close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О сходимости договорных траекторий в экономике чистого обмена

код для вставкиСкачать
Консорциум экономических исследований и образования
Серия "Научные доклады"
ISSN 1561-2422
№ 06/07
О сходимости договорных траекторий
в экономике чистого обмена
В.М. Маракулин
Проект (№ 04-192) реализован при поддержке
Консорциума экономических исследований и образования
Мнение автора может не совпадать с точкой зрения Консорциума
Доклад публикуется в рамках направления
Предприятия и рынки товаров
Классификация JEL: C62, D51
МАРАКУЛИН В.М. О сходимости договорных траекторий в экономике чистого обмена.
— Москва: EERC, 2006.
В работе изучается вопрос о сходимости к конкурентному равновесию траекторий, порождённых договорными
процессами. Рассмотренные договорные процессы основаны на заключении взаимовыгодных бартерных контрактов между экономическими агентами, причём допускается возможность частично разрывать заключенные
ранее договоры. Позитивные результаты о сходимости траекторий были получены для так называемых беневолентных (доброжелательных) договорных процессов. В процессах этого типа индивиды, пытаясь заключить
новый договор, прежде всего ищут такой взаимовыгодный контракт, который не влечёт разрыва заключённых
ранее. Агенты идут на заключение нового договора и корректируют заключённые ранее только если последнее
невозможно. На ряде иллюстративных примеров показано, что в общем случае небеневолентные процессы могут не сходится к равновесию.
Ключевые слова. Россия, ядро, контракт, договорное распределение, договорной процесс (траектория),
конкурентное равновесие.
Благодарности. Автор признателен экспертам EERC, особенно Виктору Полтеровичу и Ричарду Эриксону, за
плодотворные обсуждения и предложения, указание на источники литературы и глубокое понимание
проблематики.
Автор также благодарен за частичную финансовую поддержку в рамках гранта Президента РФ по поддержке
научных школ № НШ–4999.2006.6.
Валерий Михайлович Маракулин
Институт математики им. С.Л. Соболева, Сибирское отделение РАН
Ведущий научный сотрудник
630090 Новосибирск, проспект академика Коптюга, 4
Тел.: +7(383) 333 00 94
Факс: +7(383) 333 25 98
E-mail: marakul@math.nsc.ru
© В.М. Маракулин 2006
СОДЕРЖАНИЕ
ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ И ВЫВОДЫ
4
1. ВВЕДЕНИЕ
7
2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
9
2.1. Вальрасовские процессы нащупывания (tˆatonnement) равновесных цен
12
2.2. Процессы изменения цен, использующие матрицу Якоби функции избыточного спроса
14
2.3. Неравновесные модели процесса торговли
16
2.4. Процессы Эджворта
18
2.5. Стратегический подход
20
3. ПРОЦЕСС
ДОГОВОРНОГО
ˆ
TATONNEMENT
НАЩУПЫВАНИЯ:
КООПЕРАТИВНЫЙ
21
3.1. Основные понятия договорной экономики
21
3.2. Об определении договорной траектории
24
3.3. Процессы заключения и разрыва договоров
28
4. ПРАВИЛЬНО-ДОГОВОРНЫЕ UB-ПРОЦЕССЫ:
РАВНОМЕРНЫЙ РАЗРЫВ ВСЕХ ДОГОВОРОВ
30
5. ПРАВИЛЬНО-ДОГОВОРНЫЕ CUB-ПРОЦЕССЫ:
КОАЛИЦИОННО-РАВНОМЕРНЫЙ РАЗРЫВ ДОГОВОРОВ
35
5.1. Разрыв договоров в активных коалициях
36
5.2. Правильно-договорной CUB-процесс в парных коалициях
39
6. ПРАВИЛЬНО-ДОГОВОРНЫЕ ПРОЦЕССЫ: ПОСЛЕДНИЕ
УТОЧНЕНИЯ И АССОЦИИРОВАННЫЙ ЦЕНОВОЙ ПРОЦЕСС
42
6.1. Правило торговли для договорной траектории
43
6.2. Ценовой процесс, ассоциированный с договорной траекторией
45
7. ДОГОВОРНОЙ ПРОЦЕСС В 2 × 2 ЭКОНОМИКЕ
48
7.1. Два примера
49
7.2. Анализ договорных процессов в 2 × 2 экономике
52
8. ЛОКАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В ДОГОВОРНЫХ ПРОЦЕССАХ
58
9. СХОДИМОСТЬ ДОБРОЖЕЛАТЕЛЬНЫХ UB-ПРОЦЕССОВ
63
10. ПРИМЕРЫ ДОГОВОРНЫХ ПРОЦЕССОВ: СХОДИМОСТЬ И ЗАЦИКЛИВАНИЕ 71
10.1. Сходимость UB-процессов в экономике 2 × 3
10.2. Отсутствие сходимости для экономики 4 × 2 при предположениях CUB, IBA
71
75
10.3. Отсутствие сходимости для экономики 3 × 2 для UB-процесса при кусочно-непрерывном
правиле торговли
78
11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
81
ПРИЛОЖЕНИЯ
84
П1. Список обозначений и специальных символов
84
П2. Доказательства
84
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
92
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
4
ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ И ВЫВОДЫ
Настоящая работа носит чисто теоретический характер, предметом её анализа служит
фундаментальный вопрос о том как функционируют рынки. С этой целью предлагается
новый договорной подход, описывающий поведение экономических агентов в неравновесной ситуации. Таким образом, развивается новая версия рыночной динамики, дополняющая классические подходы.
В современной экономической теории имеется по крайней мере пять подходов (описаны в
работе), нацеленные на объяснение того, как экономика достигает равновесия. В их числе: вальрасовский процесс нащупывания (tˆatonnement) равновесных цен, модели динамического неравновесного функционирования, процессы Эджворта, процессы смейловского
типа и стратегический подход к торговым переговорам. Каждый из этих подходов имеет
свои преимущества и недостатки и ни один из них нельзя назвать вполне удовлетворительным. Знаменитый историк экономической мысли, Марк Блауг, в своем интервью журналу
“Challenge” (May-June 1998), прокомментировал эту ситуацию следующим образом. На вопрос “В каком из основных направлений мы не имеем прогресса?” он ответил: “Рынки, и
то как они в действительности функционируют, т. е. то, как выравнивается спрос и предложение. Мы в теоретической экономике знаем черт знает сколько о равновесии, но на
самом деле не знаем того, как рынки достигают равновесия.” К этому можно было бы добавить, что в реальности мы не способны наблюдать равновесие, наблюдаемо только то,
как рынки реагируют на шоки разного рода; мы способны наблюдать своего рода бесконечный процесс приближения к равновесию. Настоящая работа предлагает шестой подход
к разрешению данной проблемы.
Основная идея предлагаемого подхода состоит в том, что в неравновесной ситуации, в
условиях неполной информации, агенты способны так одновременно выбирать цены и
объёмы, чтобы выровнять спрос и предложение. Зачастую это имеет форму торгов, происходящих в рамках некоторой группы агентов (коалиции). В неравновесной ситуации
цены и другие параметры торговли могут различаться в разных подрынках и коалициях.
Осуществляемые при этом сделки мы называем контрактами или договорами. Договоры
пополняют классическую концепцию ядра такими динамическими элементами как заключение и разрыв персонифицированных коалиционными рамками соглашений (договоров).
Тем самым, рыночные процессы можно рассматривать как серию бартерных обменов в
динамически появляющихся коалициях. В итоге мы приходим к понятию договорного процесса и связанного с ним понятия договорной траектории. В работе исследуются несколько
разумных видов договорных траекторий, отвечающих разным гипотезам о характере поведения агентов в торговом процессе. Некоторые из этих траекторий сходятся к равновесию.
Неформально договорной процесс описывается непрерывной траекторией с бесконечным
временным горизонтом. В каждый момент времени агенты обладают некоторыми воз-
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
5
обновляемыми ресурсами, которые торгуются и потребляются. В любой момент, любой
агент может обмениваться продуктами в рамках разных коалиций, при этом он не обязан
быть членом только какой-нибудь заданной. Каждая коалиция может заключить контракт — план будущих обменов. Сумма реализованных бартерных контрактов и исходных
запасов представляет (текущий) потребительский набор данного индивида. В последующие моменты времени агент может обновить заключённые и реализованные контракты,
а также разорвать (не обновлять) некоторые из них, с целью заключить более выгодный
договор. Эта процедура может повторяться многократно и в результате может сложится
некоторая совокупность стабильных контрактов. Отметим, что здесь нет ни денег, ни явно
выявленных цен на ресурсы, но при этом в стабильном состоянии реализуется равновесное распределение ресурсов, отвечающее общим нормам обмена, которые соответствуют
ценам равновесия. Однако сходится или нет к равновесию договорной процесс? — это
центральный вопрос, на разрешение которого нацелена настоящая работа. В случае положительного ответа (сходится), предложенный договорной подход оказался бы логичной
концепцией, удачно дополняющей и, возможно, заменяющий классические представления
о том, как экономическая система “нащупывает” равновесие.
Результаты проведённого нами анализа показывают, что при общих предположениях контрактные процессы могут сходится или могут не сходится к равновесию. В работе представлен ряд примеров, в которых, по разным причинам, нет сходимости к равновесию.
Наиболее интересные результаты были получены для так называемых “беневолентных”
(доброжелательных) договорных процессов. В процессах этого типа предполагается, что,
пытаясь заключить новый договор, агенты прежде всего ищут такой (взаимовыгодный)
контракт, который не влечёт разрыва контрактов, заключённых ранее. Только тогда, когда
это невозможно, агенты идут на заключение договора, в результате реализации которого
складывается ситуация, выгодная для разрыва (хотя бы частичного) заключённых ранее
договоров (частичный разрыв означает, что при тех же меновых пропорциях реализуется обмен в меньшем объёме). Данная гипотеза предполагает, что агенты ведут себя не
только беневолентным образом, но и являются хорошо информированными. Однако это
достаточно реалистично: индивиды просто должны достаточно тщательно исследовать
новые возможности, прежде чем заключать контракты и рвать уже имеющиеся. Последнее может также быть отражено в общественных институтах, формирующих “доверие” и
“честность” в бизнесе.
В современной микроэкономической теории известны некоторые специфические процессы,
в которых агенты ведут себя похожим на договорной процесс образом, это так называемые “двойные аукционы”. В реальной экономической жизни можно также наблюдать специфические торговые процедуры (например, торговля на фондовой и товарной биржах),
в которых агенты одновременно манипулируют ценами и объёмами, причём в отсутствии
аукционера. В этих процедурах агент предлагает объём (лот) для продажи или покупки
и его цену (аск/бит). Данные децентрализованные предложения и реализованные по ним
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
6
контракты управляют рынком в целом. Нам представляется, что предложенный в работе договорной подход способен прояснить характер динамики указанных экономических
систем и, тем самым, найти свое практическое применение.
Более амбициозная цель может состоять в применении договорного подхода к макроэкономике. Возможно, экономика в целом ведёт себя скорее как двойной аукцион, нежели то,
как это описывает классическое вальрасовское нащупывание. Но тогда договорной процесс потенциально способен лучше объяснять стабильность и нестабильность рынков и
характер их реагирования на шоки, что изначально является предметом изучения в монетарной макроэкономике. Договорной подход может также найти свои приложения и к
теории государственного регулирования экономики.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
7
1. ВВЕДЕНИЕ
Современные модели экономики, так же как и классические (модель Эрроу–Дебре или её
простейший вариант — экономика чистого обмена) моделируют процессы производства и
перераспределения товаров и услуг и принимают концепцию конкурентного равновесия
в качестве базисной. При этом, однако собственно механизм функционирования продуктовых рынков (то как устанавливаются цены и как индивиды, выбирая наборы потребительских благ, приходят к финальному распределению ресурсов) остается не вполне
ясным. Действительно, в рамках классических представлений цены равновесия находятся
в результате постоянно идущего процесса нащупывания равновесных цен (tˆatonnement),
в этом процессе текущие цены изменяются согласно закону избыточного спроса: цена на
продукт возрастает, если спрос превышает предложение; если же предложение превышает
спрос, то цена падает. Экономическая интуиция говорит о том, что таким образом экономическая система в целом должна “нащупать” цены равновесия. На математическом языке это означает, что если процесс изменения цен описать дифференциальным уравнением
(включением), в правой части которого фигурирует избыточный спрос, то тогда решение
этого уравнения сходится к ценам равновесия1 . Однако что есть такое спрос и можем ли
мы его наблюдать в реальности? На модельном уровне спрос это сумма индивидуальных
потребительских решений в задаче потребителя, заданной текущими неравновесными ценами и предпочтениями индивидов. Возможно ли при неравновесных ценах наблюдать
спрос, если это есть сумма нереализованных желаний в приобретении товаров и услуг?
Наблюдать можно совокупные объёмы покупок и продаж, предложение и его избыток, а
вот спрос, по-видимому, является принципиально ненаблюдаемой категорией 2 . Более того, классические представления о принципе изменения цен в соответствии с избыточным
спросом обычно основываются на гипотезе аукционера, который собственно и дирижирует
ценами. При этом, “аукционер” не является выявленным в модели экономическим агентом,
скорее это некое обезличенное существо, олицетворяющее в себе рыночные силы.
В современной литературе имеются и другие подходы, отличные от классического нащупывания, нацеленные на моделирование динамики рыночных процессов и анализ их
сходимости к равновесию: процессы изменения цен, использующие матрицу Якоби функции избыточного спроса (подход Смейла и др.); неравновесные модели торговли (процесс
Хана, подход Фишера и др.); процессы Эджворта и т. д. В следующем разделе содержится обширный обзор направлений и работ по данной тематике, проводится сравнительный
анализ подходов. Однако все подходы имеют свои недостатки, частично те же, что при
вальрасовском нащупывании (аукционер и др.), частично новые, как, например, чрезмер1
Этот результат имеет место только при дополнительных довольно жестких условиях (валовая заменимость и проч.), однако на настоящий момент это не важно.
2
При известном предложении и положительном избыточном предложении спрос на продукт можно
вычислить, однако что делать при избыточном спросе?
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
8
ная информационная требовательность процессов с якобианом и проч. Сказанное позволяет сделать вывод: классические и другие современные представления о рынке и законах
его гомеостаза не являются вполне удовлетворительными с современной точки зрения.
Однако можно ли предложить что-либо конструктивное для адекватного разрешения проблемы достижимости экономического равновесия и понимания динамики рыночных процессов? Чтобы ответить на этот вопрос, по-видимому, нужно скорректировать представления о том, что реально происходит на рынке. По нашему мнению, на рынке осуществляется множество сделок по обмену, которые являются выгодными для всех участников
сделки на момент её совершения, и текущее распределение ресурсов появляется как сумма
всех совершённых сделок и начального распределения. С течением времени заключаются новые сделки, причём некоторые из них повторяют заключённые ранее, другие нет
(происходит отказ от заключённых ранее и неудачных на данный момент сделок). Исключительно важно, что такого рода “естественный” процесс бартерного обмена идёт сам
по себе, здесь нет ни спроса с предложением, ни цен. На формальное описание и изучение свойств этих процессов и нацелено настоящее исследование. Идея меновой сделки
отнюдь не новая в теоретической экономике (напр., есть уже у Эджворта), но обычно
звучит “за кадром” формальной модели (напр., см. обзор ниже). Проблема однако именно
в адекватном формально-математическом описании бартерного процесса, учитывающего
возможность отказа от сделки (разрыв контракта).
Для формального описания предложенного взгляда на функционирование рыночной системы предлагается использовать договорной подход. Развитие формальной теории договоров началось с работ Макаров (1980, 1982) и Козырев (1982, 1981), который, в частности,
предложил ключевую идею частичного разрыва договоров. В дальнейшем теория договоров была существенно переработана и развита (Маракулин, 2003). Договорной подход
гораздо ближе к интуитивному представлению о реальных процессах формирования цен и
объемов потребляемых ресурсов, и обеспечивает лучшее понимание кооперативных и индивидуалистических особенностей поведения участников рынка. В частности, используя
его, можно дать более ясное описание процесса перехода к стабильному (недоминируемому) распределению ресурсов, здесь появляется процесс своего рода кооперативного нащупывания, формально-математическое описание которого является одной из целей проекта.
Процесс предполагает, что изменение текущего распределения ресурсов осуществляется
по правилам правильно-договорного поведения, где коалиции индивидов способны заключать взаимовыгодные контракты по обмену продуктами (бартерные договоры), а также
отдельные агенты могут, если им это выгодно, частично рвать заключённые ранее контракты. Процесс заключения и разрыва договоров идёт в одновременном режиме (хотя,
допустимо рассматривать и раздельный вариант). При этом процесс мыслится протяженным во времени и, следовательно, фактически речь идёт о своего рода моментальных
контрактах, задающих, наряду с заключенными ранее договорами, производную процесса.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
9
Формально договорной процесс можно описать через дифференциальное включение
x(t)
˙
∈ F (x), правая часть которого является множеством взаимовыгодных контрактов для
различных коалиций, а x(t) это текущее распределение ресурсов. При этом возможности
одноэлементных коалиций реализуются через частичный разрыв договоров. Множество
решений этого включения образует совокупность допустимых договорных траекторий,
которые могут сходится или нет к потенциально финальным распределениям. Из теории
договоров (Маракулин, 2003) известно, что при определённых предположениях (точка
внутренняя, дифференцируемые вогнутые полезности) правильно договорное распределение — это распределение, которое реализуется некоторой сетью договоров, устойчивой
относительно частичного разрыва и заключения нового договора — является равновесным
распределением ресурсов. Всегда верно и обратное: равновесие реализуется правильно
договорным распределением. Таким образом, равновесия и только они (при некоторых
предположениях) являются стационарными точками для кооперативного правильнодоговорного нащупывания. Однако при каких условиях этот процесс, стартующий с начального распределения ресурсов, сходится и какие из его стационарных точек являются
устойчивыми, на данный момент неизвестно. Именно исследование сходимости договорного процесса и примыкающих к нему вопросов является основной целью проекта.
Основные трудности, как в части определения так и для установления факта сходимости процесса, обусловлены возможностью индивидов частично рвать договоры (ибо вдоль
траектории полезности немонотонны), однако это отвечает содержательной сути рыночных процессов и иначе нельзя достичь равновесия относительно начального распределения. Важным также является анализ устойчивости равновесий, которая зависит от типа
процесса и, тем самым, различается для классического и кооперативного нащупывания.
Интересно их сравнение, и возможно, что некоторое равновесие окажется устойчиво в одном смысле и неустойчиво в другом. В целом представляется, что анализ сходимости и
устойчивости процесса кооперативного нащупывания является необходимым шагом для
развития собственно теории договоров, это теоретически важная и математически весьма
нетривиальная проблема.
2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
В экономической литературе, посвящённой исследованию процессов нахождения конкурентного равновесия в многопродуктовой рыночной экономике, к настоящему моменту
можно выделить пять направлений исследования, которые имеют собственные сравнительные преимущества и недостатки. Данными подходами являются:
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
10
(i)
Процессы нащупывания равновесных цен Вальрасовского3 типа, tˆatonnement, где текущие неравновесные цены изменяются в соответствии с избыточным спросом (повышение цены на продукт) и избыточным предложением (снижение цены).
(ii)
Процессы, в которых закон изменения неравновесных цен определяется через матрицу Якоби (дифференциал) функции избыточного спроса. Первый процесс такого
типа был предложен Смейлом (Smale, 1981).
(iii) Неравновесные модели процессов торговли между потребителями; в их числе процесс
Хана–Негиши (Hahn, Negishi, 1962), процессы Эджворта по Узаве (Uzawa, 1962).
(iv) Процессы Эджворта. Это процессы продуктового обмена без цен, основаны на (безвозвратном) взаимовыгодном обмене продуктами между членами какой-либо коалиции потребителей. Коалиции обменивающихся агентов с течением времени меняются
и пробегают некоторый класс разрешённых выделенных коалиций (некоторые коалиции, образование которых невероятно с содержательной точки зрения, могут быть
запрещёнными и обмены в их пределах в процессе не реализуются).
(v)
Стратегический подход, где равновесие и конкуренция между потребителями рассматриваются с чисто игровой точки зрения.
Ниже мы рассмотрим указанные подходы более подробно в (ограниченных) рамках общеизвестной экономики чистого обмена типа Эрроу–Дебре. Для удобства изложения мы
начнём с формального описания модели, введения обозначений и напоминания понятийного аппарата.
Рассмотрим стандартную модель экономики чистого обмена, в которой E = Rl является
пространством продуктов (l — число продуктов) и имеется (конечное) множество агентов (торговцев или потребителей) I = {1, . . . , n}. Потребитель i ∈ I стандартным образом
характеризуется собственным потребительским множеством Xi = E+ = Rl+ , вектором
исходных запасов ωi ∈ Xi и отношением предпочтения, описанным с помощью функций
полезности ui : Xi → R, где ui (xi ) > ui (yi ) содержательно означает, что агент i строго
предпочитает набор xi набору yi . Последнее также может быть стандартным образом обозначено как xi i yi . Таким образом, экономика чистого обмена может быть представлена
в виде тройки
E = I, E, (Xi , ui (·), ωi )i∈I .
Пара векторов (x, p), x = (x1 , . . . , xn ) ∈ I Xi , p ∈ Rl , называется равновесием модели E,
если вектор цен p = 0 и выполнены условия:
(i)
(ii)
3
∀ i ∈ I, pxi ≤ pωi & ∀ yi ∈ Xi , yi
i∈I
xi =
i∈I
i
xi ⇒ pyi > pωi ;
ωi .
В процессах этого типа цены на разных рынках изменяются одновременно, эта модификация оригинальной идеи Вальраса была предложена Самуэльсоном (Samuelson, 1941).
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
11
Условие (i) говорит о том, что для каждого i набор xi является оптимальным бюджетнодопустимым потребительским планом, в то время как (ii) означает их совместную реализуемость (все продуктовые рынки сбалансированы). Содержательно, понятие равновесия
обычно выражают в терминах равенства спроса и предложения или, просто, равенства
нулю избыточного спроса.
Индивидуальным спросом di (p) агента i при ценах p = (p1 , . . . , pl ) = 0 называется решение
задачи максимизации
ui (y) → max, py ≤ pωi , y ∈ Xi .
При p
0 эта задача всегда имеет решение и, таким образом, отображение di (·) корректно определено на Rl++ . Наряду с индивидуальным спросом, иногда бывает удобно
рассматривать отображение индивидуального избыточного спроса, заданное формулой
z i (p) = di (p) − ωi .
В контексте предположений модели Эрроу–Дебре отображение (функция) избыточного
спроса находится как сумма индивидуальных решений задачи потребителя для всех агентов экономики (совокупный спрос) минус совокупное предложение. Таким образом, вектор
D(p) = I di (p) называется совокупным (агрегированным) спросом. Так как в контексте
модели обмена предложение фиксировано и равно ω
¯ = I ωi , то избыточный спрос при
ценах p это
Z(p) = D(p) − ω
¯=
di (p) −
ωi =
z i (p).
I
I
I
Очевидно, отображения спроса и избыточного спроса корректно определены на области
изменения цен Rl++ . Более того, вектор p
0 является ценами равновесия тогда и только
тогда, когда Z(p) = 0 (или, эквивалентно, Z(p) ≤ 0). Вообще говоря, отображение избыточного спроса может быть точечно-множественным4 , однако для простоты мы будем
предполагать его однозначным5 . Кроме того, при естественных предположениях на модель
(классические выпуклые, непрерывные предпочтения) функция Z(·) является непрерывной на всей области определения Rl++ . Более того, там где это необходимо, мы будем без
специального упоминания считать её в нужной мере дифференцируемой. По построению,
функция избыточного спроса Z(p) является однородной степени 0 и удовлетворяет закону
Вальраса6 : p, Z(p) = 0, ∀ p
0. Для того, чтобы равновесие существовало, а также чтобы
обеспечит сходимость ряда процессов изменения цен к равновесию, обычно дополнительно
предполагают граничные условия. Основным примером такого условия является следующее: если pm → p0 ∈ ∂Rl+ , p0 = 0 при m → ∞, то Zj (pm ) → +∞ при p0j = 0, j = 1, . . . , l. В
пределах данного раздела мы будем считать его выполненным всюду, где это необходимо.
4
Например, в Полтерович, Спивак (1982) при точечно-множественном избыточном спросе исследовалась
сходимость к равновесию вальрасовских процессов изменения цен.
5
Обеспечивается строго квазивогнутыми предпочтениями.
6
В модели Эрроу–Дебре нужно требовать локальную ненасыщаемость предпочтений.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
12
Далее перейдём к непосредственному описанию указанных выше процессов и результатов.
2.1. Вальрасовские процессы нащупывания (tˆ
atonnement)
равновесных цен
Процессам этого типа посвящена громадная литература, здесь мы укажем только на два
обзора Hahn (1982), Полтерович, Спивак (1982), наиболее полно освещающих проблематику. Далее прежде всего опишем процесс формально. Экономическая модель описывается
отображением (совокупного) избыточного спроса Z : p → Z(p), определённом для всех
положительных цен p
0, p ∈ Rl .
В общем случае процесс нащупывания типа “tˆatonnement” это процесс изменения цен
p(t) = (pj (t))j=1,...,l , t ≥ 0, описанный как решение системы дифференциальных уравнений
следующего вида:
p˙j (t) = F j (Zj (p)), j = 1, . . . , l.
(2.1)
При этом обязательно предполагается, что все функции F j (·) сохраняют знак, т. е.
Zj (p)F j (Zj (p)) > 0 ⇐⇒ Zj (p) = 0. Именно в силу этого условия процесс изменения
цен (2.1) обладает тем свойством, что при избыточном спросе цена на продукт возрастает
(Zj (p) > 0 ⇒ p˙ j (t) > 0), а при избыточном предложении падает. Обычно дополнительd
F j (x) > 0.
но требуют (Hahn, 1982), чтобы в нужной для процесса (2.1) области было dx
Известно, см. Hahn (1982), что решение системы существует и единственно при любых
начальных данных p(0)
0. Классический процесс нащупывания предполагает простейj
ший вид функций F (Zj (p)) = Zj (p), т. е. F j (·) это тождественное отображение числовой
прямой на себя. В таком случае система дифференциальных уравнений (2.1) принимает
вид p˙ = Z(p). Рассматриваются также “промежуточные” варианты, где, например, принимается F j (Zj (p)) = kj Zj (p) при некоторых вещественных kj > 0, j = 1, . . . , l.
Содержательное теоретическое объяснение процесса нащупывания (2.1) основывается на
гипотезе аукционера, который, подобно тому как это происходит на реальных аукционах, повышает цену при избыточном спросе и, соответственно, понижает, если спрос ниже
предложения. Аукционер не является выявленным в модели (типа Эрроу–Дебре) экономическим агентом, это некоторое обезличенное существо, действия которого олицетворяют
невидимую руку рынка. При этом то как действительно работают рынки в неравновесной
ситуации, в процессе поиска равновесия, не вполне ясно, ибо нет выявленной микроэкономической модели процесса нахождения равновесных цен. В литературе гипотеза о существовании аукционера и подобные ему конструкции подвергаются критике и признаются
нереалистичными, например, см. Kreps (1990), с. 195–198, Fisher (1983), с. 19–26. Фишер
(Fisher, 1983) отмечает следующие трудности в интерпретации процесса (2.1): Во-первых,
неясно имеет ли место торговля, потребление и производство, если равновесие не достигнуто (фактически, обмен возможен только после достижения равновесия!). Во-вторых,
неясно как ведут себя индивидуумы вне равновесия, ибо предъявлено только агрегиро-
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
13
ванное уравнение. Наконец, есть что-то ущербное в (нереалистичном) мире, в котором
нет реальной торговли вне равновесия. При этом индивиды должны совершать некие
действия, эффективно выявляющие их избыточный спрос. Более того, это должны быть
экономические действия, индивиды должны что-то продавать и покупать, но по сути они
могут это сделать только тогда, когда равновесие достигнуто. Резюмируя можно сказать,
что теория равновесия нуждается в адекватной динамической теории, в рамках которой
и должен выявляться процесс установления равновесных цен.
Предметом критики служат также и довольно жесткие условия, при которых можно гарантировать сходимость процесса (2.1) к равновесию. Результаты о сходимости и устойчивости процесса (2.1) в основном основаны на свойстве валовой заменимости функции
избыточного спроса, разного рода её обобщениях, или просто аксиоме выявленного предпочтения и проч. Рассмотрим эти предположения формально, см. Mas-Colell (1995).
•
Функция7 Z(·) обладает свойством валовой заменимости (GS–property), если для
любых цен p и p таких, что для некоторого m выполнено pm > pm и pk = pk при
k = m, имеет место Zk (p ) > Zk (p) для всех k = m, k = 1, . . . , l.
Для дифференцируемой функции Z(·) условие валовой заменимости принимает вид
∂Zk (p)/∂pm > 0, ∀ p
0, ∀ k = m.
•
Функция избыточного спроса Z(·) удовлетворяет слабой аксиоме (WARP) выявленного предпочтения, если для любой пары вектор-цен, p и p , имеет место
Z(p) = Z(p ) & pZ(p ) ≤ 0 ⇒ p Z(p) > 0.
Свойства валовой заменимости и (слабого) выявленного предпочтения в применении к
функции (агрегированного) избыточного спроса это, вообще говоря, неэквивалентные и
довольно жесткие требования. Однако оба требования имеют общие важные последствия:
(i)
Множество равновесных цен выпукло.
(ii)
Если p∗ цены равновесия, то p∗ Z(p) > 0 для всех p
0 не пропорциальных p∗ .
В частности, свойство (ii) позволяет легко понять почему сходится процесс (2.1), если
выполнено одно из указанных условий. Действительно, в простейшем случае (2.1), когда
p˙ = Z(p), достаточно продифференцировать по t функцию квадрата евклидова расстояния
от текущих цен до равновесных ||p(t) − p∗ ||2 = lj=1 (pj (t) − p∗j )2 . В силу закона Вальраса,
очевидно, имеем dtd ||p(t) − p∗ ||2 = 2(p(t) − p∗ )p˙ = −2p∗ Z(p) < 0. Тем самым, расстояние
между текущим вектором цен и равновесным с ростом t уменьшается.
Наконец, укажем вкратце ещё на одно классическое условие, обеспечивающее локальную
сходимость процесса нащупывания — это свойство диагонального доминирования матри7
В контексте модели обмена валовая заменимость функции избыточного спроса и функции спроса эквивалентны.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
14
цы Якоби Dp Z − (p∗ ) = A функции избыточного спроса Z(p) в точке равновесия p∗ без
последних строки и столбца. Формально, диагональное доминирование это
∃ h = (h1 , . . . , hl−1 ) ≥ 0 : ∀ j hj ajj < −
k=j
hk |ajk |.
Валовая заменимость влечёт это свойство, однако обратное неверно. К сожалению, в литературе не выявлено других примеров диагонального доминирования. Диагональное доминирование, а также другие близкие требования, см. теорему 1.7 из Hahn (1982), влечёт
отрицательность действительных частей собственных чисел матрицы A, что и обеспечивает локальную устойчивость процесса ценового нащупывания.
2.2. Процессы изменения цен, использующие матрицу Якоби
функции избыточного спроса
Сразу заметим, что большая часть критических замечаний, сделанных в отношении Вальрасовских процессов, может быть также адресована процессам этого типа.
Смейл (Smale, 1976) исследовал свойства сходимости процесса изменения цен, основанного на (глобальном) методе Ньютона8 , обычно применяемом для нахождения решения
системы нелинейных уравнений. Процесс задаётся в виде:
[Dp Z − (p)]p˙ = −λ(p)Z − (p).
(2.2)
Здесь Z − (p) это избыточный спрос на все товары кроме (например) последнего, а Dp Z − (p)
матрица Якоби функции избыточного спроса, за исключением последней стоки и столбца9 . Предполагается, что знак функции λ(p), входящей как коэффициент в правую часть
(2.2)10 , совпадает со знаком (−1)l−1 det[Dp Z − (p)]. Если Dp Z − (p) невырожденная матрица
в области изменения p, то процесс (2.2) можно переписать в явном виде
p˙ = −λ(p)[Dp Z − (p)]−1 Z − (p).
Смейл (Smale, 1976) доказал, что этот процесс сходится к равновесию при любой функции агрегированного избыточного спроса11 , если начальные цены p(0) = 0 находятся на
границе Rl+ (область изменения цен), за исключением множества меры ноль (с учетом
8
Впервые метод был предложен и частично исследован Эрроу и Ханом, см. Arrow, Hahn (1991).
9
Последней строке и столбцу соответствует продукт, который используется в качестве единицы счета
(numeraire good), удаление строки и столбца нужно, чтобы выделить квадратную невырожденную подматрицу в J[Z(p)]; в силу однородности (избыточного) спроса J[Z(p)]p = 0 и, тем самым, матрица J[Z(p)]
всегда вырождена.
10
Конечно, нужно также постулировать другие свойства λ(p), обеспечивающие существование и единственность решения (2.2).
11
Здесь модель экономики полностью задается функцией Z(p).
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
15
нормировки), и дополнительного требования невырожденности Dp Z − (p) в эффективной
области изменения цен (положительны и нормированы по последней компоненте). Безусловно, это замечательный результат, однако его слабым местом являются большие информационные требования. Действительно, в каждый момент времени процесс изменения
цен требует знания не только избыточного спроса, но и матрицы Якоби, т. е. изменение
цены на данном рынке явным образом зависит от того, как изменяются цены на других
рынках.
Камия (Kamiya, 1990), развивая подход Смейла, предложил процесс, заданный в виде
I
Dp Z − (p)
p˙ = −λ(p)Z − (p).
−
−
||Dp Z (p)|| ||p − p(0)||
(2.3)
Здесь, как и в процессе Смейла, Dp Z − (p) это матрица Якоби функции избыточного спроса
без последнего столбца и строки, p(t) — (l − 1)-мерная вектор-функция цен без последней
компоненты pl (t) такая, что ||p(t)|| ≤ 1 и p(0) начальный вектор цен той же размерности.
Предполагается, что знак вещественной функции λ(p), входящей в правую часть (2.3),
противоположен знаку определителя матрицы, входящей в левую часть (2.3), т. е. совDp Z − (p)
I
− ||D
. Используя методы, предложенные Смейлом,
падает со знаком det ||p−p(0)||
−
p Z (p)||
Камия (Kamiya, 1990) доказывает, что процесс сходится к равновесию для почти всех
начальных данных p(0) из внутренности Rl−1
+ .
Мухерджи (Mukherji, 1995) исследовал другой процесс, использующий матрицу Якоби
функции агрегированного избыточного спроса:
p˙ = −J[Z(p)]t Z(p).
(2.4)
Он показал (Mukherji, 1995), что процесс (2.4) принадлежит к группе так называемых
локально эффективных процессов (LEPM) — процессы этого типа сходятся к любому (регулярному12 ) равновесию локально (т. е. для цен равновесия найдется окрестность такая,
что если p(0) в окрестности, то процесс сходится к данному равновесию).
В отношении всех описанных выше процессов, а также других процессов этой группы13 ,
можно высказать одно общее замечание: чрезмерные информационные требования. Более того, Саари и Симон (Saari, Simon, 1978) доказали, что это неустранимое свойство
любого LEPM-процесса, т. е., фактически, оно является необходимым условием для того
чтобы процесс был локально эффективным для (почти) любой функции агрегированного избыточного спроса. В данной связи уместно напомнить результаты ЗонненшайнаДебре-Мантела, см. Shaher, Sonnenschein (1982), о представимости агрегированной функции избыточного спроса в виде функции избыточного спроса для модели Эрроу–Дебре.
Оказывается, что любая непрерывная, однородная и удовлетворяющая закону Вальраса
12
Матрица Якоби избыточного спроса в точке равновесия имеет максимальный ранг равный l − 1.
13
Например, ортогонального процесса Ньютона, описанного в Jordan (1983).
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
16
функция допускает представление в указанном виде для модели Эрроу–Дебре с числом
агентов равным числу продуктов. При этом полезности индивидов классические: непрерывные, строго вогнутые, монотонные и, более того, — однородные (степени 1). Таким
образом, можно сделать следующий вывод: любой локально эффективный механизм изменения цен, основанный на функции избыточного спроса в модели Эрроу–Дебре, является информационно требовательным и, с необходимостью, должен использовать (всю!)
матрицу Якоби J[Z(p)] избыточного спроса. В частности, комментируя процесс Смейла,
Хан (Hahn, 1982, с. 767) указывает, что он интересен скорее как алгоритм, нежели модель
невидимой руки рынка.
2.3. Неравновесные модели процесса торговли
В литературе известно два неравновесных процесса в контексте модели чистого обмена, см. Fisher (1983), Mukherji (2003). Это процесс Эджворта по Узаве (Uzawa, 1962),
а также процесс Хана (Hahn, Negishi, 1962) (так его называет Негиши в Negishi, 1962).
Для обоих процессов характерно, что с течением времени меняются исходные запасы, т. е., исходные запасы ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) ∈ Rln
+ являются функцией времени,
ω : [0, +∞) → Rln
+ (n — число агентов). При этом, так же как и в процессах Вальрасовского
типа (tˆatonnement), реальное потребление наступает только по завершении процесса, где
потребление описывается предельной точкой ω(·). Далее мы последовательно рассмотрим
другие специфические черты процессов.
Общие свойства. Цены изменяются в соответствии с избыточным спросом:
p˙j (t) =
F j (Zj (p, ω(t))), за исключением pj = 0 & Zj (p) < 0;
0,
если
pj = 0 & Zj (p) < 0.
(2.5)
Здесь функции F j (·) удовлетворяют обычным требованиям: непрерывность и сохранение
знака.
Задан закон изменения начальных запасов, которые также являются (текущим) распределением потребляемых ресурсов ω : [0, +∞) → Rln
+ , удовлетворяющий требованиям:
n
∀ i ∈ I, ω˙ i (t) = gi (p(t), ω(t)) − ωi (t),
n
ωi (t) =
i=1
i=1
ωi (0), ∀ t ∈ [0, +∞),
(2.6)
где все функции gi (p(t), ω(t)) предполагаются непрерывными, а также удовлетворяют
условию отсутствия спекуляций:
∀ i ∈ I, p(t)ω˙ i (t) = 0 ⇐⇒ p(t)gi (p(t), ω(t)) = p(t)ωi (t), ∀ t ≥ 0.
(2.7)
Содержательно, в обоих процессах функции gi (p(t), ω(t)), i ∈ I задают правило торговли
(trading or transaction rule). Другие требования в процессах различаются.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
17
Процесс Хана. Специфическим требованием является предположение упорядоченности
рынков: ∀ t ≥ 0
zji (p(t), ωi (t))Zj (p(t), ωi (t)) > 0, j = 1, 2, . . . , l,
(2.8)
за исключением ситуации zji (p(t), ωi (t)) = 0 для всех i = 1, 2, . . . , n. Здесь zji (p(t), ωi (t)) это
индивидуальный избыточный спрос агента i на продукт j при текущих ценах и запасах
ωi (t) . Это требование означает, что если рынок продукта j не сбалансирован, то все агенты
имеют положительный избыточный спрос или предложение (если кто-то один не смог в
полной мере удовлетворить потребности в продукте, то так будет с каждым).
Процесс Эджворта по Узаве. Предполагается, что запасы (здесь — текущее потребление) изменяются так, что идёт монотонный рост полезности индивидов, причём хотя бы
для одного строго, если это вообще возможно при ограничениях (2.6), (2.7). Формально:
∀t ≥ 0
ui [gi (p(t), ω(t))] ≥ ui [ωi (t)], ∀ i,
(2.9)
ui [gi (p(t), ω(t))] = ui [ωi (t)], ∀ i ⇐⇒ gi (p(t), ω(t)) = ωi (t), ∀ i &
∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ Rln
+ : p(t)xi = p(t)ωi (t) ∀ i &
xi =
ωi (t),
∃ k : uk (xk ) > uk (ωk (t)) ⇒ ∃ i : ui (xi ) < ui (ωi (t)).
Таким образом, в каждый текущий момент времени, состояние экономики изменяется
если и только если оказывается возможным взаимовыгодный обмен в рамках бюджетных
ограничений14 .
Сходимость процессов Хана и Эджворта по Узаве к оптимуму по Парето доказывается в
рамках стандартных посылок, включающих граничные условия (обеспечивают движение
траектории в Rln
++ ), и дополнительного предположения о строгой вогнутости функций
полезности, см. Hahn, Negishi (1962), Uzawa (1962). При этом процесс по ценам также
сходится (для процессов Эджворта по Узаве см. Mukherji, 1974, 2003) и предельные цены
являются ценами равновесия для данного предельного распределения ресурсов (здесь это
начальное и конечное распределение одновременно) — это ситуация отсутствия торговли.
Подробное описание указанных неравновесных процессов можно найти в Arrow, Hahn
(1991) (часть 13), Hahn (1982), Fisher (1983), Mukherji (2003), там же содержится их критика. Например, Фишер (Fisher, 1983), будучи сторонником процесса Хана, высказывает
следующие замечания к процессу Эджворта по Узаве. Во-первых, неясно, почему Парето
улучшающий обмен должен непременно происходить даже если текущая ситуация допускает эту возможность. Причина этому может состоять, например, в том, что все коалиции
14
Узава также предполагает, что функции gi (·), определяющие меновый процесс вдоль траектории, принимают значение равное спросу индивидов, если совокупный спрос равен предложению (цены равновесия
для текущих начальных запасов). Нам не удалось обнаружить места в рассуждениях Узавы, где бы это
было действительно нужно: по нашему мнению это излишнее предположение, хотя с ним трудно не согласиться.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
18
агентов, способные к такому обмену, могут быть слишком большого размера, а вот небольшие — парные, тройные и т. д. — коалиции неспособны осуществить парето-улучшающий
обмен. Допуская возможность обмена в гигантских коалициях, мы, тем самым, накладываем очень жесткие требования на распространение информации и, одновременно, пренебрегаем издержками на образование коалиций. Причем введение в модель денег как средства
обмена, принципиально не меняет ситуацию. Во-вторых, процессы Эджворта не допускают
выявленной возможности производства и потребления в неравновесной ситуации, это все
еще открытый вопрос15 . В третьих, предположение о том, что торговля осуществляется
только при росте полезности обменивающихся индивидов не так безобидно как кажется.
В реальном неравновесном мире индивиды торгуют друг с другом и в других ситуациях,
поскольку надеются получить преимущество от арбитражных обстоятельств, спекулируя
на возможности будущей перепродажи по более высоким ценам. При этом Фишер считает,
что вопрос о том, приводит или нет арбитраж к равновесию в конкурентной экономике,
должен быть одним из ключевых вопросов теории стабильности (равновесия).
С другой стороны, процесс Хана также не избавлен от недостатков. Одним из них является
тот, что прежде чем купить что-то, нужно что-то продать. Поэтому многие из потенциально интересных сделок могут оказаться нереализованными. С целью разрешить эту проблему, Эрроу и Хан (Arrow, Hahn, 1991) явным образом вводят в модель деньги, используя их
в качестве товара-посредника в меновой сделке, и налагают ряд других предположений.
Критикуя процесс Хана, Мухерджи (Mukherji, 2003) указывает на главный его недостаток: отсутствие выявленной добровольности при совершении меновых сделок в процессе.
Действительно, при отсутствии специфической модели, объясняющей на микроэкономическом уровне появление той или иной меновой сделки, добровольность в её совершении
можно понимать только как условие, влекущее монотонный рост полезности индивидов
вдоль траектории, т. е. в результате сделки все её участники должны выиграть.
Наконец, оба процесса неявно основаны на гипотезе аукционера, ибо по определению удовлетворяют (2.5).
2.4. Процессы Эджворта
Так мы называем процессы изменения текущего распределения ресурсов, описанные в
дискретном или непрерывном времени, идущие без цен и, соответственно, нет бюджетных
ограничений. Содержательно процессы этого типа близки к договорным процессам без
разрыва договоров, см. Hahn (1982), с. 772–777, а также следующий раздел. Основной
смысл процесса состоит в том, что траектория, которую генерирует процесс в пространстве
распределений, такова, что при этом идёт монотонный рост полезности всех индивидов,
15
Хан (Hahn, 1982) указывает на работу Гурвица, Раднера, Рейтера (Hurwicz, 1975), в которой процесс
рассматривается в стохастическом контексте и, более того, показано, что производство может быть также
в него включено.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
19
причём хотя бы для одного строго, если текущая точка не оптимальна по Парето. Процесс
этого типа, например, можно задать с помощью правила торговли (обмена), заданного
функциями gi (ω(t)), i ∈ I, подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе
(однако здесь нет цен): ω : [0, +∞) → Rln
+,
n
n
∀ i ∈ I, ω˙ i (t) = gi (ω(t)) − ωi (t),
ωi (t) =
i=1
i=1
ωi (0), ∀ t ∈ [0, +∞).
Функции gi (·) непрерывны и удовлетворяют условиям (2.9), за исключением бюджетных
ограничений16 . Несложно доказать, что каждая предельная точка такого процесса является Парето оптимумом17 .
В ряде работ процессы Эджворта рассматриваются в вероятностном контексте (см. обзор
Hahn, 1982, а также Hurwicz, 1975, Graham, Weintraub, 1975), где, в наших терминах, на
множестве взаимовыгодных контрактов имеется разумное вероятностное распределение.
Соответствующий стохастический процесс сходится с вероятностью 1 к Парето оптимуму
(опустим другие специфические черты и предположения).
Имеются работы, в которых выход на границу Парето достигается усилиями коалиций
ограниченного размера (не более чем число продуктов). Первый результат этого типа был
получен в Полтерович (1970), см. также Feldman (1973), Graham (1976), Madden (1975),
Green (1974). При этом, однако, каждая активная коалиция осуществляет переход на внутрикоалиционную границу Парето (по текущему распределению) и все коалиции встроены
в цикл, который повторяется бесконечное число раз (сравните с (2.9)). Таким образом, по
сути это дискретные по времени процессы.
Имеются также работы, в которых осуществляется переход к распределениям из ядра,
см. Green (1974). Здесь также имеется вероятностный контекст, где текущая блокирующая угроза пополняется реакцией дополняющей коалиции, что и формирует переход из
одного текущего состояния в последующее. Таким способом распределение из ядра (при
необходимости процедура повторяется бесконечно) достигается с вероятностью 1.
Легко видеть, что во всех этих направлениях имеется договорной контекст и, более того,
язык договоров просто удобнее и лучше интерпретируется.
16
Это предположение важно для того, чтобы процесс сходился к оптимуму по Парето. Хан (Hahn, 1982,
с. 773) дает другое описание процесса, требуя роста полезностей без ограничений на производную процесса. Такой процесс может закончится в “тупиковой”, не оптимальной по Парето точке, пример строится
∞
1
элементарно: Пусть α : [0, +∞) → [0, 1], supp (α) = [0, ∞), 0 α(t)dt = 1 (можно взять α(t) = (1+t)
2,
t
0
α(s)ds = 1 −
1
(1+t) )
и пусть v — контракт такой, что ui (xi + λvi ) строго монотонно возрастает по
λ ∈ [0, 1], ∀ i ∈ supp (v), но z ∗ = x + v не оптимум Парето. Тогда траектория процесса z(t) = x + v
удовлетворяет условиям Хана и z(t) → x + v при t → +∞.
17
t
0
α(s)ds
Мы не можем дать точной ссылки, но кажется этот (элементарный) факт давно был ясен экономистам,
и Узава в их числе.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
20
2.5. Стратегический подход
Данное направление начало развиваться в экономической теории с середины 80-х годов
прошлого века и было нацелено на прояснение и обоснование основополагающих гипотез
теории конкурентного равновесия к контексте стратегической игры18 . Таким образом, используя методы теории игр, предполагалось дать ответы на такие вопросы как: откуда
берутся цены и кто их определяет, почему агенты должны принимать цены как заданные и не могут их менять (говорят, что потребитель является прайс-теккером19 ), что есть
равновесие и совершенная конкуренция? Ответы на эти и другие теоретически важные
вопросы даются в итоге анализа игры в развёрнутой форме (extensive-form), принадлежащей к классу DMBG-игр20 , специальным образом построенной по модели экономики. За
неимением возможности входить в подробные пояснения, мы укажем только на два источника литературы Gale (2000), Kunimoto, Serrano (2004) и опишем содержательно основную
идею подхода21 в контексте одной из возможных игровых моделей.
В экономике имеется континуум агентов, представленный конечным числом типов. Каждый тип характеризуется исходными запасами и функцией полезности по НеймануМоргенштерну. Продукты бесконечно делимы, время дискретно и совпадает с натуральным рядом. В каждый момент времени каждый агент может встретится с партнером с
некоторой фиксированной вероятностью. Если некоторая пара {i, k} агентов встретилась,
то, после идентификации типа и текущих потреблений, xi и xk , равновероятно выбирается
агент, скажем i, который делает предложение агенту k, желая получить продуктовый вектор z ∈ Rl . Если агент k принимает предложение, то его потребительский набор изменится
на xk −z, а у партнёра станет xi +z (рассматриваются только допустимые предложения, не
выводящие за пределы потребительского множества)22 . Если агент не принимает предложение, то потребительские наборы остаются неизменными. Индивид, не принявший сделанное ему предложение, может в следующий момент выйти из рынка, никакой другой
индивид (принявший или не участвовавший в данном раунде) не может. Агент никогда
не покидающий рынок, получает полезность −∞ (таким образом, потребление возможно только после ухода). Стратегия игрока это некий план действий, описывающий его
поведение в разных торговых ситуациях, в зависимости от текущего потребления, типа
партнёра, его текущего потребления и, сделанного им, предложения (если так случится).
Стратегия агента зависит от совершенных ранее им сделок и, если ему сделано предло18
В другой терминологии — игры в нормальной форме.
19
С английского “price-taker”.
20
Это английская аббревиатура от “dynamical matching and bargaining games”, что можно перевести на
русский как “динамические игры, где игроки встречаются и торгуются”.
21
Принадлежит, по-видимому, Дугласу Гейлу, но является подходящей адаптацией и развитием идей
предыдущих исследователей, см. Gale (2000).
22
В нашей терминологии предложение z это предложение заключить меновый контракт вида (z, −z).
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
21
жение, принимает значения: “принять предложение”, “отклонить предложение и остаться
на рынке”, “отклонить предложение и уйти с рынка”.
Предполагается, что агенты одного типа используют общую стратегию. Однако, с учётом
предыдущих актов торговли, у разных агентов могут быть разные текущие потребительские наборы, но для каждого типа конечное число. Далее, для построенной DMBG-игры
вводится понятие рыночного равновесия, которое является специализированным видом
совершенного Байесовского равновесия и в дискретном (эквивалентном) варианте игры
является секвенциональным равновесием. Основным результатом является теорема, в которой утверждается, что в каждом рыночном равновесии каждый игрок покидает рынок
с вероятностью 1, если его потребительский набор является набором, отвечающим Вальрасовскому равновесию.
Несмотря на то, что по своим методам стратегический подход существенно отличается от
договорного, мы сочли необходимым описать данное направление, поскольку оно нацелено на разрешение тех же содержательных проблем теории равновесия, которые связаны
с обоснованностью и реализуемостью принятых в теории гипотез. По нашему мнению,
наиболее привлекательной частью этого подхода является ясное описание того, что и как
делают индивиды в неопределённых рыночных обстоятельствах.
3. ПРОЦЕСС ДОГОВОРНОГО НАЩУПЫВАНИЯ:
ˆ
КООПЕРАТИВНЫЙ TATONNEMENT
Далее сначала будет описана модель договорной экономики и основные понятия договорного подхода в нужной нам степени общности, а затем будет дано собственно обоснование
процесса договорного нащупывания.
3.1. Основные понятия договорной экономики
Рассмотрим стандартную модель экономики чистого обмена, описанную в разделе 2 и
представленную тройкой
E = I, E, (Xi , ui (·), ωi )i∈I .
Обозначим L = E n пространство состояний экономики, пусть ω = (ωi )i∈I ∈ L полный вектор исходных запасов (всех) торговцев рассматриваемой модели и пусть X = I Xi ⊂ L.
Определим также множество A(X) всех достижимых распределений (состояний) модели
E, по определению это
A(X) = {x = (xi )i∈I ∈ X |
xi =
i∈I
i∈I
ωi }.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
22
В дальнейшем всегда предполагается, что модель E удовлетворяет следующему предположению гладкости (S).
(S) Все функции полезности ui (·) вогнутые и дважды непрерывно дифференцируемые,
причём ∀ xi ∈ Xi = Rl+ , ∀ i ∈ I, ∇ui (xi ) = 0 и матрица ∇2 ui (xi ) отрицательно определённая.
Напомним далее вкратце концепции договорных состояний разного рода, см. Маракулин
(2003).
Формально любое перераспределение продуктов v = (vi )i∈I ∈ L, где vi ∈ E, i ∈ I, т. е.
любой вектор v ∈ L, удовлетворяющий
i∈I vi = 0, называется (бартерным) контрактом или договором. В контексте данной работы будем предполагать, что любой контракт
допустим.
Конечная совокупность V допустимых контрактов называется сетью контрактов относительно y ∈ X если
y+
v ∈ X ∀ U ⊂ V.
v∈U
Сеть контрактов V относительно ω называется сетью контрактов или просто сетью;
V = ∅ является сетью относительно любого y ∈ A(X). Каждой сети контрактов V ставится в соответствие распределение x(V ) = ω + v∈U v. Для любого контракта v ∈ V
определяется носитель
S(v) = supp (v) = {i ∈ I | vi = 0}.
Предполагается, что любой контракт v ∈ V может быть разорван любым торговцем из
S(v), ибо он может просто не выполнить своих обязательств. Кроме того, любая непустая
группа (коалиция) потребителей может заключить (подписать) несколько новых контрактов. Будучи рассмотрены совместно, т. е. как одновременная процедура, эти операции
позволяют коалиции T ⊆ I создавать новые сети контрактов. Пусть F (V, T ) множество
всех таких сетей. Формально требуется, чтобы каждый элемент U ∈ F (V, T ) удовлетворял
условиям:
(i)
v ∈ V \ U ⇒ S(v) ∩ T = ∅,
(ii)
v ∈ U \ V ⇒ S(v) ⊂ T .
Здесь (i) означает, что только члены T способны разрывать контракты из V , а условие
(ii), — что только члены T могут подписывать новые контракты.
При договорном подходе понятие доминирования по коалиции распространяется на сети
договоров. Это свойство, доминирования по коалиции T ⊆ I, записывается в виде U V
и формально означает, что
(i)
U ∈ F (V, T ),
(ii)
xi (U )
i
xi (V ) для всех i ∈ T .
T
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
23
Сеть контрактов V называется стабильной, если не существует сети U и такой коалиции
T ⊂ I, T = ∅, что U V .
T
Сеть контрактов V называется стабильной снизу, если нет такой сети U и коалиции T ⊂ I,
T = ∅, что U V и U ⊂ V .
T
Сеть контрактов V называется стабильной сверху, если нет такой сети U и коалиции
T ⊂ I, T = ∅, что U V и V ⊂ U .
T
Распределение x называется договорным (договорным снизу, сверху), если x = x(V ) для
некоторой стабильной (снизу, сверху) сети V .
Непосредственно из определений следует, что в стандартном рынке распределения из ядра
можно альтернативно описать как договорные; соответственно, оптимальным по Парето
распределениям отвечают договорные сверху, а индивидуально рациональным — договорные снизу и т. д. Важную роль играет также концепция правильно договорного распределения, которая даёт (предположения: точка внутренняя, гладкие предпочтения) альтернативное описание равновесия.
Понятие правильно-договорного распределения вводится с помощью следующей конструкции. Введём отношение эквивалентности на множестве всех устойчивых (стабильных) снизу сетей, это отношение позволяет частично делить контракты. С этой целью рассмотрим
отношение частичного порядка на множестве (стабильных снизу) сетей:
U ≥ V ⇐⇒ ∃ отображение на f : U → V такое, что
(i)
(ii)
λf (u) = u для некоторого 0 ≤ λ ≤ 1 и каждого u ∈ U ,
u∈f −1 (v)
u = v для каждого v ∈ V .
Таким образом, соотношение U ≥ V просто означает, что контракты из U получены из
контрактов из V путём их разбиения на несколько контрактов (разложения в сумму), при
условии сохранения меновых пропорций и общих объёмов обмениваемых продуктов23 .
Теперь отношение эквивалентности U
U
V определяется условием:
V ⇐⇒ ∃ сеть W такая, что V ≥ W & U ≥ W.
Определение 3.1. Распределение x называется правильно договорным, если существует сеть V такая, что x = x(V ) и для каждого U V распределение x = x(U ) является
договорным.
Экономическое значение понятия правильно договорного распределения состоит в том,
что наряду с возможностью заключать новые контракты, агенты могут частично рвать
23
Значение f (u) ∈ V указывает на контракт, долей которого является u ∈ U .
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
24
ранее заключённые контракты при условии сохранения меновых пропорций, и, конечно,
они могут заключать новые договоры. Это расширение оперативных возможностей экономических агентов приближает контрактные процессы к рыночным в условиях совершенной конкуренции. Козырев (см. Козырев, 1981, 1982) установил (см. также Маракулин,
2003), что (при некоторых технических предположениях) правильно-договорные распределения являются равновесными.
Далее мы рассмотрим главный предмет анализа настоящего исследования, который предполагает изучение стабильности траекторий текущего состояния экономики, отвечающих
принципам правильно-договорного поведения. Однако прежде мы хотели бы указать на
одну возможную интерпретацию правильно-договорного поведения, приводящего экономику к правильно-договорным распределениям.
Предположим, что экономика не статична и живёт на протяжении достаточно длительного
отрезка времени. С течением времени индивиды заключают относительно краткосрочные
контракты по обмену продуктами. Контракт предполагает взаимные поставки продуктов
между агентами и, по его исполнении, возможность возобновления, т. е., как бы вновь
заключается тот же контракт, но реализуется в другом временном отрезке. Агенты могут
согласится на возобновление (пролонгацию) контракта или нет, изучая в первую очередь
возможность пролонгации в меньших объёмах. Таким образом, вместо разрыва договора,
хотя бы и частичного, в динамично живущей во времени экономике можно говорить о
возобновлении и невозобновлении контрактов. Заметим, что при данном описании, с течением времени, продукты (могут) постоянно потребляются, хотя бы и в неравновесной
ситуации, а ресурсы возобновляются. Естественно предположить, что устойчивые во времени контракты, т. е. те, которые регулярно возобновляются (нет производства!), и приводят экономику в режим равновесного функционирования. Однако вопрос сходимости к
такому режиму неясен и требует тщательного исследования.
Автору представляется, что предложенное содержательное описание процессов обмена —
по правилам правильно-договорного поведения — существенно ближе к интуитивным
представлениям об их характере в реальной экономической среде, нежели процессы рассмотренные в пунктах (i)–(iv) предыдущего раздела.
3.2. Об определении договорной траектории
Формально, траекторией называется (любое) отображение x(·), действующее из [0, +∞) в
A(X), множество всех распределений (достижимых состояний) экономики, т. е. траектория это
x(·) : [0, +∞) → A(X).
Вектор x(t) = (xi (t))I это достижимый набор потребительских планов, реализованный
траекторией в момент времени t ≥ 0. Предполагается, что t = 0 это начальный момент
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
25
времени, в котором траектория “стартует” с исходного распределения ресурсов, т. е. полагаем x(0) = ω.
Нас интересуют не просто какие-то траектории указанного типа, но траектории, которые
могут реализоваться в результате договорного процесса по обмену продуктами между экономическими агентами. Если, для начала, предположить, что ∆t > 0 это время реализации
договора v, в течении которого других операций по обмену продуктами (заключения новых
контрактов или разрыва имеющихся) не проводилось, то в момент t = t + ∆t траектория
примет значение x(t ) = x(t) + v, откуда v = x(t ) − x(t). Так как других контрактных операций в интервале [t, t ] не проводилось, то логично считать, что в точке t = λt + (1 − λ)t,
λ ∈ [0, 1] значение траектории получается из значений в концах отрезка, которые смешиваются в тех же пропорциях, т. е. можно постулировать, что x(t ) = λx(t ) + (1 − λ)x(t)24 .
Последнее переписывается в виде x(t ) = x(t)+λv ⇒ x(t+λ∆t)−x(t) = λv и, следовательно,
x(t + λ∆t) − x(t)
v
=
=⇒ v = x(t)
˙ ∆t.
λ→+0
λ ∆t
∆t
x(t)
˙
= lim
Предположим далее, что в течении некоторого временного отрезка [t, t ] было последовательно заключено некоторое (конечное) число договоров, причём периоды их реализации
не перекрываются. Пусть всего их m штук. Можно считать, что момент окончания одного контракта совпадает с моментом начала следующего, ибо, если это не так, то систему
договоров можно всегда пополнить надлежащим числом нулевых контрактов. Итак, отрезок [t, t ] разбивается на m интервалов, заданных точками t = t0 < t1 < . . . < tm = t ,
так, что [tk−1 , tk ] это временной интервал, в течении которого реализуется контракт
vk = x(tk ) − x(tk−1 ), k = 1, . . . , m. Полагая ∆tk = tk − tk−1 , с учётом предыдущей формулы находим
m
m
t
x(t
˙ k−1 )∆tk = x(t) +
vk = x(t) +
x(t ) = x(t) +
k=1
k=1
x(s)ds.
˙
t
Так как по предположению контрактный процесс в момент t = 0 начинается с точки ω,
то таким образом имеем
t
x(s)ds,
˙
x(s)
˙
=
x(t) = ω +
0
vk
, ∀ s ∈ [tk−1 , tk ].
∆t k
Далее, если абстрагироваться от вывода (элементарного) предыдущей формулы, или, другими словами, рассмотреть предельные её варианты, предполагая что число контрактов
стремится к бесконечности, а время реализации каждого из них к нулю, приходим к следующим заключениям.
24
Прибегнув к “физической” интерпретации, можно сказать, что тем самым постулируется постоянная
(равномерная) скорость реализации контракта на интервале [t, t ].
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
26
(i) Контрактная траектория, которая в случае конечного числа контрактов представляется как интеграл от некоторой простой (ступенчатой) функции, в общем случае является
интегралом некоторой интегрируемой на любом конечном отрезке функции x(·)
˙
и задаётся формулой
t
x(t) = ω +
(3.1)
x(s)ds.
˙
0
Другими словами, контрактная траектория это любое отображение
x(·) : [0, +∞) → A(X),
абсолютно непрерывное25 на отрезке [0, t] при любом t > 0. Это и есть принимаемое нами
в дальнейшем определение.
(ii) Производная x(·)
˙ контрактной траектории в общем случае является определённой почти всюду на [0, +∞) функцией, значение которой x(t)
˙
определяет (моментальный) контракт, заключённый в момент t ∈ [0, +∞). При известном времени ∆t > 0 реализации
этого контракта, что формально означает x(t
˙ ) = x(t
˙ ), ∀ t , t ∈ [t, t + ∆t], итоговый (валовой) контракт находится как v(t) = x(t)
˙ ∆t. Другими словами, производную от контрактной траектории можно понимать как контракт в расчёте на единицу времени. Отметим
также очевидное следствие: областью значений производной является подпространство
контрактов, т. е.
x(·)
˙ : [0, +∞) → Lc , Lc = {v ∈ L | v = (vi )I :
vi = 0}.
(3.2)
Сделаем ещё одно замечание. По определению контрактной траектории (кривой) что такое контракт в общем случае сказать нельзя, т. к. неизвестно время его реализации (что
есть такое период реализации продолжительности 0?). Поэтому корректно можно говорить
только о моментальных контрактах, либо о сумме контрактов, заключённых в течении
какого-то ненулевого интервала времени. Принимая последнюю точку зрения, можно говорить и о сумме контрактов за “измеримое время” Ω ⊆ [0, τ ], где Ω это любое измеримое
подмножество отрезка. В таком случае имеем
Ω v(s)
=
x(s)ds.
˙
Ω
Конечно, в пунктах (i), (ii) описаны не все свойства контрактной траектории, отвечающей договорному процессу; это всего лишь начальные, безусловные требования. Дополнительно нужно учесть условия, при которых контракты заключаются, а также характер
изменения траектории при разрыве договоров.
25
По определению абсолютно непрерывным на отрезке [a, b] называется такое отображение f (·), что ∀ε > 0
∃δ > 0 такое, что для любой конечной системы попарно непересекающихся интервалов (a k , bk ) ⊂ (a, b),
m
k = 1, 2, . . . , m, для которой Σm
k=1 (bk − ak ) < δ, имеет место Σk=1 |f (bk ) − f (ak )| < ε.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
27
Для конструктивного описания договорных процессов, связанных с разрывом договоров,
может оказаться удобным рассматривать, описанное ниже, расширенное понимание траектории, которую мы будем называть коалиционной траекторией.
Для каждой, по крайней мере 2-х элементной, коалиции S ⊆ I, card(S) ≥ 2, определено
(абсолютно непрерывное) отображение
v S : [0, +∞) → LcS ,
LcS = {v ∈ L | v = (vi )I :
i∈S
vi = 0 & vi = 0, ∀ i ∈
/ S}.
(3.3)
Содержательно, v S (t) это итоговый (валовой) контракт, достигнутый членами коалиции
S в момент t ≥ 0. Совокупности всех таких отображений {v S (t)}S∈K = V (t), отвечающих некоторому множеству разрешённых коалиций K ⊂ 2I , очевидно, можно поставить в
соответствие траекторию в старом смысле по формуле
x(t) = ω +
S∈K
v S (t), t ≥ 0.
(3.4)
При данном описании контрактной траектории, мы, фактически, описываем не просто
текущее распределение, но, изменяющийся во времени, набор контрактов, где каждой
коалиции соответствует ровно один контракт (для запрещённых коалиций — нулевой). С
течением времени этот набор может трансформироваться, в соответствии с правилами
правильно-договорного поведения. Поэтому, чтобы обеспечить достижимость распределения, полученного после любых вариантов (частичного) разрыва договоров из V (t), для
каждого t ≥ 0 нужно дополнительно требовать, чтобы V (t) было сетью контрактов (относительно ω).
В заключении укажем на одно важное обстоятельство. В принципе траектория x(t),
t ∈ [0, +∞) содержит в себе всю информацию о заключённых агентами контрактах, их
объёме и моменте подписания. Эта информация содержится в производной траектории
x(t).
˙
Поэтому коалиционно-договорная траектория это не какой-то новый объект, а просто
удобная форма представления информации в нужной мере агрегированном виде. Действительно, значение каждого отображения v S (t) в точке t ≥ 0 можно определить формулой
v S (t) =
x(s)ds,
˙
ΩtS
ΩtS = {s ∈ [0, t] | x˙ i (s) = 0, i ∈ S & x˙ i (s) = 0, i ∈ I \ S}.
Однако здесь может появиться один нюанс, связанный с ситуацией, когда две или более
попарно непересекающиеся коалиции независимо заключают договоры в один и тот же
момент времени или просто время реализации договоров накладываются один на другой. Содержательно рассмотрение таких ситуаций ничему не противоречит, особенно в
коалиционно-договорном контексте. Чтобы избежать возможных коллизий, связанных с
появляющейся теперь неоднозначностью в восстановлении валового коалиционного договора по производной траектории, проще всего договориться изначально вести анализ в
терминах коалиционной траектории.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
28
3.3. Процессы заключения и разрыва договоров
Заключение нового договора какой-либо коалицией возможно только при условии заинтересованности всех членов коалиции, т. е. в результате его реализации (на текущий момент)
полезность каждого члена должна строго возрасти. Как мы видели в предыдущем разделе,
контракт в расчёте на единицу времени это просто производная контрактной траектории
в данной точке (момент времени). Таким образом, при предпочтениях, заданных гладкими вогнутыми функциями полезности (в силу (S)), можно считать, что контракт v будет
подписан членами коалиции S, т. е. траектория двинется вдоль вектора v = x(t),
˙
если
supp (v) = S и при этом
x˙ i (t), ∇ui (x(t)) > 0, ∀ i ∈ S.
Так как vi = 0 при i ∈
/ S, то можно записать определяющее условие:
x˙ i (t) = 0 ⇒ x˙ i (t), ∇ui (x(t)) > 0, ∀ i ∈ I, ∀ t ≥ 0.
(3.5)
Это условие и можно принять, для характеризации момента t как ситуации заключения
нового договора. Рассмотрим далее ситуацию разрыва договоров.
Описание договорного процесса с частичным разрывом договоров в максимально общей
постановке возможно, однако в таком случае формально-математический анализ процесса, с целью доказать его сходимость, представляется весьма затруднительным (по крайней
мере, на данной стадии исследования). Поэтому, далее мы сделаем ряд упрощающих гипотез. Эти гипотезы определяют основные параметры: какие контракты, в какой момент
и в каком объёме разрываются, т. е. конкретизируются все неопределённости, связанные
с разрывом договоров.
Решение о частичном разрыве договоров принимается каждым агентом индивидуально,
в условиях достаточной информированности для близоруко-рационального разрыва договоров. Представляется, что, в отличии от ситуации, связанной с подписанием нового
контракта, где индивиду требуется найти партнёров и пройти какую-то переговорную
стадию о будущем контракте, разрыв договоров является простым решением и, поэтому,
может быть принят и реализован без временной задержки, сразу, как только сложилась
подходящая возможность. Сказанное мотивирует следующую гипотезу.
(IB) Мгновенный разрыв договоров. В каждый момент времени каждый индивид моментально (за нулевое время) частично рвёт заключённые ранее контракты в оптимальном для себя объёме.
Данная гипотеза ничего не говорит о том, какие контракты и в какой форме могут быть
разорваны. В общем случае уместно считать, что каждый индивид имеет возможность
(право) рвать в любом объеме любой контракт, заключённый ранее текущего момента
времени t ≥ 0. Однако, с целью упрощения последующего анализа, для начала можно
рассмотреть и частные случаи, несколько ограничивая возможности по разрыву договоров.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
29
Для агрегированной контрактной траектории, заданной соотношениями (3.1), (3.2) будем
постулировать:
(UB) Равномерный разрыв всех договоров. В каждый момент времени каждый индивид может частично рвать все контракты, имеющиеся в экономике к
данному моменту, причём в одинаковой мере (пропорции).
Эта гипотеза предполагает, что в текущий момент t ∈ [0, +∞) каждый агент принимает
решение о разрыве договоров, основываясь на минимальной информации, заключённой
только в знании текущего распределения x(t), и не принимая во внимание значения x(t ),
“пройденные” траекторией в предыдущие моменты t ∈ (0, t). По-видимому, такой взгляд
на возможности разрыва договоров является приемлемым для экономики с небольшим
числом агентов, где можно предполагать, что контракты заключаются только коалицией
всех агентов (grand coalition). Однако если в экономике имеется “много” агентов, данное
предположение весьма проблематично. Действительно, почему эффект разрыва договоров
с лицами, непосредственно в них участвующими, должен таким кардинальным образом —
разрыв в той же мере — сказываться на посторонних, невовлечённых в непосредственный контакт индивидах? Однако, чтобы осуществить разрыв только части договоров, что
лучше отвечает существу договорного процесса, нужно чтобы эта часть была выявлена.
Одним из простых вариантов выявления этой информации является задание траектории
в коалиционно-договорном виде, описанное в предыдущем разделе.
Для коалиционной траектории, описанной в (3.3), (3.4) будем предполагать:
(CUB) Коалиционно-равномерный разрыв договоров. В каждый момент времени каждый индивид может частично рвать все контракты, заключённые любой коалицией, в которой он участвует, причём в пределах коалиции в одинаковой мере, но, возможно, в разной пропорции для разных коалиций.
С информационной точки зрения данная гипотеза означает, что каждый агент хранит
информацию (помнит) о внутрикоалиционных обменах в агрегированном виде, в форме “валового” контракта. При этом, однако, итог разрыва договоров данным индивидом
скажется только на агентах, явно вовлечённых в бартерный контракт с этим индивидом
через коалиционный валовой контракт, и это не касается обменов в других коалициях. Как
частный случай этой гипотезы, можно рассматривать вариант, когда разрыв и заключение
новых договоров происходит в рамках одной и той же коалиции.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
30
4. ПРАВИЛЬНО-ДОГОВОРНЫЕ UB-ПРОЦЕССЫ:
РАВНОМЕРНЫЙ РАЗРЫВ ВСЕХ ДОГОВОРОВ
В предыдущем разделе мы обсудили контрактные процессы без разрыва договоров, а
также рассмотрели свойства и гипотезы, относящиеся к частичному разрыву контрактов, заключённых ранее текущего момента времени. Далее мы собираемся рассмотреть
процессы, в которых заключение и частичный разрыв договоров идут в одновременном
режиме.
Сначала, с целью упростить последующий анализ, рассмотрим случай агрегированной
правильно-договорной траектории, для которой допустим только частичный разрыв всех
заключённых к данному моменту договоров, причём всех в равной мере.
Далее прежде всего нужно выяснить что собственно означает, что индивид i в момент t не хотел, а после заключения договора v в момент τ > t пожелал частично разорвать договоры. Первое означает, что ∇ui (x(t)), xi (t) − ωi ≥ 0, второе, что ∇ui (xi (t) + (τ − t)vi ), xi (t) + (τ − t)vi − ωi < 0. Следовательно, найдётся момент
t + ∆t ∈ [t, τ ] такой, что
∇ui (xi (t) + ∆tvi ), xi (t) + ∆tvi − ωi = 0.
Отметим также, что в силу (IB) эффект разрыва договоров может сказаться на изменении
траектории в момент t если и только если в каждой окрестности точки t найдётся момент
τ > t с указанными свойствами. Устремляя τ → t получаем
∇ui (xi (t)), xi (t) − ωi = 0,
(4.1)
и это первое из условий, определяющих движение траектории с разрывом договоров. Отметим, что точка, заданная уравнением (4.1), является точкой максимума полезности
ui (yi ) на луче, исходящем из точки ωi по направлению xi − ωi (здесь yi = ωi + λ(xi − ωi ),
λ ≥ 0).
Рассмотрим далее другое условие. Изначально, на момент t его подписания, контракт v
был взаимовыгодным в точке x(t). Тот факт, что в момент τ > t некоторый индивид
i ∈ supp (v) частично рвёт валовой контракт x(t) + (τ − t)v − ω в объёме 1 − α означает,
что из точки x(t) траектория перейдет в точку z = ω + α(x(t) + (τ − t)v − ω) = (1 − α)ω +
α(x(t) + (τ − t)v), 0 ≤ α < 1. Эта точка опять-таки является точкой максимума полезности
индивида i на линейном отрезке, соединяющем точку x(t)+(τ −t)v с начальными запасами
(таким образом, осуществляется проектирование вдоль прямой, соединяющей две точки).
Следовательно, новая точка траектории должна удовлетворять уравнению
∇ui (xi (τ )), xi (τ ) − ωi = 0.
Полагая ∆t = τ − t и подставляя в уравнение выражения
xi (t + ∆t) = xi (t) + ∆tx˙ i (t) + o(∆t),
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
кривая безразл. j-го
31
кривые безразл. i-го
∆tvi
❖
S = {i, j}
xi
q
zq i
❫ hi
zi = ωi + α(xi (t) + ∆tvi − ωi )
← {y : yi − ωi , ∇ui (yi ) = 0}
q
ωi
Рис. 1. Правильно-договорной переход.
∇ui (xi (t + ∆t)) = ∇ui (xi (t)) + ∇2 ui (xi (t))(∆tx˙ i (t) + o(∆t)) + o(∆tx˙ i (t) + o(∆t)),
истинные в силу формулы Тейлора26 , и учитывая (4.1), находим
∆t
∇ui (xi (t)), x˙ i (t) + ∆t ∇2 ui (xi (t))x˙ i (t), xi (t) − ωi + ∆t2 ∇2 ui (xi (t))x˙ i (t), x˙ i (t) + o(∆t) = 0.
После деления на ∆t и перехода к пределу по ∆t → 0, приходим к уравнению
∇ui (xi (t))x˙ i (t) + ∇2 ui (xi (t))x˙ i (t), xi (t) − ωi = 0 ⇐⇒
hi (xi (t)), x˙ i (t) = 0,
hi (xi (t)) = ∇ui (xi (t)) + ∇2 ui (xi (t))(xi (t) − ωi ).
(4.2)
Уравнения (4.1), (4.2) являются важной характеристикой договорной траектории, но, однако, всё ещё не полностью описывают процесс. Необходимо также учесть зависимость x(t)
˙
от изначально взаимовыгодного контракта v, в результате заключения которого сложилась ситуация, выгодная для разрыва договоров одним из участников процесса. Ситуацию
иллюстрирует рис. 1 (в стиле ящика Эджворта), на котором отражён характер перехода
и участвующие в анализе объекты.
Напомним, что из точки x(t) траектория в момент τ = t + ∆t перейдет в точку x(t + ∆t)=
(1 − αi )ω + αi (x(t) + ∆tv), 0 ≤ αi < 1. В общем случае величина αi зависит от текущего
потребления xi (t), (моментального) контракта v и времени его реализации ∆t > 0. В силу
26
o(·) — стандартное обозначение бесконечно малой.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
32
предположения (S) о гладкости модели, легко видеть, что αi (x, v, ∆t) является дифференцируемой функцией (в общем случае локально), неявно заданной уравнением
∇ui (xi (t + ∆t)), xi (t + ∆t) − ωi = 0,
xi (t + ∆t) = (1 − αi )ωi + αi (xi (t) + ∆tvi ).
(4.3)
Здесь параметр αi ≥ 0 определяет точку (1 − αi )ωi + αi (xi (t) + ∆tvi ) максимума полезности
индивида i на прямой, заданной параметрически: ωi + λ(xi (t) + ∆tvi − ωi ), λ ≥ 0. Если
αi < 1, то в точке xi (t) + ∆tvi будет разрыв договоров в объёме 1 − αi , и разрыва не будет,
если αi ≥ 1.
Из представления xi (t + ∆t) в правой части (4.3) имеем
xi (t + ∆t) − xi (t)
(αi (x, v, ∆t) − 1)
=
(xi (t) − ωi ) + αi (x, v, ∆t)vi ,
∆t
∆t
откуда, переходя к пределу по
получаем
∆t
→ 0, с учетом αi (x(t), v, ∆t)|∆t=0 = 1 (в силу (4.1)),
∂αi (x(t), v, ∆t)
|∆t=0 .
∂ ∆t
Далее, величину λi можно найти из уравнения (4.2),
x˙ i (t) = λi (xi (t) − ωi ) + vi ,
λi =
hi (xi (t)), λi (xi (t) − ωi ) + vi = 0 ⇒ λi =
hi (xi (t)), vi
.
hi (xi (t)), (ωi − xi (t))
(4.4)
Таким образом, если в момент t существует только один агент, удовлетворяющий (4.1), с
номером i, то локально траектория будет изменяться по закону
x(t)
˙
= λi (x, v)(x(t) − ω) + v,
λi (x, v) =
hi (xi (t)), vi
.
hi (xi (t)), (ωi − xi (t))
Более того, данные рассуждения позволяют выявить полные условия, характеризующее
момент t как ситуацию разрыва договоров при текущем распределении x(t) и при заключении (моментального) контракта v. Для этого нужно, чтобы у индивида i, удовлетворяющего (4.1), величина αi (x(t), v, ∆t) локально убывала по ∆t в точке ∆t = 0, т. е., если
производная по ∆t отрицательна, то будет разрыв. Таким образом, для разрыва необходимо и достаточно, чтобы27 λi (x, v) < 0. Далее, в силу предположения (S), матрица вторых
частных производных ∇2 ui (xi (t)) отрицательно определённая, откуда в силу (4.1) и (4.2)
для xi (t) − ωi = 0 заключаем
hi (xi (t)), ωi − xi (t) = − ωi − xi (t), ∇2 ui (xi (t))(ωi − xi (t)) > 0.
Таким образом, знаменатель в (4.4) всегда положительный и, значит, ситуация разрыва договоров индивидом i полностью характеризуется условием (4.1) и дополнительным
условием
hi (xi (t)), vi < 0.
27
При λi (x, v) = 0 точка x = x(t) может быть или не быть предельной точкой точек траектории, где
осуществляется разрыв.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
33
Что произойдёт с случае нескольких агентов, желающих разрывать контракты, по мере выполнения нового контракта v? Другими словами, как пойдёт договорной процесс,
если более одного индивида удовлетворяют (4.1)? Для всех этих индивидов величины
αi (x(t), v, ∆t)|∆t=0 = 1, но характер процесса определяется их производными. Ясно, что
разрыв будет только если хотя бы одна производная по ∆t отрицательна, причём мера
разрыва определяется наибольшей по абсолютной величине отрицательной производной.
Таким образом, доказана следующая
Лемма 4.1. Рассмотрим договорной процесс с разрывом договоров, удовлетворяющий
гипотезам (IB), (UB) — мгновенный равномерный разрыв всех договоров. Пара (x, v),
где x = x(t) = (x1 , . . . , xn ) достигнутое в процессе на момент t ≥ 0 распределение
и v = (v1 , . . . , vn ) моментальный взаимовыгодный бартерный контракт, заключённый
между индивидами в момент t, задаёт ситуацию разрыва договоров если и только если
для некоторого i ∈ I имеет место
∇ui (xi (t)), xi (t) − ωi = 0
&
(4.5)
hi (xi (t)), vi < 0,
hi (xi (t)) = ∇ui (xi (t)) + ∇2 ui (xi (t))(xi (t) − ωi ).
В таком случае локальный закон договорного процесса задается уравнением
x(t)
˙
= λ(x, v)(x(t) − ω) + v,
(4.6)
где λ(x, v) это минимум из величин λi (xi , vi ), вычисленный для индивидов i ∈ I, удовлетворяющих условию ∇ui (xi (t)), xi (t) − ωi = 0; здесь
λi (xi , vi ) =
hi (xi (t)), vi
.
hi (xi (t)), (ωi − xi (t))
Как уже отмечалось, если разрыва договоров не происходит, то локальный закон изменения договорной траектории задаётся правилом x(t)
˙
= v. Следовательно, закон (4.6)
можно использовать и в общем случае, если при λ(x, v) > 0 заменить эту величину нулём.
Комбинируя этот факт с результатом предыдущей леммы, мы приходим к следующему
определению правильно договорной траектории. Положим
λmin (x, v) = 0
min
hi (xi ), vi
hi (xi ), (ωi − xi )
i : ∇ui (xi ), xi − ωi = 0
28
.
(4.7)
Определение 4.1. Правильно договорной траекторией при гипотезах (IB), (UB), называется абсолютно непрерывное отображение x(·) : [0, +∞) → A(X), удовлетворяющее
условиям:
(i) ∇ui (xi (t)), xi (t) − ωi ≥ 0, ∀ i ∈ I;
28
Здесь стандартным образом a ∧ b = min{a, b}.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
34
(ii) Производная траектории задаётся законом
x(t)
˙
= λmin (x, v)(x(t) − ω) + v,
(4.8)
где v ∈ Lc взаимовыгодный контракт, т. е. ∇ui (xi (t)), vi > 0, для всех i ∈ supp (v), и
величина λmin (x, v) определяется формулой (4.7).
Заметьте, что в силу данного определения правильно договорная траектория фактически
задаётся как решение некоторого дифференциального включения
x(t)
˙
∈ F (x), x(0) = ω
на интервале [0, +∞), правая часть которого определяется требованиями (i), (ii).
Закон изменения правильно договорной траектории (4.8) может быть и другим, но, конечно, он должен удовлетворять ограничениям (4.1), (4.2). Действительно, (4.8) постулирует
определённую форму проектирования текущего состояния x = (x1 , . . . , xn ) на область,
заданную ограничениями
∇ui (xi (t)), xi (t) − ωi ≥ 0, ∀ i ∈ I.
Содержательно, это проектирование отвечает процедуре частичного разрыва всех договоров, а область, на которую проецируется состояние, это совокупность всех распределений,
устойчивых относительно частичного разрыва всех договоров (или, альтернативно, заданных правильно-договорной сетью V = {x − ω}, см. Маракулин, 2003). При этом проектирование осуществляется вдоль луча (ωi − xi ), где i — индивид, удовлетворяющий (4.1),
на гиперплоскость, заданную уравнением hi (xi ), z = hi (xi ), xi , где вектор hi (xi ) определяется из (4.2). Такого вида проектирование предполагает, что рвутся только договоры,
заключённые к моменту t, а договор v остаётся незатронутым. Однако можно постулировать и другой закон разрыва, который предполагает и разрыв текущего договора:
x(t)
˙
= β(x, v)v + (1 − β(x, v))(ω − x(t)).
(4.9)
Этот процесс можно трактовать как разрыв с запаздыванием, т. е. разрыв происходит после реализации (моментального) договора v. Величину β(x, v) можно найти из уравнения
(4.2), откуда, если i удовлетворяет (4.1), находим
β(x, v) = βi (xi (t), vi ) =
hi , xi (t) − ωi
.
hi , xi (t) − ωi + hi , vi
(4.10)
Заметьте, что числитель в (4.10) всегда отрицательный, а знаменатель — это сумма числителя вместе с величиной hi , vi , которая в ситуации разрыва договоров отрицательна,
и, тем самым, если разрыв договоров выгоден для i, то отношение в целом находится
между нулём и единицей. Величина βi (xi (t), vi ) ≤ 1 в процессе (4.9) определяет меру разрыва договоров: чем она меньше, тем больше разрыв. Причём, при βi (xi (t), vi ) ≥ 1 должно
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
35
быть hi , vi ≥ 0 и разрыв не происходит. Поэтому, в случае нескольких индивидов, удовлетворяющих (4.1), где разрыв должен осуществляться по максимуму, закон изменения
траектории примет следующий вид. Положим
β min = β min (x(t), v) = 1 ∧ min{βi | i ∈ I : ∇ui (xi (t)), xi (t) − ωi = 0},
где величины βi (x(t), v) задаются формулой (4.10). Тогда процесс задаётся законом
x(t)
˙
= β min v + (1 − β min )(ω − x(t)),
(4.11)
где v ∈ Lc взаимовыгодный контракт, т. е. ∇ui (xi (t)), vi > 0, ∀ i ∈ supp (v).
Как соотносятся между собой описанные процессы? По существу они эквивалентны. Действительно, если только один агент готов к разрыву договоров и осуществляет его в процессе (4.8), то локально этот закон можно записать в виде
x(t)
˙
=
hi (xi (t)), vi
1
(x(t) − ω) + v = [βi v + (1 − βi )(ω − x(t))],
hi (xi (t)), (ωi − xi (t))
βi
где βi определяется в (4.10). Легко видеть, что и в общем случае (несколько агентов удовлетворяют (4.1)) будет аналогичная связь, т. е. имеем
x(t)
˙
= λmin (x, v)(x(t) − ω) + v =
1
β min (x, v)
[β min (x, v)v + (1 − β min (x, v))(ω − x(t))].
Таким образом, различие в процессах сводится к некоторому положительному множителю, заданному функцией β min (x, v), что нивелируется произвольностью в выборе взаимовыгодного контракта v.
5. ПРАВИЛЬНО-ДОГОВОРНЫЕ CUB-ПРОЦЕССЫ:
КОАЛИЦИОННО-РАВНОМЕРНЫЙ РАЗРЫВ ДОГОВОРОВ
Далее рассмотрим понятие коалиционной правильно-договорной траектории, т. е. траектории, удовлетворяющей предположению (CUB) (вместо (UB)). Проведённый выше анализ
в значительной его части приложим к описанию коалиционно-договорного CUB-процесса,
однако имеется и ряд существенных отличий:
(1)
Частичный разрыв валового внутрикоалиционного контракта может реализовывается в разной степени (мере) у разных коалиций.
(2)
При разрыве валового коалиционного контракта индивиды ориентируются не на
имевшиеся у них запасы в начале траектории, но на их сумму с продуктовым потоком, полученным от участия в других коалициях.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
(3)
36
Заключение нового бартерного контракта членами коалиции с, возможно, последующим разрывом внутрикоалиционного контракта, способно инициировать разрыв
договоров индивидами-участниками договоров в других коалициях.
Наибольшие затруднения здесь вызывает пункт (3), который в общем случае может повлечь труднопредсказуемый характер договорного процесса при гипотезе (IB) — мгновенный разрыв договоров. Проблему, с которой мы сталкиваемся, можно проиллюстрировать
следующим примером. Рассмотрим экономику с тремя агентами и пусть все коалиции разрешены. Пусть коалиция {1, 2, 3} активна и заключает новый договор, после реализации
которого складывается следующая ситуация. Все три агента могут пожелать частично
разорвать контракты в парных коалициях. Однако разрыв договоров в коалиции изменяет потребительские наборы её членов и, тем самым, влияет на меру желательного разрыва
контрактов в другой коалиции. Например, в коалиции {i, j} агент i хотел бы разорвать договор в объёме 12 , если коалиция {i, k} ничего не рвёт. Однако, если агент k порвёт договор
в объёме 13 , то агент i изменяет мнение об объёме разрыва контракта в {i, j} на разрыв 13 .
В свою очередь, на мнение индивида k может повлиять разрыв договора в коалиции {k, j},
инициируемый агентом j, на мнение которого влияет мера разрыва договора в {i, j}, будет
1
или 13 , и т. д. Так что произойдёт в результате такого циклического разрыва договоров?
2
Прежде чем исследовать общий случай, представляется уместным проанализировать частные варианты правильно-договорного процесса.
Одной из возможностей является модификация предположения (IB), состоящая в том,
что, подобно заключению нового договора, разрыв договоров в коалиции происходит только если эта данная коалиция активна. Пассивная коалиция бездействует не только в плане
заключения нового договора, но и в плане разрыва заключенных ранее договоров. Данная поведенческая гипотеза далее будет обозначатся как (IBA) (т. е. (IB) только для
активных коалиций).
Вторая возможность состоит в ограничении класса K разрешённых коалиций. Например,
это может быть класс всех парных (двухэлементных) коалиций. Тогда, если коалиция
{i, j} активна в договорном процессе, то это может повлечь разрыв договоров в коалициях
вида {i, k}, {k, j}, где k = i, j. Причём инициатором разрыва договоров могут выступать
только i и j и переход однозначно определяется, если в текущий момент времени активна
только одна коалиция.
5.1. Разрыв договоров в активных коалициях
Серьёзных проблем не возникает, если дополнительно предположить, что с течением времени активными могут быть только непересекающиеся коалиции — однако в разные моменты времени это, конечно, могут быть разные наборы коалиций. Кроме того, будем
предполагать, что если в некоторой активной коалиции имеется агент, стремящийся к
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
37
разрыву договоров и без заключения нового договора, то только разрыв и реализуется в
процессе деятельности коалиции в текущий момент времени. Опишем далее процесс детально.
Пусть дана некоторая коалиционно-договорная траектория, описанная набором отображений {v S (t)}S∈K , отвечающих некоторому множеству разрешённых коалиций K ⊂ 2I .
Эти отображения (см. (3.3)) абсолютно непрерывны на [0, ∞) и удовлетворяют: ∀ t ≥ 0
v S (t) = (viS (t))I :
i∈S
viS (t) = 0 & viS (t) = 0, ∀ i ∈
/ S.
Траектория связана с этими отображениями соотношением
x(t) = ω +
S∈K
v S (t), t ≥ 0.
Отметим, что теперь, в отличии от IUB-траектории по определению 4.1, состояние траектории x(t) может уже не удовлетворять условию отсутствия желания частично рвать
внутрикоалиционные валовые контракты v S (t) у агентов из разрешённых коалиций S ∈ K,
т. е. пункт (i) в коалиционном контексте определения 4.1 может быть нарушен. В этом и
состоит основное отличие CUB-процесса с разрывом договоров в активных коалициях.
Пусть в момент t ≥ 0 определён список активных коалиций Υ(t) = {S1 , . . . , Sk } ⊂ K,
которые попарно не пересекаются. Контрактные процессы в данный момент могут идти
только в коалициях из этого списка. При этом у каждой из активных коалиций, которую
далее обозначим как S, может сложиться одна из двух возможностей.
Первая: у членов коалиции S пока-что нет желания рвать валовой коалиционный контракт v S (t), но имеется возможность заключить новый взаимовыгодный договор (если
этой возможности нет, то коалиция бездействует, т. е. заключает нулевой контракт).
Вторая: в коалиции S нашелся индивид, стремящийся к разрыву коалиционного
договора v S (t).
Рассмотрим далее указанные возможности последовательно.
Пусть в момент t реализовалась первая возможность и коалиция S заключает моментальный взаимовыгодный контракт w S = (wiS )S . Условия, определяющие ситуацию разрыва
договоров, подобны описанным в лемме 4.1 и адаптированным к коалиционно-договорной
траектории. Действительно, ситуация, выгодная для разрыва валового договора v S (t) в
результате реализации нового договора, может сложится только если для некоторого i ∈ S
имеет место
∇ui (xi (t)), viS (t) = 0,
это аналог условия (4.1). Аналогично, разрыв договора v S (t) = 0 происходит если и только
если для одного из агентов, удовлетворяющих предыдущему условию, имеет место
hSi (x, v S (t)), wiS < 0,
hSi (x, v S (t)) = ∇ui (xi (t)) + ∇2 ui (xi (t))viS (t).
(5.1)
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
38
Теперь, если только один агент i ∈ S стремится к разрыву договоров, то для агентов из
S закон изменения траектории может иметь вид
v˙ S (t) = λSi (x, v S , wS )v S (t) + w S , λi (x, v S , wS ) = −
hSi (xi , viS (t)), wiS
.
hSi (xi , viS (t)), viS (t))
Если более одного агента коалиции стремятся к разрыву коалиционного договора, то в
законе изменения траектории вместо λSi (x, v S , wS ) нужно взять минимум из величин этого
типа по множеству всех таких агентов. Для S ∈ Υ(t) положим
S
S
λmin
S (x, v (t), w ) = 0
min
− hSi (x, v S (t)), wiS
hSi (x, v S (t)), viS (t)
i ∈ S : ∇ui (xi ), viS (t) = 0
(5.2)
и, напомним, что
LcS = {w ∈ L | w = (wi )I :
i∈S
wi = 0 & wi = 0, ∀ i ∈
/ S}
обозначает пространство возможных контрактов, заключаемых коалицией S ⊆ I.
Пусть для некоторого i ∈ S разрыв валового коалиционного контракта является выгодным, т. е. имеет место
∇ui (xi ), viS (t) < 0.
Будем считать, что в таком случае новый контракт не заключается, а идёт только разрыв
текущего контракта viS (t). Последнее означает, что производная коалиционного контракта
должна быть пропорциональна вектору −v S (t), что позволяет постулировать закон29
v˙ S (t) = −v S (t).
В итоге приходим к следующему определению.
Определение 5.1. Коалиционной правильно-договорной траекторией при гипотезах
(IBA), (CUB), называется совокупность {v S (t)}S∈K абсолютно непрерывных отображений v S (·) : [0, +∞) → LcS , удовлетворяющих условиям:
(i) Для каждого t ≥ 0 определён список Υ(t) = {S1 , . . . , Sk } ⊂ K активных попарно не
пересекающихся коалиций, в которых, и только в них, идут контрактные процессы;
(ii) Производная траектории определяется набором моментальных взаимовыгодных контрактов {w S }S∈Υ(t) , заключённых между членами семейства активных в момент t ≥ 0
коалиций Υ(t) ⊂ K, и задаётся законом
S
S S
S
v˙ S (t) = λmin
S (x, v (t), w )v (t) + w , S ∈ Υ(t),
29
(5.3)
Данный закон изменения траектории можно вывести аналитически, если в основу анализа положить
траекторию типа (4.11), для которой указанная ситуация является предельной и β min → 1.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
39
где при
∇ui (xi (t)), viS (t) ≥ 0,
∀ i ∈ S ∈ Υ(t)
S
S
величина λmin
S (x, v (t), w ) определяется формулой (5.2). При
∇ui (xi (t)), viS (t) < 0, для некоторого i ∈ S ∈ Υ(t)
S
S
S
имеет место λmin
S (x, v (t), w ) = −1 и w = 0.
(iii) Если T ∈ K \ Υ(t), т. е. если коалиция T в момент t не вовлечена в контрактный
процесс, то v˙ T (t) = 0 и валовой внутрикоалиционный контракт остаётся неизменным.
5.2. Правильно-договорной CUB-процесс в парных коалициях
В данном разделе мы будем предполагать, что совокупность разрешённых в договорном
процессе коалиций K исчерпывается набором парных коалиций, т. е. здесь рассматривается вариант K = {{i, j} | i, j ∈ I & i = j}.
Дополнительно будем предполагать, что в любой текущий момент времени t ≥ 0 только
одна из парных коалиций {i, j} способна заключить новый взаимовыгодный контракт w ij .
При данных дополнительных гипотезах возможно описать правильно-договорной процесс,
отвечающий постулатам (IB) и (CUB). Действительно, так как разрешёнными являются
только парные коалиции, то теперь процесс разрыва договоров, инициированный заключением нового договора, будет протекать во всех коалициях вполне предсказуемым образом
и в соответствии постулатом (IB) — немедленный разрыв всех невыгодных контрактов.
Опишем этот процесс.
Пусть к моменту t ≥ 0 для любой разрешённой коалиции S = {i, j} состояние траектории
x(t) =
v ij (t) + ω, которое определяется набором валовых коалиционных контрактов
v ij (t), удовлетворяет условию отсутствия желания их частично рвать, что выражается
требованием
∇uk (xk (t)), vkij (t) ≥ 0, ∀ k ∈ {i, j}, ∀ i, j ∈ I.
Фиксируем далее коалицию S = {i, j}, будем её считать в момент t активной, и пусть она
заключает новый договор w ij . В момент τ = t + ∆t > t текущие потребительские наборы
имеют вид:
vkkm (t) + vkki (t)αki (wij , ∆t) + vkkj (t)αkj (wij , ∆t), k = i, j;
xk (τ ) = ωk +
m=i,j
viik (t)αki (wij , ∆t) + αij (wij , ∆t)[viij (t) + ∆twiij ];
xi (τ ) = ωi +
k=i,j
vjjk (t)αkj (wij , ∆t) + αij (wij , ∆t)[vjij (t) + ∆twjij ].
xj (τ ) = ωj +
k=i,j
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
40
Здесь все величины αki (wij , ∆t), αkj (wij , ∆t) и αij (wij , ∆t) между нулем и единицей и определяют сохранённый объем валового коалиционного контракта в зависимости от нового
договора w ij и времени его реализации ∆t ≈ 0. При этом для ∆t = 0 все они равны единице.
Только индивиды i и j могут захотеть разорвать заключённые ранее контракты, причём
разрыву могут быть подвергнуты только контракты между i и агентами из
I(i) = {k ∈ I | k = i, ∇ui (xi (t)), viik (t) = 0},
а также между j и
I(j) = {k ∈ I | k = j, ∇uj (xj (t)), vjjk (t) = 0}.
Если одновременно j ∈
/ I(i) и i ∈
/ I(j), то разорванными могут быть только контракты
между одним из членов коалиции {i, j} и агентами в нее не входящими, в этом случае
αij (wij , ∆t) = 1 при малых ∆t. В противном случае возможно αij (wij , ∆t) < 1, т. е. коалиция
{i, j} также может быть вовлечена в процесс разрыва договоров.
Далее, как и ранее, в силу формулы Тейлора
∇ui (xi (t + ∆t)) = ∇ui (xi (t)) + ∇2 ui (xi (t))(∆tx˙ i (t) + o(∆t)) + o(∆tx˙ i (t) + o(∆t)),
и аналогичное представление для j. Кроме того, в силу предыдущего, имеем
viik (t)λik (wij ) + λji (wij )viij (t) + wiij ;
x˙ i (t) =
k=i,j
где
∂αki (wij , ∆t)
∂αij (wij , ∆t)
|∆t=0 , λji (wij ) =
|∆t=0 .
∂ ∆t
∂ ∆t
Здесь величины λik (wij ) и λij (wij ) можно найти, разрешив систему уравнений, полученную
из необходимых (здесь они будут и достаточными) условий первого порядка. Действительно, если I(i)b ⊆ I(i) это то множество контрагентов для i, для которых разрыв договоров
реально происходит, формально для них λik (wij ) < 0, тогда должно быть
λik (wij ) =
∇ui (xi (t + ∆t)), viki = 0, k ∈ I(i)b .
Используя далее представление градиента, после необходимых преобразований, деления
на ∆t, с последующим переходом к пределу по ∆t → 0, приходим к линейной системе
уравнений на λik = λik (wij ):
∇2 ui (xi (t))x˙ i (t), viki = 0, k ∈ I(i)b
m∈I(i)b
⇐⇒
viki [−∇2 ui (xi (t))]vimi λim = viki ∇2 ui (xi (t))wiij , k ∈ I(i)b .
(5.4)
Покажем, что в силу предположения (S) эта система имеет единственное решение тогда
и только тогда, когда система векторов {viki }k∈I(i)b линейно независима. Действительно,
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
41
из (S) матрица A = −∇2 ui (xi (t)) положительно определённая и, значит, из неё можно
извлечь квадратный корень, т. е. существует симметричная положительно определённая
√
матрица B = A, удовлетворяющая B 2 = A. Теперь матрица коэффициентов системы
представляется как матрица Грама || bk , bm ||k,m∈I(i)b системы векторов bk = Bviki , k ∈ I(i)b ,
а система (5.4) переписывается в виде
m∈I(i)b
bk , bm λim = − bk , Bwiij , k ∈ I(i)b .
(5.5)
Из курса линейной алгебры известно, что матрица Грама системы векторов невырождена тогда и только тогда, когда система векторов линейно независима. Однако так как B
невырожденная матрица, которая задаёт невырожденное линейное преобразование, система векторов {bk }k∈I(i)b линейно независима если и только если линейно независима система
{viki }k∈I(i)b .
Напомним, что, вообще говоря, существования решения у системы (5.4) недостаточно,
дополнительно также нужно, чтобы решение было неположительно.
На самом деле, в определённом смысле решение системы (5.4) существует всегда, ибо значения λim можно найти как предельное решение задачи выпуклой оптимизации, заданной
i
≤ 1. Однако,
для фиксированного ∆t > 0 на компактном множестве переменных 0 ≤ αm
ki
если система векторов {vi }k∈I(i) линейно зависима, это решение может быть неединственно (несмотря на то, что функции ui строго вогнуты).
Учесть все указанные трудности, связанные с полным описанием правильно-договорного
CUB-процесса при парных сделках на данный момент представляется затруднительным
(и видится слишком громоздким). Поэтому, мы укажем только на закон изменения траектории в “невырожденном” случае: это ситуация, когда система (5.4) или, соответственно,
(5.5), имеет единственное неположительное решение, причем для обоих агентов — для i и
j. Ситуация распадается на два варианта.
Первый. Предположим, что в коалиции {i, j} ни один из агентов не стремится к разрыву коалиционного контракта v ij (t) в результате реализации моментального контракта
wij . Это означает, что для i либо ∇ui (xi (t)), viij > 0, либо ∇ui (xi (t)), viij = 0 и в решении системы (5.5) (которое единственно!) имеет место λji (wij ) = 0. Аналогичные свойства
должны быть выполнены и для индивида j. Таким образом, в данном случае j ∈
/ I(i) b и
i∈
/ I(j)b одновременно. Тогда в данной точке t закон имеет вид:
ij
v˙ (t) = w ij ,
v˙ ik (t) = λi (wij )v ik (t),
k ∈ I(i)b ,
k
k ∈ I(j)b ,
v˙ jk (t) = λjk (wij )v jk (t),
km
v˙ (t) = 0,
для прочих пар (k, m).
Здесь все величины λik (wij ) и λjk (wij ) найдены из решения системы (5.5) (для j своя аналогичная).
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
42
Второй. Пусть в коалиции {i, j} имеется агент, стремящийся к разрыву коалиционного
контракта v ij (t) в результате реализации моментального контракта w ij . Это возможно
только если, например, для i, ∇ui (xi (t)), viij = 0 и в решении системы (5.5) имеет место
j
ij
ij
i
λji (wij ) < 0 (либо аналогичные условия для j). Положим λij
min = λi (w )∧λj (w ) < 0 и пусть
индивид i желает разорвать контракт v ij (t) в наибольшей мере, т. е. λji (wij ) ≤ λij (wij ). Это
ситуация, в которой индивид i навязывает агенту j больший разрыв валового бартерного
контракта, нежели тот того желает. Однако j ничего не остаётся, кроме как принять такие
правила игры, возможно, изменяя при этом свои исходные планы разрыва контрактов с
прочими индивидами. Эти новые объёмы разрыва следует найти из решения системы,
подобной (5.4), но для агента j и с фиксированным значением неизвестной переменной
j
при vjij (t), где следует взять λij
min . Таким образом, объёмы λm разрыва контрактов между
j и прочими агентами теперь находятся из системы
m∈I(j)b ,m=i
ij
b
vjkj [−∇2 uj (xj )]vjmj λjm = vjkj [∇2 uj (xj )](wjij + λij
min vj ), k ∈ I(j) , k = i.
Конечно, сказанное будет верным только если искомые величины неположительны (иначе
нужно будет заменить положительные величины на ноль и продолжить поиск решения...)
В итоге, в данном варианте приходим к системе типа
ij
ij
ij
v˙ (t) = λij
min v + w ,
v˙ ik (t) = λi (wij )v ik (t),
k ∈ I(i)b ,
k
v˙ jk (t) = λjk (wij )v jk (t),
k = i, k ∈ I(j)b ,
km
v˙ (t) = 0,
для прочих пар (k, m).
Мы закончим на этом описание процесса — принципиальный характер его должен быть
ясен, но многообразие возникающих вариантов и, как следствие, чрезмерная громоздкость, существенно снижают надежды на возможный в дальнейшем эффективный анализ
сходимости в сколь-нибудь общем случае.
6. ПРАВИЛЬНО-ДОГОВОРНЫЕ ПРОЦЕССЫ: ПОСЛЕДНИЕ
УТОЧНЕНИЯ И АССОЦИИРОВАННЫЙ ЦЕНОВОЙ ПРОЦЕСС
В предыдущих разделах были рассмотрены базисные гипотезы о поведении индивидов,
отвечающие договорным процессам с частичным разрывом договоров. Кроме того, были
разработаны некоторые варианты правильно договорных процессов (траекторий), соответствующих разным комбинациям этих гипотез. При этом, данные процессы фактически
были описаны в терминах дифференциального включения с автономной правой частью,
типа
x(t)
˙
∈ F (x), x(0) = ω, t ∈ [0, +∞).
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
43
Однако для анализа сходимости договорных процессов эта форма не вполне удобна и
уже для процесса без разрыва договоров, для сходимости (к границе Парето) требуются
некоторые дополнительные предположения, обеспечивающие достаточно быстрое течение
договорного процесса (см. пункт 2.4 и сноску 16). Мы могли бы сформулировать нужные гипотезы в общих терминах процесса, однако более удобной формой представляется просто добавить в описание процесса некоторое правило торговли, которое однозначно определяет процесс в целом. Тем самым, фактически, фиксируется некоторый селектор точечно-множественного отображения, заданного через дифференциальное включение. Таким образом, дополнительные необходимые условия на договорную траекторию,
упомянутые выше, будут оформлены в виде требований к правилу торговли. Далее мы
рассмотрим правило торговли, по сути близкое к изложенным в пунктах 2.3 и 2.4, но по
форме более адекватное для договорных процессов.
6.1. Правило торговли для договорной траектории
Рассмотрим коалиционную правильно-договорную траекторию, отвечающую CUBпроцессу по определению 5.1. Траектория задаётся совокупностью {v S (t)}S∈K абсолютно
непрерывных отображений v S (·) : [0, +∞) → LcS , удовлетворяющих условиям (i)–(iii), см.
выше. В этих условиях предстоит уточнить два момента.
Первое. В пункте (i) нужно постулировать закон, выявляющий, в текущий момент t ≥ 0,
совокупность активных коалиций Υ(t) = {S1 , . . . , Sk } ⊂ K. По-видимому, простейший
способ разрешить эту проблему состоит в том, чтобы для каждой разрешённой коалиции S ∈ K задать открытое, бесконечной меры30 подмножество US ⊂ [0, +∞) моментов
времени, в которых коалиция активна. Положим
Υ(t) = {S ∈ K | t ∈ US }
и будем также постулировать, что для каждого t ≥ 0 множество Υ(t) (возможно пустое)
состоит из попарно непересекающихся коалиций.
Второе. В пункте (ii) нужно уточнить какие именно взаимовыгодные контракты заключают члены активных коалиций. И здесь появляется то, что можно назвать правилом
торговли. Тот факт, что договор является взаимовыгодным для членов коалиции, зависит
только от текущих потребительских наборов этих членов. Поэтому будем предполагать,
что для каждой коалиции S ∈ K задано непрерывное отображение
wS : A(X) → LcS = {w ∈ L | w = (wi )I :
i∈S
wi = 0 & wi = 0, ∀ i ∈
/ S},
такое, что
ui (xi + wiS (x)) > ui (xi )
30
⇐⇒
∃ ν ∈ LcS : ui (xi + νi ) > ui (xi ) ∀ i ∈ S,
(6.1)
Это свойство необходимо с тем, чтобы коалиция была способна реализовать свои интересы хотя бы на
бесконечности.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
44
причём, если
ν ∈ LcS : ui (xi + νi ) > ui (xi ) ∀ i ∈ S ⇒ w S (x) = 0.
Значение отображения w S (x) ∈ LcS однозначно указывает на контракт, который будет заключён коалицией S в момент t при двух условиях: 1) если S ∈ Υ(t), т. е. коалиция должна
быть активной, и 2) если x(t) = x, т. е. достигнутое траекторией в момент t распределение
совпадает с x. Изложенные требования к отображениям w S (·), S ∈ K означают, что в
каждый момент активности коалиция заключает некоторый взаимовыгодный контракт,
если такая возможность вообще существует; если такой возможности нет, то контракт
вообще не заключается (точнее, заключается нулевой контракт). Отметим, что вместо
(6.1) при дифференцируемых полезностях уместно использовать требование, выраженное
в терминах градиентов (производной по направлению):
∇ui (xi ), wiS (x) > 0
⇐⇒
∃ ν ∈ LcS : ui (xi + νi ) > ui (xi ) ∀ i ∈ S.
Действительно, требование (6.1) представляется совершенно правильным в случае дискретно изменяющегося времени, однако при непрерывном времени w S (x(t)) это моментальный контракт, задающий не только выгодные для обмена пропорции, но и определяющий
скорость меновых процессов (умножив w S (x(t)) на число большее единицы, мы повышаем
скорость обмена, если умножить на меньшее положительное, то скорость уменьшится и
т. д.). Интегрируя w S (x(t)) по времени на интервале [t, t + ∆t] можно найти валовой контракт, удовлетворяющий (6.1) в момент t и при известном времени его реализации ∆t > 0
(см. пояснения из п. 3.2).
Итак, к настоящему моменту коалиционный правильно-договорной процесс и траектория
полностью описаны, ибо достаточно в определение 5.1 добавить дополнительные факторы:
множества US , S ∈ K, определяющие текущую структуру активных коалиций Υ(t), и
отображения w S (·), S ∈ K, задающие заключаемые активными коалициями контракты
wS (x(t)), которые нужно использовать в законе (5.3).
На самом деле мы описали не только коалиционную, но и агрегированную правильнодоговорную траекторию, отвечающую определению 4.1. Действительно, агрегированная
траектория получается из коалиционной при K = {I}. Хотя, конечно, в данном случае реально будет использоваться только правило торговли, заданное отображением w I (·)
(требования к этому отображению можно и несколько ослабить).
В заключении данного раздела мы хотели бы сделать ещё одно важное замечание. Правая
часть уравнения, задающего закон изменения договорной траектории (4.8), (5.3), вообще
говоря, является разрывной — и это несмотря на тот факт, что определяется вполне однозначно и формулируется с использованием непрерывных функций! Проблема (возможно
незаметная на первый взгляд), конечно, состоит в том, что параметр λmin (x, v), заданный
S
S
формулой (4.7) (или аналогичный λmin
S (x, v , w ) по формуле (5.2)), обращается в ноль в
открытой области x ∈ A(X): ∇ui (xi ), xi − ωi > 0 ∀ i и, вообще говоря, не равен нулю
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
45
на её границе, т. е. в точках (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ A(X), где хотя бы для одного i выполнено
∇ui (xi ), xi − ωi = 0. Таким образом, закон изменения правильно-договорной траектории описывается дифференциальным уравнением с разрывной правой частью. Однако в
таком случае уже само определение решения уравнения требует уточнения. Под решением, которое собственно и задаёт договорную траекторию, мы будем понимать непрерывную
функцию, удовлетворяющую закону изменения траектории для почти всех моментов времени.
К уравнениям с разрывной правой частью неприменимы классические теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных, ибо правая
часть не удовлетворяет условию Липшица. Однако к настоящему времени имеется теория
уравнений этого типа, в которой содержатся соответствующие теоремы (существования,
единственности и непрерывной зависимости от н.д.), которые приложимы к уравнениям,
описывающим договорные процессы, см. Филиппов (1985).
6.2. Ценовой процесс, ассоциированный с договорной траекторией
Цель настоящего параграфа — обсудить имеющиеся возможности постановки в соответствие договорной траектории (связать с ней) параллельно идущий двойственный ценовой
процесс. Эта идея видится весьма заманчивой, ибо, при успешной реализации, позволила
бы, с одной стороны, лучше выявить взаимосвязи и особенности договорных траекторий
с известными в литературе процессами (в первую очередь с tˆatonnement) и, с другой стороны, нельзя отмахнуться от того факта, что в реальной экономике меновые процессы
идут преимущественно с использованием денег, которые обмениваются на товары и услуги в заданных ценами пропорциях. Вопрос о соответствующей ценовой динамике является
также важным для лучшего понимания собственно того, как функционируют рынки. Однако (успешная) реализация этой идеи связана с определёнными трудностями. Об одном
возможном подходе к разрешению данной задачи и пойдёт речь ниже.
Наиболее естественный способ определить текущие цены p(t) состоит в том, чтобы найти
цены как вектор, задающий пропорции обмена в текущем бартерном контракте. Это было
бы неплохо, если бы в экономике было только два продукта и, если бы в сделке принимали
участие только два индивида. Действительно, тогда, если первый агент получает от контракта вектор (v 1 , v 2 ), где v 1 > 0 и v 2 < 0, то это означает, что 2-й продукт обменивается
на 1-й в пропорции −v 1 /v 2 , т. е. в качестве (нормированного) вектора цен следует взять
1
p = (1, − vv2 ). Этот вектор можно определить в эквивалентном виде как:
(v 1 , v 2 ), (p1 , p2 ) = 0, p1 = 1.
Это свойство, равенство нулю скалярного произведения вектора цен на векторы продуктовых потоков vi , полученных индивидами от контракта v = (vi )I , совместно с нормировкой,
и является ключевым требованием для определения вектора цен при данном подходе. Од-
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
46
нако, в общем случае, вектор цен можно найти однозначно только если ранг системы
векторов {vi }I , заданных контрактом v, равен l − 1 (l — число продуктов), т. е., если
rank({vi }I ) = l − 1. С другой стороны, в данным момент могут заключаться и другие
контракты, и, кроме того, заключенные ранее и существующие на данный момент также
должны вносить свой вклад в “определение пропорций обмена”. В итоге, для агрегированной правильно-договорной траектории при данном подходе цены должны удовлетворять
системе уравнений:
p(t), xi (t) − ωi = 0, ∀ i ∈ I, t ≥ 0.
(6.2)
В то же время, для коалиционной траектории подобная система имеет вид:
p(t), viS (t) = 0,
∀ i ∈ S, ∀ S ∈ K, t ≥ 0.
(6.3)
Кроме того, в обоих случаях должно быть выполнено какое-нибудь условие нормировки,
например, p1 (t) = 1.
Ясно, что совсем не обязательно, чтобы указанные системы имели единственное решение: система может быть не совместна или, напротив, решений может быть бесконечно
много. Однако в таком случае можно попробовать в качестве цен взять какое-нибудь приближённое решение. Конечно, это следует делать некоторым регулярным образом, с тем,
чтобы траектория p(t), t ≥ 0 обладала “приличными” математическими свойствами. С
этой целью можно использовать известные методы нахождения приближённого решения,
например, основанные на методе наименьших квадратов. При этом в рассмотрение вводится так называемая “обобщённая обратная матрица”, которая существует и единственна
для любой прямоугольной матрицы. Остановимся на этом вопросе чуть подробнее.
Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений с некоторой прямоугольной матрицей:
Ax = b.
Приближённое решение системы можно найти с помощью обобщённой обратной матрицы
A+ в виде x = A+ b, причём, если система переопределённая (независимых уравнений
больше чем неизвестных), это будет решение по методу наименьших квадратов. Тогда,
если ранг матрицы равен числу столбцов, то (At A)−1 существует (ибо это матрица Грама)
и матрицу A+ можно найти как
A+ = (At A)−1 At .
В общем случае матрица A+ задаётся следующими четырьмя условиями:
AA+ A = A; A+ AA+ = A+ ; A+ A & AA+ симметричные.
Эти условия полностью определяют матрицу A+ и были предложены Пенроузом (Penrose,
1955), который также доказал существование и единственность матрицы A+ . Этот вопрос рассматривался также в работах Мура и ряда других авторов, поэтому в литературе
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
47
встречается название “матрица Мура–Пенроуза” (см. Green, 1993 и Сирл, Госман, 1984).
В общем случае матрица A+ также имеет формульное представление (см. Green, 1993,
с. 45), что, в частности, позволяет заключить непрерывно-дифференцируемый характер
решения.
Итак, если применить обобщённую обратную матрицу, то ассоциированный ценовой процесс p(t) к агрегированной траектории можно определить как
p(t) = A+ e1 , e1 = (1, 0, . . . , 0)
где матрица A размерности (n + 1) × l, строки которой ak , k = 1, . . . , n + 1 равны: a1 = e1
и ak = xk−1 (t) − ωk−1 , k ≥ 2, соответственно.
Для коалиционной траектории ассоциированный ценовой процесс p(t) задаётся той же
формулой, в которой, однако, матрица A имеет размерность ( S∈K |S| + 1) × l, первая
строка a1 = e1 , а все последующие индексируются парами (i, S), i ∈ S ∈ K и совпадают с
векторами viS .
Для правильно-договорной траектории можно попробовать определить ценовой процесс
также в виде дифференциального уравнения.
Действительно, для агрегированной траектории, формально дифференцируя по времени
систему (6.2) (несмотря на то, что она может не иметь точных решений!), с учётом (4.8),
(6.2) находим
p(t),
˙
xi (t) − ωi + p(t)x˙ i = 0 ⇒ p(t),
˙
xi (t) − ωi = −p(t)[λmin (x, v)(xi (t) − ωi ) + vi ] ⇒
p(t),
˙
ωi − xi (t) = p(t)vi (x), ∀ i ∈ I,
p˙ 1 (t) = 0.
(6.4)
Далее систему (6.4) можно приближённо разрешить относительно p(t),
˙
используя обобщённую обратную матрицу, и записать систему в явном виде. Можно также попытаться
совместно разрешать системы (6.2), (6.4), находя прямую зависимость p(t)
˙
от текущего
потребления x(t) при экзогенно заданном правиле торговли v(x).
Аналогичные действия можно сделать и для коалиционной траектории. Действительно,
дифференцируя систему (6.3), в силу определения 5.1, пункты (ii), (iii), и применяя (6.3),
при заключении нового договора w S коалицией S ∈ Υ(t) находим
p(t),
˙
viS + p(t)v˙ iS = 0 ⇒
S
S S
S
p(t),
˙
viS = −p(t)[λmin
S (x, v , w )vi + wi ] ⇒
p(t),
˙
viS (t) = −p(t)wiS (x), ∀ i ∈ S,
p˙ 1 (t) = 0.
(6.5)
Во всех остальных случаях (разрыв договора или пассивность коалиции) получаем
p(t),
˙
viS (t) = 0,
∀ i ∈ S.
Какие предварительные выводы и соображения можно высказать о предложенных вариантах ценового процесса?
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
48
1)
Текущие цены находятся как усреднённый (приближённый) вектор меновых пропорций по всем (валовым) контрактам, заключенным и сохранённым (т. е. неразорванным) в течении контрактного процесса к данному моменту времени. Представляется,
что это отвечает экономической интуиции о том, как, массовым образом, находят цены индивиды, функционирующие на реальных рынках. Например, похожий метод
используется для нахождения рыночной оценки стоимости объектов недвижимости.
2)
Нужен дальнейший анализ ценового процесса, по крайней мере на каких-то частных модельных примерах. Более того, нам кажется, что стоит проанализировать
возможность использования ценового процесса для нахождения подходящей функции Ляпунова, — с целью достичь основной цели проекта и установить сходимость
правильно-договорного процесса, пусть в ограниченных рамках.
3)
Пока-что не вполне неясно, как процесс предложенного вида связан с вальрасовским нащупыванием. Однако можно показать, что в экономике с двумя агентами
и двумя продуктами ассоциированный ценовой процесс практически эквивалентен
вальрасовскому нащупыванию. Более того, если траектория сходится к равновесному распределению, то представляется несложным доказать, что и ценовой процесс
сходится к равновесным ценам.
4)
Возможно рассмотрение каких-то модификаций ценового процесса, или даже принципиально других ценовых процессов, с целью найти взаимоувязанный с разных
точек зрения вариант. Например, видится заманчивой неописанная выше идея (и
неразработанная на данный момент): поставить в соответствие договорному процессу некоторую задачу оптимального управления, решением которой процесс является.
Но тогда можно пытаться найти ценовой процесс из необходимых условий оптимальности.
7. ДОГОВОРНОЙ ПРОЦЕСС В 2 × 2 ЭКОНОМИКЕ
Прежде чем приступить к изложению полученных результатов о сходимости договорных
процессов, мы рассмотрим два частных примера экономики с двумя индивидами и двумя
продуктами. Эти примеры интересны прежде всего тем, что выявляют на ящике Эджворта
геометрическую картину течения договорных процессов с частичным разрывом договоров.
Далее мы будем называть агента, который в договорном процессе в текущий момент t осуществляет разрыв агрегированного договора, активным индивидом (в соответствующий
момент времени).
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
(1, 1) = ω
¯
✛✻
1
3
4
49
q
q
❅ p ✒
❅ ❅
❅r
q
❅
q
♣
■
q
❨
❅
u2
❅
■
❅
Парето граница
❇
❏
❅
❅
u1
❏
q ❫✙
✠
q
❏
❏
❏
❏
❅
❏
❇
❇
❇q
❇
❇
2-я макс-поверхность
✠
❇
❇
✣
❅
❇
❏
◗
u 2 ◗q
❅
❇
❏
◗
❅
❇
❏
◗
❅
❇
❏
◗
❥q
◗
❅
❇
❏
u1
✍
◗
❅
❇
❏
◗
◗
❅
❇
❏
◗
❅
❇
❏
◗
€€
◗
€€ q
❅
❇
❏
◗
€€
❅
❇
❏
◗
€€
◗
€€
❅ ❏ ❇
◗
€€
✒
◗ ❅ ❏ ❇
€€
◗ ❅❏ ❇
€€
1-я макс-поверхность
€€ ◗◗❅❏ ❇
€€ ◗
❅❏❇
€€◗
€❅
■❅
❅
◗
€
❏❇q
Парето граница
0
❏
q
q
1
4
9
10
q
1
10
✲
1 ❄
Рис. 2. Графическое представление договорного процесса в экономике с 2 агентами и полезностями
Кобба-Дугласа.
7.1. Два примера
В обоих примерах индивидуальные потребительские множества это положительный ортант в 2-мерной плоскости, т. е. Xi = R2+ , i = 1, 2. Разница в примерах сводится к различию
в полезностях и начальных запасах.
Пример 7.1 (полезности Кобба-Дугласа). Пусть предпочтения заданы функциями
полезности типа Кобба-Дугласа в логарифмической форме, где для удобства x = (x1 , x2 )
обозначает потребительский набор 1-го агента, а y = (y1 , y2 ) у 2-го:
u1 (x1 , x2 ) =
3
1
ln x1 + ln x2 ,
4
4
u2 (y1 , y2 ) =
3
1
ln y1 + ln y2 .
4
4
9 1
1 9
Начальные запасы ω = (ω1 , ω2 ) = (( 10
, 10 ), ( 10
, 10 )), ω
¯ = ω1 + ω2 = (1, 1). Тогда кривые
безразличия первого и второго индивидов, проходящие через точку начальных запасов
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
50
ω1 , в системе координат 1-го агента будут задаваться уравнениями следующего вида:
1
x2 =
10
9
10x1
1
3
9
, x2 = 1 −
10
1
10(1 − x1 )
3
.
Вычисления показывают, что границей Парето является кривая, определяемая уравнением
9x1
x2 =
, 0 ≤ x1 ≤ 1.
1 + 8x1
Рассмотрим далее условие (i) определения договорной траектории 4.1, которое в контексте
примера и с учётом (y1 , y2 ) = ω1 + ω2 − (x1 , x2 ) = (1, 1) − x имеет вид
∇u1 (x), (x1 , x2 ) − ω1 ≥ 0,
∇u2 ((1, 1) − x), (x1 , x2 ) − ω1 ≤ 0
Множество точек из ящика, которые удовлетворяют данным неравенствам, это совокупность точек, ограниченных двумя кривыми, которые задают в общем случае 1-ю и 2-ю
максимальную поверхность (номера соответствуют номеру индивида, определяющего номер ограничения). Легко видеть, что в 2-мерном случае они задаются как кривые предложения (“offer curves”), см. Mas-Colell (1995). Границу области, в рамках которой идёт
договорной процесс (задана последними неравенствами), мы будем называть максимальной поверхностью. В данном примере максимальная поверхность будет составлена из двух
кривых, нижней огибающей которых она является:
x2 =
3x1
40x1 − 9
, x1 >
9
& x2 =
40
28 − 31x1
37 − 40x1
, x1 <
28
.
31
Иллюстрация этого примера в рамках ящика Эджворта приведена на рис. 2.
В данном случае процесс сходится к единственному равновесию (( 41 , 34 ), ( 43 , 14 )). Он идет
следующим образом: если траектория не вышла за пределы максимальной поверхности
(заштрихованная часть рисунка), то индивиды, кооперируясь, последовательно заключают некоторые контракты, приносящие им прирост полезности. Так точка движется до
тех пор, пока не начнёт выходить на распределение за пределами максимальной поверхности. Если же траектория “вышла” за пределы максимальной поверхности, и находится
в зоне активности 1-го индивида (левая нижняя часть коробки, ограниченная линией
бюджетного ограничения), то этот индивид частично разрывает совокупный контракт,
и текущая точка траектории проектируется на максимальную поверхность (аналогично
для 2-го индивида). Как показано на рисунке, следующая точка траектории сдвинется
по максимальной поверхности ближе к равновесию. Таким образом, судя по геометрическому представлению, в пределе траектория прийдёт к равновесному распределению, где
потребление первого индивида равно ( 41 , 34 ).
Пример 7.2 (экспоненциальные полезности). Пусть предпочтения заданы следующими функциями полезности:
u1 (x1 , x2 ) = x1 − 100e
−x2
10
,
u2 (y1 , y2 ) = y2 − 110e
−y1
10
.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
51
✛✻
(40, 50) = ω
¯
≈ 39.26
q
q
qq
q
q
q
q ❯q q
q
Cq ❅
■
r
❅
✕
0
q
≈ 3.22
q
q p✿
u2
(40, 0) = ω1
q✲
❄
q
≈ 13.17
Парето граница
❫
✼
❅
q❅
❘ q
■
❅
✒
q ❅
✸ ❅
2-я
макс-поверхность
B q
≈ 20.17
q
r
q p✣
♣
q
❂
q
❘
q
q
✰
q
A ✙
≈ 10.22
rq
q
p✍
q
q 1-я макс-поверхность
✠
u1
Парето граница
≈ 32.26
Рис. 3. Графическое представление договорного процесса в экономике с 2 агентами и экспоненциальными
полезностями.
Начальные запасы ω = (ω1 , ω2 ) = ((40, 0), (0, 50)). В данном случае кривые безразличия
первого и второго индивидов, проходящие через точку начальных запасов, будут задаваться уравнениями
x2 = −10 ln
x1 + 60
100
, x2 = 110 − 110e
x1 −40
10
.
Границей Парето здесь является прямая, заданная уравнением
x2 = x1 − 40 + 10 ln 110.
Максимальная поверхность составлена из двух кривых, для 1-го и 2-го, соответственно:
x1 = 40 − 10x2 e
−x2
10
, x2 = 11(40 − x1 )e
x1 −40
10
.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
52
Равновесия представлены тремя распределениями, где потребительский набор 1-го индивида имеет вид:
xA ≈ (3.2212, 10.226), xB ≈ (13.17211, 20.1769), xC ≈ (32.2579, 39.2627).
Иллюстрация этого примера в рамках ящика Эджворта приведена на рис. 3.
В этом примере имеется три равновесия и содержательно процесс протекает также как
в предыдущем примере: если траектория не вышла за пределы максимальной поверхности, то индивиды, кооперируясь, последовательно заключают взаимовыгодные контракты,
приносящие им обоим прирост полезности; так будет до тех пор, пока не будет “достигнуто” распределение за пределами максимальной поверхности. Если же текущая точка
траектории наталкивается на границу множества, ограниченного пределами максимальной поверхности, и мы находимся в зоне активности 1-го индивида (она ограничивается
на рисунке штрих-пунктирными линиями), то он частично разрывает совокупный контракт, и траектория проектируется на максимальную поверхность (аналогично для 2-го
индивида). Следующее же значение траектории, как показано на рисунке, сдвигается по
максимальной поверхности ближе к соответствующему равновесию (в зоне активности
первого индивида к C, в зоне второго к A). Если же траектория “вышла” (пытается) за
пределы максимальной поверхности и попала на прямую, соединяющую B и начальное
распределение, то траектория прийдёт к равновесию B.
7.2. Анализ договорных процессов в 2 × 2 экономике
Геометрия договорных траекторий в рассмотренных примерах говорит о том, что по
крайней мере в экономике с двумя индивидами и двумя продуктами договорной процесс должен сходится к равновесию при достаточно общих предположениях. Действительно, сверх уже сделанных предположения о гладкости модели (S) достаточно потребовать
Pi (ωi ) ⊂ intXi , i = 1, 2, что собственно и обеспечивает совпадение правильно договорных
распределений с равновесными.
Чтобы доказать данную гипотезу, рассмотрим некоторую договорную траекторию x(t) =
(x1 (t), x2 (t)), t ∈ [0, +∞), удовлетворяющую определению 4.1 и отвечающую некоторому
правилу торговли
v I : A(X) → Lc = {(v1 , v2 ) ∈ (R2 )I | v1 + v2 = 0}.
Так как в экономике только два агента и I = {1, 2} единственная коалиция, в которой может идти обмен продуктами, то и правило торговли в целом будет состоять из
единственного отображения v I (·), где верхний индекс I можно без ущерба опустить. По
определению v2 (x) = −v1 (x), ∀ x ∈ A(X) и, тем самым, достаточно задать только функцию v1 : R2+ → R2 , где вектор (v1 (x1 ), −v1 (x1 )) = v I (x1 ) ассоциируется с моментальным
контрактом, который заключает коалиция {1, 2} в момент t ∈ [0, +∞) при условии, что
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
53
траектория достигла состояние x(t) = (x1 , x2 ), x2 = ω1 +ω2 −x1 . Дополнительно, эта функция должна быть непрерывна и удовлетворять требованию взаимовыгодности контракта
v = v I (x1 ): v = 0 если и только если
∃ ν ∈ Lc : ui (xi + νi ) > ui (xi ), i = 1, 2
&
∂vi ui (xi ) > 0, i = 1, 2.
Другими словами, если существует какая-либо возможность для взаимовыгодного обмена, то один из вариантов такого обмена и должен реализоваться в форме взаимовыгодного контракта; контракт может быть нулевым только тогда, когда нет никаких
возможностей для взаимовыгодного обмена продуктами.
В договорном процессе в экономике с двумя индивидами могут реализоваться только две
следующие альтернативы.
(i)
Найдётся такой индивид, что начиная с некоторого момента τ , почти всюду на
[τ, +∞), только он может быть активен (возможно оба пассивны); тем самым полезность этого индивида монотонно не убывает вдоль траектории, т. е., например для
первого агента, имеет место
u1 (x1 (t ) ≥ u1 (x1 (t),
(ii)
∀ t ≥ t ≥ τ.
Ситуация, описанная в (i) не выполнена, т. е., найдутся такие монотонно возрастающие последовательности tk+1 > tk , tk+1 > tk , k ∈ N, tk → +∞, tk → +∞ при k → +∞,
что в моменты tk активен 1-й индивид, а в моменты tk активен 2-й, k = 1, 2, . . . Таким образом, полезности обоих индивидов могут колебаться, то возрастая, то убывая,
причём с течением времени эта ситуация не меняется.
Анализу альтернатив (i), (ii) посвящены нижеследующие леммы. В первой из них устанавливается, что при альтернативе (i) каждая предельная точка договорной траектории
оптимальна по Парето. Вторая альтернатива вызывает наибольшие затруднения и содержание второй леммы в том, что в некотором смысле монотонность полезности вдоль
траектории всё-таки имеется, но имеет “кусочный” характер.
Лемма 7.1. Пусть выполнена альтернатива (i). Тогда каждая предельная точка договорной траектории оптимальна по Парето. Следовательно, каждая внутренняя предельная точка является равновесием.
Доказательство леммы 7.1 содержится в Приложении П2.
Замечание 7.1. Из доказательства легко видеть, что лемма истинна для экономики с
любым числом агентов и любым числом продуктов. Важно только, чтобы была выполнена альтернатива (i). Более того, если в экономике только два агента, то в условиях
альтернативы (i) легко доказать, что все предельные точки эквивалентны по полезности
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
54
u1 ✻
u1 (x1 (τ21 ))
u1 (x1 (τ11 ))
τ11
τ
τ12
τ21
✲
t
Рис. 4. Динамика полезности договорного процесса в 2 × 2 экономике, альтернатива (ii).
для обоих агентов, что при строго вогнутых полезностях возможно только если совпадают
сами распределения (см. первую часть доказательства теоремы 7.1).
Замечание 7.2. Из доказательства леммы 7.1 и замечания 7.1 можно также извлечь
обоснование сходимости договорного процесса без разрыва договоров. Однако теперь уже
это будет сходимость к некоторому распределению оптимальному по Парето: очевидно,
что предельная точка теперь не обязана быть равновесием, так как не является предельной
точкой распределений, устойчивых относительно частичного разрыва договоров. Однако
при строго вогнутых полезностях есть только одна предельная точка, что легко вытекает из факта совпадения полезности (следует из монотонности вдоль траектории) у всех
индивидов во всех предельных точках процесса.
Лемма 7.2. Пусть выполнена альтернатива (ii). Тогда найдутся две монотонно возрастающие последовательности моментов времени τki , где i = 1, 2, такие, что
1
τk1 < τk2 < τk+1
, ∇ui (xi (τki )), xi (τki ) − ωi = 0, i = 1, 2, ∀ k ∈ N и при этом
i
ui (xi (τki )) < ui (xi (τ )) < ui (xi (τk+1
)),
i
∀ τ ∈ (τki , τk+1
), i = 1, 2.
(7.1)
Доказательство леммы 7.2 содержится в Приложении П2. Содержание этой леммы иллюстрируют рисунки 4, 5. Рис. 4 демонстрирует динамику полезности для построенных в
доказательстве и описанных в лемме 7.2 последовательностей моментов времени τki , где
i = 1, 2, k = 1, 2, . . . На рис. 5 отражена возможная и невозможная динамика правильнодоговорных траекторий; показано, что возможна только траектория, изображённая в верхней части рисунка — другие варианты приводят к невозможному в данном случае циклу, —
противоречат выбору моментов τki .
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
✄
v (τ )
❅ 1
✄
❅ ) ❑❆
✄
x˙✛
1 (τ
x21 ✻
❅ ❆
✄
возможные пути
■
❅
❅❆ ✄
−∇u2 ❳
②❳
q
❅
❅
❳
❆q✄ x1 (τ )
❅
❘
❅
1-я макс-поверхность
✄❅
✛ ✙
✄ ❅
❅
☛
✠ ✄q ✻ ❅
❘
❅
−h2 ✄
x1 (t )
✿
✄ x1 (t )
✄ ✠ ∇u1
✲
✿
✒
❅ ✄ ✄
траектория
❅ ✄
q❳
✄
❳❳❳
x1 (τ11 ) ✄❅
✄
③ h1
✄
✄ ❅
❅
✄
✄
❅
✄
✄
❅
✄
❅
✄
❅
✄
❅
✄
❅
✄
❅
✄
❅ ✄
❅✄
ω1
55
✲
x11
Рис. 5. Возможное и “невозможное” движение траектории в 2 × 2 экономике, альтернатива (ii).
Основным результатом настоящего раздела является следующая теорема о сходимости
договорных траекторий к равновесию в экономике с двумя агентами и двумя продуктами.
Теорема 7.1. Пусть в модели экономики два агента и два продукта. Пусть полезности
гладкие, строго вогнутые и ненасыщаемые на R2+ . Тогда при любом непрерывном правиле
торговли договорная траектория по определению 4.1 сходится к некоторому правильнодоговорному распределению. Следовательно, в условиях, обеспечивающих совпадение равновесных и правильно-договорных распределений, каждая правильно-договорная траектория сходится к равновесию.
Доказательство теоремы 7.1. В условиях теоремы имеют место рассмотренные выше
альтернативы (i), (ii). Достаточно показать, что при истинности любой из альтернатив
договорной процесс сходится к правильно-договорному распределению.
Пусть выполнена альтернатива (i). Докажем, что x1 (t) сходится к x˜1 при t → +∞. Предпоx21 , x˜22 )
ложим, что траектория имеет две различные предельные точки x˜1 = (˜
x11 , x˜12 ), x˜2 = (˜
x21 ).
и x˜1 = x˜2 . В силу леммы 7.1 обе они оптимальны по Парето и при этом u1 (˜
x11 ) = u1 (˜
x22 ). Далее рассмотрим любое распределение,
Предположим, например, что u2 (˜
x12 ) ≤ u2 (˜
представимое как выпуклая комбинация данных предельных точек со строго положительными коэффициентами, например можно взять x˜ = 21 x˜1 + 21 x˜2 . Теперь, в силу строгой
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
56
вогнутости полезностей заключаем
u(˜
x)
u(˜
x1 )
⇐⇒
u1 (˜
x1 ) > u1 (˜
x11 ), u2 (˜
x2 ) > u2 (˜
x12 ),
что противоречит оптимальности по Парето распределения x˜1 . Таким образом, все предельные точки траектории совпадают и, следовательно, траектория сходится.
Далее анализируем альтернативу (ii). С этой целью воспользуемся леммой 7.2 и рассмотрим предельные точки последовательностей {x1 (τk1 )}k∈N и {x1 (τk2 )}k∈N . Без ограничения
общности можно считать, что сходятся сами последовательности. Положим
x˜11 = lim x1 (τk1 ), x˜12 = ω1 + ω2 − x˜11 ,
k→∞
x˜21 = lim x1 (τk2 ), x˜22 = ω1 + ω2 − x˜21 .
k→∞
В силу (7.1) имеем
u1 (˜
x11 ) = sup u1 (x1 (t)) = u1 (˜
x21 ),
t≥τ21
u2 (˜
x12 ) = sup u2 (x2 (t)) = u2 (˜
x22 ).
t≥τ21
Ясно, что точка x˜11 находится на максимальной поверхности 1-го агента, а x˜22 на максимальной поверхности 2-го, причём соответствующие распределения для обоих индивидов
эквивалентны по полезности. Далее покажем, что на самом деле совпадают не только полезности, но и сами распределения, т. е. x˜11 = x˜21 . Для двухпродуктовой экономики это
распределение будет правильно-договорным (равновесным), так как находится на максимальной поверхности каждого агента31 .
Предположим x˜11 = x˜21 . Эти точки находятся на общей кривой безразличия 1-го агента, и,
соответственно, точки x˜12 = x˜22 находятся на кривой безразличия 2-го индивида. Рассуждая на ящике Эджворта, например в системе координат 1-го, мы видим, что две точки
x˜11 = x˜21 соединены двумя непрерывными кривыми, являющимися частью границы двух
(выпуклых) множеств уровня полезности. Соединим указанные точки линейным отрезком, т. е. рассмотрим множество {γ x˜11 + (1 − γ)˜
x21 | 0 < γ < 1}. В силу строгой вогнутости
функций полезности, значение полезности в точках этого отрезка строго больше полезности на его концах у обоих индивидов. Отсюда следует, что у одного из агентов часть
кривой безразличия, проходящая через точки x˜11 , x˜21 и заключённая строго между этими точками, не может пересекаться с максимальной поверхностью этого агента, см. рис. 6
(каждый луч, исходящий из точки начальных запасов и проходящий через некоторую точку из рассмотренного отрезка, сначала пересекается с одной из двух кривых безразличия,
а уже потом попадает на отрезок; значит при движении точки вдоль луча полезность (из
вогнутости) возрастает в точке пересечения с кривой безразличия). Пусть это относится к
кривой безразличия 2-го агента. Далее, на кривой безразличия 2-го агента найдем точку
xmax
максимума полезности 1-го агента, т. е. определим xmax
из условия
1
1
u1 (xmax
) = max{u1 (x1 ) | u2 (ω1 + ω2 − x1 ) = u2 (ω1 + ω2 − x˜11 )}.
1
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
✻
57
❇
❇
❅✤✜
❇
❅❇ r ✛
V2
❇
x
˜21❅
■
❇❅
✣✢
❇ ❅❑
❇ ❅
договорная траектория
❅ ❇
✠
❅
❇
❅
❇ ★✥
❇
❖ ❅
✛❅
❇ ✲r
xmax
1
Vmax
❅
❇
✧✦
❅
❇
✲
✯
✟
❅
❇
кривая безраз. 1-го
✟
❖
②❳
❳
❅
✟✟ ❇
❳
❳ кривые
❅ безраз. 2-го
❇ ✛
✟✟
✟
❅
❇
2-я макс-поверхность
✤✜
❅
❇
€€ ❇
❅
✛
✻
€€
r
V1
❅
x
˜11❇ €€€
€€
❅
❇
✣✢
€€
❅
❇
€€
€€
❅
❇
€€ ❅
❇
€€
€
❅q ω
❇
1
✲
Рис. 6. “Невозможное” движение договорной траектории вдоль предельного пути при альтернативе (ii)
иx
˜11 = x
˜21 .
Очевидно, что на кривой безразличия 2-го эта точка будет заключена строго между точками x˜11 , x˜21 на ящике Эджворта. Далее, найдём окрестности V1 , V2 точек x˜11 , x˜21 и окрестность
, такие, чтобы были выполнены условия:
Vmax точки xmax
1
1) в каждой точке из Vmax полезность 1-го агента строго больше его полезности в любой
из точек из окрестностей V1 , V2 ;
2) для каждой точки из V1 , если траектория проходит через эту точку (стартует из этой
точки как из начальной точки в задаче Коши), то она непременно проходит через некоторую точку окрестности Vmax .
Очевидно, такие окрестности можно найти, ибо сначала можно найти окрестности удовлетворяющие условию 1), а затем при необходимости уменьшать окрестности V1 , V2 . Однако
теперь мы приходим к противоречию, поскольку полезность 1-го агента оказывается немонотонно возрастающей в той части траектории, где 2-й агент пассивен — это противоречит
взаимовыгодности контрактов, заданных в правиле торговли.32
31
В общем случае этого недостаточно, дополнительно нужно, чтобы распределение было оптимально по
Парето.
32
К противоречию можно прийти и более быстрым способом: достаточно заметить, что на луче, ис-
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
58
8. ЛОКАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В ДОГОВОРНЫХ
ПРОЦЕССАХ
В данном разделе мы рассмотрим вопрос о локальной устойчивости договорных процессов.
Далее прежде всего напомним классические определения.
Рассмотрим некоторое автономное дифференциальное уравнение x˙ = F (x) и пусть x¯ его
стационарная (или критическая, равновесная) точка, т. е. точка, для которой F (¯
x) = 0. 33
Точка x¯ называется локально устойчивой, если для каждой окрестности этой точки можно
найти (другую) окрестность, такую, что решение уравнения, стартующее из любой точки
последней окрестности (начальные данные в окрестности) не покинет пределов исходной
окрестности. Формально:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : если x(0) − x¯ < δ, то
x(t, x(0)) − x¯ < ε ∀ t ≥ 0,
где x(t, x(0)) это решение задачи Коши с начальными данными x(0) ∈ domF . Однако в нашем случае просто устойчивости недостаточно, нужно чтобы в пределе текущее состояние
стало равновесным (нас интересуют сходящиеся процессы). Формально, дополнительно
нужно требовать:
lim x(t, x(0)) = x¯, ∀ x(0) : x(0) − x¯ < δ.
t→+∞
Таким образом, под локальной устойчивостью договорного процесса мы понимаем локальную асимптотическую устойчивость. Подобные определения даются и в случае дифференциальных включений.
Как обычно, мы начнем анализ с рассмотрения случая экономики 2 × 2. Это достаточно
простой случай и получить характеризацию локально устойчивых равновесий можно из
анализа следующих диаграмм, см. рис. 7, a), b). На этих картинках (в стиле ящика Эджворта) вместо проектирования на максимальную поверхность показано проектирование
на касательную гиперплоскость к этой поверхности в точке равновесия x¯ (потребление
1-го), что корректно для локального анализа. Различие между случаями a) и b) фактически сводится к тому, что мы перенумеровали эти касательные гиперплоскости, заданные
ходящем из точки ω1 и проходящем через точку x
˜21 , точка максимума полезности 1-го агента должна
располагаться “ближе” к точке ω1 , нежели аналогичная точка максимума полезности 2-го. Это следует
из того, что точки x
˜11 , x
˜21 расположены на общей кривой безразличия 1-го, т. е. u1 (˜
x11 ) = u1 (˜
x21 ). Но это
означает, что x
˜11 = x
˜21 невозможно.
Другой способ получить противоречие состоит в том, чтобы заметить, что траектория, стартующая из
окрестности точки x
˜21 никогда не сможет попасть в окрестность x
˜11 , ибо для этого ей прийдётся “преодоmax
леть” зону, заданную окрестностью точки x1 , в которой векторное поле, отвечающее правилу торговли,
направлено в другую сторону.
33
Для дифференциального включения x˙ ∈ F (x) условие стационарности точки x
¯ имеет вид 0 ∈ F (¯
x).
Однако в силу специфических свойств включения x˙ ∈ F (x), отвечающего договорным процессам, условие
0 ∈ F (¯
x) влечёт {0} = F (¯
x).
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
❅ p
❆
✟
✒
€€ q
❅ ❆✟✟
€€ ❅
✟
€€
∇u1 ✟✟ q ❆
€
r
❅
❆
◗
€€
◗
✣
✡✟✟
€
x
¯
❅
◗
✟
✡
r
€ ❆x
✣
x
€
❅■ €
❆r 2-я мп
✟✟◗◗
✙✟ ❆€€€
❅ ✟
◗
✟✟ ❆
✂
◗ −∇u
1-я мп ❯❆ h1
2 ❆ ✌✂ −h2
◗ ❅
◗ ❅ ❆
◗ ❅ ❆
◗
◗❅ ❆
◗ ❅❆
◗
❅
◗
❆ω
a)
1
59
p
2-я мп
❆
✟
✒
✟
❅
❆✟
€€ ❅
q
✟
✟ ❆
€€
✟
€
r
❅
❆
€
◗ x ✟✟
q ◗
∇u1
¯❅€€€ ❆ x ✟
◗ r✟ x
✯
€€
✟
◗
✟
r
❅
❆
✟✡ ◗
✠
€❘
€
✢
✡
❅ ✌✂✂ ❆ €
◗
✟✟
❆ −∇u2
h
◗
1 ❆ 1-я мп
❅
−h2 ❯❆
◗
◗ ❅ ❆
◗ ❅ ❆
◗
◗❅ ❆
◗ ❅❆
◗
❅
◗
❆ω
b)
1
€€
❅
Рис. 7. Локально устойчивое a) и неустойчивое b) равновесие x
¯.
векторами hi , i = 1, 2, вычисленными в точке x¯. При этом, однако, ситуация изменилась
коренным образом: локально стабильное равновесие превратилось в нестабильное! На рис.
7 a) показано, что некоторые текущие точки x , x приближаются к равновесию, но после
перенумерации гиперплоскостей, на рис. 7 b), — удаляются от равновесия. Таким образом,
можно заметить, что ключевую роль в локальной устойчивости играет “взаимораположение” векторов h1 , h2 и p относительно точки равновесия. Более того, можно высказать
рабочую гипотезу: равновесие стабильно, если (локально) потребление активного индивида строго менее предпочтительно его потреблению в состоянии равновесия. Эта гипотеза
выполнена для ситуаций, подобных представленной на рис. 7 a), и нарушается для 7 b).
Для экономики 2 × 2 можно строго доказать истинность этой гипотезы. Однако уже для
3-х продуктовой экономики эта гипотеза становится весьма сомнительной.
Действительно, нижеследующие рассуждения показывают, что для трёхпродуктовой экономики с двумя агентами наша гипотеза может быть выполнена только в некоторых вырожденных случаях.
Рассмотрим экономику с двумя индивидами и пространством продуктов размерности
l ≥ 3. Пусть x ∈ Rl+ обозначает потребление 1-го индивида, y ∈ Rl+ — 2-го, а их предпочтения заданы функциями Кобба-Дугласа:
l
l
α
xj j ,
u1 (x) =
j=1
α
0,
αj = 1,
β
yj j , β
u2 (y) =
0,
βj = 1.
j=1
Пусть ω i
0, i = 1, 2 некоторые начальные запасы. Хорошо известно, что в такой экономике существует единственное равновесие, которое мы обозначим (¯
x, y¯). Покажем, что
в каждой окрестности этого равновесия найдутся точки (x, y) (распределения), такие,
что некоторый индивид, скажем 1-й, является активным, а 2-й индивид пассивен, т. е.
∇u1 (x), x − ω 1 = 0 & ∇u2 (y), y − ω 2 > 0, и при этом u1 (x) > u1 (¯
x).
С этой целью рассмотрим произвольное распределение (˜
x, y˜) такое, что только 1-й индивид активен и при этом u1 (˜
x) > u1 (¯
x). Такие распределения в трёхпродуктовой экономике
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
60
существуют (компьютер находит на частных примерах), хотя их и нет в двухпродуктовой
экономике. Далее, рассуждая на ящике Эджворта, соединим линейным отрезком точки
x˜ и x¯ и покажем, что они находятся строго внутри максимальной поверхности. Это следует из того факта, что для функций Кобба-Дугласа ограничение ∇u1 (x), x − ω 1 ≥ 0
является ограничением, заданным вогнутой функцией (тем самым множество распределений, ограниченных максимальной поверхностью, выпуклое). Действительно, логарифмируя для простоты полезности и вычисляя градиент, находим
∇ ln u1 (x), x − ω
1
=1−
αj ωj1
,
xj
где в правой части равенства записана строго вогнутая функция. Отсюда следует, что если
из точки начальных запасов ω 1 выпустить луч, проходящий через некоторую точку отрезка x(γ) = γ x˜ +(1−γ)¯
x, γ ∈ (0, 1), то точка пересечения луча с максимальной поверхностью
1-го агента находится на луче дальше точки x(γ). Таким образом, полезность 1-го агента
в точке пересечения будет больше его полезности в точке x(γ), которая, в свою очередь,
больше его полезности в точке равновесия. Итак, мы показали, что во всех точках, находящихся на непрерывной кривой на максимальной поверхности, построенной как точки
её пересечения с лучами данного вида, полезность 1-го агента строго больше полезности
в точке равновесия. Это опровергает нашу рабочую гипотезу, ибо, если она неверна уже
для полезностей Кобба-Дугласа, то значит её вообще нельзя считать приемлемой.
Итак, в сформулированном выше виде свойство, характеризующее равновесия, локально устойчивые относительно договорных процессов общего вида, является неудовлетворительным. Одной из возможностей получить позитивный результат является ослабление
требования устойчивости в том плане, что локальную сходимость можно требовать не для
произвольного правила торговли, но для правила, обладающего некоторыми дополнительными и экономически осмысленными свойствами. С этой целью попробуем разобраться, в
чём собственно состоит принципиальное различие между 2-продуктовым и 3-продуктовым
случаями.
В 2-продуктовом варианте в достаточно малой окрестности равновесной точки, если текущее распределение находится на максимальной поверхности, то любой взаимовыгодный
обмен между агентами с необходимостью (почти всегда) влечёт разрыв договоров, т. е.
договорной процесс идёт с обязательным разрывом договоров. Иначе, если текущая точка траектории попала в окрестность устойчивого равновесия, то в дальнейшем процесс
идёт в соответствии с альтернативой (i) из предыдущего параграфа: с течением времени активен может быть только один индивид, причём его текущее потребление строго
меньше по полезности равновесного (следовательно, используя результаты предыдущего
параграфа, легко установить сходимость траектории к данному равновесию). Это высказывание истинно, поскольку в достаточно малой окрестности равновесия нормированные
градиенты функций полезности мало отличаются от равновесной цены, но векторы hi ,
i = 1, 2, вычисленные в равновесии, непропорциональны ценам равновесия. Однако уже в
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
61
3-продуктовой экономике это не так, и в любой окрестности равновесия могут находится
распределения на максимальной поверхности, допускающие взаимовыгодный обмен без
разрыва договоров, т. е. возможно Парето–улучшение без разрыва! Сказанное мотивирует
следующее определение.
Определение 8.1. Правило торговли v : A(X) → Lc называется доброжелательным
или беневолентным, если v(x) не влечёт разрыва договоров во всех ситуациях, когда
взаимовыгодный обмен без разрыва вообще возможен.
Договорной U B–процесс называется доброжелательным, если он задается доброжелательным правилом торговли.
Содержательно, определение 8.1 означает, что перед заключением нового контракта индивиды тщательно исследуют возможности для взаимовыгодного обмена и заключение контракта с последующим разрывом осуществляется только тогда, когда нет никакой другой
возможности прийти к соглашению.
Формально, для процесса по определению 4.1 понятие доброжелательного правила торговли требует выполнения следующих условий.
Пусть x ∈ A(X) — некоторое распределение, устойчивое относительно частичного разрыва
агрегированного контракта x − ω, и пусть
I a (x) = {i ∈ I | ∇ui (xi ), xi − ωi = 0} = ∅
непустое множество всех активных индивидов. Положим
W f r (x) = {w ∈ Lc | ∇ui (xi ), wi > 0, ∀ i ∈ I & hi , wi > 0, ∀ i ∈ I a (x)},
(8.1)
это (возможно пустое) множество взаимовыгодных договоров, после заключения которых
разрыва агрегированного контракта x − ω не происходит34 . Тогда, если W f r (x) = ∅, то
hi , vi (x) ≥ 0, ∀ i ∈ I a (x) &
∇ui (xi ), vi (x) > 0, ∀ i ∈ I.
(8.2)
Следующее утверждение даёт некоторый критерий локальной устойчивости в экономике
с двумя агентами.
Утверждение 8.1. Пусть x¯ = (¯
x1 , x¯2 ) изолированное равновесное распределение в экономике с двумя агентами и пусть выполнены стандартные предположения. Тогда, если
Здесь Lc = {(v1 , . . . , vn ) ∈ E I |
I vi = 0} это пространство контрактов. Напомним, что условие
hi (x), wi ≥ 0 означает, что индивид i ∈ I a не заинтересован в разрыве договора x − ω, если w будет
заключён в состоянии x.
34
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
62
в некоторой окрестности Vx¯ в A(X) точки x¯ для каждого y ∈ Vx¯ , удовлетворяющего
∇ui (yi ), yi − ωi ≥ 0, i = 1, 2, имеет место
[∃ j : ∇uj (yj ), yj − ωi = 0 & W f r (y) = ∅]
⇒
uj (yj ) ≤ uj (¯
xj ),
(8.3)
то равновесие локально устойчиво относительно (локально) доброжелательных договорных процессов.
Отметим, что в левой части соотношения (8.3) описана ситуация, в которой взаимовыгодный обмен без последующего разрыва невозможен. Таким образом, требование (8.3)
говорит о том, что в таких случаях активный индивид предпочитает равновесное потребление текущему; последнее можно также записать в виде ∇uj (yj ), x¯j − yj > 0 для x¯j = yj
(это следует из строгой вогнутости полезности). Доказательство утверждения 8.1 содержится в Приложении.
Замечание 8.1. Заметим, что для 2-продуктовой экономики равновесие x¯ будет изолированным, если векторы h1 , h2 , вычисленные в точке равновесия, неколлинеарны. Более того,
при предположении (S) и если равновесие является внутренней точкой, можно доказать,
что любой договорной процесс в экономике 2 × 2 является локально доброжелательным.
Чтобы убедится в этом, достаточно заметить, что для распределения y на максимальной
поверхности и из окрестности равновесия конус улучшений
z ∈ R2 | ∇u1 (y1 ), z > 0 &
∇u2 (y2 ), z < 0
не пересекается с полуплоскостью h1 (y1 ), z ≤ 0 если активен 1-й агент, или с полуплоскостью h2 (y2 ), z ≥ 0, если активен 2-й. Это будет так, поскольку в окрестности
равновесия градиенты полезностей близки к равновесным ценам и в силу hi (yi ) ≈ hi (¯
xi ),
hi (¯
xi ), ωi − x¯i > 0, i = 1, 2.
Таким образом, утверждение 8.1 вполне соответствует нашим предыдущим рассуждениям, служит их формальным доказательством и, более того, позволяет сформулировать
вычислимый критерий локальной стабильности равновесия в экономике 2 × 2.
В представленном виде результат утверждения 8.1 довольно затруднительно обобщить
на случай произвольного числа агентов — тот факт, что в экономике ровно два агента,
был существенным в доказательстве. Именно, если индивидов ровно два, один из которых
активен и текущее состояние выбрано из подходящей окрестности точки равновесия, то
для доброжелательных траекторий можно заключить, что полезность пассивного агента
строго больше его полезности в равновесии. Если пассивных индивидов более одного,
то можно с уверенностью утверждать (по крайней мере пока) только то, что среди них
существует индивид со строго большей полезностью чем в равновесии.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
63
Несмотря на трудности доказательства факта локальной устойчивости, в следующем разделе мы продолжим изучение свойств доброжелательных правильно-договорных процессов. При определённых предположениях будет доказано, что такие процессы генерически
сходятся к равновесию.
9. СХОДИМОСТЬ ДОБРОЖЕЛАТЕЛЬНЫХ UB-ПРОЦЕССОВ
Мы начнём анализ с подробного исследования общего случая доброжелательных траекторий. С этой целью изучим ситуации, в которых взаимовыгодный обмен без разрыва
договоров невозможен. Следующая лемма описывает необходимые условия того, что в
некотором состоянии экономики сложилась такая ситуация.
Лемма 9.1. Пусть распределение x ∈ riA(X) устойчиво относительно частичного
разрыва валового договора x − ω. Пусть выполнены стандартные предположения и
пусть взаимовыгодный обмен без последующего разрыва договоров невозможен, т. е.
W f r (x) = ∅. Тогда найдётся вектор p = 0 и для каждого индивида i ∈ I найдутся числа
αi ≥ 0, βi ≥ 0 такие, что
p = αi ∇ui (xi ) + βi hi (xi ),
∀i ∈ I
(9.1)
и при этом выполнены следующие соотношения дополняющей нежёсткости (complementarity slackness conditions):
βi ∇ui (xi ), xi − ωi = 0,
∀ i ∈ I.
Условия дополняющей нежёсткости, появившиеся в этой лемме, просто являются удобной
формой изложения того факта, что для пассивного индивида (при ∇ui (xi ), xi − ωi > 0)
величина βi ≥ 0 должна обращаться в ноль, в то время как для активного агента (при
∇ui (xi ), xi − ωi = 0) может оказаться и строго больше нуля. Далее, легко видеть, что
с точностью до нормировки p величины αi и βi в формуле (9.1) находятся однозначно,
так как ∇ui (xi ) и hi (xi ) это неколлинеарная пара векторов для любого активного индивида в текущем состоянии экономики. Это позволяет корректным образом выделить из
числа активных индивидов тех из них, которые могут реально влиять на ход договорного
процесса через разрыв договоров.
Итак, мы будем называть активного индивида i реально активным, если βi > 0. Соответственно, если у активного агента βi = 0, то его можно назвать фиктивно активным
(локально в процессе эти индивиды ведут себя фактически так же как пассивные). Назовём индивида реально пассивным, если он является пассивным или фиктивно активным.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
64
Доказательство леммы 9.1. По определению (8.1) множества W f r (x), условие W f r (x) = ∅
можно эквивалентным образом записать в следующем виде.
Пусть Bi (x) = {z ∈ E | ∇ui (xi ), z > 0}, если индивид i пассивный, и пусть Bi (x) = {z ∈
E | ∇ui (xi ), z > 0 & hi (xi ), z > 0} для активного индивида. Тогда
Bi (x) ∩ Lc = ∅,
I
где, напомним, Lc = {(v1 , . . . , vn ) ∈ E I | I vi = 0} это пространство контрактов. Отметим, что Bi (x) = ∅ для активных i, т. к. ∇ui (xi ) = 0, ∇ui (xi ), xi − ωi = 0 и hi , xi − ωi < 0
(значит, векторы не коллинеарные), и, конечно, Bi (x) = ∅ для пассивных. Следовательно,
можно применить теорему отделимости и найти π = (p1 , . . . , pn ) = 0 такой, что
π,
I
Bi (x) ≥ π, Lc .
Из ограниченности сверху функционала π на подпространстве Lc следует π, Lc = 0 и,
значит, стандартным образом заключаем pi = pj , ∀ i = j. Положим p = pi = 0. Далее, легко
видеть, что π, I Bi (x) ≥ 0 возможно только если (учитывая π = (p, . . . , p)) выполнено
p, Bi (x) > 0,
∀ i ∈ I.
Таким образом, для каждого активного i неравенство p, z > 0 является следствием двух
неравенств: ∇ui (xi ), z > 0, hi (xi ), z > 0, а для пассивного только первого из них. Отсюда, применяя лемму Фаркаша (или опять теорему отделимости), заключаем существование αi ≥ 0, βi ≥ 0, требуемых в утверждении леммы.
Свойство доброжелательности траектории является довольно квалифицированным требованием к правилу торговли. В частности, легко видеть, что вектор p, существование
которого доказано в лемме 9.1, будучи нормализован p = 1, является непрерывной
функцией от текущей точки траектории.
Лемма 9.2. Пусть x(t), t ≥ 0 доброжелательная UB-траектория по определению 4.1
и пусть выполнены стандартные предположения. Тогда вектор p = p(x(t)), p = 1,
существующий по лемме 9.1 во всех точках x(t) траектории, где взаимовыгодный обмен без разрыва невозможен, является непрерывной функцией времени в своей области
определения.
Ясно, что в условиях леммы, при указанной зависимости вектора p от текущей точки
траектории, также непрерывным образом от точки траектории зависят коэффициенты
αi , βi разложения (9.1). Это следует из уже упоминавшейся выше неколлинеарности
векторов ∇ui , hi , вычисленных в нужных нам точках траектории.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
65
Доказательство леммы 9.2. Действительно, из непрерывности траектории следует, что
для каждого индивида i множество всех моментов t > 0, где он пассивен, открыто на
интервале (0, +∞). Значит, так как по лемме 9.1 в каждом из моментов t пассивности
некоторого индивида i вектор
p(x(t)) =
∇ui (xi (t))
,
∇ui (xi (t))
то из непрерывности градиента вдоль траектории заключаем, что как функция времени
p(t) ведёт себя непрерывно в окрестности точки t. Нужно показать, что если x(t)
˙
= 0,
т. е. если точка x(t) неравновесная и взаимовыгодный обмен без разрыва невозможен, то
всегда найдётся пассивный индивид. Предполагая, что все индивиды активные, в силу
(9.1) (взаимовыгодный обмен без разрыва невозможен) имеем
p(t) = αi ∇ui (xi (t)) + βi hi (xi (t)),
∀ i ∈ I.
Далее умножим эти равенства скалярно на векторы xi (t) − ωi = 0 и затем сложим полученные равенства. В итоге, из активности индивидов: ∀ i ∈ I, ∇ui (xi ), xi − ωi = 0, и в
силу (xi (t) − ωi ) = 0 получаем
0=
βi hi (xi (t)), xi (t) − ωi .
Так как βi ≥ 0 и hi (xi ), xi − ωi < 0, ∀ i ∈ I, то последнее равенство возможно только если
βi = 0 для всех i, что возможно только в равновесии. Пришли к противоречию.
Далее нас будут интересовать некоторые специфические свойства правильно договорных
траекторий по определению 4.1 (не обязательно доброжелательных!). Именно, нужно прояснить те ситуации, когда в точках траектории может быть более одного активного индивида. С этой целью напомним, что в текущей точке траектории x(t) мера разрыва валового
контракта находится как минимум (при условии, что он меньше нуля, иначе разрыва не
происходит) некоторых величин, определяющих желательный разрыв у активных индивидов. Желаемый разрыв валового контракта у агента i определяется величиной
λi (x(t), v(x(t))) =
hi (xi (t)), vi (xi (t))
,
hi (xi (t)), ωi − xi (t)
см. лемму 4.1. Однако для того, чтобы два индивида одновременно определяли разрыв
контрактов в непосредственно следующие после t моменты времени, нужно, чтобы желательный для них разрыв контракта совпал с общим минимумом и, следовательно, они
должны совпасть между собой. Сказанное мотивирует следующее определение.
Определение 9.1. Договорная траектория x : [0, +∞) → A(X) (процесс) называется невырожденной, если во всех неравновесных точках x(t) её попадания на максимальную поверхность для любой пары активных индивидов i, j, i = j (т. е., если
∇ui (xi (t)), xi (t) − ωi = ∇uj (xj (t)), xj (t) − ωj = 0) имеет место
λi (x(t), v(x(t))) =
hj (xj (t)), vj (xj (t))
hi (xi (t)), vi (xi (t))
=
= λj (x(t), v(x(t))).
hi (xi (t)), ωi − xi (t)
hj (xj (t)), ωj − xj (t)
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
66
Правило торговли называется невырожденным относительно начального распределения
ω = (ω1 , . . . , ωn ), если невырождена генерируемая им договорная траектория c начальными данными x(0) = ω.
Невырожденные договорные траектории проще в анализе, поскольку для них в каждый
момент времени только один индивид задаёт меру разрыва валового контракта, т. е. может
быть активным “лидером” договорного процесса. При этом, однако, для невырожденных
процессов общего вида с течением времени может происходить смена лидера. Ниже будет
доказано, что этого не происходит в случае доброжелательных траекторий.
С этой целью прежде всего покажем, что у любой не стабилизирующейся невырожденной
траектории множество тех моментов времени, где активных агентов два или более, имеет
структуру близкую к дискретной35 .
Лемма 9.3. Пусть x(t) невырожденная UB-договорная траектория по определению 4.1
и 9.1. Пусть в момент τ производная x(τ
˙ ) = 0 и пусть агент i активен, т. е.
∇ui (xi (τ )), xi (τ )−ωi = 0. Тогда для некоторого ε > 0 для всех точек интервала (τ, τ +ε)
имеет место только одна из альтернатив:
(i) При λi (x(τ ), v(x(τ ))) = λmin (x(τ ), v(x(τ ))) < 0 только индивид i будет активен и
будут пассивными все другие агенты.
(ii) При λi (x(τ ), v(x(τ ))) = λmin (x(τ ), v(x(τ ))) = 0 активным может быть индивид i,
но это нельзя сказать с определённостью; однако всегда будут пассивными все другие
агенты.
(iii) При λj (x(τ ), v(x(τ ))) > λmin (x(τ ), v(x(τ ))) = 0 для каждого активного индивида, в
интервале (τ, τ + ε) все агенты пассивны.
Доказательство леммы 9.3 содержится Приложении. Из утверждения данной леммы вытекает следующее важное
Следствие 9.1. Если договорная траектория невырождена и x(t)
˙
= 0, ∀ t ≥ 0, то в не
более чем счётном множестве моментов времени активных индивидов может быть
два или более.
Замечание 9.1. Утверждение леммы 9.3 может показаться почти очевидным, однако
нужно помнить, что мы имеем дело с решением дифференциального уравнения с разрывной правой частью и, следовательно, это решение не обязано быть дифференцируемой
функцией. Поэтому соответствующий анализ должен проводится с особой тщательностью.
35
Строго говоря, данное множество может иметь предельные точки, однако это не препятствует последующему анализу.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
67
Представляется, что результат леммы можно распространить и на общий случай не обязательно невырожденных траекторий. Конечно, это будет другая редакция, в которой
возможен такой вариант альтернативы (i): из числа всех активных индивидов, удовлетворяющих условию альтернативы, выделится группа индивидов, активных на некотором
открытом интервале времени, непосредственно примыкающем к рассматриваемому моменту. Однако строгого доказательства этого факта у нас пока нет... В качестве следствия
к обобщению леммы можно надеяться получить такой факт: число моментов времени, когда множество активных индивидов перестраивается, не более чем счётное.
Далее покажем, что с течением времени вдоль невырожденной доброжелательной траектории “реально” активным может быть только один индивид. Напомним, что реально
активными мы назвали таких активных индивидов, у которых в соотношении (9.1) из
леммы 9.1 параметр βi = 0.
Теорема 9.1. Пусть x(t) невырожденная доброжелательная траектория и пусть выполнены стандартные предположения. Тогда реализуется одна из альтернатив:
(i) На интервале [0, +∞) не существует (почти) моментов времени, когда осуществляется частичный разрыв валового контракта x(t) − ω, т. е. для почти всех моментов
времени в контрактном процессе все индивиды пассивны.
(ii) Найдётся такой момент τ > 0, что для почти всех моментов на интервале [0, τ )
все индивиды пассивны, а в момент τ напротив, все активны, т. е. x(τ ) — равновесие.
(iii) Найдутся такие моменты τ1 > 0, τ2 > τ1 , что для почти всех моментов на интервале [0, τ1 ) все индивиды пассивны, в интервале [τ1 , τ2 ) имеется единственный реально
активный индивид, причём если τ2 = +∞, то в момент τ2 все агенты активны и, тем
самым, x(τ2 ) равновесие.
Теорема 9.1 описывает весьма важные свойства невырожденных доброжелательных траекторий, которые позволяют заключить сходимость траекторий этого типа к равновесию.
Следствие 9.2. Пусть выполнены стандартные предположения. Тогда любое доброжелательное правило торговли, генерирующее невырожденный договорной процесс, определяет правильно договорную UB-траекторию, у которой все предельные точки равновесные. Таким образом, невырожденные доброжелательные процессы являются квазиглобально стабильными.
Доказательство следствия 9.2. В случае реализации альтернативы (ii) или (iii) при
τ2 < +∞ сходимость договорной траектории к равновесию очевидна. Если реализовалась альтернатива (i) или (iii) при τ2 = +∞, мы попадаем в условие альтернативы (i)
из раздела 7 (см. с. 53) и можем применить лемму 7.1 и замечание 7.1, что доказывает
равновесные свойства любой предельной точки.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
68
Доказательство теоремы 9.1. Определим момент τ > 0 как первый момент траектории, в
котором взаимовыгодный обмен без частичного разрыва договора x(t)−ω невозможен. Если таких моментов вообще не существует, то реализовалась альтернатива (i). Однако, если
множество таких моментов не пусто, то, будучи замкнутым множеством, оно всегда имеет
минимальный элемент. Поэтому момент τ определён корректно. Далее, если x(τ
˙ ) = 0, то
x(τ ) равновесие и, значит, реализовалась альтернатива (ii). Пусть x(τ
˙ ) = 0. Однако теперь
мы находимся в условиях леммы 9.1, и можем заключить, что в момент τ существует по
крайней мере один реально активный индивид. Действительно, иначе βi (τ ) = 0 для всех
i ∈ I, что возможно только в равновесии. Пусть I ra (τ ) ⊂ I непустое множество всех реально активных индивидов в момент τ . Далее воспользуемся свойством невырожденности
и покажем, что мы находимся в условиях альтернативы (i) леммы 9.3. Именно, докажем,
что λi (x(τ ), v(x(τ ))) < 0 для некоторого активного в момент τ индивида i ∈ I. Для этого
достаточно показать, что hi (xi (τ )), vi (xi (τ )) < 0. С этой целью воспользуемся леммой
9.1, из которой следует существование вектора p(τ ) = 0 и, для каждого i, чисел αi (τ ) ≥ 0,
βi (τ ) ≥ 0 таких, что выполняется (9.1):
p(τ ) = αi (τ )∇ui (xi (τ )) + βi (τ )hi (xi (τ )), ∀ i ∈ I.
Далее, для каждого реально активного индивида i из I ra (τ ) = ∅ умножим соответствующее равенство на вектор vi (xi (τ )) и затем сложим полученные равенства. Полученный
таким образом результат можно записать в виде
p(τ ),
I ra (τ )
vi (xi (τ )) −
I ra (τ )
αi ∇ui (xi (τ )), vi (xi (τ )) =
βi (τ ) hi (xi (τ )), vi (xi (τ )) .
I ra (τ )
Так как у каждого слагаемого в правой части все коэффициенты строго больше нуля, то
мы получим требуемое свойство, если установим, что величина, записанная в левой части
равенства, отрицательна. Но это действительно так, поскольку по определению контракта
I\I ra (τ ) vi (xi (τ )), что, с учётом взаимовыгодности контракта, для
I ra (τ ) vi (xi (τ )) = −
реально пассивных индивидов даёт
p(τ ),
I ra (τ )
vi (xi (τ )) = − p(τ ),
vi (xi (τ )) < 0.
I\I ra (τ )
Значит, в левой части предыдущего равенства записана сумма отрицательной и неположительной величины, и, следовательно, в целом она является отрицательной.
Итак, на данный момент доказано, что реализуется альтернатива (i) леммы 9.3. Отсюда
следует, что при некотором ε > 0 на интервале (τ, τ + ε) договорной процесс идёт с разрывом валового контракта, причём активным является в точности один агент. Пусть это
будет индивид i0 . Только этот индивид (из условий дополняющей нежёсткости леммы 9.1)
может быть реально активным в интервале (τ, τ + ε) и, следовательно,
βi0 (t) > 0, βj (t) = 0, ∀ j = i, ∀ t ∈ (τ, τ + ε).
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
69
Наконец, применяя лемму 9.2, мы можем в последних соотношениях по непрерывности
перейти к пределу при t → τ + 0, заключая βi0 (τ ) > 0 и βj (τ ) = 0, ∀ j = i0 . Таким образом,
индивид i0 является единственным реально активным агентом на интервале [τ, τ + ε).
Далее, по прежнему предполагая, что x(τ ) не является равновесием, докажем истинность
альтернативы (iii).
С этой целью сначала покажем, что для каждого t > τ взаимовыгодный обмен без частичного разрыва договора x(t) − ω невозможен. Предполагая противное, найдём t > τ как
инфимум всех моментов, где возможен обмен без разрыва. Ясно, что совокупность всех
таких моментов образует открытое множество на (τ, +∞) и t не может ему принадлежать.
Значит, в момент t взаимовыгодный обмен без разрыва невозможен. Кроме того, x(t ) не
может быть равновесием, так как обмен идёт и после момента t . Поэтому, мы можем
воспользоваться леммами 9.1, 9.3 и, проводя рассуждения подобные изложенным выше,
можем заключить существование δ > 0, такого, что в каждой точке интервала [t , t + δ)
договорной процесс идёт с разрывом договоров. В итоге приходим к противоречию с выбором момента t .
Далее положим τ1 = τ и определим момент τ2 как инфимум всех тех моментов времени
из (τ1 , +∞), когда имеется хотя бы один другой, отличный от i0 , активный индивид. Если
таких моментов нет вообще, то τ2 = +∞ и всё доказано. Предположим, что τ2 < +∞ и
покажем, что x(τ2 ) равновесие. Прежде всего отметим, что в момент τ2 только индивид i0
может быть реально активным: в этот момент взаимовыгодный обмен без разрыва невозможен, а в интервале (τ1 , τ2 ) активным является только i0 , поэтому, применяя лемму 9.1,
находим
βi0 (t) > 0, βj (t) = 0, ∀ j = i0 , ∀ t ∈ (τ1 , τ2 ).
Однако в силу леммы 9.2 все функции βi (·), i ∈ I непрерывны на [τ1 , τ2 ], значит, переходя
к пределу по t → τ2 − 0, заключаем
βi0 (τ2 ) ≥ 0, βj (τ2 ) = 0, ∀ j = i0 .
Далее, если βi0 (τ2 ) = 0, то мы попадаем в условия альтернативы (i) леммы 9.3 и, значит, при некотором ε > 0 в интервале (τ2 , τ2 + ε) имеется ровно один активный индивид,
причём по выбору τ2 этим индивидом не может быть i0 . Следовательно, i0 пассивен на
(τ2 , τ2 + ε) и вновь по лемме 9.1 заключаем βi0 (t) = 0 в интервале (τ2 , τ2 + ε). Но βi0 (t)
непрерывная функция на [τ2 , τ2 + ε] по лемме 9.2. Переходя к пределу по t → τ2 + 0, заключаем βi0 (τ2 ) = 0. Полученное противоречие доказывает, что βi0 (τ2 ) = 0. Однако выше
было установлено, что βj (τ2 ) = 0, ∀ j = i0 . Последнее возможно только в равновесии (ибо
в точке x(τ2 ) градиенты всех индивидов попарно коллинеарны, значит это оптимум по
Парето, устойчивый относительно частичного разрыва валового договора). Теорема 9.1
доказана.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
70
Одним из основных результатов работы является следующая теорема о сходимости невырожденных доброжелательных UB-процессов.
Теорема 9.2. Пусть E регулярная экономика и выполнены стандартные предположения. Тогда любой невырожденный доброжелательный договорной UB-процесс сходится к
равновесию.
В качестве следствия этой теоремы, с использованием теорем Тома о плотности и открытости трансверсальных сечений, представляется возможным доказать следующий результат
о генерической сходимости доброжелательных договорных процессов к равновесию.
Следствие 9.3. Для почти всех экономик класса C 2 доброжелательный договорной UBпроцесс сходится к равновесию.
Доказательство теоремы 9.2. В условиях теоремы имеет место теорема 9.1 и её следствие
9.2. Таким образом, каждая предельная точка траектории является равновесием. Далее
покажем, что в условиях теоремы 9.2 траектория может иметь только одну предельную
точку.
Предположим противное и пусть x, y две разные предельные точки траектории. Рассмотрим линейный отрезок с концами x, y, т. е. множество вида {γx + (1 − γ)y | 0 ≤ γ ≤ 1}.
Через каждую точку отрезка z(γ) = γx + (1 − γ)y, γ ∈ (0, 1) проведём гиперплоскость так,
чтобы точки x, y находились строго по разные стороны гиперплоскости. Например, в качестве такой гиперплоскости H(γ) можно взять гиперплоскость с вектором нормали y − x.
Ясно, что таким образом задано попарно непересекающееся семейство гиперплоскостей,
зависящих от параметра γ ∈ (0, 1), таких, что две разные предельные точки траектории
находятся в двух разных открытых полупространствах, заданных гиперплоскостями H(γ).
Следовательно, с течением времени траектория пересекает каждую гиперплоскость бесконечное число раз и любая предельная точка этих точек пересечения является и предельной
точкой траектории и, значит, равновесием. Таким образом, в экономике имеется континуум разных равновесий, так как при разных значениях γ мы имеем предельные точки
из разных параллельных гиперплоскостей. Однако в каждой регулярной экономике число равновесий конечно. Полученное противоречие доказывает единственность предельной
точки и, следовательно, сходимость договорного процесса к равновесию.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
71
10. ПРИМЕРЫ ДОГОВОРНЫХ ПРОЦЕССОВ: СХОДИМОСТЬ
И ЗАЦИКЛИВАНИЕ
В данном разделе36 описываются некоторые дополнительные примеры, выявляющие характер договорных процессов. Кроме того, представлено описание программ и результатов
компьютерного моделирования.
10.1. Сходимость UB-процессов в экономике 2 × 3
В данном пункте будет описана программа, моделирующая правильно-договорной процесс
для экономики 2 × 3 и приведен численный пример работы этой программы.
Рассматривается модель экономики с 2 агентами и 3 продуктами, в которой предпочтения
заданы функциями Кобба–Дугласа, представленными в логарифмической форме:
u1 (x) = a11 ln(x1 ) + a12 ln(x2 ) + a13 ln(x3 ), x
0,
u2 (y) = a21 ln(y1 ) + a22 ln(y2 ) + a23 ln(y3 ), y
0.
На входе программы задаются коэффициенты a = ((a11 , a12 , a13 ), (a21 , a22 , a23 )) функций
полезности и начальные запасы ω = ((ω11 , ω12 , ω13 ), (ω21 , ω22 , ω23 )). Также в программе задаются параметры: step > 0 (шаг) и tochn > 0 (точность). По этим данным программа находит
равновесие и строит последовательность распределений (x, y)(0) , (x, y)(1) . . . , (x, y)(n) , отвечающих правилам правильно-договорного процесса (то, что это так, видно из алгоритма),
и изображает её графически.
Равновесное распределение находится как решение системы уравнений:
ω11 + ω21 = x¯1 + y¯1 , ω12 + ω22 = x¯2 + y¯2 , ω13 + ω23 = x¯3 + y¯13 ,
∇u1 (¯
x) · x¯ = ∇u1 (¯
x) · ω1 , ∇u1 (¯
x) = α · ∇u2 (¯
y ), α > 0.
Алгоритм работы программы:
0.
Программа находит равновесие.
1.
(x, y)(0) := ω.
2.
Программа находит взаимовыгодный договор υ (n) = (υ1 , υ2 ) следующим образом:
(*) в кубе [−0.5×step, 0.5×step]3 выбирается случайная точка υ1 относительно равномерного
распределения и полагается υ2 := −υ1 . Если контракт υ = (υ1 , υ2 ) взаимовыгодный (т. е.
u1 (x(n) + υ1 ) > u1 (x(n) ) и u2 (y (n) + υ2 ) > u2 (y (n) )), то п3, иначе возврат к (*).
36
Описанные здесь примеры и программы были построены с участием Сергея Колбина, студента IV курса
ММФ НГУ (в 2005–2006 гг. он писал диплом бакалавра при моем научном руководстве).
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
3.
72
(x, y)(n+1) := (x, y)(n) + υ (n) .
Если при заключении этого договора траектория не выходит за пределы максимальной
поверхности, то пункт 4. Иначе осуществляется проектирование на максимальную поверхность: из линейного отрезка [(x, y)(n) + υ, ω] выбирается точка внутри области, ограниченной максимальной поверхностью, которая находится на расстоянии не более 0.01 × step от
максимальной поверхности. Тогда:
(x, y)(n+1) := точка, полученная в результате проектирования.
4.
Точка (x, y)(n+1) обозначается на экране и её численное значение выводится в файл.
5.
Если расстояние от (x, y)(n+1) до равновесия больше чем step × tochn, то пункт 2. В противном случае считается, что траектория дошла до равновесия и программа заканчивает
работу.
В табл. 1 приведены результаты работы программы для следующего численного примера.
Предпочтения заданы функциями полезности
u1 (x) = ln(x1 ) + ln(x2 ) + 9 ln(x3 ), u2 (y) = 9 ln(y1 ) + 10 ln(y2 ) + ln(y3 ).
Начальные запасы: ω = (ω1 , ω2 ) = ((9, 9, 2), (1, 5, 8)). Тогда (единственным) равновесным
распределением является
(¯
x, y¯) = ((1.761, 2.258, 9.454), (8.239, 11.742, 0.546)).
В программе были заданы параметры step=0.1, tochn=1 и, генерированная компьютером
последовательность (x, y)(n) , “сошлась” к равновесию. В табл. 1 представлена каждая 30-я
точка последовательности x(1) , x(2) , . . . , x(n) , т. е. описано потребление 1-го агента: в первом
столбце указано количество первого товара у первого агента на каждом 30-м шаге работы
программы, во втором — количество второго товара у первого агента и т. д. В четвертом
столбце представлена некоторая оценка степени разрыва договора, определённая как отношение длины реального продвижения траектории к длине заключенного договора, т. е.
это (x, y)(n+1) − (x, y)(n) / υ (n) в случае, когда траектория движется по максимальной
поверхности и записано “внутри”, если траектория находиться внутри области, ограниченной максимальной поверхностью.
Графически траекторию можно представить следующим образом. На рис. 8 изображены
(x1 (t), x2 (t)) на каждом шаге работы программы. Серым цветом изображены точки внутри
максимальной поверхности, черным — на максимальной поверхности. Аналогично, на рис.
9, 10 изображена динамика пар (x2 (t), x3 (t)) и (x3 (t), x1 (t)), соответственно.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
73
Таблица 1. Дискретная правильно-договорная траектория: результаты расчётов каждого 30-го шага для
1-го агента.
(k)
1-й товар x1
9
9.002
8.234
7.455
6.785
6.044
5.167
4.638
3.743
3.261
2.642
2.552
2.396
2.345
2.384
2.370
2.259
2.184
2.119
2.027
1.918
1.880
1.925
1.882
1.844
1.761
(k)
(k)
2-й товар x2
3-й товар x3
9
8.956
8.802
8.353
8.092
7.681
7.187
6.673
6.347
5.454
4.876
4.420
4.218
3.756
3.384
3.119
2.955
2.813
2.676
2.611
2.610
2.545
2.397
2.368
2.360
2.258
2
2.048
2.647
3.469
4.285
5.148
6.021
6.825
7.705
8.669
9.398
9.410
9.416
9.426
9.433
9.437
9.441
9.444
9.446
9.447
9.448
9.449
9.451
9.451
9.452
9.454
степень разрыва:
(x,y)(k+1) −(x,y)(k)
υ (k)
ω1
внутри
внутри
внутри
внутри
внутри
внутри
внутри
внутри
внутри
0.845
0.532
0.726
0.668
0.831
0.334
0.470
0.404
0.841
0.953
0.949
0.945
0.824
0.943
0.129
равновесие
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
Рис. 8. Динамика обменов 1-го и 2-го продукта.
Рис. 9. Динамика обменов 2-го и 3-го продукта.
74
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
75
Рис. 10. Динамика обменов 1-го и 3-го продукта.
10.2. Отсутствие сходимости для экономики 4 × 2 при
предположениях CUB, IBA
Рассмотрим экономику c 4 индивидами, полезности которых задают кривые безразличия
в виде, представленном на рис. 12. В начальный момент времени (t = 0) текущее распределение совпадает с начальными запасами: x1 (0) = ω1 = (9, 1), x2 (0) = ω2 = (3, 3),
x3 (0) = ω3 = (3, 9), x4 (0) = ω1 = (3, 4). Далее, пусть во временном интервале (0, t1 )
активна коалиция {1, 2}, в интервале (t1 , t2 ) активна коалиция {2, 3}, в пределах (t2 , t3 )
активна {3, 4}, а в интервале (t3 , t4 ) активна коалиция {4, 1}. Предположим также, что
в дальнейшем коалиции {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 1} активны по очереди, причём каждая в
течение достаточно короткого промежутка времени. Предполагается, что за этот промежуток времени коалиции успевают только порвать договора, но не успевают заключить
новые договоры. Указанные режимы активности коалиций во времени представлена на
рис. 11.
Пусть далее заключение внутрикоалиционных договоров происходит следующим обра−−−→ −−−→
зом. На отрезке (0, t1 ) заключается и реализуется договор υ {1,2} = (ω1 A1 , ω2 A2 ). Наборы
товаров первого и второго индивидов в момент t1 это A1 и A2 , соответственно. Далее,
−−−→ −−−→
на (t1 , t2 ) заключается и реализуется договор υ {2,3} = (A2 B2 , ω3 A3 ). Таким образом, продуктовые наборы 2-го и 3-го индивидов в момент t2 это B2 и A3 , соответственно. Далее,
−−−→ −−−→
на промежутке (t2 , t3 ) заключается и реализуется договор υ {3,4} = (A3 B3 , ω4 A4 ). Так что
продуктовые наборы 3-го и 4-го в момент времени t3 это точки B3 и A4 соответственно.
−−−→ −−−→
Наконец, на интервале (t3 , t4 ) заключается договор υ {4,1} = (A4 B4 , A1 B1 ). Тем самым, про-
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
{4, 1}
(
{3, 4}
(
{2, 3}
{1, 2} (
(
)
()
)
()
)
()
)
t1
()
t2
76
t3
t4
✲
✲
✲
✲
t✲
Рис. 11. Режимы активности парных коалиций в экономике 4 × 2.
дуктовые наборы 4-го и 1-го в момент t4 становятся равными B4 и B1 , соответственно.
Таким образом, в момент времени t4 продуктовый набор i-го агента соответствует точкам
рисунка Bi , а точки Ai это результат первого менового акта в деятельности индивида i —
для каждого индивида он реализуется на своём временном интервале и при соответствующем партнёре. На каждой из диаграмм указаны коалиции, в рамках которых происходит заключение договора, приводящего к указанным потребительским программам. Из
рисунков также видно, что все вышеуказанные договоры взаимовыгодные. Более того,
достраивая при необходимости диаграммы надлежащими кривыми безразличия, можно
считать, что каждое заключение нового договора осуществляется в рамках принципов
правильно-договорного процесса, где в качестве начальных запасов индивида принимается сумма его начальных запасов и с продуктовым потоком, полученным от его договоров
в других коалициях.
После завершения всех актов заключения парных договоров, начиная с момента t4 , активной становится коалиция {1, 2}. Однако теперь 1-й агент находит для себя выгодным
частичный разрыв договора υ {1,2} с 2-м агентом и полностью рвёт его, повышая тем самым
свою полезность от потребления. Новыми продуктовыми наборами 1-го и 2-го становятся
векторы, отвечающие точкам C1 и C2 , соответственно. При этом, так как интервал времени краток, то агенты не успевают заключить новый договор. Далее активной становится
коалиция {2, 3}. Теперь уже 2-й агент полностью рвёт заключенный коалицией договор
υ {2,3} . Продуктовыми наборами 2-го и 3-го становятся ω2 и C3 , соответственно. Далее активна коалиция {3, 4}. Сейчас 3-му агенту выгодно (полностью) разорвать заключенный
коалицией договор υ {3,4} . В результате продуктовыми наборами 3-го и 4-го становятся ω3
и C4 , соответственно. Последней становится активной коалиция {4, 1}. Однако вновь находится агент, теперь уже 4-й, которому оказывается выгодным разорвать заключенный
коалицией договор υ {4,1} . В итоге продуктовыми наборами 4-го и 1-го становятся ω4 и ω1
соответственно.
Таким образом, договорная траектория вернулась к распределению начальных запасов
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
✻
77
✻
8
8
B
q 1
6
❅
■
❅
4
2
Cq 2
6
❅
❅
C
q 1
❅{4, 1} ❅
❅
❅q
❨❍ ❅
❍
A1 ❍ ❅
❍❍ ❅
{1, 2}
❍❍
❅q
❏
4
❏
❏
2
ω1
2
4
6
✲
8
2
q ω3
❇❏
❇❏{2, 3}
❇❏
❇ ❏
❇q ❏
❫ q A3
C3 ❇
❇
❇{3, 4}
❇
❇◆q B3
8
6
4
2
4
6
4
6
✲
8
✻
8
6
4
2
✲
2
B
q 2
❪
❏
q ω2
❏❍
{1, 2} ❏ {2, 3}
❍
❏
❍
❍❍ ❏
A
❍❍
❥
❏q 2
2-й агент: договорная динамика
1-й агент: договорная динамика
✻
❏
8
3-й агент: договорная динамика
A
q 4
▼❇❅
❇ ❅ {4, 1}
❇ ❅
❅
❇
{3,
❘B
❅
q 4
❇q 4} ❅
ω4 ❅
❅
❅
❅
❅
❅q C4
2
4
6
✲
8
4-й агент: договорная динамика
Рис. 12. Пример экономики 4 × 2, где CU B-процесс зацикливается и не сходится к равновесию.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
78
и рассмотренный договорной процесс зациклился: заключение последнего договора коалицией {4, 1} вызвало цепной (и лавинообразный) разрыв всех договоров! Что можно
сказать по этому поводу? Если бы 1-й индивид был способен предвидеть такое развитие
событий на этапе заключения договора с 4-м агентом или сразу после него ограничил бы
свои аппетиты и отказался от разрыва договора со 2-м агентом, то тогда бы не произошло
разрушения договорной структуры экономики... Однако такого типа поведение должно
быть явным образом включено в модель договорного процесса. Последнее означает существенную модернизацию наших теоретических представлений о правильно-договорных
процессах.
10.3. Отсутствие сходимости для экономики 3 × 2 для UB-процесса
при кусочно-непрерывном правиле торговли
Данный пример демонстрирует значимость предположения о непрерывности правила
торговли, использованного в приведённом выше анализе правильно-договорных UBпроцессов.
Рассмотрим экономику с 3 агентами и 2 продуктами. В модели задано начальное распределение ресурсов ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) и функции полезности Кобба-Дугласа в логарифмической
форме:
u1 (x) = a11 ln(x1 ) + a12 ln(x2 ), x
0,
u2 (y) = a21 ln(y1 ) + a22 ln(y2 ), y
0,
u3 (z) = a31 ln(z1 ) + a32 ln(z2 ), z
0.
При любых заданных значениях исходных параметров можно однозначно найти равновесное распределение ζ¯ = (¯
x, y¯, z¯) из системы уравнений:
ω11 + ω21 + ω31 = x¯1 + y¯1 + z¯1 ,
ω12 + ω22 + ω32 = x¯2 + y¯2 + z¯2 ,
∇u1 (¯
x) = α · ∇u2 (¯
y ) = β · ∇u3 (¯
z ),
α > 0, β > 0,
∇u1 (¯
x) · x¯ = ∇u1 (¯
x) · ω1 , ∇u2 (¯
y ) · y¯ = ∇u2 (¯
y ) · ω2 .
Далее описывается программа, моделирующая правильно-договорной процесс для экономики 3×2 при заданном правиле торговли w : A(X) → Lc = {(v1 , v2 , v3 ) ∈ R6 | v1 +v2 +v3 = 0},
и затем приведён численный пример работы этой программы.
Программе задаются коэффициенты функций полезности, значения начальных запасов
и однозначно определённое правило торговли w(ζ). Кроме того, в программе задаётся
параметр step > 0 (шаг). По этим данным программа находит равновесие, строит последовательность распределений ζ (1) , ζ (2) , . . . , ζ (n) (здесь ζ = (x, y, z)), отвечающих правилам
правильно-договорного процесса (следует из алгоритма), и изображает её графически.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
79
Алгоритм работы программы:
0.
Программа находит равновесие.
1.
ζ (0) := ω.
2.
Заключается взаимовыгодный договор w(ζ (n) ) = (w1 , w2 , w3 ) согласно правилу торговли.
3.
ζ (n+1) := ζ (n) + w(ζ (n) ).
Если при заключении этого договора траектория не выходит за пределы максимальной
поверхности, то пункт 2. Иначе осуществляется проектирование на максимальную поверхность: из линейного отрезка [ζ (n) + w(ζ (n) ), ω] выбирается точка внутри области, ограниченной максимальной поверхностью, которая находится на расстоянии не более 0.01 × step
от максимальной поверхности. Тогда:
ζ (n+1) := точка полученная в результате проектирования.
4.
Точка обозначается на экране и её численное значение вводится в файл.
5.
Если расстояние от траектории до равновесия больше чем 0.01 × step, то пункт 2.; иначе
считается, что траектория достигла равновесия и программа заканчивает работу.
Далее рассмотрим конкретный численный пример. Пусть предпочтения заданы на intR 2+
следующими функциями полезности:
u1 (x) = 47 ln(x1 ) + 23 ln(x2 ), u2 (y) = 18 ln(y1 ) + 54 ln(y2 ), u3 (z) = 17 ln(z1 ) + 21 ln(z2 ).
Начальные запасы: ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) = ((1, 4), (15, 3), (2, 5)). Пусть задано следующее
кусочно-непрерывное правило торговли w : A(X) → Lc , которое по-разному определено в
каждой из следующих двух областей A1 , A2 , разбивающих совокупность всех распределений на две части. В каждой области заданы ограничения только на x
0 и переменные
y
0иz
0 могут принимать любые значения. Положим
A1 = {ζ = (x, y, z) ≥ 0 | x2 ≤ −0.1463 · x1 + 2.6968},
A2 = {ζ = (x, y, z) ≥ 0 | x2 > −0.1463 · x1 + 2.6968}
и будем обозначать w(ζ) = w (ζ) при ζ ∈ A1 и w(ζ) = w (ζ) при ζ ∈ A2 .
Далее для области A1 формально определим правило торговли w : A1 (X) → Lc , действующее по следующему алгоритму (в области A2 правило w (ζ) определяется аналогично).
Прежде всего для каждой пары индивидов i, j, i < j определим вспомогательный вектор
v ij (ζ), задающий некоторый взаимовыгодный обмен в текущем состоянии ζ. Для каждой
пары агентов этот вектор строится по некоторому общему правилу; опишем его, например,
для пары {1, 2}. Положим
g(ζ) = ∇u1 (x) + ∇u2 (y)
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
80
и рассмотрим ортогональное дополнение к g(ζ) в R2 , т. е. прямую, заданную уравнением
χ, g(ζ) = 0, χ = (χ1 , χ2 ) ∈ R2 . Из определения g(ζ) следует, что если градиенты неколлинеарны, то для точек этой прямой величины χ, ∇u1 (x) и χ, ∇u2 (y) имеют разный знак;
при коллинеарных градиентах они обращаются в нуль. Рассмотрим далее направляющий
1
2
, − g1g+g
) = χ¯ (задаёт прямую в
вектор данной прямой, это может быть вектор вида ( g1g+g
2
2
12
параметрическом виде χ = γ χ,
¯ γ ∈ R). Наконец, положим v (ζ) = χ,
¯ если χ,
¯ ∇u1 (x) > 0,
и v 12 (ζ) = −χ¯ при χ,
¯ ∇u1 (x) < 0. Ясно, что таким способом корректно задано непрерывное отображение ζ → v 12 (ζ), удовлетворяющее условию взаимовыгодности контракта
(v 12 (ζ), −v 12 (ζ)) в нестрогой форме:
v 12 (ζ), ∇u1 (x) ≥ 0,
−v 12 (ζ), ∇u2 (y) ≥ 0.
Более того, если градиенты индивидов неколлинеарны, то в данных соотношениях всюду
реализуются строгие неравенства.
Рассмотрим далее построение нужного нам правила торговли, реализованное с помощью
описанных отображений v ij (ζ).
В области A1 правило задаётся формулой:
w (x, y, z) = β(ζ) v 12 (x, y) +
v 13 (x, z)
v 23 (y, z) −v 13 (x, z) − v 23 (y, z)
, −v 12 (x, y) +
,
20
20
20
,
а в области A2 — формулой:
w (x, y, z) = β(ζ)
v 12 (x, y)
v 13 (x, z)
v 12 (x, y)+v 13 (x, z) 23
, v (y, z) −
, −v 23 (y, z) −
20
20
20
,
где β это, надлежащим образом выбранный, скалярный параметр, непрерывно зависящий
от текущего распределения ζ = (x, y, z).
Покажем, что векторы в скобках последних выражений являются взаимовыгодными контрактами. Действительно, то что это контракты, проверяется непосредственно. Они являются (нестрого) взаимовыгодными контрактами, ибо при i < j по построению v ij (ζ)
имеем
∇ui (ζ), v ij (ζ) ≥ 0, ∇uj (ζ), −v ij (ζ) ≥ 0,
откуда, суммируя нужные неравенства, находим ∇ui (ζ), wi (ζ) ≥ 0, i = 1, 2, 3 и аналогичное для w (ζ). Более того, если в текущем распределении найдётся хотя бы одна пара
индивидов, чьи градиенты неколлинеарны, то все эти неравенства будут строгими, т. е.
это будут действительно взаимовыгодные контракты.
Наконец, если нужным образом подобрать значение параметра β, то, меняя с его помощью
длину вектора, задающего в нашем правиле “направление” обмена (меновые пропорции),
можно получить возрастание полезности индивидов в результате реализации контракта
w(ζ), т. е., сделать так, чтобы в нужной области было выполнено
u1 (x + w1 (x, y, z)) > u1 (x), u2 (y + w2 (x, y, z)) > u2 (y), u3 (z + w3 (x, y, z)) > u3 (z). (10.1)
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
81
Опишем далее метод нахождения параметра β для w (ζ) (для w (ζ) применяется подобный
метод). Положим
1
β(ζ) = min{b1 , b2 , b3 },
2
где, в свою очередь, bi = min{step, ci }, i = 1, 2, 3, а ci найдены из условий:
i = 1, тогда c1 это решение уравнения u1 (x + c1 (v 12 (x, y) + v
разрешимо; иначе c1 = +∞.
13 (x,z)
i = 2, тогда c2 это решение уравнения u2 (y+c2 (−v 12 (x, y)+ v
разрешимо; иначе c2 = +∞.
i = 3, тогда c3 это решение уравнения u3 (z + c3 ( −v
разрешимо; иначе c3 = +∞.
20
)) = u1 (x), если уравнение
23 (y,z)
20
13 (x,z)−v 23 (y,z)
20
)) = u2 (y), если уравнение
)) = u3 (z), если уравнение
Легко видеть, что переменные bi (ζ) > 0 корректно определены и являются непрерывными функциями аргумента (формально нужно применить теорему о неявной функции и
воспользоваться строгой вогнутостью полезностей). Следовательно, β(ζ) > 0 и является
непрерывной функцией. Из построения также ясно, что выполнено требование (10.1), что
заканчивает описание правила торговли. В заключении отметим, что программный параметр step > 0, фигурирующий в построении bi (ζ), используется не только для задания
нужной величины (с этой целью можно было бы взять любое положительное число), но
и регулирует “длину продвижения” траектории вдоль вектора, определяющего пропорции обмена. Тем самым, по мере уменьшения параметра step > 0, описанный дискретный
процесс всё лучше и лучше аппроксимирует теоретический непрерывный процесс.
Для данного примера построенная программой договорная траектория не сходится к
равновесию. Это видно из следующего рис. 13, на котором нанесены точки ζ (n) =
(x(n) , y (n) , z (n) ) правильно-договорной траектории. Любопытно отметить, что если применить любое из правил w (ζ), w (ζ), как заданное на всём множестве допустимых распределений A(X), то в рассмотренной экономике правильно-договорной UB-процесс является
сходящимся в компьютерном смысле...
11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе представлены результаты следующих исследований:
1. Изложен развёрнутый обзор литературы, связанной с процессами, приводящими экономическую систему к равновесию. Конкретно, описывались и обсуждались достоинства
и недостатки следующих процессов:
a)
Вальрасовские процессы нащупывания равновесных цен типа tˆatonnement.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
82
Рис. 13. Динамика правильно-договорного процесса с кусочно-непрерывным правилом торговли в 3 × 2
экономике.
b)
Процессы изменения цен, использующие матрицу Якоби функции избыточного
спроса.
c)
Неравновесные модели процесса торговли.
d)
Процессы Эджворта.
e)
Стратегический подход.
Общий объём цитированной здесь литературы составил около 30 наименований.
2. Подробно описаны договорные процессы и, в первую очередь, правильно-договорные —
это процессы, в которых допускается частичный разрыв договоров. С этой целью были
сформулированы основополагающие гипотезы, определяющие характер процесса разрыва
договоров в общем виде и в важнейших частных случаях, это:
(IB) — мгновенный разрыв договоров;
(UB) — равномерный разрыв всех договоров;
(CUB) — равномерный разрыв внутрикоалиционных договоров.
Комбинации этих гипотез приводят к правильно-договорным траекториям разного вида
общности. При (IB) и (UB) получается агрегированная договорная траектория, при
(IB) и (CUB) — коалиционно-договорная; даны формальные и математически обоснованные определения. По мнению автора, коалиционно-договорная траектория должна
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
83
служить центральной концепцией в дальнейших исследованиях. Кроме того, был описан
специфический процесс, отвечающий случаю парных сделок и одновременному разрыву
договоров не только в активных, но и в пассивных коалициях. Наконец, было введено
понятие правила торговли, как отображения, однозначно определяющее взаимовыгодный контракт для текущих потребительских планов, и описаны другие его свойства.
При использовании правила торговли договорная траектория каждого из упомянутых
видов является однозначно определённой. Выделен особый тип доброжелательного
(беневолентного) правила торговли как правила, приводящего в договорном процессе
к разрыву договоров только если у индивидов нет никакой возможности заключить
новый контракт не влекущий разрыва заключённых ранее. Именно для этого класса доброжелательных процессов были получены основные позитивные результаты о сходимости.
3. Для рассмотренных видов правильно-договорных траекторий был предложен некоторый вариант параллельно идущего ценового процесса. Содержательно, в этом процессе
текущие цены находятся как усреднённый (в специфическом смысле) вектор пропорций
обмена по всем сделкам, реально осуществляемым на текущий момент.
4. Проведённый анализ сходимости договорных траекторий дал следующие результаты:
a)
В экономике с 2 индивидами и 2 продуктами при достаточно общих предположениях для любого непрерывного правила торговли доказана сходимость правильнодоговорных процессов к равновесию, а также проведён анализ и сформулирован
критерий локальной устойчивости равновесия относительно договорных процессов.
b)
Доказана сходимость к равновесию невырожденных доброжелательных UBпроцессов при достаточно общих предположениях. Для процессов это типа был проведён анализ локальной устойчивости равновесия; однако соответствующая теорема
доказана только для модели с двумя индивидами, но при любом числе продуктов.
с)
Предложен ряд иллюстративных примеров, демонстрирующих сходимость или зацикливание договорных процессов разного типа. Наибольший теоретический интерес
представляют: пример экономики с 4 агентами и 2 продуктами, демонстрирующий
возможное зацикливание коалиционно-договорных траекторий и пример экономики
с 3 агентами и 2 продуктами и с кусочно-непрерывным правилом торговли (нарушено
одно из необходимых свойств b)), в котором UB-процесс зацикливается.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
84
ПРИЛОЖЕНИЯ
П1. Список обозначений и специальных символов
Пусть C подмножество топологического векторного пространства, тогда:
int C внутренность C,
ri C (relative interior) обозначает внутренность C относительно аффинной оболочки этого
множества aff C,
co C выпуклая оболочка,
cl C замыкание множества C.
E = Rl это l-мерное пространство продуктов.
I = {1, . . . , n} множество номеров агентов экономики.
L = E n = E I пространство распределений.
Lc = {(v1 , . . . , vn ) ∈ E I |
I
vi = 0} пространство контрактов.
Xi = E+ = Rl+ потребительское множество агента i ∈ I.
X=
i∈I
Xi .
ωi ∈ Xi вектор начальных запасов i-го агента.
ω = (ωi )i∈I ∈ X вектор начальных запасов всех агентов экономики.
ui : Xi → R функция полезности агента i.
A(X) = {x = (xi )i∈I ∈ X |
i∈I
xi =
i∈I
ωi } множество достижимых распределений.
{xi ∈ Xi | ∇ui (xi ), xi − ωi = 0} максимальная поверхность агента i ∈ I.
hi (xi ) = ∇ui (xi ) + ∇2 ui (xi )(xi − ωi ) вектор нормали к касательной гиперплоскости к максимальной поверхности i-го агента в точке xi ∈ Xi .
I a (x) = {i ∈ I | ∇ui (xi ), xi − ωi = 0} множество активных индивидов в точке x ∈ A(X).
W f r (x) = {w ∈ Lc | ∇ui (xi ), wi > 0, ∀ i ∈ I & hi , wi > 0, ∀ i ∈ I a (x)} множество
(возможно пустое) взаимовыгодных контрактов, заключение которых не влечёт разрыва
валового контракта x − ω.
П2. Доказательства
Доказательство леммы 7.1. Итак, пусть истинна альтернатива (i) и пусть, начиная с
момента τ ≥ 0, только 1-й индивид может быть активен, а второй пассивен для всех
t ≥ τ . Далее, пусть x˜1 (потребление 1-го) любая предельная точка траектории. Положим
x˜2 = ω1 + ω2 − x˜1 и покажем, что распределение (˜
x1 , x˜2 ) оптимально по Парето. Пред-
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
85
полагая противное, по определению правила торговли заключаем ∇u1 (˜
x1 ), v1 (˜
x1 ) > 0 и
по непрерывности это свойство должно быть выполнено в некоторой окрестности точки
x˜1 , т. е.
∃ ε>0:
∇u1 (x1 ), v1 (x1 ) > 0, ∀ x1 ∈ B2ε (˜
x1 ),
где B2ε (˜
x1 ) замкнутый шар радиуса 2ε с центром в точке x˜1 . Из компактности шара и по
непрерывности это эквивалентно
∃ ε > 0, δ > 0 :
∇u1 (x1 ), v1 (x1 ) > δ, ∀ x1 ∈ B2ε (˜
x1 ).
(11.1)
Отсюда видно, что к противоречию можно прийти, если показать, что траектория находится бесконечное время (по мере) внутри шара.
Действительно, в силу пассивности 2-го агента (почти всюду) и монотонного роста полезности 1-го индивида вдоль траектории (начиная с момента τ ), имеет место оценка:
t
u1 (x1 (t)) − u1 (x1 (τ )) =
τ
du1 (x1 (ζ))
dζ =
dζ
t
τ
∇u1 (x1 (ζ)), x˙ 1 (ζ) dζ ≥
t
≥
τ
∇u1 (x1 (ζ)), v1 (x1 (ζ)) dζ ≥
[τ,t]∩Ω
∇u1 (x1 (ζ)), v1 (x1 (ζ)) dζ ≥ δ · µ([τ, t] ∩ Ω),
где Ω ⊂ [τ, +∞] это множество тех моментов времени, когда траектория x1 (ζ) находится
внутри шара B2ε (˜
x1 ), а µ([τ, t] ∩ Ω) — мера Лебега множества [τ, t] ∩ Ω. При µ(Ω) = +∞
имеем µ([τ, t] ∩ Ω) → +∞ при t → +∞. Тогда, в силу последней оценки, должно быть
u1 (x1 (t)) → +∞, что невозможно по соображениям компактности множества всех распределений и непрерывности функции полезности.
Покажем, что µ(Ω) = +∞. Это очевидно, если начиная с некоторого момента t ≥ τ
траектория полностью находится в шаре. В противном случае найдётся счётное множество
моментов tk , tk , k = 1, 2 . . . таких, что x1 (tk ) − x˜1 < ε и tk > tk ближайший после tk
момент времени выхода траектории за пределы шара, т. е.
x1 (tk ) − x˜1 = 2ε &
x1 (ζ) − x˜1 < 2ε, ∀ ζ ∈ [tk , tk ).
Однако в таком случае мы имеем оценку:
ε ≤ x1 (tk ) − x1 (tk ) =
tk
tk
x˙ 1 (ζ)dζ ≤
tk
tk
x˙ 1 (ζ) dζ ≤ c
tk
tk
dζ = c(tk − tk ),
где c > 0 верхняя граница значения нормы правой части закона (4.8), т. е. величина,
удовлетворяющая
c ≥ λmin (x, v1 )(x1 − ω1 ) + v1 (x1 ) , ∀ x1 ∈ B2ε (˜
x1 ).
Из сделанных предположений и по соображениям компактности и непрерывности нужных
объектов несложно показать, что правая часть этого неравенства ограничена и, следовательно, такой c > 0 существует. В итоге мы получили оценку
ε
(tk − tk ) ≥ > 0, ∀ k = 1, 2, . . .
c
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
86
Более того, по построению интервалы [tk , tk ] попарно не пересекаются и [tk , tk ] ⊂ Ω,
∀ k = 1, 2, . . . Следовательно, µ(Ω) = +∞. Таким образом, мы получили противоречие,
что и доказывает Парето оптимальность нужного распределения.
Чтобы установить вторую часть леммы, напомним, что каждое распределение из внутренности произведения потребительских множеств, которое оптимально по Парето и является
устойчивым относительно частичного разрыва валового контракта, является равновесием,
см. теорему 2.2 из Маракулин (2003).
Доказательство леммы 7.2. Пусть τ некоторый момент активности первого агента. Определим далее момент активности 1-го индивида τ11 ≥ τ такой, что до первого момента активности 2-го τ > t в интервале (τ11 , τ ) оба агента пассивны. Момент τ11 это последний
момент активности 1-го в интервале [τ , τ ). Аналогично, для 2-го агента найдём момент τ12
как последний момент активности 2-го до ближайшего момента τ > τ активности 1-го.
По соображениям непрерывности и компактности нужных объектов, указанные моменты
времени существуют. Например, τ и τ11 можно найти по формулам
τ = min{t ∈ [τ , +∞) | ∇u2 (x2 (t)), x2 (t) − ω2 = 0},
τ11 = max{t ∈ [τ , τ ] | ∇u1 (x1 (t)), x1 (t) − ω1 = 0}.
Далее, принимая точку τ в качестве “начальной” (т. е. вместо τ ) в описанной процедуре,
можно найти моменты τ21 и τ22 соответственно. Покажем, что построенные таким образом фрагменты нужных последовательностей удовлетворяют условию (7.1). С этой целью
прежде всего лучше поймём геометрию движения точки траектории и выявим некоторые
особенности этого движения.
Действительно, по построению в интервалах [τ11 , τ ] и [τ12 , τ21 ] полезность 1-го индивида возрастает — это следует из того, что в договорном процессе заключаются только
взаимовыгодные контракты, а также из того, что в указанных интервалах 2-й индивид
пассивен. Нужно показать, что для точек t из интервала [τ , τ12 ] выполнено неравенство
u1 (x1 (t)) > u1 (x1 (τ11 )). Сделаем это.
Рассмотрим момент τ . По построению должны выполняться соотношения
∇u1 (x1 (τ )), v1 (x1 (τ )) > 0,
∇u2 (x2 (τ )), v1 (x1 (τ )) < 0,
∇u2 (x2 (τ )), x1 (τ ) − ω1 = 0.
Кроме того, если для h2 (x2 (τ )) = ∇u2 (x2 (τ )) − ∇2 u2 (x2 (τ ))(x1 (τ ) − ω1 ) выполнено37
h2 (x2 (τ )), v1 (x1 (τ )) < 0,
то условие разрыва договоров (4.5) нарушается, и это будет означать, что траектория “коснулась” максимальной поверхности в точке x1 (τ ), но затем “покинула” её. Следовательно,
37
Напомним, что x2 (τ ) − ω2 = −(x1 (τ ) − ω1 ) и v2 (x2 (τ )) = −v1 (x1 (τ )).
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
87
в окрестности момента τ разрыва договоров не происходит и, тем самым, полезности обоих индивидов локально возрастают. Разрыв договоров может произойти только если
h2 (x2 (τ )), v1 (x1 (τ )) ≥ 0,
причём для малых ∆t > 0 в точках τ + ∆t это неравенство должно быть строгим. Таким образом, после “прохождения” точки x1 (τ ), траектория x1 (t) какое-то ненулевое время будет двигаться в рамках ε-расширения конуса с вершиной в точке x1 (τ ), заданного
неравенствами:
h2 (x2 (τ )), x1 ≥ h2 (x2 (τ )), x1 (τ ) ,
∇u2 (x2 (τ )), x1 ≤ ∇u2 (x2 (τ )), x1 (τ ) = ∇u2 (x2 (τ )), ω1 .
Точнее, в силу h2 (x2 (t)), x˙ 2 (t) = 0, см. (4.2), предельное изменение траектории будет
происходить вдоль соответствующего ребра этого конуса, см. рис. 5.
Далее, в интервале [τ11 , τ ] на плоскости траектория x1 (t) описывает непрерывную кривую
с концами x1 (τ11 ) и x1 (τ ), причём при t ∈ (τ11 , τ ) точки x1 (t) расположены строго “ниже”
точек на максимальной поверхности на луче, выходящем из ω1 и проходящем через точку
x1 (t), так как ∇ui (xi (t)), xi (t) − ωi > 0, i = 1, 2. Кроме того, при t < τ близких к τ
должно быть
∇u2 (x2 (τ )), x1 (τ ) < ∇u2 (x2 (τ )), x1 (t) ⇐⇒ ∇u2 (x2 (τ )),
x1 (t) − x1 (τ )
> 0,
τ −t
1 (τ )
ибо v2 (x1 (τ )) = −v1 (x1 (τ )) ≈ x1 (t)−x
. Таким образом, найдётся такой момент t < τ ,
τ −t
что x1 (t ) − ω1 = γ(x1 (τ ) − ω1 ) при некотором 0 < γ < 1 и при этом все точки траектории
в интервале t ∈ [τ11 , t ] удовлетворяют ∇u2 (x2 (τ )), x1 (t) < ∇u2 (x2 (τ )), ω1 . Такому же
неравенству удовлетворяют точки траектории x1 (t) при t ∈ [τ , τ12 ], что следует из взаимовыгодности заключаемых контрактов и пассивности 1-го индивида на данном временном
отрезке.
Далее мы переходим к завершающей стадии доказательства. Предположим, что при некотором t ∈ [τ , τ12 ] выполнено неравенство u1 (x1 (t)) ≤ u1 (x1 (τ11 )). Из соображений непрерывности и вышеприведённых рассуждений следует, что тогда найдутся такие моменты
t < τ и τ < t ≤ τ12 , что x1 (t ) = x1 (t ). Рассмотрим первый из возможных моментов этого вида (надо взять минимальный t с данным свойством). При t > τ11 получаем
противоречие, ибо тогда траектория, двигаясь по циклу (в силу автономности закона изменения), никогда не достигнет точки на 1-й максимальной поверхности, что однако должно
произойти в момент τ21 > t . Следовательно, должно быть t = τ11 . Однако x1 (τ11 ) это точка
на максимальной поверхности 1-го агента, в которой 2-й агент пассивен. Значит, найдётся
такая окрестность точки x1 (τ11 ), что полезность 1-го агента будет строго возрастать вдоль
любой траектории, стартующей из любой точки из этой окрестности. Следовательно, для
всех достаточно малых ε > 0 должно быть u1 (x1 (t − ε)) < u1 (x1 (t )). Более того, при
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
88
некотором ε > 0 никакая точка x1 (t), t ∈ (t − ε, t ) не может находиться на максимальной поверхности 2-го индивида (иначе в точке x1 (t ) = x(τ11 ) активны оба индивида, что
возможно только в равновесии, откуда траектория не может выйти). Следовательно, последний момент схода траектории с максимальной поверхности 2-го, по определению это
τ12 , должен состояться раньше момента t , ибо точка x1 (t ) = x1 (t ) = x(τ11 ) находится
на максимальной поверхности 1-го индивида. Таким образом, t > τ12 , что невозможно.
Полученные противоречия завершают доказательство леммы 7.2.
Доказательство утверждения 8.1. Пусть Vx¯ это окрестность равновесной точки x¯ =
(¯
x1 , x¯2 ), существование которой постулируется в условиях утверждения 8.1. Рассмотрим
вектор-функцию f : Vx¯ → R2 , где
fi (yi ) = min{ui (yi ), ui (¯
xi )}, i = 1, 2.
Покажем, что эта функция (нестрого) монотонно возрастает вдоль доброжелательнодоговорной траектории.
Действительно, для x(t) ∈ Vx¯ либо I a (x(t)) = ∅, но тогда в точке x(t) осуществляется взаимовыгодный обмен без разрыва договоров и монотонность очевидна, либо I a (x(t)) = ∅.
В последнем случае, если W f r (x(t)) = ∅, то монотонность следует из (8.2), в противном случае W f r (x(t)) = ∅ и можно воспользоваться условием (8.3). Далее заметим, что
(u1 (x1 (t)), u2 (x2 (t))) < (u1 (¯
x1 ), u2 (¯
x2 )) невозможно, ибо иначе равновесие x¯ доминирует
x = x(t) по Парето и W f r (x(t)) = ∅. Следовательно, так как в силу (8.3) для активного
индивида uj (xj (t)) ≤ uj (¯
xj ), j ∈ I a (x(t)), то должно быть ui (xi (t)) > ui (¯
xi ) для i = j.
Однако тогда по определению fi (xi (t )) = fi (¯
xi ) для всех t ≥ t достаточно близких к t.
Из активности индивида j также следует, что функция fj (xj (t )) локально возрастает при
t ≥ t.
Далее, в силу строгой вогнутости функций полезности и из оптимальности по Парето
равновесных распределений, несложно доказать, что множества вида
Vx¯ε = {y ∈ A(X) | f1 (y1 ) ≥ f1 (¯
x1 ) − ε & f2 (y2 ) ≥ f2 (¯
x2 ) − ε}, ε > 0
образуют базу фильтра окрестностей точки x¯ в A(X)38 . Действительно, для этого достаточно заметить, что ∩ε>0 Vx¯ε = {¯
x}, что выполняется, поскольку в пересечение могут
попасть только оптимальные по Парето распределения, но при строго вогнутых полезностях не может быть двух разных распределений оптимальных по Парето и, одновременно,
имеющих одинаковый набор полезностей. Выбирая теперь ε > 0 из условия Vx¯ε ⊂ Vx¯ и принимая Vx¯ε в качестве окрестности для начальных данных, мы убеждаемся в истинности
первого из условий локальной стабильности (см. выше), ибо траектория, попав однажды
38
Это означает, что все множества этого вида являются окрестностями и что в каждую окрестность
можно включить множество этого вида.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
89
в эту окрестность, никогда не сможет её покинуть (в силу монотонности f вдоль траектории).
Далее, монотонность f вдоль траектории и ограничение f (x(t)) ≤ f (¯
x) позволяют рассматривать f как вектор-функцию Ляпунова. Осталось показать, что limt→∞ x(t) = x¯.
Сделаем это. Пусть x˜ любая предельная точка траектории x(t). Из монотонности f следует существование limt→∞ f (x(t)), причём limt→∞ f (x(t)) = f (˜
x) ≤ (u1 (¯
x1 ), u2 (¯
x2 )). Покажем, что последнее неравенство может быть выполнено только в форме равенства.
Сразу укажем, что случай f (˜
x)
(u1 (¯
x1 ), u2 (¯
x2 )) очевидно невозможен (по лемме 7.1
и замечанию 7.1). Значит, по крайней мере для одной из компонент имеет место равенство. Пусть, например, для 1-го агента для всех достаточно больших t будет выполнено:
∃ δ > 0: u1 (x1 (t)) < u1 (¯
x1 ) − δ. Но тогда из доброжелательности и (8.3) будет следовать,
что полезность этого агента монотонно возрастает для всех достаточно больших t. Более
того, несложно видеть, что при u2 (˜
x2 ) > u2 (¯
x2 ) мы попадаем в условия альтернативы
(i) из предыдущего параграфа, ибо только 1-й индивид может быть активен для больших t. Следовательно, в силу леммы 7.1 и замечания 7.1, распределение x˜ оптимально по
Парето. При этом, однако, x˜ должно быть устойчиво относительно частичного разрыва
агрегированного договора x˜ − ω. Значит, x˜ должно быть равновесным распределением из
окрестности Vx¯ε . Выбирая теперь ε > 0 так, чтобы в этой окрестности других равновесий кроме x¯ не было, и принимая эту окрестность в качестве окрестности для начальных
данных, заключаем x˜ = x¯.
Таким образом, доказано, что (u1 (˜
x1 ), u2 (˜
x2 )) ≥ (u1 (¯
x1 ), u2 (¯
x2 )). Но пять-таки, это означает, что x˜ оптимально по Парето и, значит, является равновесием. Следовательно, x˜ = x¯.
В итоге: мы нашли окрестность, такую, что любая траектория, заданная доброжелательным договорным процессом и проходящая через некоторую точку окрестности, имеет все
предельные точки равные x¯. Такая траектория сходится к x¯.
Доказательство леммы 9.3. Выберем сначала ε > 0 так, чтобы если для j ∈ I выполняется ∇uj (xj (τ )), xj (τ ) − ωj > 0, то и для всех t ∈ (τ, τ + ε) выполняется аналогичное
неравенство ∇uj (xj (t)), xj (t) − ωj > 0. Это возможно в силу непрерывной зависимости
траектории от времени и непрерывности всех участвующих в неравенстве функций.
Далее, пусть для некоторого j ∈ I, j = i выполняется ∇uj (xj (τ )), xj (τ )−ωj = 0, т. е. j это
другой, отличный от i, активный индивид в момент τ . Воспользовавшись определением
9.1, предположим, например, что имеет место
hj (xj (τ )), vj (xj (τ ))
hi (xi (τ )), vi (xi (τ ))
<
.
hi (xi (τ )), ωi − xi (τ )
hj (xj (τ )), ωj − xj (τ )
Из непрерывности функций, участвующих в неравенстве, можно найти окрестность точки
x(τ ) в A(X) и окрестность точки v(x(τ )) в пространстве контрактов Lc , такие, что выполнено аналогичное неравенство при условии замены x(τ ) и v(x(τ )) на любую из точек этих
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
90
окрестностей. Пусть δ > 0 такое, что
hi (xi ), wi
hj (xj , wj
<
, ∀ x ∈ Bδ (x(τ )) ∩ A(X), ∀ w ∈ Bδ (v(x(τ ))) ∩ Lc ,
hi (xi ), ωi − xi
hj (xj ), ωj − xj
где Bδ (y) обозначает шар радиуса δ > 0 с центром в точке y в соответствующем пространстве, а векторы hi (xi ), hj (xj ) формально заданы формулой (4.2) и вычислены в обозначенной точке пространства. Более того, без ограничения общности можно считать, что
все контракты из Bδ (v(x(τ ))) ∩ Lc являются взаимовыгодными в каждой из точек из
Bδ (x(τ )) ∩ A(X). Это с очевидностью следует из определения взаимовыгодного контракта и непрерывности всех функций, участвующих в требуемых неравенствах. Кроме того,
можно считать, что числитель и знаменатель в выражениях из последней формулы не
меняют знак в пределах выбранных окрестностей и все сказанное имеет место для любой
пары активных индивидов в момент τ . Наконец, уменьшая при необходимости, ε > 0 можно выбрать так, чтобы все точки x(t) при t ∈ (τ, τ + ε) находились в пределах выбранной
окрестности Bδ (x(τ )) точки x(τ ), т. е. за время, не превосходящее ε > 0, траектория не
покинет эту окрестность.
Установим далее истинность альтернативы (i). В условиях (i) нужно показать, что произвольным образом выбранная точка траектории x(t), t ∈ (τ, τ + ε) находится на максимальной поверхности индивида i, т. е. выполнено ∇ui (xi (t)), xi (t) − ωi = 0.
Предполагая ∇ui (xi (t)), xi (t) − ωi > 0, найдём максимум всех тех моментов t ∈ [τ, t), где
текущая точка траектории x(t ) находится на максимальной поверхности агента i. Так как
x(τ ) находится на максимальной поверхности агента i, этот максимум существует и, очевидно, что в этот момент точка траектории находится на максимальной поверхности. Обозначим этот максимум как s. Имеем ∇ui (xi (s)), xi (s)−ωi = 0 и ∇ui (xi (ζ)), xi (ζ)−ωi > 0
для всех ζ ∈ (s, t). В интервале (s, t) закон изменения траектории (4.8) по определению
задаётся контрактом v(x(ζ)) и (вообще говоря разрывной) функцией λmin (·), которая, в
условиях альтернативы (i), по выбору ε и в силу пассивности индивида i для всех ζ ∈ (s, t),
удовлетворяет
λmin (x(ζ), v(x(ζ))) > a > b >
hi (xi (ζ)), vi (x(ζ))
= gi (x(ζ)), v(x(ζ))
hi (xi (ζ)), ωi − xi (ζ)
(11.2)
при некоторых действительных a, b. Далее, вектор hi (xi ), фигурирующий в правой части
неравенства (11.2), задаётся формулой (4.2) и, тем самым, является градиентом функции
F (xi ) = ∇ui (xi ), xi − ωi , задающей максимальную поверхность уравнением F (xi ) = 0.
Мы имеем F (xi (s)) = 0, а значение F (xi (t)) можно найти по формуле
t
F (xi (t)) =
s
F (xi (ζ))
dζ =
dζ
t
s
∇xi F (xi (ζ)), x˙ i (ζ) dζ,
где, заметим, подынтегральная функция суммируемая (ибо x(·) абсолютно непрерывная
функция). Подставляя выражения подынтегральных функций (x˙ i (ζ) через закон траек-
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
91
тории), в силу (11.2) и hi (xi (ζ)), xi (ζ) − ωi < 0, ∀ ζ ∈ (s, t), получаем оценку
t
F (xi (t)) =
s
hi (xi (ζ)), λmin (ζ)(xi (ζ) − ωi ) + vi (xi (ζ)) dζ ≤
t
a
s
t
hi (xi (ζ)), (xi (ζ) − ωi ) dζ +
t
(a − b)
s
s
hi (xi (ζ)), vi (xi (ζ)) dζ ≤
t
hi (xi (ζ)), xi (ζ) − ωi dζ +
s
hi (xi (ζ)), gi (ζ)(xi (ζ) − ωi ) + vi (xi (ζ)) dζ =
t
(a − b)
s
hi (xi (ζ)), xi (ζ) − ωi dζ.
Последнее равенство в цепочке оценок истинно, так как второй интеграл (слагаемое) равен
нулю: по определению gi (ζ) = gi (x(ζ), v(x(ζ)) в (11.2) и в силу
hi ,
Так как
t
s
hi , vi
(xi − ωi ) + vi = 0, xi = ωi .
hi , ω i − xi
hi (xi (ζ)), xi (ζ) − ωi dζ < 0, то в итоге заключаем
F (xi (t)) = ∇ui (xi (t)), xi (t) − ωi < 0,
что противоречит исходной посылке. Таким образом, альтернатива (i) доказана.
В части доказательства альтернатив (ii) и (iii) отметим, что это делается по той же схеме,
что и изложенное выше. Отличие состоит в формулировке требования, подобного (11.2),
но записанного в отношении других параметров — только это важно для вывода ключевых оценок. Например, для доказательства альтернативы (ii), для активного в момент τ
индивида j = i на подходящем временном интервале нужно применить
λmin (x(ζ), v(x(ζ))) < a < b <
Лемма 9.3 доказана.
hj (xj (ζ)), vj (x(ζ))
= gj (x(ζ)), v(x(ζ)).
hj (xj (ζ)), ωj − xj (ζ)
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
92
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Козырев А. Н. (1982) Договорные и вполне договорные состояния в абстрактной экономике, Препринт
№ 7, 44 с. (Новосибирск: Институт математики СО АН СССР).
Козырев А. Н. (1981) Устойчивые системы договоров в экономике чистого обмена, Оптимизация 29 (44),
66–78 (Новосибирск: Изд. ИМ СО АН СССР).
Макаров В. Л. (1980) О понятии договора в абстрактной экономике, Оптимизация 24 (41), 5–17 (Новосибирск: Изд. ИМ СО АН).
Макаров В. Л. (1982) Экономическое равновесие: существование и экстремальные свойства, Итоги науки
и техники: Современные проблемы математики 19, 23–58 (Москва: ВИНИТИ АН СССР).
Маракулин В. М. (2003) Договоры и коалиционное доминирование в неполных рынках, Научный доклад
№ 02/04, 114 с. (Москва: Консорциум экономических исследований и образования).
Полтерович В. М. (1970) Математические модели перераспределения ресурсов, 107 с. (Москва: Центральный экономико–математический Институт).
Полтерович В. М., Спивак В. А. (1982) Отображения с валовой заменимостью в теории экономического
равновесия, Итоги науки и техники: Современные проблемы математики 19, 111–154 (Москва: ВИНИТИ АН СССР).
Филиппов А. Ф. (1985) Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (Москва: Наука, 224 с.).
Сирл С., Госман У. (1974) Матричная алгебра в экономике (Москва: Статистика, 374 с.).
Arrow K.J., Hahn F. (1991) General competitive analysis (Amsterdam: North-Holland, 452 p.).
Feldman A. M. (1973) Bilaterial trading processes, pairwise optimality, and Pareto optimality, Review of
Economomic Studies 40, 463–473.
Fisher F. M. (1983) Disequilibrium foundations of equilibrium economics (Cambridge/New York: Cambridge
University Press, 236 p.).
Gale D. (2000) Strategic foundations of general equilibrium — dynamical matching and bargaining games
(Cambrige: Cambrige University Press).
Graham D. A., Weintraub E. R. (1975) On convergence to Pareto allocations, Review of Economomic Studies
42, 469–472.
Graham D. A., Jennergren L. P., Peterson D. P., Weintraub E. R. (1976) Trader-commodity parity theorems,
Journal of Economic Theory 12, 443–454.
Green J. R. (1974) The stability of Edgeworth’s recontracting process, Econometrica 42, 21–34.
Greene W. H. (1993) Econometric analysis (New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1075 p.).
Hahn F. H. (1982) Stability, in: K. J. Arrow and M. D. Intriligator (eds.): „Handbook of Mathematical
Economics”, Vol. II, 745–794 (Amsterdam: North-Holland).
Hahn F. H., Negishi T. (1962) A Theorem on non-tˆatonnement stability, Econometrica 30, 463–469.
Hurwicz L., Radner R., Reiter S. (1975) A stochastic decentralized resource allocation process I and II,
Econometrica 43, 187–221, 363–393.
Jordan J. S (1983) Locally stable price mechanisms, Journal of Mathematical Economics 11, 235–259.
Kamiya K. (1990) A globally stable price adjustment process, Econometrica 58 (6), 1481–1485.
Консорциум экономических исследований и образования, Россия и СНГ
93
Kreps D. M. (1990) A course in Microeconomic Theory (New York/London/Toronto/ Sydney/Tokyo: Harvester
Wheatsheaf, 839 p.).
Kunimoto T., Serrano R. (2004) Bargaining and competition revisited, Journal of Economic Theory 115 (1),
78–88.
Madden P. (1975) Efficient sequences of non-monetary exchange, Review of Economomic Studies 42, 581–595.
Mas-Colell A., Whinston M. D., Green J. R. (1995) Microeconomic Theory (New York/Oxford: Oxford University
Press, 981 p.).
Mukherji A. (1974) The Edgeworth-Uzawa barter stabilizes prices, International Economic Review 15, 236–241.
Mukherji A. (1995) A locally stable adjustment process, Econometrica 63 (2), 441–448.
Mukherji A. (2003) Competitive equilibria: convergence, cycles or chaos, Discussion Paper No 591 (The Institute
of Social and Economic Research, Osaka University, Japan, 286 p.).
Negishi T. (1962) The stability of a competitive economy: A survey article, Econometrica 30, 635–669.
Penrose R. A. (1955) A general inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 51,
406–413.
Saari D. G., Simon C. T. (1978) Effective price mechanisms, Econometrica 46 (5), 1097–1125.
Samuelson P. A. (1941) The stability of equilibrium, Econometrica 9, 97–120.
Shaher W., Sonnenschein H. (1982) Market demand and exess demand functions, in: K.J. Arrow and M.D.
Intriligator (eds.): „Handbook of Mathematical Economics”, Vol. II, 671–693 (Amsterdam: North-Holland).
Smale S. (1976) A convergent process of price adjustments and global Newton Methods, Journal of Mathematical
Economics 3, 107–120.
Smale S. (1981) Global analysis and economics, in: K. J. Arrow and M. D. Intriligator (eds.): „Handbook of
Mathematical Economics”, Vol. I, Chapter 8 (Amsterdam: North-Holland).
Uzawa T. (1962) On the stability of Edgeworth’s barter process, International Economic Review 3, 218–232.
Документ
Категория
Типовые договоры
Просмотров
188
Размер файла
1 524 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа