +P1 Az,
что, с учётом выбранной нормировки цен (влечёт pσ=1 xσ=1 = pσ=2 xσ=2 = 1),
эквивалентно разрешимости системы
P1 Az =
1
1
− P1 ω1
(2.25)
относительно z. Сразу отметим, что если квадратная матрица P1 A невырождена, то решение системы (2.25) существует при любой правой части, в том
числе для данной. Напротив, если столбцы матрицы линейно зависимы (вырождение), то решение этой системы будет существовать только если существует решение в системе с одним неизвестным, где вместо матрицы P1 A можно
взять матрицу, состоящую из одного (любого) столбца исходной матрицы и
при той же правой части. Другими словами, если матрица вырождается, то
мы приходим к модели с одним активом. Таким образом, при невырожденной
матрице P1 A условие p1 -достижимости выполнено автоматически, при вырожденной это не так и оно превращается в нетривиальное условие. Матрица
P1 A вырождается если и только если её определитель обращается в ноль, т. е.
det(P1 A) = 0 ⇐⇒
(α1 + λβ1 )(1 − α2 + γ(1 − β2 )) = (α2 + γβ2 )(1 − α1 + λ(1 − β1 )).
(2.26)
В силу (2.25) p1 -достижимость имеет место только если для некоторого вещественного z выполнено
1 = pσ=1 ω1σ=1 + p1σ=1 z,
1 = pσ=2 ω1σ=2 + p1σ=2 z,
74
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
что в свою очередь эквивалентно
p1σ=2 − p1σ=1 = p1σ=2 pσ=1 , ω1σ=1 − p1σ=1 pσ=2 , ω1σ=2 .
Используя (2.19), (2.20), это уравнение можно стандартным образом переписать в виде уравнения на λ > 0 и γ > 0, подобное (2.21), что мы опустим.
Важно, что это соотношение должно быть выполнено одновременно с (2.26).
Кроме того, в силу свойства принадлежности p-ядру, необходимо требовать,
чтобы были выполнены соотношения
(i) u1 (x) ≥ u1 (ω1 ) & u2 (y) ≥ u2 (ω2 ),
(ii) распределение (x, y) является H(p1 )-оптимальным по Парето для частично паретовских цен p1 .
Анализ матрицы P1 A показывает, что здесь условие (ii) выполняется всегда, ибо сводится к существованию µ > 0, удовлетворяющему соотношению
µ(p1σ=2 + p1σ=1 ) = γ1 p1σ=2 + λ1 p1σ=1 . Поэтому существенными оказываются только
условие p1 -достижимости и индивидуальной рациональности (i).
Обратимся теперь к случаю, когда (2.26) ложно, т. е. матрица финансовых
отдач для частично паретовских цен невырождена. В таком случае распределение будет принадлежать неполному ядру только если оно принадлежит
обычному ядру рынка, т. е. должны быть выполнены требования (i) и (ii), где
(ii) трансформируется к виду обычной оптимальности по Парето. Последнее
стандартным образом можно выразить как требование коллинеарности градиентов функций полезности, что, в силу их связи с частично паретовскими
ценами в выбранной нормировке:
grad u1 (x) = (ρ1σ=1 pσ=1 , ρ1σ=2 pσ=2 ) & grad u2 (y) = (
даёт
λρ1σ=1 /ρ2σ=1 = γρ1σ=2 /ρ2σ=2
⇐⇒
λ=γ
ρ2σ=2
ρ2σ=1
p
,
pσ=2 )
σ=1
λ
γ
ρ2σ=1 ρ1σ=2
.
ρ1σ=1 ρ2σ=2
(2.27)
Таким образом, если для параметров λ > 0, γ > 0 одновременно выполнено последнее соотношение и не выполнено (2.26), то отвечающее им распределение
принадлежит неполному ядру.
Наконец, рассмотрим собственно пример Харта, который соответствует
нашей модели с двумя активами при дополнительном условии:
ρ1σ = ρ2σ = ρσ , σ = 1, 2 & ασ=1 = ασ=2 = α, βσ=1 = βσ=2 = β.
Первая часть этого условия и (2.27) влекут λ = γ, т. е. распределение оптимально по Парето тогда и только тогда, когда λ = γ. Начальные запасы в
примере Харта задаются как
ω1σ=1 = (1 − ε, 1 − ε), ω1σ=2 = (ε, ε), ω1σ + ω2σ = (1, 1), σ = 1, 2,
где вещественный 0 < ε < 1.
2.2. Договорной подход в неполных рынках
75
Покажем, что в примере Харта совокупность распределений из неполного
ядра, отвечающих невырожденной матрице финансовых отдач образует пустое множество. Действительно, если (x, y) ∈ C(E in ) и det(P1 A) = 0, то (x, y)
оптимально по Парето и λ = γ. Однако тогда из ασ = α, βσ = β, σ = 1, 2
заключаем совпадение строк матрицы P1 A и, следовательно, det(P1 A) = 0 —
противоречие.
Рассмотрим вторую возможность: (x, y) ∈ C(E in ) и det(P1 A) = 0. Она может реализоваться только если система (2.25) разрешима. Последнее в данном
случае эквивалентно разрешимости системы
α + λβ
α + γβ
1
1
z=
−
(α + λβ, 1 − α + λ(1 − β))ω1σ=1
(α + γβ, 1 − α + γ(1 − β))ω1σ=2
,
подставляя в которую значение исходных запасов и проделывая элементарные
выкладки, находим
α + λβ
α + γβ
z=
1
1
−
(1 − ε)(1 + λ)
ε(1 + γ)
.
(2.28)
Далее, подставляя ασ = α, βσ = β, σ = 1, 2 в (2.26) и проделывая выкладки,
находим
det(P1 A) = 0 ⇐⇒ (γ − λ)(α − β) = 0.
Таким образом, матрица финансовых отдач вырождена только если γ = λ
(видели выше) или при α = β. В первом случае (2.28) может быть выполнено
только если ε = 1/2. Во втором случае (2.28) сводится к системе
α
1+λ
1+γ
z=
1
1
−
(1 − ε)(1 + λ)
ε(1 + γ)
=
λ(ε − 1) + ε
1 + ε + εγ
.
В свою очередь эта система разрешима только если
λ(ε − 1) + ε
1+λ
=
1 + ε + εγ
1+γ
⇐⇒
1 + 2λ + λγ = 0.
Однако последнее уравнение неразрешимо при λ > 0 и γ > 0.
Подведём итоги проведённого анализа. В примере Харта ядро неполного
рынка является непустым множеством только при ε = 1/2, причём в этом
случае ядро совпадает с классическим ядром рынка (ибо тогда разрешимость
системы (2.28) эквивалентна оптимальности распределения по Парето). При
ε = 1/2 ядро пусто, что объясняется специфической особенностью заданных
модельных параметров, — предпочтений и реальных активов. Эта особенность
такова, что контрактируя друг с другом в каждом из событий природы и используя реальные активы (в заданной структуре) в настоящем, агенты не
способны достичь оптимального по Парето распределения, несмотря на то,
что потенциально активов достаточное число (столько же, сколько состояний
природы в будущем). Другими словами, любая достижимая сеть контрактов
оказывается нестабильной в том смысле, что коалиция {1, 2} всех операторов
76
Глава 2. Неполные рынки как договорная экономика
u2 ✻
A
✒✒
✒
граница Парето
✒
✒
✒
✒
✒
✒
V (1, 2)
✒
✒
✒ B
u(ω)
✲
u1
Рис. 2.2: стандартное и неполное ядро в примере Харта
рынка способна найти возможность для заключения новой сделки по обмену ресурсами, с учётом возможности разрыва уже заключенных контрактов
(напомним, что для будущих событий можно разрывать и виртуальные договора). Ситуацию иллюстрирует рис. 2.2, на котором стандартным образом
изображены возможности V (1, 2) = u[A(X )] коалиции {1, 2} в критериальном
пространстве “полезностей”. Возможности одноэлементных коалиций описываются вектором u(ω) = (u1 (ω1 ), u2 (ω2 )). Стандартному ядру рынка соответствует кривая AB, представляющая часть границы Парето, недоминируемую
одноэлементными коалициями. В неполном рынке точки этой кривой недостижимы потребителями, ибо отвечающий им набор полезностей реализуется на
распределениях, которые не являются p1 -достижимыми. Отметим, что к точкам из границы Парето всегда можно сколь угодно близко приблизится с помощью распределений, которые являются частично оптимальными по Парето
и при этом являются p1 -достижимыми относительно отвечающих им частично
паретовских цен. Действительно, частичная граница Парето полностью параметризуется парами (λ, γ)
0, причём точка принадлежит (полноценной)
границе Парето только если λ = γ. Более того, матрица финансовых отдач
также вырождается только при λ = γ (пусть α = β). Таким образом, всякой
точке (λ, γ)
0, λ = γ отвечает некоторое частично оптимальное и одновременно p1 -достижимое распределение, которое при λ/γ достаточно близком
к единице реализует вектор полезностей близкий к оптимальному по Парето. Оптимальных по Парето распределений в данном примере можно достичь
только в пределе, причём совокупность контрактов, отвечающих за обмен
активами в условии p1 -достижимости, при данном предельном переходе оказывается неограниченной. Последнее наблюдение является весьма важным,
поэтому остановимся на нём подробнее.
Действительно, контракт этого типа для некоторых (λ, γ)
0, λ = γ
можно вычислить как решение системы (2.25), откуда при det(P1 A) = 0 (вы-
2.3. Доказательства
77
полнено для λ = γ) находим
z = [P1 A]−1
1
1
− P1 ω1 .
Однако при γ → λ имеем det(P1 A) → 0 и, так как det([P1 A]−1 ) = 1/ det(P1 A), то
det([P1 A]−1 ) → ∞. Следовательно, ||[P1 A]−1 || — норма оператора [P1 A]−1 , рассматриваемая как функция от параметров λ, γ, неограниченна при γ → λ > 0.
Более того, можно показать, что именно на векторах вида y λγ = (1, 1) − P1 ω1
(цены зависят от λ, γ) значения оператора [P1 A]−1 не ограничены по норме
при γ → λ > 0. Представляется, что именно в этом и состоит основная причина потенциальной нестабильности финансового рынка. Содержательно, в
терминах договоров, в процессе заключения и перезаключения контрактов
операторы рынка могут устроить “гонку до бесконечности”, в том смысле, что
объёмы совокупных сделок по активам у одного из торговцев могут неограниченно возрастать. Проблему можно разрешить, если допустить возможность
введения некоторых ограничений на общий объём сделок на рынке активов
у каждого торговца — достаточно ограничить объёмы покупок или продаж,
однако у всех в одном стиле. Заметим, что выбирая конечные, но достаточно
большие ограничения, таким образом можно сколь угодно близко приблизиться к распределениям (набору полезностей) из классического ядра рынка.
2.3
Доказательства
Доказательство Леммы 2.1. Чтобы убедиться в истинности пункта (i) напомним, что для каждого договорного x = (xi )i∈I , xi = (x0i , . . . , xsi ) имеет место
представление (2.2), или эквивалентное ему соотношение (2.3). Далее, так как
(¯
xσi )i∈I является равновесным распределением редуцированной на σ = 1, . . . , s
модели E σ с запасами (ωiσ + Aσ ∆zi ) (было отмечено выше и следует из Теоремы 1.2), то
pσ x¯σi = pσ ωiσ + pσ Aσ ∆zi ,
(2.29)
откуда x¯ ∈ H и x¯i ∈ Hi для всех i. Кроме того, из равновесности распределения x¯σ и Теоремы 1.2 следует, что pσ uσi = 0, uσ ∈ U σ ∼ V σ для всех i и
σ ≥ 1. Теперь если (частично) разорвать часть договоров из U σ , то реализуется новое распределение (ˆ
xσi )i∈I , удовлетворяющее системе (2.29). Следовательно xˆ = (ˆ
x1 , . . . , xˆn ) ∈ H. Заметим, что разрывая (любую) часть договоров
в настоящем, касающиеся обменов по “активам”, участники просто реализуют
новое распределение, для которого условие принадлежности H реализуется
при новых ∆˜
zi . Последнее заканчивает проверку пункта (i).
Чтобы убедиться истинности (ii) предположим, что полусовершенно договорное x доминируется по Парето распределением y ∈ H. Так как x, y ∈ H,
то существуют такие z, z , что выполнены равенства:
pσ xσi − pσ ωiσ = pσ Aσ zi ,
σ = 1, . . . , s, i ∈ I,
78
Неполные рынки как договорная экономика
pσ yiσ − pσ ωiσ = pσ Aσ zi ,
σ = 1, . . . , s, i ∈ I.
s
Поскольку в сети контрактов V = ∪ V σ ∪ W , реализующих x = x(V ), догоσ=1
вора из V σ , σ ≥ 1 являются совершенными, то по определению совершенного
договора, мы можем заменить договора, относящиеся к будущим состояниям
мира и реализующие xσ , на (правильную) систему, состоящую из двух договоров — v σ и v σ , определённых по формулам
σ
v i = yiσ − ωiσ − Aσ zi , i ∈ I
v
σ
i
= xσi − yiσ − Aσ (zi − zi ), i ∈ I,
для всех σ = 1, . . . , s, сохраняя в настоящем “старые” договора. Достижимость этой сети следует из прямоугольности потребительских множеств. В
силу Утверждения 1.1 и его следствий для проверки правильности v σ и v σ
достаточно убедиться в том, что vi σ pσ = 0 и vi σ pσ = 0 для всех i, что имеет
место по построению. При этом по Определению 2.3 для коалиции I новая
система договоров должна быть устойчивой в отношении одновременной процедуры разрыва имеющихся и заключения нового договора в “настоящем”.
Однако теперь, разрывая договора второго типа и все договора в настоящем
целиком, и, заключая новый договор wˆ 0 = (y 0 − ω 0 , z ) для σ = 0, участники
коалиции способны реализовать распределение y, что противоречит определению полусовершенно-договорного распределения.
Пункт (iii) следует из определения полусовершенно договорного распределения и Теоремы 1.2.
Доказательство Леммы 2.2. Сначала рассмотрим более трудный факт необходимости требуемых в лемме соотношений, следующих из H-оптимальности
по Парето исследуемого распределения. С этой целью запишем в матричной
форме условия, которым удовлетворяет распределение из H. Тот факт, что
x ∈ A(X ) ∩ H, (т. е. x ∈ H достижимо), эквивалентен тому, что x ∈ X и
существуют zi ∈ Rk , i ∈ I удовлетворяющие системе уравнений:
n
i=1
n
xi =
n
ωi ;
i=1
zi = 0;
i=1
pσ xσi − pσ Aσ zi = pσ ωiσ , σ = 1, . . . , s.
Заметим, что если выполнены балансовые соотношения и бюджетные равенства вида pσ xσi − pσ Aσ zi = pσ ωiσ для фиксированного σ ≥ 1 и всех
i = 1, . . . , n − 1, то автоматически выполнено и последнее бюджетное равенство. Поэтому бюджетные ограничения участника n, как линейно зависимые,
можно без ущерба исключить из определяющей пространство H системы линейных уравнений. Обозначим через B матрицу
Доказательства
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
El
0
.
..
0
0
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
79
0
El
...
.
0
0
.
···
.
0
0
p1
.
.
...
.
.
El
0
0
.
.
...
...
.
0
..
.
0
..
.
0
.
.
.
ps
.
.
.
...
.
0
..
.
0
.
...
.
...
.
...
El
0
.
..
0
0
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
0
El
...
.
0
0
.
0
0
0
..
.
0
.
.
...
...
.
...
.
p1
.
.
El
0
0
..
.
0
..
.
0
.
0
.
.
.
ps
El
0
0
El
...
.
0
0
.
0
0
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
.
0
0
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
.
.
...
...
.
El
0
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
.
...
.
...
.
...
0
0
.
..
0
Ek
−p1 A1
..
.
−ps As
...
...
.
..
...
...
.
.
0
..
.
0
.
.
.
.
.
.
0
0
.
..
0
Ek
0
..
.
0
.
−p1 A1
..
.
−ps As
0
0
.
..
0
Ek
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
Здесь стандартным образом El и Ek — единичные матрицы соответствующей
размерности, а p1 , . . . , ps , и p1 A1 , . . . , ps As — вектор-строки. Тогда имеет место
эквивалентность:
сбалансированный x ∈ H ⇐⇒ существует z = (z1 , . . . , zn ) такой, что
0 ω
¯0
x1
..
.. .
. s
s ω
¯
x1 . 0k . . p1 ω11 0 ..
x .
B ∗ .n = .
.. s p s ω1 xs ..
n .
z 1 p ω1 .. 1 n−1 . ..
.
zn
s
ps ωn−1
Далее рассмотрим подпространство
H Z = {((x1 , z1 ), . . . , (xn , zn )) ∈ (Rl(s+1) × Rk )I | B(x1 , . . . , xn , z1 , . . . , zn ) = 0},
— это просто ядро оператора B(.), в котором с целью удобства изложения изменён порядок компонент. По предположению распределение x¯ ∈ H и “неулучшаемо” в пределах подпространства H. Следовательно должно быть
[(Pi (¯
xi ) − x¯i ) × Rk ] ∩ H Z = ∅,
I
причём в силу второй части предположения (A) каждое из пересекаемых множеств непусто. По теореме отделимости существует отделяющий функционал
f = (f1 , . . . , fn ), f = 0, fi = (fix , fiz ) ∈ Rl(s+1)+k такой, что
[(Pi (¯
x) − x¯i ) × Rk ] ≥ f, H Z .
f,
I
80
Неполные рынки как договорная экономика
Заметим, что функционал f постоянен (и, значит, тождественно равен нулю) на подпространстве H Z , поскольку правая часть последнего неравенства
ограничена. Следовательно, должно быть
[(Pi (¯
x) − x¯i ) × Rk ] ≥ 0.
f,
(2.30)
I
Теперь покажем, что fiz = 0, т. е.
fi = (fi0 , . . . , fis , 0, . . . , 0)
k
для каждого i ∈ I. Действительно, рассмотрим фиксированные xˆ =
(ˆ
x1 , . . . , xˆn ), xˆi ∈ (Pi (¯
x) − x¯i ), i ∈ I, uˆj ∈ Rk , j = i. В силу (2.30) для любого u ∈ Rk имеем
fj , (ˆ
xj , uˆj ) + fi , (ˆ
xi , u) ≥ 0,
j=i
что возможно только если fiz = 0, причём для всех i ∈ I. Для удобства в
дальнейшем будем обозначать fi = (fix , 0) = (fi , 0).
Далее покажем, что
fi , (Pi (¯
x) − x¯i ) ≥ 0, i ∈ I,
(2.31)
причём для fi = 0 и x¯i ∈ intXi эти неравенства строгие. Предполагая противное найдём участника с номером j0 такого, что
fj0 , (yj0 − x¯j0 ) = −ε
для некоторого ε > 0, yj0 ∈ Pj0 (¯
x). В силу второй части (A) — локальной
ненасыщаемости предпочтений — можно заключить, что
∀ i = j0
∀ δ > 0 ∃ yi ∈ Pi (¯
x) :
yi − x¯i ≤ δ.
Но тогда, поставляя y = (y1 , . . . , yn ) в (2.30), получаем
f, (y − x¯) =
fi , (yi − x¯i ) − ε ≤ δ
i=j0
fi
−ε.
i=j0
Заметим теперь, что по выбору yj0 предположение i=j0 fi = 0 сразу противоречит формуле (2.30). Однако, выбирая δ < ε/ i=j0 fi , заключаем,
что f, (y − x¯) < 0, что опять противоречит (2.30). Таким образом (2.31) доказано. При этом для fi = 0 заключение о строгих неравенствах стандартным
образом следует из (A) и x¯i ∈ intXi .
Далее, из того факта, что функционал f = (f1 , . . . , fn ) постоянен на подпространстве H Z следует, что он может быть представлен как линейная комбинация вектор-строк матрицы B. Теперь, используя структуру матрицы B,
можем заключить, что найдутся такие действительные λσi , i = n, σ ≥ 1 и
Доказательства
81
вектора q ∈ Rk , p¯ = (¯
p0 , . . . , p¯s ) ∈ E, что для всех i = n выполнена следующая
система уравнений:
0
fi = p¯0 ,
σ
fi = p¯σ + λσi pσ ,
σ ≥ 1,
(2.32)
s
z
σ
f
=
0
=
−q
+
λ
p
A
,
i
i σ σ
σ=1
fnz
а для i = n имеет место
= 0 = −q + 0 и fnx = p¯. Полагая λσn = 0 для всех
σ ≥ 1 мы можем считать, что (2.32) выполнено для всех i ∈ I. Кроме того, из
системы (2.32) следует, что q = sσ=1 λσi pσ Aσ = 0 для всех i. Наконец заметим,
что предположение p¯0 = 0 при x¯ ∈ intX противоречит (S) — локальной ненасыщаемости на всех спотовых рынках, а значит и при σ = 0.9 Следовательно,
fi = 0 и в правой части соотношения (2.31) строгое неравенство для всех i.
Более того, так как fn = p¯ = 0, то по аналогичным соображениям — из локальной ненасыщаемости потребителя n на всех спотовых рынках будущего —
заключаем, что p¯σ = 0 и для всех σ ≥ 1. Кроме того из сказанного, в силу (S)
и (2.31), легко видеть, что и fiσ = 0 для всех i и σ.
Наконец покажем, что вектор p¯ удовлетворяет прочим требованиям Леммы 2.2. С этой целью прежде всего заметим, что по определению Hi для любого xi ∈ Hi имеем
pσ (xσi − ωiσ ) = pσ Aσ zi , σ = 1, . . . , s
для некоторого zi ∈ Rk . Умножая эти соотношения на λσi и суммируя по σ ≥ 1
получаем
s
s
s
(2.33)
σ=1
σ=1
σ=1
λσi pσ Aσ )zi = qzi .
λσi pσ Aσ zi = (
λσi pσ (xσi − ωiσ ) =
Далее, в силу (2.31) и показанного выше имеем:
fi , (Pi (¯
x) − x¯i ) > 0 =⇒ fi , (yi − x¯i ) > 0 ∀ yi ∈ Pi (¯
x) ∩ H i = ∅
(2.34)
для всех i ∈ I. Теперь, подставив выражения для fi из системы (2.32), получим
s
p¯0 (yi0
−
x¯0i )
(¯
pσ + λσi pσ ), (yiσ − x¯σi ) > 0 ∀ yi ∈ Pi (¯
x) ∩ H i .
+
σ=1
s
Вычитая из левой и правой части неравенства величину
σ=1
преобразований получаем
p¯σ yiσ
+
σ=1
λσi pσ (yiσ
+
σ=1
s
s
s
s
p¯0 yi0
−
ωiσ )
>
p¯0 x¯0i
p¯σ x¯σi
+
σ=1
λσi (pσ ωiσ ), после
xσi − ωiσ ).
λσi pσ (¯
+
σ=1
9
Так как по определению Hi : если yi ∈ Hi , то для y¯i = (¯
yiσ )σ=s
¯iσ = yiσ для σ ≥ 1,
σ=0 , где y
имеем y¯i ∈ Hi при любом y¯i0 , а значит Pi (¯
x) ∩ Hi = ∅ для всех i.
82
Неполные рынки как договорная экономика
Поскольку x¯i , yi ∈ Hi , то найдутся такие z¯i = z¯i (¯
xi ), zi = zi (yi ), что выполнены
соотношения (2.33), откуда в силу предыдущего для этих z¯i и zi получаем
p¯, yi + qzi > p¯, x¯i + q¯
zi .
Однако из последнего уравнения системы (2.32) имеем q = fnz = 0, откуда
заключаем
p¯, yi > p¯, x¯i
∀ yi ∈ Pi (¯
x) ∩ Hi ⇐⇒ p¯, ((Pi (¯
x) ∩ Hi ) − x¯i ) > 0.
(2.35)
Последнее завершает проверку необходимости условий (2.9), (2.10). Покажем
далее их достаточность.
Достаточность условий (2.9), (2.10) для H(p1 )-оптимальности по Парето
распределения x¯ ∈ A(X ) ∩ H(p1 ) устанавливается совершенно стандартно.
Действительно, пусть нашелся y = (yi )I ∈ A(X ) ∩ H(p1 ) такой, что yi i x¯i
для всех i. Тогда так как правая часть в (2.9) выполнена для y = (yi )I ∈ H(p1 )
по определению H(p1 ), в силу левой части (2.9) заключаем p¯yi > p¯x¯i для всех
i. Теперь, суммируя неравенства по i находим p¯ i∈I yi > p¯ i∈I x¯i . Но, так
как
¯i =
i∈I yi =
i∈I x
i∈I ωi , то приходим к противоречию. Лемма 2.2
доказана.
Доказательство Следствия 2.1. Необходимо рассмотреть гладкий случай в
контексте Леммы 2.2. В сторону необходимости: существование требуемых величин αi > 0 и λσi ∀ σ ≥ 1 можно установить непосредственно из соотношений
(2.9), (2.10), с использованием теоремы отделимости (или просто из необходимых условий экстремума в задаче выпуклого программирования). Однако
проще всего это увидеть из условия x¯ ∈ intX и соотношений (2.31), полученных в процессе доказательства Леммы 2.2. Отсюда стандартным образом
заключаем существование таких αi > 0, что grad ui (¯
xi ) = αi fi (αi = 0 в силу
fi = 0 и grad ui (¯
xi ) = 0). Наконец, нужно воспользоваться (2.32).
Чтобы установить достаточность покажем, что выполнены соотношения
(2.9), (2.10). Предположим для некоторого i и yi ∈ Pi (¯
xi ) выполнено ∃ zi ∈ Rk :
pσ (yiσ − ωiσ ) = pσ Aσ zi ∀ σ ≥ 1. По свойству градиента для внутренних точек
имеем
grad ui (¯
xi ), yi > grad ui (¯
xi ), x¯i ∀ i ∈ I.
Подставляя сюда представление градиента, данное в условиях следствия, заключаем
s
s
λσi pσ yiσ > αi p¯x¯i +
αi p¯yi +
σ=1
λσi pσ x¯σi .
σ=1
Однако найдутся такие zi , z¯i ∈ R , что pσ yiσ = pσ ωiσ + pσ Aσ zi &
pσ x¯σi = pσ ωiσ + pσ Aσ z¯i ∀ σ ≥ 1. Подставляя выражения в предыдущую формулу, находим
k
s
s
λσi pσ ωiσ
αi p¯yi +
σ=1
s
λσi pσ Aσ )zi
+(
σ=1
s
λσi pσ ωiσ
> αi p¯x¯i +
σ=1
λσi pσ Aσ )¯
zi ,
+(
σ=1
Доказательства
откуда в силу
83
s
σ=1
λσi pσ Aσ = 0 и αi > 0 имеем искомый результат.
Доказательство Теоремы 2.1. Чтобы показать включение
W (E in ) ∩ intX ⊂ intX ∩ Dcp (E in )
возьмём x ∈ W (E in ) ∩ intX и рассмотрим систему договоров V = {v σ }σ=s
σ=0 , где
v 0 = w = (u, z) = (x0 − ω 0 , z),
v σ = (xσ − ω σ − Aσ z), σ = 1, . . . , s
и по соглашению Aσ z = (Aσ zi )i∈I . В силу Теоремы 1.2 и определения GEI-равновесия легко видеть, что v 0 — правильный, а v σ — совершенные договора
для всех σ ≥ 1. Также из определения равновесия легко видеть, что данная
сеть договоров удовлетворяет условию их совместной стабильности по Определению 2.4.
Докажем обратное включение. Пусть x¯ ∈ intX ∩ Dcp (E in ). По определению
s
найдётся слабо стабильная сеть контрактов V =
Vσ
W , реализующая
σ=1
σ
распределение x¯ = x(V ), причём контракты из V совершенные, а из W —
правильные, а сеть в целом устойчива относительно одновременной процедуры разрыва (соответствующего типа) и заключения нового договора в “настоящем”.
Так как всегда имеет место Dcp (E in ) ⊂ Dsp (E in ), то в силу Леммы 2.1 и
условия x¯ ∈ intX ∩ Dcp (E in ) заключаем, что выполнены условия Леммы 2.2
и Следствия 2.2. Пусть p¯ = (¯
p0 , . . . , p¯s ) вектор, который по Следствию 2.2
(однозначно) сопоставляется распределению x¯ и удовлетворяет (2.11). Покажем, что найдётся z¯, такой, что (¯
x, z¯, p¯, q¯), где q¯ = σ=s
¯σ Aσ , является GEIσ=1 p
in
равновесным распределением модели E . С этой целью прежде всего установим, что x¯ ∈ intX ∩ Dcp (E in ) влечёт
p¯, x¯i = p¯, ωi , i ∈ I.
Предполагая противное допустим, что найдется участник i0 такой, что
p¯ ωi0 > p¯ x¯i0 . Но тогда в силу гладкости предпочтений
x¯i0 + µ(ωi0 − x¯i0 )
i0
x¯i0
для всех достаточно малых µ > 0. Однако теперь, используя (2.3), можем
записать
x¯0i0 + µ(ωi00 − x¯0i0 ) = ωi00 + ∆0i0 (V ) − µ∆0i0 (V ) = ωi00 + (1 − µ)∆0i0 (W ),
x¯σi0 + µ(ωiσ0 − x¯σi0 ) = ωiσ0 + ∆i0 (V σ ) + Aσ ∆zi0 − µ∆i0 (V σ ) − µAσ ∆zi0 =
= ωiσ0 + (1 − µ)∆i0 (V σ ) + (1 − µ)Aσ ∆zi0 ,
σ = 1, . . . , s.
По выбору µ можно считать, что 0 ≤ (1 − µ) < 1, µ > 0. Но теперь участник
i0 может разорвать все свои договора в объеме µ, увеличивая свою полезность,
что противоречит стабильности снизу правильно-договорного распределения
84
Неполные рынки как договорная экономика
x¯. Следовательно p¯, x¯i ≤ p¯, ωi для всех i ∈ I. Отсюда, используя сбалансированность x¯, получаем искомый результат.
Далее, так как в силу Леммы 2.1, Леммы 2.2 и Следствия 2.2 имеем
x¯ ∈ H(¯
p1 ), то
p¯σ x¯σi = p¯σ ωiσ + p¯σ Aσ z¯i ∀ σ ≥ 1
для некоторых z¯i ∈ Rk и всех i ∈ I, причём
¯i = 0. Возьмём этот
i∈I z
z¯ = (¯
zi )i∈I в качестве искомого для распределения x¯. Теперь из доказанного в
силу
s
s
p¯σ x¯σi
p¯x¯i =
σ=0
=
p¯0 x¯0i
s
p¯σ ωiσ
+
σ=1
+
s
p¯σ ωiσ
p¯σ Aσ z¯i =
σ=1
σ=0
легко заключить, что имеет место p¯0 x¯0i = p¯0 ωi0 − q¯z¯i , где q¯ = σ=s
¯σ Aσ . Приσ=1 p
меняя далее Следствие 2.2 и (2.11) заключаем, что для каждого i вектор x¯i
является максимальным элементом i на множестве Bi (¯
p, q¯) всех xi ∈ Xi ,
удовлетворяющих условиям
∃ zi ∈ Rk : p¯0 x0i = p¯ωi0 − q¯zi & p¯σ xσi = p¯ωiσ + p¯σ Aσ zi ∀ σ ≥ 1.
Однако, используя предположение (S) — локальная ненасыщаемость на каждом из спотовых рынков, стандартными рассуждениями устанавливаем, что
если i достигает максимума10 на множестве xi ∈ Xi , удовлетворяющих
∃ zi ∈ Rk : p¯0 x0i ≤ p¯ωi0 − q¯zi & p¯σ xσi ≤ p¯ωiσ + p¯σ Aσ zi ∀ σ ≥ 1,
то точка этого максимума с необходимостью должна принадлежать множеству Bi (¯
p, q¯) (т. е. в точке максимума все неравенства должны выйти на равенства). Следовательно доказано, что выполнено условие (i) Определения 2.1
для (¯
x, z¯, p¯, q¯).
Так как требование (ii) этого определения также очевидно выполнено, то
Теорема 2.1 доказана.
Доказательство Утверждения 2.1. Чтобы применить теорему Скарфа нужно показать, что игра (I, Vp ), определенная на основе неполного рынка E in при
фиксированных ценах p1 , сбалансирована. С этой целью рассмотрим произвольное сбалансированное семейство B. Необходимо показать, что для любого
вектора полезностей v = vI , отвечающего p1 -достижимому распределению,
выполнено свойство:
[ ∀ S ∈ B pr|S (v) ∈ Vp (S) ] ⇒ vI ∈ Vp (I).
10
Чтобы максимум существовал можно дополнительно предположить, что хотя бы у одного агента предпочтения строго монотонны и каждое потребительское множество ограничено снизу. Монотонность предпочтения обеспечивает строгую положительность вектора
цен p¯, (а только это и нужно), что в силу ограниченности снизу влечёт компактность бюджетных множеств, и, значит, из непрерывности предпочтений следует существование точки
максимума. Причём ясно, что предположение о монотонности можно ещё более ослабить,
предполагая, например, неразложимость или какую-либо другую форму ресурсной связности.
Доказательства
85
Действительно, по определению игры для каждого S ∈ B существует такой
xS ∈ Ap (S), что vS = (vi )i∈S ≤ (ui (xSi ))i∈S = uS (xS ). Из определения сбалансированного семейства для каждого S ∈ B возьмём отвечающее коалиции S
действительное λS ≥ 0. Теперь, умножим неравенства на λS и просуммируем
их по всем коалициям S из семейства B. В силу вогнутости функций полезности получим (vi )i∈I ≤ (ui (¯
xi ))i∈I для некоторого x¯ ∈ Ap (I), что и доказывает
vI ∈ Vp (I).
Наконец, если v¯I — вектор, реализующий максимум i∈I vi при vI = (vi )I
из ядра игры (I, Vp (S)) (которое является компактом), то, очевидно, ему будет
соответствовать распределение из Cp (E).
Доказательство Леммы 2.3. Чтобы установить истинность Леммы 2.3 в сторону необходимости рассмотрим некоторый x ∈ C(E in ) ∩ intX. Ясно, что всякое распределение из ядра модели E in является относительным равновесием
на рынках будущего в редуцированных моделях экономики Eσin относительно
запасов ωiσ + Aσ ∆zi (W ), i ∈ I и при фиксированных потреблениях на всех
прочих рынках (это следует из совершенства договоров на рынках будущего
и Теоремы 1.2). Это в частности доказывает пункт (i). Установим далее (ii).
В силу x ∈ intX и дифференцируемости функций полезности, вектора равновесных цен p¯σ , σ ≥ 1 определяются однозначно с точностью до нормировки.
Покажем, что x ∈ Cp¯ (E in ). Далее доказательство идёт параллельно доказательству пункта (ii) Леммы 2.1. Предполагая противное найдём y ∈ Ap¯(S)
такой, что y S x относительно p¯1 . Так как x ∈ Ap¯(I), y ∈ Ap¯(S), то существуют z, z такие, что выполнены равенства:
p¯σ xσi − p¯σ ωiσ = p¯σ Aσ zi ,
σ = 1, . . . , s, i ∈ I,
p¯σ yiσ − p¯σ ωiσ = p¯σ Aσ zi ,
σ = 1, . . . , s, i ∈ S.
Поскольку все договора, относящиеся к будущим состояниям мира, являются
совершенными, то в системе договоров, реализующей распределение (xσi )i∈I ,
мы можем заменить исходную сеть договоров системой V σ , состоящей из двух
правильных договоров v σ и v σ :
σ
vi = yiσ − ωiσ − Aσ zi ,
σ
i ∈ S,
vi = (xσi − yiσ ) − Aσ (zi − zi ), i ∈ S,
σ
vi = 0,
i ∈ I \ S;
σ
vi = xσi − ωiσ − Aσ zi , i ∈ I \ S,
причём для всех σ = 1, . . . , s, сохраняя в настоящем “старые” договора. Тот
факт, что это договора, образующие сеть, легко проверяется из определения
Ap¯(S) и в силу прямоугольности потребительских множеств. Напомним, что
для проверки их правильности достаточно убедиться в том, что vi σ p¯σ = 0
и vi σ p¯σ = 0 для всех i (см. Теорему 1.2). Отметим, что по построению
suppv σ ⊆ S для всех σ ≥ 1. При этом по определению C(E in ) новая система
договоров должна быть устойчивой в отношении одновременной процедуры
разрыва договора в настоящем, имеющихся договоров из виртуальных сетей
отвечающих будущим событиям при соблюдении условия (2.4) и заключения
86
Неполные рынки как договорная экономика
нового договора в “настоящем”. Однако теперь, разрывая договора второго
типа и все договора в настоящем целиком, и, заключая при t = σ = 0 новый
договор w = [(yi0 − ωi0 , zi )]i∈S , члены коалиции S способны реализовать распределение y ∈ Ap¯(S), что противоречит определению ядра неполного рынка.
Докажем достаточность условий (i), (ii) Леммы 2.3. По предположению xσ
является оптимальным по Парето в σ-редуцированной модели при фиксированных x−σ и исходных запасах ωiσ + Aσ zi , σ ≥ 1. При этом x ∈ Cp (E in ) ∩ intX
для частично паретовских цен p1 = (p1 , . . . , ps ). Следовательно, найдутся
zi ∈ Rk , удовлетворяющие
P1 x1i = P1 ωi1 + P1 Azi .
Теперь рассмотрим сеть договоров V = ∪ {v σ } ∪ {w}, где при Aσ z = (Aσ zi )I
σ≥1
положим
w = (x0 − ω 0 , z),
v σ = (xσ − ω σ − Aσ z),
σ = 1, . . . , s
и покажем, что x = x(V ) ∈ C(E in ).
Далее прежде всего покажем, что каждый договор v σ , σ ≥ 1 совершенный.
Действительно, для фиксированного σ ≥ 1 по построению имеем pσ viσ = 0 для
всех i. Так как цены p1 паретовские, то для всех i имеем также
pσ yiσ > pσ xσi
∀ yi = (yiσ , x−σ
i ) ∈ Pi (xi ).
Теперь применим Утверждение 1.1 в сторону достаточности соотношения
(1.1), заключая когерентность договора v σ . Но когерентность сети договоров
совместно с оптимальностью по Парето реализуемого ими распределения, в
силу x ∈ intX и Теоремы 1.2 (ибо из (ii) следует (iv)), влечёт совершенство сети договоров. Следовательно договор v σ совершенный, причём это выполнено
для всех σ ≥ 1.
Далее пусть дана коалиция S ⊂ I, виртуальные правильные сети договоров V σ ∼ {v σ } и подсети U σ ⊂ V σ , которые реализовались после разрыва части договоров членами коалиции, причём supp(uσ ) ⊆ S для каждого uσ ∈ U σ
и каждого σ ≥ 1, т. е. выполнено (2.4). Пусть в настоящем члены S заключают договор (u0 , z 0 ), при этом разрывая w. В таком случае члены коалиции
реализуют распределение y = (yi )i∈S :
yi0 = ωi0 + u0i ,
yiσ = ωiσ + ∆i (U σ ) + Aσ zi0 ,
i ∈ S,
σ ≥ 1, i ∈ S.
Однако из правильности договоров из U σ и Теоремы 1.2 следует pσ uσi = 0,
uσ ∈ U σ , откуда заключаем
pσ yiσ = pσ ωiσ + pσ Aσ zi0 ,
σ ≥ 1, i ∈ S.
Так как в силу (2.4) должно быть S ∆i (U σ ) = 0 для всех σ ≥ 1, а по свойству
договора S u0i = 0 и S zi0 = 0, то по построению S yi = S ωi , откуда
y ∈ Ap (S). Но в этом случае доминирование по коалиции S невозможно.
Доказательства
87
Итак, доказано, что договора v σ , σ = 1, . . . , s — совершенные, а система
в целом является устойчивой в смысле Определения 2.3. Таким образом x —
полусовершенно договорное распределение, что и требовалось доказать.
Доказательство Теоремы 2.2. Доказательство основывается на несложном
применении Следствия 2.4, однако рассмотрим его подробнее.
Прежде всего отметим, что предположение Pi (ωi ) ⊂ intXi ∀ i ∈ I, влечёт, что x ∈ intX как в случае x ∈ C(E), так и при x ∈ C(E in ). Поэтому в
дальнейших рассуждениях всегда считаем x ∈ intX.
Покажем включение C(E) ⊂ C(E in ). Пусть x ∈ C(E). Тогда для любого события σ распределение xσ является частично Парето оптимальным,
откуда следует существование вектора цен p¯1
011 такого, что условие
−σ
−σ
σ
σ
(˜
xi , xi ) i (xi , xi ) (относительно фиксированных x−σ ) влечёт p¯σ x˜σi > p¯σ xσi
для всех i. Далее представим x как p¯ 1 -сбалансированное (достижимое) распределение (с целью использовать Следствие 2.4). Для этого нужно найти
достижимую сеть портфелей (zi )i∈I , удовлетворяющую системе
P1 x1i = P1 ωi1 + P1 Azi .
(2.36)
Но в условиях полноты рынка эта система разрешима. Следовательно x ∈
Ap¯(I). Теперь допустим, что x ∈
/ C(E in ). Тогда, в силу Следствия 2.4 имеем
x ∈
/ Cp (E in ) для каждого p1
0, а, следовательно, и для данного p¯1
0.
1
Таким образом существует коалиция S ⊂ I и p¯ -сбалансированное для S распределение y, такое, что
yi i xi ∀ i ∈ S.
Однако последнее противоречит x ∈ C(E), что и завершает проверку включения. Легко заметить, что системой договоров, реализующей данное сложно
договорное распределение x ∈ C(E in ), является система
s
V = {(u, z)}
{v σ },
σ=1
где u = x0 − ω 0 , а z = (zi )i∈I , такой, что zi находятся из системы (2.36)12 и
viσ = xσi − ωiσ − Aσ zi для каждого i ∈ I и σ = 1, . . . , s.
Докажем включение C(E in ) ⊂ C(E). Рассмотрим x ∈ C(E in ). В силу Следствия 2.4 существует вектор цен p¯1
0 такой, что x ∈ Cp¯ (E in ). Заметим,
что если распределение y доминирует по коалиции S распределение x (в
обычном смысле), т. е. если найдутся yi ∈ Xi такие, что yi i xi для всех
i ∈ S и i∈S yi =
i∈S ωi , то в условиях полноты рынка можно найти такие z˜i ∈ Rk , i ∈ S, что система (2.36), рассмотренная для p¯1 , разрешима
относительно z˜i при фиксированных yi (подставляя z˜i вместо zi и yi вместо
11
Свойство p¯1
0 следует из строгой монотонности функций полезности, гарантированной предположением (M).
12
Точнее из системы, определяемой не матрицей P1 A, но квадратной невырожденной подматрицей размерности s × s.
88
Неполные рынки как договорная экономика
xi ). Поскольку для этих z˜i выполняется
x∈
/ Cp¯ (E in ) — противоречие.
S
z˜i = 0, то y ∈ Ap¯(S) и, значит,
Доказательство Леммы 2.4. Доказательство леммы будет сведено к применению теоремы отделимости к надлежащим образом построенному выпуклому множеству, отвечающему возможностям нечётких коалиций доминировать
распределения.
Так же как в формуле (2.6) определим подпространства
Hi = H + ωi , H = {y ∈ Rl(s+1) | ∃ z ∈ Rk : pσ y σ = pσ Aσ z, ∀ σ ≥ 1}.
Далее возьмём любого потребителя i0 ∈ I, скажем i0 = 1, и определим следующее множество
n
G = G(x) = co (P1 (x1 ) − ω1 )
∪ [(Pi (xi ) − ωi ) ∩ H]
i=2
.
Теперь покажем, что условие 0 ∈ G означает, что найдётся нечёткая коалиция,
p-доминирующая в неполном рынке данное распределение x. Действительно,
0 ∈ G влечёт существование t = (t1 , . . . , tn ) ≥ 0,
ti = 1 такого, что для
некоторых yi ∈ Pi (xi ) выполнено
ti (yi − ωi ) = 0 ⇐⇒
i∈I
ti yi =
i∈I
ti ωi
(2.37)
i∈I
и при этом для i = 2, . . . , n имеет место
∃ zi ∈ Rk : P1 yi = P1 ωi + P1 Azi .
Чтобы проверить определение нечёткого доминирования в части (2.15), достаточно установить истинность последнего соотношения для i = 1 ∈ supp(t).
С этой целью умножим (2.37) на матрицу P1 , откуда, проделывая преобразования с учётом t1 = 0, находим
P1 yi = P1 ωi + P1 A(−
n
ti
i=2 t1 zi ).
Таким образом, в качестве искомого решения можно взять z1 = − ni=2 tt1i zi .
В итоге заключаем, что коалиция t является p-доминирующей.
Следовательно, для элементов нечёткого ядра неполного рынка должно
быть 0 ∈
/ G, и, так как int G = ∅ (при intX1 = ∅ в силу (A) intP1 (x1 ) = ∅), то
можно применить теорему отделимости и найти такой ненулевой p¯, что
p¯, G ≥ 0.
Так как P1 (x1 ) − ω1 и (Pi (xi ) − ωi ) ∩ H, i = 2, . . . , n являются подмножествами
G, то отсюда заключаем
p¯, P1 (x1 ) ≥ p¯ω1 &
p¯, Pi (xi ) ∩ (ωi + H) ≥ p¯ωi ∀ i = 2, . . . , n.
При этом первое из этих неравенств с помощью (S), x1 ∈ intX1 и p¯ = 0
стандартным образом влечёт p¯σ = 0 ∀ σ (предполагая противное, заключаем
p¯ = 0, что невозможно). Лемма доказана.
Заключение
Одним из результатов проведённого исследования явилось существенное развитие теории договоров, элементы которой были заложены в работах Макарова (1980), (1982) и Козырева (1981), (1982). С помощью этой теории, развитой
изначально в рамках абстрактной экономики договоров, а затем в контексте
классической модели рынка, был проведён анализ теории неполных рынков.
Основная цель этого анализа и проекта в целом состояла в изучении возможности корректного введения понятия коалиционного доминирования и, основанного на нём, понятия ядра в неполном рынке. В работе была введена такая
концепция, основанная на договорном подходе. При этом было доказано, что
предложенное ядро неполного рынка удовлетворяет следующим (двум) требованиям.
• Если модель экономики описана как неполный рынок, но при этом является математически эквивалентной классической модели чистого обмена
(т. е. является полной моделью), то ядро в контексте неполного рынка
совпадает с классическим ядром экономики обмена.
• В условиях совершенной конкуренции ядро и равновесие в неполных
рынках совпадают.
Именно наличие этих двух свойств позволяет утверждать, что была введена
действительно корректная концепция ядра. Представляется, что эта концепция является естественным обобщением классического подхода, сохраняющим
наиболее существенные его свойства. Важно, что основанная на понятии договора, предложенная концепция не аппелирует к каким-либо стоимостным
характеристикам текущего состояния экономики — внимание концентрируется на анализе стабильных сетей контрактов по обмену товарами. Некоторые
из этих характеристик (p-ядро, нечёткое p-доминирование) появляются в процессе анализа свойств распределений из ядра, однако это скорее технический
элемент исследования, нежели его основание. В техническом плане математическая общность доказанных теорем представляется приемлемой в контексте
теории неполных рынков. Далее остановимся на результатах и выводах, которые можно сделать на основе проведённого исследования более подробно.
Основные результаты
Начнём с тезисного описания основных понятий разработанной нами теории
договоров.
89
90
Заключение
• Теория договоров. Контракт (договор) это просто элементарный обмен
продуктами между членами некоторой группы экономических агентов (коалиции). Не всякий обмен является допустимым контрактом, чему может
быть множество причин (физических, институциональных, поведенческих и
пр.). Договора можно складывать и любому (конечному) множеству договоров можно сопоставить распределение продуктов среди экономических агентов — как результат суммирования дoгoвoрoв и “начальнoгo” распределения.
Любой экономический агент или их коалиция может разрывать контракты,
в которых он участвует, а коалиция агентов может также заключать новые
контракты. Конечная совокупность контрактов образует сеть, если после разрыва любого подмножества контрактов реализуется допустимое распределение. Из числа всех сетей выделяются стабильные — это такие сети, что у
агентов нет стимула к их изменению — никакая коалиция не может разорвать
часть контрактов и заключить новый с выгодой для всех своих членов. Тип
стабильности сети можно дифференцировать — дополнительно выделяются:
стабильные (устойчивые) снизу (стабильность только относительно разрывов
имеющихся контрактов), стабильные сверху (нет желания заключать новый
контракт без разрыва имеющихся) и слабо стабильные (то и другое одновременно, но в раздельном режиме). Иногда контракты можно делить (разбивать) на (пропорциональные) части и затем рвать одну из частей (частичный разрыв). Допущение возможности частично рвать контракты повышает
стабильность итогового распределения ресурсов и реализующей его сети. Сети, устойчивые снизу относительно частичных разрывов контрактов (из сети)
называются правильными. Правильным называется распределение, которое
можно реализовать такой сетью, что любая сеть, полученная из данной путём
разбиения, является стабильной (у агентов нет стимула одновременно частично рвать контракты и заключать новые). Правильные сети рассматриваются
как долгоживущие. На классе правильных сетей вводится отношение эквивалентности, в рамках которого отождествляются сети, реализующие одинаковое изменение потребительских программ у каждого экономического агента. Сеть, эквивалентная в этом смысле некоторой данной, называется виртуальной. Это отношение эквивалентности используется при введении важного
понятия совершенного контракта. Совершенным называется контракт, допускающий его замену на любую эквивалентную ему виртуальную сеть, причём
разрыв контрактов из этой сети не является кому либо выгодным. Именно
совершенные контракты играют ключевую роль при введении понятия ядра
в неполном рынке. Совершенной называется правильная сеть, в которой каждый контракт является совершенным. Структура допустимых контрактов в
данной модели экономики может быть такова, что она допускает возможность
классификации контракта по характерному признаку (типу). В таком случае
можно требовать, чтобы контракты разного типа удовлетворяли разным типам стабильности. Распределение, реализуемое стабильной сетью (в одном из
смыслов), где установлено соответствие между типом контракта и видом его
стабильности называется сложно договорным.
Заключение
91
• Совершенный рынок. В рамках классической экономики чистого обмена
были получены следующие результаты. Модели сопоставляется договорная
экономика, в которой все контракты допустимы. Тогда известные в теории
понятия получают следующую переформулировку в договорных терминах.
Оптимальность по Парето эквивалентна возможности реализовать распределение с помощью стабильной сверху сети. Распределение принадлежит ядру
если и только если оно реализуемо некоторой стабильной сетью договоров.
Если точка внутренняя и модель гладкая, то распределение является равновесным если и только если оно реализуется сетью договоров, которая является стабильной при допущении какой-либо возможности частичного разрыва
договоров — сеть совершенная или правильная (возможны и более слабые
требования). Таким образом, в контексте классической модели условия совершенной конкуренции, означающие возможность ценовой децентрализации
распределения из ядра, (фактически) являются эквивалентными условию стабильности реализующей это распределение сети контрактов, при допущении
возможности частично рвать контракты.
• Неполный рынок. Применение теории договоров к неполным рынкам привело к следующим основным результатам. Неполному рынку сопоставляется
договорная экономика, в которой допустимы только контракты, реализующие
обмен продуктов в рамках фиксированного события, причём в настоящем
допустимы обмены, осуществляемые с помощью реальных активов, т. е. фиксированного в (исходной) модели набора стандартных контрактов. Используя
только эти стандартные контракты можно осуществить какой-либо обмен продуктами среди разных состояний природы. Так можно осуществить и обмен
из настоящего на потребление в будущих событиях. Пусть модель гладкая и
точка (распределение) внутренняя.
В качестве распределений из ядра неполного рынка в работе предлагается взять сложно договорные распределения, реализуемые сетью допустимых
договоров, стабильной в следующем смысле. Сеть в целом слабо стабильная
и контракты, отвечающие событиям из будущего, являются совершенными.
Сеть также удовлетворяет такому дополнительному условию стабильности:
не существует коалиции, которой было бы выгодно разорвать все контракты
с не-членами коалиции, причём для событий из будущего можно разрывать
контракты из виртуальных сетей, а в настоящем только целиком, и при этом
заключить некоторый новый контракт в настоящем. Доказано, что если структура активов в (неполном) рынке является полной, то ядро неполного рынка
совпадает с классическим. Под полнотой системы активов понимается ситуация, когда все продукты являются желательными и при этом при любых
положительных ценах на рынках будущего матрица финансовых активов, отвечающая матрице реальных, имеет ранг равный числу будущих событий.
Последнее просто означает, что независимых активов достаточное число —
достаточно, чтобы осуществить перенос стоимости из одного события в будущем в любое другое заданное (будущее) состояние, без потери стоимости в
других (не реализованных) событиях. Тем самым введённая концепция ядра
удовлетворяет первому из рассмотренных критериев. Доказано, что она удо-
92
Заключение
влетворяет и второму критерию — в условиях совершенной конкуренции ядро
и равновесие совпадают. Причём последнее представленно в двух видах.
Первая теорема — это описание равновесия в договорных терминах, где
реализуется стабильность при допущении частичного разрыва любых договоров. Тогда равновесие неполного рынка можно описать как сложно договорное распределение следующего типа. Имеется такая слабо стабильная сеть
допустимых договоров, что контракты отвечающие событиям из будущего
являются совершенными и при этом сеть в целом является стабильной относительно частичного разрыва договоров в настоящем, разрыва виртуальных
договоров из будущего, и заключения нового договора в настоящем. Другими словами, в каждом фиксированном событии, отвечающая этому событию
сеть должна быть стабильной, причём для событий из будущего в сильном
смысле (из совершенства договоров), и сеть в целом должна удовлетворять
описанному условию совместной стабильности договоров.
Вторая теорема следует классической традиции моделирования условий
совершенной конкуренции, — рассматриваются реплики и распределения, чья
реплика (нужного объёма) принадлежит ядру каждой из реплик исходной модели. Теорема утверждает, что такие распределения являются равновесными.
Сказанное и позволяет утверждать, что предложенная концепция ядра является корректной.
В исследовании был проведён анализ известного в теории неполных рынков примера Харта. При определённом значении определяющих модель параметров в этом примере нет равновесия. Выяснилось, что ядро в описанном
смысле также может не существовать. Причина этого состоит в специфических особенностях финансового рынка, где, если активов ограниченное число,
может сложится ситуация, когда операторы финансового рынка стремятся
наращивать объёмы контрактов по активам до бесконечности. Представляется, что это вырожденная ситуация, которая может сложиться только при
определённых соотношениях между предпочтениями и активами (в теории
известно, что финансовые равновесия, которые всегда принадлежат ядру, существуют почти всегда). Конечно, шансов на существование ядра значительно
больше, нежели на существование равновесия. Кроме того, из примера видно,
что неполное ядро может оказать незамкнутым множеством. Это в частности
препятствует воспользоваться классической схемой доказательства существования равновесия, где (квази)равновесные распределения являются элементами пересечения симметричной части ядер реплик исходной модели — пересечение непустых, ограниченных, вложенных, но незамкнутых множеств может
быть пустым. Представляется, что для того, чтобы ядро в неполном рынке было непусто, необходимо возможности коалиции всех агентов дополнить
предельными вариантами потребительских наборов, т. е. фактически нужно
перейти к рассмотрению замыкания соответствующего множества. Проблему
непустоты ядра можно пытаться разрешить, накладывая институциональные ограничения на объёмы торгов на финансовом рынке. Известно, что если
такого рода ограничения имеют место, то равновесие существует всегда при
весьма слабых модельных предположениях. Более того, ослабляя ограничения
Заключение
93
до бесконечности, можно рассматривать и предельные равновесные распределения (см. напр. Marakulin (1999), Florenzano et al., (1998)). Применительно к
концепции ядра в таком случае также можно прийти к рассмотрению приближённых и предельных вариантов доминирования и ядра в неполном рынке.
Однако разработка последнего круга идей осталась за пределами исследования.
Содержательные выводы и практические приложения
В плане приложений к практике полученных в исследовании теоретических результатов можно сделать следующие заключения.
(i) Характерной чертой рынка финансовых активов является его потенциальная нестабильность. Эта нестабильность может проявиться как в невозможности уравновесить спрос и предложение (отсутствие равновесия), так и на
уровне отсутствия коалиционной стабильности. Формально эта нестабильность выражается в стремлении операторов рынка наращивать объёмы сделок
по активам до бесконечности.
(ii) С целью стабилизировать финансовый рынок представляется разумной
политика институциональных ограничений на объёмы торгов на финансовом
рынке. Эти ограничения должны носить временный характер и по возможности ослабляться до бесконечности. При невозможности последнего, на рынке
должны создаваться новые активы — с целью стабилизации рынка.
(iii) Элементы регулирования финансового рынка, отвечающие пункту (ii),
можно в наибольшей мере рекомендовать быстро развивающимся национальным финансовым рынкам, в переходный период, когда число новых финансовых инструментов и услуг быстро возрастает (проникают извне и появляются новые активы внутри национального рынка). Представляется, что это
заключение применимо к экономике России, всё еще не завершившей стадию
перехода к эффективно работающей рыночной экономике.
Возможные направления дальнейших исследований
Одним из возможных направлений дальнейшего развития полученных в
исследовании результатов является их формально-математическое усиление.
В частности их распространение на негладкий случай. Представляется, что
во многих случаях это возможно, однако при этом, возможно, потребуется не
просто дальнейшее изучение совершенных контрактов и их сетей, но вероятно
и небольшая модификация этой концепции, не изменяющая её сути в гладком
случае. В целом это непростая математическая работа, требующая времени и
методичности.
Участникам проекта представляется, что с помощью договорного подхода
возможно предложить микроэкономическое обоснование процесса нащупывания равновесных цен (известен в литературе как tˆatonnement). Идея состоит
в том, что с каждой возможной сделкой (по обмену) в рамках некоторой коалиции можно ассоциировать некоторые цены (возможно не единственным
образом). Тот факт, что в числе этих коалиционных цен нет цен равновесия
94
Заключение
означает, что найдётся коалиция, способная заключить сделку, выгодную всем
своим членам. При этом важно, что в отличии от классических подходов (как,
например, в Smale (1981)), допускается не просто заключение нового контракта, но и разрыв имеющихся. В частности, интерпретируя в рамках договорного
подхода изменение текущего неравновесного распределения ресурсов, можно
уйти от представлений о существовании гипотетического аукционера, определяющего процесс торгов (цены) для достижения итогового распределения,
ибо коалиция через своих членов сама определяет пропорции обмена в сделке,
которую она намерена осуществить.
Развитие контрактного подхода возможно в плане его приложений к другим и где-то более общим моделям помимо изученных. В числе этих моделей
могут быть секвенциональные рынки, рынки с трением (издержками сделок,
см. Repullo (1988)), модели в которых проявляется проблема доверия между экономическими агентами (см. Gale (1978)) и проч. Именно эта возможность кажется наиболее интересной авторам проекта. Например, нам кажется весьма перспективной, указанная экспертной группой, возможность изучения моделей экономики с асиметричной информированностью экономических
агентов. По этой проблематике имеется довольно обширная литература, частично представленная в списке цитируемой литературы. В наиболее полной
мере это направление описано в монографии Schwable (1999). Представляется, что развитый нами договорной подход вполне приложим к моделям этого
типа. Ключевым для его реализации является определение множества допустимых контрактов, которое должно существенным образом основываться на
информационных возможностях, которыми обладают экономические агенты.
Общепринятый способ моделирования индивидуальной информированности
агентов о будущих состояниях мира состоит в том, что в описание свойств
агента добавляется сигма-алгебра событий, которые данный агент способен
идентифицировать (различать). Ситуация становится достаточно прозрачной
в случае, когда невозможен обмен информацией между членами блокирующей коалиции. В таком варианте в определении допустимого контракта можно постулировать измеримость вектора (отображения) потребительских благ,
определяющего изменение текущего потребительского набора данного агента
в контракте, т. е. контракт в целом должен быть измерим относительно соответствующего произведения сигма-алгебр. В данном контексте можно также рассматривать сильнейшую (слабейшую) алгебру событий, которая грубее (тоньше) алгебры каждого члена заключающей контракт коалиции — так
члены коалиции “равняются” на наименее (наиболее) информированных агентов. Допущение возможности обмена информацией приводит к пополнению
модели некоторым правилом деления информации. Эта ситуация достаточно
нетривиальная и у нас пока нет готовых ответов на вопрос о том, как наиболее правильно моделировать этот случай в рамках договорного подхода (как,
впрочем, и нет единства мнений в литературе, связанных с концепцией ядра
или просто способа моделирования такого рода ситуаций). Однако представляется, что в любом случае это также должно быть описано через требование на допустимость контрактов, выраженное в терминах информационных
Заключение
95
возможностей коалиций, это опять-таки измеримость относительно некоторой
сигма-алгебры.
Литература
Florenzano, M., Gourdel, P. and V. M. Marakulin (1998) Implementing
Financial Equilibrium of Incomplete Markets: Bounded Portfolios and the Limiting Case, in: F.Javier Giron (editor): “Decision Analysis Application”, Kluwer
Academic Publishers (Boston/Dordrecht/London), 181–191
Gale, D. (1978) The Core of a Monetary Economy without Trust, Journal of
Economic Theory, 19, 456–491
Geanakoplos, J. (1990) An Introduction to General Equilibrium with Incomplete Assets Markets, Journal of Mathematical Economics 19, 1–38
Grossman, S. J. (1977) A Characterization of the Optimality of Equilibrium in
Incomplete Markets, Journal of Economic Theory 15, 1–15
Koutsougeras, L. (1998) A Two-Stage Core with Applications to Asset Market
and Differential Information Economies, Economic Theory 11, 563–584
Koutsougeras, L. and N. Yannelis (1994) Incentive Compatibility and
Information Superiority of the Core in an Economy with Differential Information,
Economic Theory, 3, 195–216
Krasa, S. and N. Yannelis (1994) The Value Allocation of an Economy with
Differential Information, Econometrica, 62, 881–900
Magill, M. and W. Shafer (1991) Incomplete Markets, in: Hildenbrand,
W., Sonnenschein, H. (eds.): “Handbook of Mathematical Economics”, Vol. IV,
Amsterdam: North-Holland, 1523–1614
Marakulin, V. M. (1999) Incomplete Markets: the Concept of Generalized
Equilibrium and its Existence Theorem, Revista de la Real Academia de Ciencias
Exactas, Fisicas y Naturales 93 № 4, 489–498
Page, F. (1987) On Equilibrium in Hart’s Securities Exchange Model, Journal
of Economic Theory, 41, 392–404
Radner, R. (1982) Equilibrium Under Uncertainty, in: Arrow, K.J. and M.D.
96
Литература
97
Intriligator (eds.): “Handbook of Mathematical Economics”, Vol. II, Amsterdam:
North-Holland, 923–1006
Repullo, R. (1988) The Core of an Economy with Transactions Costs, Review
of Economoc Studies, 55, 447–458
Schwable, U. (1999) The Core of Economies with Asymmetric Information, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer-Verlag:
Berlin/Heidelberg/New York
Smale, S. (1981) Global Analysis and Economics, in: Arrow, K. J. and M.D.
Intriligator (eds.): “Handbook of Mathematical Economics”, Vol. I, Chapter 8,
Amsterdam: North-Holland
Wilson, R. (1978) Information, Efficiency and the Core of an Economy,
Econometrica, 46, 807–816
Yannelis, N. (1991) The Core of an Economy with Differential Information,
Economic Theory, 1, 183–195
Васильев, В. А. (1984) Модели экономического обмена и кооперативные
игры, Учебное пособие, НГУ
Козырев, А. Н. (1981) Устойчивые системы договоров в экономике чистого
обмена, Оптимизация, вып. 29(44), 66–78 (Изд. ИМ СО АН, Новосибирск)
Козырев, А. Н. (1982) Договорные и вполне договорные состояния в абстрактной экономике — Новосибирск — 44 с. (Препринт/АН СССР. Сиб.
отд-ние. Ин-т математики; № 7)
Макаров, В. Л. (1980) О понятии договора в абстрактной экономике,
Оптимизация, вып. 24(41), 5–17, (Изд. ИМ СО АН, Новосибирск)
Макаров, В. Л. (1982) Экономическое равновесие: существование и экстремальные свойства, Итоги науки и техники: Современные проблемы
математики, Москва: ВИНИТИ АН СССР, т. 19, 23–58
Маракулин, В. М. (2002) Контракты и доминирование в конкурентной
экономике I. Модель договорной экономики и стандартный рынок — Новосибирск — 37 с. (Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 90)
Мулен, Э. (1991) Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели,
Москва: Мир.
Документ
Категория
Типовые договоры
Просмотров
52
Размер файла
1 221 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа