close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Реферат"Число Пи".

код для вставкиСкачать
Муниципальное казённое образовательное учреждение Никольская средняя
общеобразовательная школа Новоусманского муниципального района
Воронежской области
Реферат
по дисциплине «Математика»
на тему:
«Число
»
Выполнили: ученики 6 класса
Дедов Антон
Попов Вадим
Майка Алексей
Пос. Масловский
2013 год
Содержание
1.Введение. Актуальность выбранной темы.
2. Основная часть.
2.1. Число π
2.2. История развития числа π:
2.2.1. Геометрический период;
2.2.2. Классический период;
2.2.3. Цифровой период.
2.3.Рациональные приближения числа π.
2.4. Поэзия числа π.
2.5.Мнемонические правила для запоминания числа π.
2.6.Рекорд запоминания числа π.
2.7. Метод иглы Бюффона.
2.8.Дополнительные факты о числе π.
3.Заключение. Значение числа π.
4.Литература.
1.Введение. Актуальность выбранной темы.
Про число π — 3,1415926...
Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз;
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться,
Оказать старинке честь,
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться
И запомнить все как есть
Три — четырнадцать —
пятнадцать — девяносто два и шесть!
С.Бобров
Некоторые числа человек наделил сверхъестественными свойствами. Среди
бесконечного множества чисел существует особенное, и не только для
математиков, число .
Это число имеет своё собственное обозначение, так как его нельзя записать
точно с помощью цифр.
Это необычное число, для его более точного определения не хватило бы и
триллиона десятичных знаков. Оно может заворожить своей непокорностью.
"Этому числу удавалось в течении тысячелетий держать в плену мысли и
чувства не только математиков и астрономов, но и философов и
художников". Тратились годы для вычисления нескольких десятичных
знаков числа  и их запоминания.
Выбранная нами тема реферата интересна и актуальна на сегодняшний день.
Так как в математике очень много понятий связаны с числом π и знакомство
с ним происходит уже в 6 классе.
Целью нашего реферата является изучение истории возникновения числа π,
его развития и применения в повседневной жизни.
Материал может успешно применяться на уроках математики при изучении
темы «Длина окружности и площадь круга».
2.Основная часть.
2.1. Число π.
π (произносится «пи») — математическая константа, выражающая
отношение длины окружности к длине её диаметра.
Обозначается буквой греческого алфавита «π».
Старое
название
—
лудольфово
число.
Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался
британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после
работ Леонарда Эйлера в 1737 году. Это обозначение происходит от
начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность и περίμετρος —
периметр.
Для многих практических целей вполне достаточно использовать шесть
знаков числа π (π=3,14159). Точное же значение числа  вычислить
невозможно. Почему? Потому что это иррациональное число, то есть его
нельзя написать в виде простой дроби. А если записывать его в виде
десятичной дроби, то она будет бесконечной. Число  можно вычислять
бесконечно, и у него будет бесконечно много десятичных знаков. Это,
однако, не удерживает математиков от утомительных попыток вычислить как
можно больше десятичных знаков числа .
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944
5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647
0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559
6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165
2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360
0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953
0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724
8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737
1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901
2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960
8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951
0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035
2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532
1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
Первые 1000 знаков после запятой числа π.
2.2 История развития числа π.
История числа
шла параллельно с развитием всей математики.
Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода:
 древний период, в течение которого изучалось с позиции геометрии;
 классическая эра, последовавшая за развитием математического
анализа в Европе в XVII веке,
 эра цифровых компьютеров.
2.2.1. Геометрический период.
То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой
окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё
древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим
геометрам. Самое раннее из известных приближений датируется 1900 годом
до н. э.; это 25/8 (Вавилон) и 256/81 (Египет), оба значения отличаются от
истинного не более, чем на 1 %. Ведийский текст «Шатапатха-брахмана»
даёт как 339/108 ≈ 3,139.
Алгоритм Лю Хуэя для вычисления
.
Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления
. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные
многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед
рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку
длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю
оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку
и предположил, что примерно равняется
22/7 ≈ 3,142857142857143.
Чжан Хэн во II веке уточнил значение числа
, предложив два его
эквивалента: 1) 92/29 ≈ 3,1724…; 2)
≈ 3,1622.
Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой
и точный итеративный алгоритм (англ. Liu Hui's π algorithm) для вычисления
с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для
3072-угольника и получил приближённое значение для по следующему
принципу:
Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления
и получил
приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя
преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом
многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.
В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416.
Варахамихира в 6 веке пользуется в «Панча-сиддхантике» приближением
.
В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что ≈
355
/113, и показал, что 3,1415926 < < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя
применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным
приближением числа в течение последующих 900 лет
1.2.2. Классический период.
До II тысячелетия было известно не более 10 цифр .
Дальнейшие крупные достижения в изучении
связаны с развитием
математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих
вычислить с любой точностью, суммируя подходящее количество членов
ряда. В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграма (англ. Madhava of
Sangamagrama) нашёл первый из таких рядов:
Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори —
Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и
Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к
очень
медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на
практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить
оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в
Мадхава смог вычислить
как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в
записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком
Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об
окружности» привёл 17 цифр числа , из которых 16 верные.
Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад
голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на
вычисление числа с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был
опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до
n-угольника, где n = 60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об
окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого
есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были
обнаружены ещё 15 точных цифр числа
. Лудольф завещал, чтобы
найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него
число
иногда называли «лудольфовым числом», или «константой
Лудольфа».
Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и
определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была
формула Виета:
,
найденная Франсуа Виетом в 1593 году. Другим известным результатом
стала формула Валлиса:
,
выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.
В Новое время для вычисления используются аналитические методы,
основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны
для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно
сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного
корня.
Первую эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин (англ. John
Machin)
Формулы такого типа, в настоящее время известные как формулы Мэчина
(англ. Machin-like formula), использовались для установки нескольких
последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов
для быстрого вычисления в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был
поставлен феноменальным счетчиком Иоганном Дазе (англ. Johann Dase),
который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина
для вычисления 200 цифр в уме. Наилучший результат к концу XIX века
был получен англичанином Вильямом Шенксом (англ. William Shanks), у
которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за
ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных
ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если
результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку
Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за
несколько часов подсчитал 808 знаков .
Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы
числа
, чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного
численного вычисления. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность
в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал
иррациональность . В 1735 году была установлена связь между простыми
числами и , когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему
(англ. Basel problem) — проблему нахождения точного значения
,
которое составляет . И Лежандр, и Эйлер предполагали, что может быть
трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году
Фердинандом фон Линдеманом.
Считается, что книга Уильяма Джонса «Новое введение в математику» c 1706
года первая ввела в использование греческую букву
для обозначения этой
константы, но эта запись стала особенно популярной после того, как Леонард
Эйлер принял её в 1737 году. Он писал:
Существует множество других способов отыскания длин или площадей
соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно
облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине
окружности как 1 к
2.2.3.Цифровой период.
Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости
появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие
использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр , которое
заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие
десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. Такой прогресс
имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению,
но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было
открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро
осуществлять арифметические операции над очень большими числами.
В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил
множество новых формул для , некоторые из которых стали знаменитыми
из-за своей элегантности и математической глубины.
Братьями Чудновскими в 1987 году найдена похожая на неё формула,
которая даёт примерно по 14 цифр на каждый член ряда. Чудновские
использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в
вычислении в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году
было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула
используется в программах, вычисляющих
на персональных
компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают
современные рекорды.
В то время как последовательность обычно повышает точность на
фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют
итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество
правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на
каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году,
когда Ричард Брент (англ. Richard P. Brent) и Юджин Саламин (англ. Eugene
Salamin (mathematician)) независимо друг от друга открыли алгоритм Брента
— Саламина (англ. Gauss–Legendre algorithm), который, используя лишь
арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков.
При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45
миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на
каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном
(англ. Jonathan Borwein) Питером Боруэйном (англ. Peter Borwein). При
помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года,
установили большинство рекордов вычисления вплоть до 206 158 430 000
знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый
рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство
предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма
Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа
мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали
использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере
Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном
выполнять 2 триллиона операций в секунду.
Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли — Боруэйна —
Плаффа (англ. Bailey–Borwein–Plouffe formula), открытая в 1997 году
Саймоном Плаффом (англ. Simon Plouffe) и названная по авторам статьи, в
которой она впервые была опубликована. Эта формула
примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную
шестнадцатеричную или двоичную цифру числа
без вычисления
предыдущих. С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал
видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления
квадриллионного бита числа , который оказался нулём.
В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул.
Для рационального p у которого знаменатель — число, хорошо разложимое
на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.
В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубо рассчитали
последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.
31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на
персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990
000 десятичных разрядов.
2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский
исследователь Сигэру Кондо (яп.) рассчитали последовательность с
точностью в 5 триллионов цифр после запятой.
19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали
последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой
2.3.Рациональные приближения числа π.

— Архимед,

— дана в книге индийского мыслителя и астронома Ариабхаты в V
веке н. э.,

— приписывается современнику Ариабхаты китайскому астроному
Цзу Чунчжи.
2.4. Поэзия числа π.
π... Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков, проникнитесь
поэзией этих цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей
Древнего мира и Средневековья, нового и настоящего времени.
Зачем, спросит обыватель, нам столько знаков π, ведь известно, что для
расчета полета на край нашей Галактики с точностью, равной диаметру
протона, достаточно знать сорок знаков числа, а при расчете земной
орбиты вокруг Солнца с точностью до миллиметра достаточно
четырнадцати знаков? А уже в XVII веке были получены первые 34 знака.
Трудно объяснить деловым людям, ожидающим непременную
сиюминутную выгоду от каждого движения, что число π, как и простые
числа, совершенные, дружественные, числа Мерсенна, — это вызов
нашему интеллекту, волнующая загадка устройства мира, в конце концов,
это очень интересно. Какое бы сочетание цифр мы бы ни выдумали — оно
непременно встретится в знаках числа π, то есть можно ожидать
появление любой наперед заданной последовательности цифр. Например,
самые распространенные расстановки встретились в следующих по счету
цифрах:
01234567891
—
начиная
с
26852899245-й
01234567891
—
с
41952536161-й
01234567891
—
с
99972955571-й
01234567891
—
с
102081851717-й
01234567891
—
с
171257652369-й
01234567890
—
с
53217681704-й
01234567890
—
с
148425641592-й
27182818284 (это цифры числа е) — с 45111908393-й. (Была такая шутка:
ученые нашли последнее число в записи π— им оказалось число е, почти
попали.)
Попробуйте поискать в первых десяти тысячах знаков π свой телефон
или дату рождения; если не получится — ищите в ста тысячах знаков.
И еще: в числе 1/π начиная с 55172085586-го знака идут 3333333333333;
не правда ли, удивительно? Да что ходить далеко: даже в первой тысяче
есть неожиданности — пять девяток подряд.
Есть гипотезы, предполагающие, что в числе π скрыта любая
информация, которая когда-либо была или будет доступна людям. В том
числе и различные предсказания — надо лишь найти их и расшифровать;
имея под рукой компьютер — это не составит большого труда.
2.5.Мнемонические правила для запоминания числа π.
Стихотворение для затвердевания в памяти 8-11 знаков числ π:
1.Чтобы нам не ошибаться,
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Надо правильно прочесть:
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Чтоб наукой заниматься,
Девяносто два и шесть.
Это каждый должен знать.
Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».
Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:
2.Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один
Существуют стихи, в которых первые цифры числа π зашифрованы в виде
количества букв в словах:
3.Это я знаю и помню прекрасно:
4.Раз у Коли и Арины
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Распороли мы перины.
Доверимся знаньям громадным
Белый пух летал, кружился,
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал
Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух!
— Георгий Александров
2.6.Рекорд запоминания числа π.
Запомнить знаки π человечество пытается уже давно. Но как уложить в
память бесконечность? Любимый вопрос мнемонистов - профессионалов.
Разработано множество уникальных теорий и приёмов освоения огромного
количества информации. Многие из них опробованы на π.
Мировой рекорд, установленный в прошлом столетии в Германии - 40 000
знаков. Российский рекорд значений числа π 1 декабря 2003 года в
Челябинске установил Александр Беляев. За полтора часа с небольшими
перерывами на школьной доске Александр написал 2500 цифр числа π.
До этого рекордным в России считалось перечислить 2000 знаков, что
удалось сделать в 1999 году в Екатеринбурге. По словам Александра Беляева
- руководителя центра развития образной памяти, такой эксперимент со
своей памятью может провести любой из нас. Важно лишь знать
специальные техники запоминания и периодически тренироваться.
Мировой рекорд по запоминанию знаков числа после запятой принадлежит
китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут
воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки. В том же 2006 году
японец Акира Харагути заявил, что запомнил число до 100-тысячного знака
после запятой, однако проверить это официально не удалось.
2.7. Метод иглы Бюффона.
На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно
бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми,
так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо
пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений
иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к
при
увеличении числа бросков до бесконечности. Данный метод иглы базируется
на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло.
2.8.Дополнительные факты о числе π.
 Построен памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея
искусств в Сиэтле
 В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль (см.:
en:Indiana Pi Bill), законодательно устанавливающий значение числа
Пи равным 3,2.
Данный билль не стал законом благодаря
своевременному вмешательству профессора университета Пердью,
присутствовавшего в законодательном собрании штата во время
рассмотрения данного закона.
 «Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в
«Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска.
 По состоянию на 2010 год вычислено 5 триллионов знаков после
запятой.
 По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после
запятой.
 Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.
 Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14
марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается
как 3.14, что соответствует приближённому значению числа
.

Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из СанФранциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта
ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи =
3,14159.
Ещё одной датой, связанной с числом , является 22 июля, которое
называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation
Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как
22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа
.
3.Заключение. Значение числа π.
Мало какому числу из всех чисел, которые используются в математике, в
естественных науках, в инженерном деле и в повседневной жизни, уделяется
столько внимания, сколько уделяется числу π(«пи»). В одной книге
говорится: «Число π захватывает умы гениев науки и математиковлюбителей во всем мире» Некоторые даже считают его одним из пяти
важнейших
чисел
в
математике.
Число π - это отношение длины окружности к ее диаметру. Вы можете
вычислить длину окружности абсолютно любого круга, независимо от его
радиуса. Для этого нужно умножить диаметр этого круга на π. Неизвестно,
кто первым обнаружил, что число π остается постоянной величиной, не
зависящей от радиуса круга. Но точное значение числа π пытались вычислить
еще в глубокой древности. В наши дни с помощью мощных компьютеров
вычислили миллиарды десятичных знаков числа π. Но, при всей важности
числа π «трудно найти сферы в научных расчетах, где потребовалось бы
больше
двадцати
десятичных
знаков
π».
Число π появляется в формулах, используемых во многих сферах. Физика,
электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и
навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому как нет
конца знакам числа π, так нет конца и возможностям практического
применения этого полезного, неуловимого числа π.
4.Литература:
1 . Болтянский В. Экспонента. // Квант, 1984 №3.
2. Жуков А. В. О числе π. — М.: МЦМНО, 2002. — 32 с.
3.Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ,
2007. — 216 с.
4. Звонкин А. Что такое  // Квант, 1978 №11.
5. Калейдоскоп Число . // Квант, 1996 №6.
6. Кузьмин Е., Ширшов А. О числе е. // Квант, 1979 №8.
7. Кымпан Ф. История числа . - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
8.Перельман Я. И. Квадратура круга. — Л.: Дом занимательной науки, 1941
9. Райк А.Е. Очерки по истории математики в древности. - Саранск, 1987
Документ
Категория
Математика
Просмотров
5 432
Размер файла
718 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа