close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теория вероятности в азартных играх

код для вставкиСкачать
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области общеобразовательная школа-интернат среднего (полного) общего
образования № 5 с углубленным изучением отдельных предметов «Образовательный центр
«Лидер» города Кинеля городского округа Кинель Самарской области
РЕФЕРАТ
по дисциплине: «Математика» на тему:
«Теория вероятности в азартных играх»
Выполнила: Качимова Юлия,
учащаяся 11 класса
ГБОУ СОШ № 5 «Образовательный центр
«Лидер» г.о. Кинель Самарской области
Руководитель: Маеренкова Вера
Васильевна,
учитель математики и информатики
КИНЕЛЬ 2012 г
Содержание:
1. Введение ....................................................................................................................... 3
1.1. Цель исследования: .................................................................................................. 4
1.2. Задачи исследования: ............................................................................................... 4
1.3. Методы исследования: ............................................................................................. 5
1.4. Актуальность проекта. ............................................................................................. 5
1.5. Гипотеза: ................................................................................................................... 5
1.6. Обоснование гипотезы............................................................................................. 5
2.Основная часть. ............................................................................................................ 7
2.1 Определение вероятности события. ........................................................................ 7
2.2. Вероятность при подбрасывании монетки (опытная часть). ............................. 10
2.3. Тактика игр. Справедливые и несправедливые игры. ........................................ 12
3. Что такое азартные игры .......................................................................................... 13
3.1. Игры со «сгорающими» очками ........................................................................... 13
3.2. Рулетка..................................................................................................................... 14
3.3. Американская рулетка. .......................................................................................... 14
3.4. Европейская рулетка (рулетка Монте – Карло) .................................................. 16
3.5. Игровые автоматы. ................................................................................................. 18
4. Заключение. ............................................................................................................... 21
Список литературы: ...................................................................................................... 22
Приложение №1: ........................................................................................................... 23
Приложение №2............................................................................................................. 24
2
1. Введение
Как удивительно многогранен и необычен окружающий мир! Вокруг всех
нас, населяющих этот мир, происходит очень много событий, исходы которых
предсказать заранее невозможно. Например, подбрасывая вверх монету, мы не
знаем, какой стороной она упадет. Стреляя однотипными снарядами без
изменения наводки орудия, в одну точку попасть невозможно. Производя
повторные высокоточные измерения, например, скорости света или очень
больших расстояний, обычно получают лишь приблизительно равные, но
разные результаты. Невозможно абсолютно точно предсказать как объемы
продаж товаров за фиксированный промежуток времени, так и сумму доходов,
получаемых от реализации последних.
Все эти эксперименты производятся в одинаковых условиях, а исходы их
различны и непредсказуемы. Такие эксперименты и исходы называются
случайными.
Примерами случайных событий являются: соотношение курсов валют;
доходность акций; цена реализованной продукции; стоимость выполнения
больших проектов; продолжительность жизни человека; броуновское движение
частиц, как результат их взаимных соударений и многое другое. Случайность и
потребность в консолидации усилий по борьбе со стихией (природы, рынка и
т.д.), точнее создание структур для возмещения неожиданного ущерба за счет
взносов всех участников, породила теорию и институты страхования. При этом
интуитивно ясно, что случайные явления, происходящие даже с однотипными
объектами, могут качественно отличаться друг от друга. Например,
продолжительности жизни в разных странах и в разные эпохи могут
принципиально отличаться друг от друга. Первобытные люди жили около 3040 лет, даже в России за последние годы она подвергается значительным
изменениям, то поднималась до 70 лет, затем начала значительно падать, более
того, она различается на 10-15 лет для мужчин и женщин. Суммы, выручаемые
от реализации товаров на рынке, во многом диктуются случаем – от
платежеспособного спроса населения до поведения конкурентов и умения
привлечь клиентов. Броуновское движение частиц также существенно
изменяется при изменении температуры (скоростей движения частиц),
плотности среды и возможных течений (регулярного сноса частиц в разных
направлениях и с различными скоростями).
Даже при первичном знакомстве со случайными явлениями мы видим,
что внешне схожие случайные процессы или события (продолжительности
жизни, броуновское движение частиц и т. д.) в разных условиях могут
качественно отличаться друг от друга, и нужно уметь формально описывать их
самих и их свойства. С этой целью описание событий или процессов всегда
начинают с построения математической модели.
Основным элементом этой модели являются неделимые исходы
экспериментов (или их части), называемые элементарными исходами. Все
вместе они объединяются в множество, называемое пространством
3
элементарных исходов. Часть подмножеств пространства элементарных
исходов называются событиями (иногда имеется возможность считать
событиями и все подмножества пространства элементарных исходов, но часто
это сделать в принципе невозможно) [5].
Построение пространства элементарных исходов и задание класса
событий всегда производит исследователь. Это пространство является моделью
эксперимента, и обычно эта модель лишь приближенно отражает истинные
процессы. Фиксация модели предопределяет ответ, следовательно,
окончательные выводы очень сильно зависят от выбора модели. Критерием
соответствия эксперимента и модели может быть только практика, т. е.
доверять модели можно только тогда, когда ранее в аналогичных ситуациях она
себя оправдывала, или на основе теории изучить свойства модели и проверить,
соответствуют ли они имеющемуся опыту. При этом нужно остерегаться
эмоционального восприятия итогов исследований Их необходимо сравнивать
только с достаточно большими массивами экспериментальных данных. Теория
вероятностей не берет на себя ответственность за выбор модели, но в ней
имеется широкий набор методов проверки соответствия экспериментальных
данных и теоретических, полученных расчетом в рамках выбранной модели.
Третьим определяющим элементом случайных экспериментов является
вероятность. Она определяется только для событий (а не любых подмножеств
пространства элементарных исходов) и является аналогом частоты появления
события при многократных испытаниях. Она не должна зависеть от исходов
конкретных экспериментов. Выбор вероятности также относится к построению
модели эксперимента и тоже всегда находится в руках исследователя. От этого
выбора тоже очень существенно зависят окончательные выводы.
1.1. Цель исследования:
Провести вероятностный анализ как современных, так и исторических
азартных игр, выбрать самые интересные из них, и доказать на их примере, что
используя формулу для нахождения математического ожидания, можно
предугадать результат большинства азартных игр.
1.2. Задачи исследования:
1. Изучить древние и современные азартные игры и рассмотреть методы их
исследования.
2. Проанализировать наиболее привлекательные азартные игры.
3. Создать программу для вычисления математического ожидания азартных
игр.
4. Создать мини-пособия, содержащие полезную информацию об азартных
играх.
4
1.3. Методы исследования:
 Обобщение
 Дедукция
 Аналогия
 Опрос
 Эксперимент
1.4. Актуальность проекта.
Моя тема актуальна, так как математика соприкасается с обыденной
жизнью гораздо более теснее, чем этому учат традиционно в школе. У. Уивер
пишет: «Теория вероятностей и статистика – две важные области, неразрывно
связанные с нашей повседневной деятельностью. Мир промышленности,
страховые компании в большей степени являются должниками вероятностных
законов. Сама физика имеет существенно вероятностную природу; такова же в
основе своей и биология. Между тем, несмотря на эту важность,
универсальный характер теории вероятностей и статистики всё ещё не стал
общепринятым. Азартные игры, выборные компании, страховые компании и т.
п. Как предсказать результат?.. Какую позицию выбрать?.. Для ответа на эти
вопросы я и решила заняться этим исследованием.
1.5. Гипотеза:
Большинство считают, что предугадать результат игры, в которой властвует
случай, невозможно. Это не так. Математическое ожидание выигрыша величина, которая поможет нам определить, справедлива ли та или иная игра, и
выгодно ли нам в неё играть.
Объектом моего исследования являются различные азартные игры, на
основе которых вводятся основные понятия теории вероятностей.
Предмет исследования: игры на определение вероятности события X:
старейшая из игр, распространённых в казино – рулетка, игра на игровом
автомате и многие другие игры.
Начиная исследование, я ставила для себя основную цель – провести
вероятностный анализ как современных, так и древних азартных игр, выбрать
самые интересные из них, и доказать на их примере, что используя формулу
для нахождения математического ожидания, можно предугадать результат
большинства азартных игр.
1.6. Обоснование гипотезы
В обоснование своей гипотезы о том, что многие считают, что результаты
игр, в которых властвует случай, предугадать невозможно, я привожу
результаты моего опроса среди одиннадцатиклассников на тему «Можно ли
предугадать результат игры, в которой властвует случай?».
Вот его результаты, представленные в виде диаграммы:
5
Количество человек и их доля от
опрошенных
56; 64%
"Можно"
"Нельзя"
23; 26%
9; 10%
Затруднились
ответить
Как видно, это подтверждает мою гипотезу о неверном представлении
учащихся о возможностях теории вероятности.
Для выполнения поставленных задач я пользовалась такими методами
исследования, как сравнение, индукция, дедукция, аналогия, эксперимент и
опрос.
Ещё в 7 классе, когда у нас были уроки комбинаторики, и мы изучали
основы статистики, я заинтересовалась этой наукой, и решила узнать о ней
побольше. Я прочитала несколько книг и узнала очень много нового, например,
что существует такая величина, которая помогает нам предугадать исход того
или иного события. Мне захотелось связать эту величину с азартными играми –
играми, в которых властвует случай и попробовать выяснить, выгодно ли
играть в некоторые из них, и есть ли какая – либо стратегия, придерживаясь
которой можно выигрывать и тем самым зарабатывать деньги?
Для этого я сначала изучила историю возникновения старинных азартных
игр. Работая с литературой этнографического характера, я пользовалась таким
методом исследования, как обобщение. Некоторые факты я уточняла у
учителей истории и мировой художественной культуры.
Затем я изучила методы исследования азартных игр. Первый метод –
определение вероятности выигрыша по классической формуле статистики
P(A)=m/n, где необходимо разделить число благоприятных исходов на общее
число исходов [1]. Этот метод довольно – таки прост и универсален, и это
является его большим плюсом, используя его не нужно ломать голову над
сложными формулами. Однако у него есть существенный недостаток, который
перекрывает все плюсы: при исследовании игры не учитывается сумма очков,
баллов, или денег, которые можно выиграть. Именно поэтому я отбросила
идею исследования игр с помощью этого метода. Второй изученный мною
метод – определение математического ожидания азартной игры. Чтобы
6
вычислить математическое ожидание, нужно сложить все произведения
вероятностей выпадения каждой комбинации и суммы очков, им
соответствующие. Главный недостаток этого способа – сложность вычислений.
Пользуясь этим методом, приходится работать со сложными дробными
числами.
Итак, метод математического ожидания является основным в моей
работе. С его помощью я исследовала около 10 азартных игр, однако
наибольший интерес, как самые популярные и распространённые, у меня
вызвали две игры: рулетка и игровой автомат. Я исследовала их и выяснила,
что ни одна, ни другая для игрока не выгодна. В рулетке существуют ставки, на
которые целесообразнее ставить, чтобы меньше проиграть, так как
математическое ожидание при единичной ставке у них больше, чем у
остальных. Так, в европейской рулетке наиболее выгодно ставить на 18 чисел в
казино, которые придерживаются правила «La Partage». Математическое
ожидание в этом случае составляет - 0,0135. В американской рулетке
математическое ожидание для всех ставок одинаково и равно - 0,0526, однако
среднеквадратическое отклонение для ставки на 18 чисел наименьшее, поэтому
и в американской рулетке она является самой выгодной ставкой.
С игровым автоматом дело обстоит немного иначе. Бесспорно, ни один
такой автомат не является выигрышным, так как я исследовала около 5 таких
машин, и математическое ожидание колеблется от 4,321 до 4,625 рублей при
стоимости игры в 5 рублей. Причина в отличии проста: у разных игровых
автоматов различная таблица выигрышей. Но всегда человек останется в
проигрыше. (Решение всех задач подробно описано в моей работе).
Также я провела собственное исследование по подбрасыванию монеты:
за 3 месяца 2010 года я подбросила монету достоинством 1 рубль 1200 раз.
Результаты этого эксперимента, оформленные в виде графика и диаграммы,
представлены в работе.
В обоснование первой части гипотезы о том, что большинство считают,
что предугадать результат игры, в которой властвует случай, невозможно, я
привожу результаты моего опроса среди девятиклассников на тему «Можно ли
предугадать результат игры, в которой властвует случай?». Так, 56 человек (64
процента) считают, что нельзя, и лишь 23 человека (23 процента) считают, что
можно. Это подтверждает часть моей гипотезы. Доказательством второй части
моей гипотезы является почти вся остальная часть моей работы, посвященная
исследованию азартных игр с помощью метода математического ожидания.
2.Основная часть.
2.1 Определение вероятности события.
Встречаясь в жизни с различными событиями, мы часто даём оценку
степени их достоверности. При этом произносим, например, такие слова:
«Это невозможно!» - говорим о невозможном событии, например о том, что
вода в холодильнике закипела.
7
«Маловероятно, что сегодня будет дождь», говорим, глядя на безоблачное
небо летним утром.
«Наверняка это случится!», «Я уверен, что произойдёт!» - говорим,
например, о предполагаемой двойке за контрольную работу, если изучаемая
тема не была усвоена.
«Шансы равны», «Один к одному» или «Шансы пятьдесят на пятьдесят» говорим о возможности победы в соревнования двух одинаково
подготовленных спортсменов или когда делаем ставку на орла или решку при
подбрасывании монеты.
Введем теперь понятия достоверного и невозможного события.
Пусть С – событие, состоящее в том, что при бросании игрального кубика
выпадет менее 7 очков. Так каждый из исходов 1, 2, 3, 4, 5, 6 является
благоприятным для события С, то вероятность наступления события С равна:
Р(С)=6/6=1.
Событие, которое происходит всегда, сколько бы раз ни повторялось
испытание, называется достоверным событием. Вероятность достоверного
события равна 1.
Обозначим буквой F событие, означающее, что при бросании игрального
кубика выпадет 7 очков. Очевидно, что это событие произойти не может. Число
благоприятных для него исходов равна нулю, т. е. Р(F)=0/6=0. Такие события
называют невозможными событиями.
Пусть некоторое испытание имеет n равновозможных исходов, из
которых m исходов благоприятны для события А. Тогда P(A)=m/n. Так как m
меньше или равно n, то m/n  1, т. е. Р(А)  1. С другой стороны, всегда Р(А  0.
Следовательно, 0  Р(А)  1.
С чего же начиналась теория вероятностей?
Изучением случайных событий занимается теория вероятностей. Как наука,
она зародилась в середине 17 века, в романтическое время королей и
мушкетеров, прекрасных дам и благородных рыцарей. Вероятностные
закономерности впервые были обнаружены в азартных играх, таких, как карты
и кости, когда начали применять в них количественные подсчеты и
прогнозирование шансов на успех [5].
Вопрос о возможности измерения степени достоверности наступления какого либо события задавали себе ещё в XVII в. Французские учёные Блез Паскаль
(1623-1662) и Пьер Ферма (1601-1665). Наблюдая за игрой в кости, Паскаль
высказал идею измерения степени уверенности в выигрыше (шансы выигрыша)
некоторым числом.
8
Рис. 1
Действительно, рассуждал Паскаль, когда игрок бросает игральную кость,
он не знает, какое число очков выпадет. Но он знает, что каждое из чисел 1, 2,
3, 4, 5 и 6 имеет одинаковую долю успеха (равные шансы) в своём появлении.
Игрок также знает, что появление одного из этих чисел в каждом испытании
(броске) – событие достоверное. Если принять возможность наступления
достоверного события за 1, то возможность появления, например, шестёрки
(равно как и любого числа очков) в шесть раз меньше, т. е. равна
1
.
6
Рассмотрим также известную задачу Даламбера (1717 – 1783): «Найти
вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих монетах
выпадут решки» [3].
При бросании монет равновозможными являются следующие исходы: (o;o),
(o;p), (p;p), (p;o), где в каждой паре на первом месте записан результат
бросания первой монеты, а на втором – результат бросания второй монеты,
причем выпадение орла обозначено буквой o, а выпадение решки – буквой p.
Благоприятным для события А, состоящего в том что оба раза выпадут
решки, является один исход. Значит, p(А)=1/4.
Долю успеха того или иного события математики стали называть
вероятностью этого события и обозначать буквой P (по первой букве
латинского слова probabilitas – вероятность).
Если буквой А обозначить событие «выпало 6 очков» при одном бросании
игральной кости, то вероятность события А обозначают Р(А) и
записывают Р ( А ) 
1
6
(читается «Вероятность события А равна одной шестой»).
Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для
него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов. Это
определение называют классическим определением вероятности.
Введём некоторые понятий теории вероятности, которые просто
необходимо знать, чтобы хорошо разбираться в моей теме [2]:
Испытание – любой эксперимент
Единичное испытание – это испытание, в котором совершается одно
действие с одним предметом (например, один раз подбрасывают монету или
извлекают один шар из урны)
Исходы испытаний – результаты испытания (например, при подбрасывании
монеты выпал «орёл или из урны извлекли чёрный шар).
Случайные исходы испытания – результаты испытания, которые нельзя
заранее предсказать, поскольку они могут быть разными и определяются
случайным стечением обстоятельств в ходе испытания.
Множество исходов испытаний – множество всех возможных случайных
исходов испытания.
9
Граф – это множество вершин и рёбер, которые соединяют не более двух
вершин. В вершинах графа указываем исходы испытания, а рёбра соединяют
возможные последовательные исходы испытания.
(Чтобы решить многие задачи, необходимо построить граф распределения
случайной величины X. Его используют, чтобы не запутаться в
последовательностях и не пропустить ни одной и них.)
2.2. Вероятность при подбрасывании монетки (опытная часть).
Что означает на практике, если вероятность рассмотренного события В равна
1/3? Разумеется, это не означает, что при шести бросках число очков, кратное 3,
выпадет ровно два раза. Возможно, что оно выпадет один раз, три раза или не
выпадет совсем. Однако если провести большое число испытаний, то
относительная частота появления события В будет мало отличаться от 1/3.
Вообще, при увеличении числа испытаний относительная частота появления
случайного события приближается к его вероятности.
Для начала, чтобы каждый понял, как находить вероятность, я представлю
несложную задачу с решением и пояснениями:
Задача: Поверхность рулетки (ёё вид сверху изображён на рисунке) разделена
на 8 равных частей. Необходимо найти вероятность того, что раскрученная
стрелка рулетки остановится на секторе 7.
Рис. 2
Решение: так как площади секторов поверхности рулетки одинаковы, то в
одном испытании с раскручиванием стрелки участвуют 8 равновозможных
события (исхода испытания): она остановится:
1. на секторе 1
2. на секторе 2
3. на секторе 3
4. на секторе 4
5. на секторе 5
6. на секторе 6
7. на секторе 7
8. на секторе 8.
10
Достоверное событие – «стрелка остановится на каком- либо из секторов».
Вероятность наступления равна 1, а вероятность события А «стрелка
остановится на секторе 7», в 8 раз меньше, т. е.
Р ( А) 
1
.
8
В ходе статистических исследований установлено, что при многократном
повторении опытов или наблюдений в одних и тех же условиях относительная
частота появлений ожидаемого события остается примерно одинаковой,
незначительно отличаясь от некоторого числа p. Например, при бросании
монеты она может упасть кверху орлом или решкой. Если монета однородна и
имеет правильную геометрическую форму, то шансы выпадения орла или
решки одинаковы. При небольшом числе испытаний выпадение орла может,
например, произойти чаще, чем решки. Однако если эти испытания проводятся
достаточно большое число раз, то относительная частота выпадения орла
близка к относительной частоте выпадения решки.
Многие исследователи проводили испытания с бросанием монеты и
вычисляли относительную частоту выпадения орла. В таблице указано число
бросков монеты в проводимых ими испытаниях и относительные частоты
выпадения орла.
Число бросков
4040
4092
10000
20480
24000
Относит-я частота выпадения орла
0,5070
0,5005
0,4979
0,5068
0,5005
80640
0,4923
Таблица 1
Из таблицы видно, что относительная частота выпадения орла
незначительно отличается от 1/2.
Я тоже провела подобный опыт. График, на котором показано, сколько раз
выпадали орёл и решка в каждый из месяцев, изображён в приложении к моей
работе (приложение № 1)
Число бросков
250
500
Относительная частота
выпадения орла
0,5111
0,5062
700
0,5071
1000
0,5048
11
1200
0,5047
Таблица 2
Вообще, результаты наблюдений и опытов показывают, что при большом числе
некоторых испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, относительная
частота принимает достаточно устойчивое значение. Это значение, около
которого группируются наблюдаемые значения относительной частоты,
принимается за вероятность случайного события. Такое определение называют
статистическим определением вероятности.
Вероятность случайного события находят, когда в ходе статистического
исследования анализируют относительную частоту наступления этого события
при многократном повторении в одних и тех же условиях эксперимента или
наблюдения. Так, например, поступают, когда хотят определить ожидаемую
всхожесть семян некоторого растения, предсказать результат выступления
спортсмена в соревнованиях по стрельбе и т. п.
Для того чтобы найти вероятность интересующего нас события,
необходимо предварительно провести достаточно большое число
экспериментов или наблюдений. В то же время если рассматриваются
испытания со случайными исходами и все исходы этих испытаний
равновозможные, т. е. имеются основания считать, что шансы их наступления
одинаковы, то вероятность наступления случайного события удается найти
путем рассуждений, не прибегая к испытанию.
Для того чтобы найти вероятность некоторого события, надо правильно
определить число равновозможных исходов испытания и число благоприятных
для этого события исходов.
2.3. Тактика игр. Справедливые и несправедливые игры.
Равными вероятностями появления орла или решки при бросании монеты
часто пользуются для принятия решения в спорных ситуациях (например, при
розыгрыше ворот в футболе). Часто и в повседневной жизни для
«справедливого выбора» одного из двух возможных событий подбрасывают
монетку.
Не все знают, как узнать: справедлива ли какая – либо игра, или нет.
Поэтому я для начала хочу представить Вашему вниманию несложную задачу,
в которой нужно узнать, справедлив ли подход для выбора дежурного, который
выбрали студенты. В общем, вот эта задача:
В одной комнате студенческого общежития живут Антон, Борис и Василий.
Нужно регулярно назначать дежурного по комнате. Юноши подбрасывают две
монеты и в зависимости от результата определяют дежурного:
- если выпали орёл и решка, дежурит Антон,
- если выпали два орла, дежурит Борис,
- если выпали две решки, дежурит Василий.
Справедлив ли такой подход к выбору дежурного?
12
Таблица исходов испытаний
2-я монета
1-я монета
О
Р
О
Р
О О
Р О
Таблица 3
О Р
Р Р
Такой подход не является справедливым, так как вероятность появления
орла и решки (ОР или РО) равна
1
2
(два благоприятствующих из четырёх
возможных исходов), а вероятности появления двух решек или двух орлов
одинаковы и равны
1
4
. Так как
1
2
1
: =2, то можно сказать, что Антону, по всей
4
вероятности, придётся в 2 раза чаще дежурить, чем каждому из его друзей.
3. Что такое азартные игры
Научившись распознавать справедливые и несправедливые игры, можно
перейти к нахождению математического ожидания в азартных играх. Но
прежде чем перейти к азартным играм, попытаемся ответить на вопрос, что
такое азартная игра. Большинство считает, что это игра на деньги.
Я решила проверить, так ли это на самом деле, и провёл небольшой опрос
среди своих одноклассников. Главный вопрос этого опроса был таков: «Что
такое азартные игры в Вашем понимании?». Результаты этого опроса
приведены в приложении № 2 моей работы.
Несмотря на то, что действительно большинство людей так считает (до
того, как я занялась исследованием Теории вероятностей, я тоже так считала),
это не совсем так. На деньги можно играть и в теннис, и в шахматы.
Теннисисты и шахматисты получают большие гонорары за выигрыши в
турнирах, но в них главную роль играет все же мастерство, а вот любая игра в
карты – азартная игра. Почему? Потому, что в ней главную роль играет случай
– от него зависит, какие именно карты окажутся у партнеров. Правда, и в
картежной игре умение игрока значит много. Но есть игры, в которых от
игроков уже не требуется никакого умения, а все зависит от случая. Например,
игра в «орлянку», когда подбрасывают монету и в зависимости от того, какой
стороной она упала, определяется победитель. Или другая игра, где властвует
случай, - игра в кости.
3.1. Игры со «сгорающими» очками
Идея рассмотрения игр со «сгорающими» очками возникла по аналогии с
карточной игрой в «21 очко», когда есть желание набрать максимальное число
очков на извлекаемых из колоды картах, но есть и опасность «сгорания» очков,
если получаемая сумма окажется больше 21 очка.
13
Под играми со сгорающими очками будем понимать игры, в которых
участники по очереди проводят какие – либо опыты сериями и могут
добровольно передать ход другому игроку после определённого числа
испытаний или набрав то или иное число очков в данной серии, или ход
передаётся принуждённо, когда очки серии «сгорели» при определённом
исходе испытания. Игра прекращается после проведения одинаково числа
серий у участников. Побеждает тот, у которого в результате получается
наибольшая сумма очков во всех сериях.
Возможны два подхода к рассмотрению таких игр:
a) по количеству набранных в серии очков;
b) по количеству испытаний в каждой серии.
3.2. Рулетка
Рулетка – самая старая из существующих игр в казино. Её изобретение
приписывали Блезу Паскалю, итальянскому математику Дону Паскуале и
некоторым другим. В любом случае колесо рулетки впервые появилось в
Париже в 1765 году.
Играть в рулетку очень просто. Колесо вращается, а затем маленький шар
бросается в канавку в противоположном направлении движению колеса. В
результате шар попадает в углубление в одном из секторов колеса.
Естественно, мы предполагаем, сто колесо правильное, то есть попадание шара
в любой из секторов колеса равновероятно.
Существует несколько различных разновидностей рулетки. Наиболее
известные – это американская рулетка (рулетка Лас – Вегаса) и европейская
рулетка (рулетка Монте – Карло).
Я познакомлю Вас с двумя разновидностями рулетки.
3.3. Американская рулетка.
Колесо американской рулетки имеет 38 секторов, пронумерованные, как 00,
0, и 1 – 36. Секторы 0, 00 зелёные; секторы 1, 3, 5, 7, 9 ,13, 15, 17, 19, 21, 23, 25,
27, 29, 31, 33, 35 красные; секторы 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28,
30, 32, 34, 36 чёрные.
Если не считать 0 и 00, секторы на колесе рулетки чередуются между
красным и чёрным. Такой странный порядок чисел на колесе предназначен для
того, чтобы большие и маленькие числа, так же как чётные и нечётные числа,
имели тенденцию чередоваться.
Ставки.
Как и азартные игры в кости, рулетка популярна в казино из-за богатого
разнообразия ставок.
Вот ставки, которые используются в казино:
Прямая ставка или ставка на число – является ставкой на единственное
число и оплачивается в случае выигрыш 35:1, т. е. при выпадении выбранного
вами числа выигрыш равен 35 единицам, в других случаях вы поигрываете
одну единицу (ставку).
14
Ставка на 2 числа является ставкой на два смежных числа в таблице на
столе рулетки. Фишка ставится на черту, разделяющую два номера. Выигрыш
оплачивается как 17:1, если выпадает любое из выбранных чисел.
Ставка на 3 числа (или ставка на строку C) является ставкой на три числа в
вертикальной строке таблицы. Фишка ставится на вертикальную черту,
ограничивающую ряд справа. Выигрыш оплачивается как 11:1, если при одном
вращении колеса рулетки выпадет одно из трёх чисел.
Ставка на 4 числа (D) является ставкой на четыре числа, которые образуют
квадрат на столе рулетки. Фишка ставится на угол между четырьмя номерами.
Выигрыш оплачивается как 8:1, если при одном вращении колеса рулетки
выпадает одно из 4 чисел.
Ставка на 5 чисел (E) является ставкой на числа 0, 00, 1, 2, 3. Выигрыш
оплачивается как 6:1, если при одном вращении колеса рулетки выпадет одно
из 5 чисел.
Ставка на 6 чисел (F) является ставкой на шесть чисел в двух смежных
строках. Выигрыш оплачивается как 5:1, если выпадает одно из выбранных
чисел.
Ставка на 12 чисел. Ставки на 12 чисел могут быть сделаны несколькими
способами. Ставка на столбец (G) делается на любой из трёх столбцов,
расположенных горизонтально на столе. Фишка ставится на поле возле
выбранной колонки.
Другие ставки на 12 чисел (H) – первая дюжина (1 – 12), средняя дюжина
(13 – 24) и последняя дюжина (25 – 36). Ставки на 12 чисел
оплачиваются как 2:1, если выпадает одно из выбранных чисел. Ставка на 12
чисел проигрывает, если выпадает 0 или 00.
Ставки на 18 чисел. Ставка на цвет (I) является ставкой на красное или
чёрное. Ставка на чёт – нечёт (K) является ставкой на чётные числа от 1 до 36
или на нечётные числа от 1 до 36. Малая ставка (J) является ставкой на числа 1
– 18, и большая ставка является ставкой на числа от 19 до 36. Ставки на 18
чисел оплачиваются 1:1, если при одном вращении колеса рулетки выпадает
одно из выбранных чисел. Ставка на 18 чисел на 18 чисел проигрывает, если
выпадает 0 или 00.
Интересно: есть ли в американской рулетке ставки, более выгодные для
игрока? Чтобы ответить на этот вопрос, надо определить математическое
ожидание для каждой ставки. Как это сделать? Для примера хочу решить
несколько задач на определение ожидаемого выигрыша.
Пример.
Определить величину ожидаемого выигрыша при единичной ставке на
число в американской рулетке.
Решение.
Случайная величина X={величина выигрыша}.
Составим закон распределения случайной величины X для данной ставки.
X
-1
35
15
P (X)
37
1
38
38
Таблица 4
M [ X ]  1 
37
1
 35 
38
2
 
38
  0 , 0526 .
38
Так как полученное число меньше ноля, но не намного, то это игра является
несправедливой лишь немного.
Пример 2. Определить величину ожидаемого выигрыша при единичной
ставке на 2 числа в американской рулетке.
Решение. Эта задача подобна предыдущей. Тут также необходимо составит
закон распределения случайной величины для данной ставки и затем найти её
математическое ожидание.
X
-1
17
P (X)
36
2
38
38
Таблица 5
M [ X ]  1 
36
38
 17 
2
38
 
2
  0 , 0526 .
38
Эта игра, как и предыдущая, является лишь немного несправедливой. А
вообще, если проверить, математическое ожидание любой ставки в
американской рулетке будет везде одинаково и будет всегда равно   0 , 0526 .
Сам собой напрашивается вопрос: «Интересно, а чему равно
математическое ожидание в европейской рулетке и одинаково ли оно для всех
ставок?»
Давайте вместе попробуем ответить на него, но сначала разберёмся в
основных принципах европейской рулетки.
3.4. Европейская рулетка (рулетка Монте – Карло)
Колесо рулетки Монте - Карло имеет 37 секторов, в отличие от
американской рулетки содержит только один зеленые сектор – «0».
Правила игры и ставки в основном совпадают с правилами и ставками
американской рулетки, но есть несколько различий. При игре в европейскую
рулетку, когда делается ставка на 18 чисел ( на красное / чёрное, на чёт /
нечёт, на
меньшее или большее), при выпадении сектора «0» (zero) в
различных казино могут быть предложены различные варианта продолжения
игры.
Рассмотрим некоторые из них.
1. Правило «La Partage». В этом случае игрок теряет половину своей ставки.
16
2. Правило «En Prison». В этом случае ставки не сгорают, а попадают в
«тюрьму» на игровом столе до следующего розыгрыша числа. Если же ставка,
находящаяся в «тюрьме» при следующем броске шарика выигрывает, она
возвращается игроку без выплаты выигрыша, если же ставка проигрывает, или
выпадает «0», ставка теряется.
3. Сложная «Тюрьма». В этом случае, так же как и в предыдущем, ставка
помещается в «тюрьму». Если ставка сыграет на следующем броске, то она
возвращается игроку, а если ставка не сыграет, то она проигрывается. Если же
выпадает «0» и при следующем броске, то ставку помещают в «двойную
тюрьму». Когда ставка находиться в «двойной тюрьме» и выигрывает, то она
возвращается в простую «тюрьму», и игра продолжается, как прежде. Если
ставка, находящаяся в «двойной тюрьме», не сыграла или выпал «0», то ставка
проигрывается.
Теперь, чтобы ответить на наш вопрос, решим пары задач на определение
математического ожидания выигрыша игрока при различных ставках.
Пример.
При игре в европейскую рулетку игрок поставил на «красное». Найти
математическое ожидание выигрыша игрока, если казино придерживается
правила «La Partage».
Решение.
Случайная величина X={величина выигрыша без учёта ставки}.
Составим граф распределения случайной величины Х и вычислим
по нему математическое ожидание.
Рис. 3
M [X ]  1
18
37
 1
18
37

1
2

1
37
 
1
  0 , 0135 .
74
Таким образом, это игра является несправедливой, но лишь немного.
Пример 2. При игре в европейскую рулетку игрок поставил на число 17.
Необходимо найти математическое ожидание выигрыша игрока.
Решение.
Случайная величина X={величина выигрыша}.
17
Составим закон распределения случайной величины для данной ставки.
X
-1
35
P (X)
36
1
37
37
Таблица 6
M [ X ]  1 
36
37
 35 
1
37
 
1
  0 , 027 .
37
Таким образом, при игре в европейскую рулетку ожидаемые величины
выигрышей для различных ставок различаются, но всегда
являются отрицательными для игроков.
Я показала, что при игре в американскую рулетку математические
ожидания выигрыша для всех ставок одинаковы. А при игре в европейскую
рулетку – различны. На основе сделанного исследования я советую: чтобы
меньше проиграть, нужно ставить ставку с наибольшим математическим
ожиданием. В европейской рулетке это ставки на 18 чисел. «А какую же ставку
выбрать при игре в американскую рулетку?»
Реальный средний выигрыш будет приближаться к ожидаемому, если
играть достаточно долго (в идеале бесконечно). При ограниченном числе игр
результаты могут значительно отличаться от ожидаемых как в ту (выигрыш),
так и в другую (проигрыш) сторону. Кроме математического ожидания,
важными характеристиками случайных величин являются дисперсия и
среднеквадратическое отклонение, которые показывают, на сколько результат
единичного испытания может отличаться от ожидаемого. Чем выше дисперсия,
тем больше возможные отклонения.
3.5. Игровые автоматы.
До недавнего времени игровые автоматы стояли почти на каждом углу: в
магазинах, на вокзалах и даже возле школ. Лишь недавно приняли закон, и
игровые автоматы стали закрывать. Тем не менее, мне кажется, что многим
было бы интересно узнать, выгодно ли играть на игровых автоматах и правда,
что играя на игровых автоматах, можно хорошо заработать? Я попытаюсь
ответить на этот вопрос решением следующей задачи:
Плата за участие в игре составляет 5 рублей. На игральном автомате
указаны выигрышные расклады и количества монет, им соответствующие.
Величина выигрыша вычисляется как 5 рублей, умноженные на количество
монет, указанные в таблице:
ТАБЛИЦА ВЫИГРЫШЕЙ
хх0 =1
888 =20
хх7 =2
125 =25
18
х00 =5
х77 =10
111 =15
999 =15
222 =20
333 =25
444 =50
555 =50
000 =100
777 =200
Таблица 7
Является ли эта игра справедливой?
Решение. Предположим, что выпадение каждой из трех цифр
равновероятно. Оценим ожидаемый выигрыш.
Пусть Х={ величина выигрыша без учета платы за игру в рублях}.
Составим закон распределения этой случайной величины, для чего определим
вероятности выпадения каждой из указанных комбинаций.
Вероятность выпадения комбинации из трех одинаковых цифр
определяется по правилу умножения вероятностей:
Рис. 4
P ( 999 ) 
1

10
1

10
1
0 , 001 .
10
Аналогично определяются вероятности выпадения других комбинаций из
трех одинаковых цифр.
Теперь рассмотрим комбинации, в состав которых входит знак х. Этот
символ обозначает любую, не сводящую к другому имеющемуся раскладу,
цифру. Вероятность выпадения двух одинаковых цифр определяется
следующим образом:
Рис. 5
P ( x 77 ) 
9
10

1
10

1
 0 , 009 .
10
Расклад вида хх7 обозначает, что на третьем месте стоит только цифра 7, на
втором месте любая цифра, кроме 7, т. к. в этом случае расклад сведется к виду
х77. На первом же месте может стоять вообще любая цифра. Даже 7. т. к. ее
изменение не сможет привести ни к какому другому призовому раскладу. Итак,
вероятность выпадения одной фиксированной цифры определяется следующим
образом:
19
Рис. 6
P ( xx 7 ) 
10
10

9

10
1
 0 , 09
10
Таким образом, закон распределения случайной величины Х имеет вид:
X
0
5
10
25
50
500
75
P
p
0,09
0,09
0,009
0,009
0,001
0,001
100
125
250
250
125
1000
100
75
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
Таблица 8
90
M [X ] 
1000

1
 ( 5  10 ) 
9
 ( 25  50 ) 
1000
( 500  75  100  125  250  250  125  1000  100  75 ) 
1000

1
 (1350  675  2600 )  4 , 625
1000
Таким образом, даже если предполагать, что вероятности выпадения
каждой цифры одинаковые, то и в этом случае ожидаемый выигрыш меньше,
чем плата за игру. Обратим внимание на то, что математическое ожидание
величины выигрыша при одном испытании незначительно меньше платы за
участие, что делает игру привлекательной, но при многократном участии
проигрыш будет уже значителен (M[C  X]=C  M[X]), что и следует учитывать
игроку. В общем, подзаработать игрой на игровом автомате вряд ли удастся,
наоборот, вероятнее всего, Вы проиграете свои деньги и вдобавок потратите
время!!!
20
4. Заключение.
Все поставленные задачи были выполнены, гипотеза о том, что с помощью
математического ожидания можно предугадать результат азартной игры, была
доказана. Мне хотелось бы, чтоб моя работа помогла людям не совершать
ошибки, которые они допускают, играя в азартные игры, и я надеюсь, что моим
научным трудом воспользуются многие люди. В данной работе доказано, что,
вопреки распространенному мнению, результат игры, в которой властвует
случай, можно предугадать. На примерах самых популярных азартных игр
показано, что применяя формулу для нахождения математического ожидания
M [ X ]   x i p i , можно найти наиболее выгодные комбинации для игрока.
i
Решение всех задач подробно описано в моей работе.
21
Список литературы:
1. Афанасьев В. В., Суворова М. А. «Школьникам о вероятности в играх»,
Ярославль, изд. «Академия развития», 2006 г., 192 с.
2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. «Элементы статистики и вероятности»,
М., изд. «Просвещение», 2004 г., 75 с.
3. Мордкович А. Г., Семёнов П. В. «События. Вероятности. Статистическая
обработка данных», М., изд. «Мнемозина», 2003 г., 111 с.
4. Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. «Элементы статистики и вероятности», М.,
изд. «Просвещение», 2005 г., 111 с.
5. Шалаева Г. «Всё обо всём», М., изд. «Росмэн», 1996 г., 503 с.
22
Приложение №1:
Результаты исследования с подбрасыванием монетки.
Данный график показывает, сколько раз выпадали орёл и решка за каждый из
месяцев исследования:
1600
y1
1575
Орёл 1
Решка 1
1550
1534
1525
1539
1527
1475
1513
1506
1494
1503
1497
1500
1507
1493
1487
1473
1466
1461
1450
1425
1400
1
2
3
4
5
6
7
Данная гистограмма показывает число выпадений орла и решки за всё время
проведения
исследования:
Итого
10539
10500
10000
9500
9000
8500
8000
7500
7000
6500
6000
5500
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
10461
Орел 1
Решка 1
Орел 1
Решка 1
.
23
Приложение №2.
Результат проведения опроса на тему
«Что в Вашем понимании есть азартные игры?».
Данная круговая диаграмма показывает, сколько человек приняло участие в
опросе, какие точки зрения высказывались, и сколько человек поддержало ту
или иную позицию.
Затруднились
ответить
Количество человек
"Игры на деньги"
59; 66%
11; 13%
11; 13%
"Игры на
удачу"(другими
словами, "на
случай")
"Игры, в которые
играют в казино
7; 8%
24
Документ
Категория
Математика
Просмотров
4 881
Размер файла
318 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа