close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Элементы высшей математики

код для вставкиСкачать
Салаватский индустриальный колледж
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников
образовательных учреждений среднего профессионального образования
по специальности №2203
«Программное обеспечение вычислительной техники
и автоматизированных систем»
2002
Одобрена предметной
(цикловой) комиссией
Овечкина Л. Л.
ПредседательПЦК
Составлена в соответствии с Государственными
требованиями к минимуму содержания и уровню
подготовки выпускника по специальности №2203
«Программное обеспечение вычислительной
техники и автоматизированных систем».
Заместитель директора по учебной работе
Биктащева Г. А.
Автор: Кузнецова Е. А.
Рецензент: Овечкина Л. Л.
2
Пояснительная записка
Программа учебной дисциплины «Элементы высшей математики» предназначена
для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню
подготовки выпускников по специальности 2203 «Программное обеспечение
вычислительной техники и автоматизированных систем» среднего
профессионального образования и является единой для всех форм обучения.
Учебная дисциплина «Элементы высшей математики « является
общепрофессиональной , формирующей базовые знания для освоения других
дисциплин, она относится к математическому циклу в структуре основной
профессиональной образовательной программы.
Элементы высшей математики необходимы для изучения программирования,
теории вероятностей, математической статистики, дискретной математики и
специальных дисциплин.
Программа рассчитана на 150 часов и состоит из семи разделов:
1. Линейная алгебра.
2. Аналитическая геометрия.
3. Теория пределов.
4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
5. Интегральное исчисление функции одной переменной.
6. Числовые и функциональные ряды.
7. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких
переменных.
В результате изучения дисциплины студент должен :
знать
-
теорию определителей и матриц,
элементы аналитической геометрии,
дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной,
теорию рядов,
некоторые вопросы дифференциального и интегрального исчисления функции
нескольких переменных,
уметь
вычислять определители и производить операции над матрицами,
составлять уравнения прямых в пространстве,
выполнять операции над векторами,
вычислять производные и дифференциалы , неопределенные и определенные
интегралы,
- исследовать на сходимость числовые ряды , находить область сходимости
степенных рядов,
-
3
- находить частные производные и дифференциалы функции нескольких
переменных, вычислять двойные интегралы.
Усвоение программного материала предмета складывается из :
1) самостоятельного изучения учебного материала по рекомендуемой литературе,
2) выполнения двух домашних контрольных работ,
3) выполнения практических работ.
По наиболее важным темам предусмотрены обзорные лекции. В период
экзаменационной сессии с целью систематизации знаний предусмотрено выполнение
4 практических работ.
4
Содержание программы и методика изучения предмета
Раздел 1. Линейная алгебра
Определители 2-го и 3-го порядка. Вычисление. Определители п-го порядка.
Свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по
элементам строки или столбца. Действия с матрицами. Элементарные преобразования
матриц. Определители системы линейных уравнений. Основная матрица и
расширенная матрица системы. Матричный способ решения системы. Метод Гаусса.
Совместность и несовместность системы. Определенная и неопределенная система.
Студент должен:
Знать:
- Определители п-го порядка , свойства определителей .
- Матрицы, операции над матрицами, свойства. Элементарные преобразования
матриц.
- Системы линейных уравнений. Решение системы матричным способом. Метод
Гаусса.
Уметь:
- вычислять определители п-го порядка, разлагать определитель по элементам
строки или столбца,
- находить ранг матрицы, обратную матрицу, производить операции над
матрицами,
- решать системы уравнений матричным способом и методом Гаусса.
Литература: В. А. Подольский. Сборник задач по математике. Глава 5.
П. Е. Данко. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Глава 4.
Раздел 2. Аналитическая геометрия
Определение вектора ,операции над векторами, свойства. Координаты вектора.
Модуль вектора .Скалярное произведение. Векторное произведение. Смешанное
произведение. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
Студент должен:
Знать:
5
- определение вектора, операции над векторами, свойства, координаты вектора,
скалярное, векторное, смешанное произведения векторов,
- уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
Уметь:
- находить координаты, модули, произведения векторов ( скалярное, векторное,
смешанное),
- составлять уравнения прямых, находить углы между прямыми, расстояние от
точки до прямой,
- строить прямые и векторы.
Литература:
В. А. Подольский. Сборник задач по математике. Главы 6. 7.
П. Е. Данко. Высшая математика в примерах и задачах. Часть1, главы 2. 3.
Раздел 3. Теория пределов и непрерывность
Числовые последовательности, монотонные, ограниченные, точная нижняя и
точная верхняя граница, предел последовательности , свойства предела,
бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними,
предел суммы , произведения и частного, признак сходимости монотонной
последовательности, число е, предел функции по Коши и Гейне, свойства предела,
односторонние пределы, Теорема о существовании двустороннего предела, предел
суммы, произведения и частного двух функций, непрерывные функции, свойства,
непрерывность сложной и элементарных функций, замечательные пределы, точки
разрыва и их классификация.
Студент должен:
Знать:
- определение предела числовой последовательности и функции, свойства
предела, замечательные пределы,
- определение непрерывной в точке функции, свойства.
Уметь:
- вычислять пределы,
- раскрывать неопределенности,
- классифицировать точки разрыва.
6
Литература:
В. С. Шипачев. Основы высшей математики. Глава 5.
В. А. Подольский. Сборник задач по математике. Глава 9. 10.
Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная функции, производные основных элементарных функций,
производная сложной функции, производная неявно заданной функции,
производная функции, заданной параметрически, правила дифференцирования,
производные и дифференциалы высших порядков, правило Лопиталя,
экстремумы: необходимое, достаточное условия, направление выпуклости, точки
перегиба, асимптоты, полное исследование функции .
Студент должен:
Знать:
- определение производной, геометрический и физический смысл, табличные
производные, производные: сложной функции, функций, заданных
различными способами; производные и дифференциалы высших порядков,
- правило Лопиталя,
- исследование функций с помощью дифференциального исчисления.
Уметь:
-
вычислять производные,
вычислять производные и дифференциалы высших порядков,
использовать правило Лопиталя,
производить полное исследование функции и строить графики.
Литература:
В. С. Шипачев. Основы высшей математики.
В.А. Подольский. Сборник задач по математике.
П. Е. Данко. Высшая математика в примерах и задачах. Часть 1, 2.
Раздел 5. Интегральное исчисление функции одной переменной
Неопределенный интеграл, свойства, метод подстановки, интегрирование по
частям, интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических
7
функций, определенный интеграл, основная формула интегрального исчисления,
интегрирование заменой переменной и по частям в определенном интеграле,
приложение определенного интеграла в геометрии , несобственные интегралы с
бесконечными пределами и от неограниченных функций.
Студент должен:
Уметь:
- вычислять неопределенный и определенный интеграл методом замены
переменной и по частям,
- интегрировать рациональные , иррациональные, тригонометрические функции,
- вычислять несобственные интегралы,
- применять определенный интеграл в геометрии,
знать:
- неопределенный интеграл, интегрирование заменой переменной и по частям,
- интегрирование рациональных, иррациональных , тригонометрических
функций,
- определенный интеграл, формулу Ньютона-Лейбница, интегрирование заменой
переменной ипо частям в определенном интеграле,
- приложения в геометрии,
- несобственные интегралы.
Литература:
В. А. Подольский. Сборник задач по математике.Главы 12, 13.
В. С. Шипачев.Основы высшей математики. Глава 6.
П.Е. Данко. Высшая математика в примерах и задачах. Часть 1, главы 9,10.
Раздел 6. Числовые и функциональные ряды
Определение числового ряда, остаток ряда, свойства рядов, признаки сравнения
положительных рядов, Признаки Даламбера и Коши, знакочередующиеся ряды,
признак Лейбница, абсолютная и условная сходимость, функциональные ряды,
степенные ряды, радиус и интервал сходимости, разложение элементарных функций в
ряд Тейлора.
8
Студент должен:
Знать:
- определение числового ряда, свойства рядов, признаки сравнения
положительных рядов, признаки Даламбера и Коши,
- признак Лейбница, абсолютная и условная сходимость,
- функциональные и степенные ряды, радиус и интервал сходимости.
Уметь:
- исследовать на сходимость положительные ряды,
- исследовать на условную и абсолютную сходимость,
- вычислять радиус и интервал сходимости степенного ряда.
Литература:
В. А. Подольский. Сборник задач по математике. Глава 14.
П. Е. Данко. Высшая математика в примерах и задачах. Часть 2, глава3.
Раздел 7. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких
переменных
Функция нескольких действительных переменных, частные производные и
дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков,
Экстремумы функции двух переменных. Двойные интегралы , свойства, повторные
интегралы, замена переменных в двойных интегралах, полярные координаты,
приложения двойных интегралов.
Студент должен:
Знать:
- частные производные, дифференциал, экстремумы функции двух
действительных переменных,
9
- двойные интегралы, свойства, повторные интегралы, замена переменных в
двойных интегралах, полярные координаты, приложения в геометрии,
уметь:
- вычислять частные производные, дифференциалы, находить экстремумы
функции двух переменных,
- вычислять двойные интегралы сведениям к повторным, заменой переменной с
помощью полярных координат, применять двойные интегралы в геометрии.
Перечень практических работ
№1. Линейная алгебра.
№2.Предел функции. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
№3. Интегральное исчисление функции одной переменной. Числовые и
функциональные ряды.
№4. Функции двух действительных переменных.
Литература:
П.Е. Данко. Высшая математика в задачах и упражнениях. Часть 1, глава 8, часть
2, глава 1.
В.А. Подольский. Сборник задач по математике. Глава 15.
10
Задания к контрольным работам
Общие методические указания.
Контрольные работы должны выполняться в отдельной тетради на клетчатой
бумаге. Работа , выполненная небрежно, будет возвращена студенту без проверки.
На первой странице запирать наименование предмета, номер контрольной работы,
фамилию и инициалы, шифр, название учебно-консультационного пункта и адрес.
В тетради оставляют поля шириной 4-5 см.
Условия всех задач писать полностью. Если требуется чертеж , то его
выполняют карандашом, с помощью чертежных инструментов. При построении
чертежа соблюдается масштаб.
Решение задачи или примера должно сопровождаться необходимыми
вычислениями, формулами и пояснениями.
Если работа выполнена неудовлетворительно, то студент исправляет её и
представляет вторично, или по указанию преподавателя выполняет другой
вариант.
Работа, выполненная не по своему варианту, не засчитывается и возвращается
без проверки.
Указание по выбору варианта и определение вопросов и заданий для
контрольной работы.
Выбор вопросов и заданий к контрольной работе определяется по фамилии, имени
и отчеству студента, которые записываются в виде таблицы, где номер буквы в
ФИО определяет номер задачи, а буква, по ниже приведенной таблице, номер
вопроса.
Таблица выбора вариантов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
А,Б,В
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Г,Д,Е,Ё
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ж,З,И,Й
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
К
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Л,М
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
Н,О
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
П,Р
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
С,Т,У
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
Ф,Х,Ц,Ч 9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
Ш,Щ,Ы,
10
Ь,Э,Ю,Я
10
10
10
10
10
10
10
10
10
11
Пример:
С
И
Д
О
Р
О
В
А
8
3
2
6
7
6
1
1
Н
Д
Р
Е
Й
Согласно таблице задания следующие: 1 задча-8 вопрос, 2 задача-3 вопрос, 3
задача-2 вопрос, 4 задача- 6 вопрос, 5 задача- 7 вопрос, 6 задача- 6 вопрос, 7
задача- 1 вопрос, 8 задача- 1 вопрос.
Таблица выбора заданий приводится в начале контрольной работы.
Контрольная работа
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
1) Исследовать систему на совместность и, если можно, найти решение.
 x 1  2x 2  3x 3  1 4

3x  2 x 2  x 3  10
 1

I.  x 1  x 2  x 3  6
 2x  3 x  x  5
2
3
 1
 x 1  x 2  3
VI.
 7x 1  5x 2  2 x 3  4 x 4  8

- 3x 1  2 x 2  x 3  2 x 4  -3


 2x 1  x 2  x 3  2 x 4  1
 - x  x  2x  1
2
4
 1
 x 2  x 3  2 x 4  3
 x 1  5x 2  4 x 3  3 x 4  1

II.  2x 1  x 2  2 x 3  x 4  0
 5x  3 x  8 x  x  1
2
3
4
 1
 3x 1  2x 2  4

x  4 x 2  1
 1

III.  7x 1  10 x 2  12
 5x  6 x  8
2
 1
 3x 1 - 16x 2   5
VII.
x1  x 3  0

x 2  x 4  2

- x 2  x 3  x 6  1
- x  x  x  1
5
6
 4
 x 1  3 x 2  5 x 3  7 x 4  9 x 5  20

VIII.  x 1  2x 2  3 x 3  4 x 4  5 x 5   5
 2 x  11 x  12 x  25 x  22 x  65
2
3
4
5
 1
x 1  3x 2  2 x 3  1

IV.  x 1  9x 2  6 x 3  3
 x  3x  4 x  1
2
3
 1
 2x 1  x 2  3 x 3  2 x 4  4 x 5  1

V.  4x 1  2x 2  5 x 3  x 4  7 x 5  1
 2x  x  x  8 x  2 x   1
2
3
4
5
 1
 x 1  2x 4  5 x 5   1

x 1  3x 4  4 x 5  8
IX. 
 x 1  4 x 4  7 x 5  17
 2x  3x  4 x  11 x  12 x  14
2
3
4
5
 1
 2x 1  5 x 2  3 x 3  2 x 4  x 5  0

 5x 1  8x 2  5 x 3  4 x 4  3 x 5  1
X. 
x 1  7 x 2  4x 3  2x 4  1
 4x  x  x  2 x  3 x  2
2
3
4
5
 1
12
2) Доказать, что A,B,C и D – вершины пирамиды и найти её объём, если даны
точки:
A
B
C
D
I
2,3,-5
-2,3,5
-3,-2,5
5,3,-7
II
4,1,1
-4,1,1
-1,2,-4
1,0,1
III
4,1,1
4,1,-1
4,0,-2
2,-2,3
IV
3,1,1
3,-1,1
-2,0,4
1,1,1
V
-3,1,-2
-3,1, 2
-1,2,6
-2,0,4
VI
0,0,1
0,5,-1
4,-2,-3
3,2,-4
VII
0,-2,-1
0,2,-1
2,-4,-3
0,3,1
VIII
1,4,0
1,4, 3
1,1,2
2,0,-1
IX
1,-2,5
0,2,5
-2,2,1
4,-4,1
X
1,0,-2
1,3, 2
-1,4,4
3,-2,0
Теория пределов. Дифференциальное исчисление одной переменной.
3) Используя правило Лопиталя, найти пределы.
I.
sin 6 x
lim
II.
x
lim
IV.
lim
V.
lim
x 0
x
IX.
x
X.
tg 5 x
2
lntg x
lim

x
 2x
tg 3 x
lim
x
x
x - sin x
x 0
ln( 1  x )
x
e e
lim
VIII.
x
e e
sin 6 π x
x 0
ln( 1  x )
x  
sin 7 π x
lim
VII.
x - tg x
x 0
sin 6 π x
x 0
x  sin x
lim
sin 7 π x
lim
2
1  cos 6 x
x 0
III.
VI.
tg 2 x
x 0
2
0
tgx
4) Исследовать функцию и построить график.
2
I.
II.
y
y
x 2
2
VI.
y
x 4
x
2
x 9
2
III. y  x 
8
x
VII. y 
VIII. y 
7
25  x
2
3x
x3
x
2
x3
3
IV. y 
x 3
x
2
IX.
y
X.
y
3
V.
y
x 4
x
2
2
x
2
x 1
2x
ln x
13
Интегральное исчисление одной переменной.
5) Найти неопределенный интеграл.
4
dx
I.
а) 
II.
а)  x
2
(x  1 ) arctg x
III. а) 
x  7 ; б) 
2
sin x dx
2
cos
а) 
V.
а) 
VI.
а) 
6
5
x 7
1 - 4 arctg x
1 x
2
; в)  ( 1- 6 x) sin 3 x dx
dx ; в)  sin x  ln x dx .
; б)  tg x dx ; в)  ( 1- 4 x) sin 2 x dx .
3
x dx ; б) x 2  6 1 x 3 dx ; в) x 2  ln x dx .


x
4
ln
5
x
dx ; б)  ctg x dx ; в)  (x  1 ) 2 dx .
x
x
dx
6
x dx
2
cos
IV.
cos x
x
; б) 
ctg
4
x  sin
2
x
; б) 
dx
x (1  ln x )
; в)  arctg x dx .
2
VII. а)  sin
2
VIII. а)  sin
2
2 x dx ; б) 
x dx ; б) 
x
e dx
IX.
а) 
X.
а)  e
x
2e  7
4 cos x 1
; б) 
e
x dx
3

x
1 x
3
; в)  ( 2 x  1) e
2x
dx .
1
x
5
4
dx ; в)  ( 1- 4 x) sin 2 x dx .
sin x dx
3 cos x  5
; в) 
 sin x dx ; б)  x 5
3
2-x
4
ln x
x
dx .
dx ; в)  ( 1- 3 x) cos 2 x dx .
6) Геометрическое приложение неопределенного интеграла.
I.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (выполнить схематически
чертеж) y=3x-x2 и 5x-y-8=0
II.
Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом 4x2+9y2=36, прямой 3x3√3=0 и осью y.
 x  6 cos t

 y  4 sin t
III.
Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом
IV.
Вычислить длину дуги кривой y =ln sin x, если x1=π/3, x2=π/2.
V.
Вычислить длину дуги кривой
VI.
Вычислить длину дуги кривой ρ=6sinφ.
3
x  1
t t

3

2

y  t  2
VII. Найти объем тела вращения, образуемого
.
, между t=1 и t=4.
 x  2 cos t

 y  2 sin t
.
VIII. Найти площадь поверхности вращения, образуемого y2=x-5, x=8 вокруг оси
ОХ. Найти площадь поверхности вращения, образуемого одной полуволной
y=cos x вокруг оси ОХ
IX. Найти объем тела вращения, образуемого y=x2, y2=8x .
X.
Вычислить длину дуги кривой   2 sin  .
14
Теория рядов.
7) Исследовать на сходимость ряд.

I.
2
 (- 7
n
) (

 ( 1)
n
(
n 1

III.
 (- 1 )
IV.
 (- 1 )
n
(
V.
 (- 1 )
n 1
n 1
2
n
(
2
VII.
)
n 1
)
 (- 1 )

)
X.
 (- 1 )
n 1
2
2
n 1
n 1
( n  2 )( n  3 )
4n  3
n
n 1
n
2
3n  1
n
 (- 1 )

IX.
6n  1
n 1
n 1
n
3
4n  1
 (- 1 )

VIII.
2n  1
n
n 1
1
n 1

n5
ln n
 (- 1 )
n 1
n
( n  1) 2

VI.

n3
n 1
n 1

2
)
n
n 1
II.
n
n4
n 1
2
n 1
(2n)
2
Функции от нескольких переменных.
8) Найти производную по направлению e в точке М0. Найти градиент и производную
по направлению градиента.
I.
f(x,y)=x/y+y/x, M0(1,1), e(-3,6)
II.
f(x,y)=ln(√x+√y),M0(4,1), e(4,-4)
III. f(x,y)=e-xy,M0(1,1), e(-2,4)
IV. f(x,y)=arcsin(x2/y), M0(2,5), e(-2,-4)
V.
f(x,y)=ln(cos(x2+y2)), M0(0,π/4), e(3,6)
VI. f(x,y)=x/x-y, M0(3,1), e(6,3)
VII. f(x,y)=siny/x, M0(√2,1), e(-2,-1)
VIII. f(x,y)=ln(x3=2y3), M0(2,1), e(4,4)
IX. f(x,y)=arctg(xy2) , M0(2,1), e(-6,6)
X.
f(x,y)= ln( 5 x  5 y ) , M0(1,1), e(6,-6)
9) Исследовать на экстремум функцию
I.
z=y√x-2y2-x=14y
II.
z=2xy-2x2-4y2
III. z=xy(12-x-y)
IV. z=x3+8y3-6xy+1
V.
z=xy(6-x-y)
VI. z=(x-5)2+y2+1
VII. z=x3+y2-6xy-39x+18y+20
VIII. z=y√x-y2-x+6y
IX. z=xy-x2-y2+9
X.
z=1+6x-x2-xy-y
15
10) Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями.
1. 
2
xdxdy , D : x   1, x  2 , y  x  2 , y  x .
D
2. 
D
x
2
y
2
dxdy , D : x  2 , y  x , y  1 / x .
3.  dxdy , D : y 
x , y  x / 4, x  2 y  6 .
D
4. D
dxdy
(x  y)
2
, D : x  3 , x  4 , y  1, y  2 .
5.  ( x  2 y ) dxdy , D : y  1 / 2 x 2 , y  3 x , x  1, x  2 .
D
6. 
3
2
x dxdy , D : x  0 , y  x , y  2  x .
D
7.  xydxdy
2
, D : y  0, y  1  x .
D
8.  ( x 2
 y ) dxdy , D : x 
y , x  0, y  4 .
D
9.  ( 2 x 
2
y ) dxdy , D : y  3 x , x  2 , y  x .
D
10. 
D
x
2
y
2
dxdy , D : y  1 / x , y  x , x  3 .
Перечень рекомендуемой литературы
Основная:
1. В.А. Подольский ,А.М. Суходский, Е.М. Мироненко. Сборник задач по
математике.- М. 1999.
2. П.Е. Данко, А.Е. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч.1,2. М. 1996.
3. В.С. Шипачев. Основы высшей математики. М. 1999.
Дополнительная:
1. В.И. Смирнов.Курс высшей математики. 1,2 том. М. 1996.
2. И.М. Виноградов. Элементы высшей математики. М. 1999.
3. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.
1977.
4. В. С. Шипачев. Высшая математика. М. 1999.
16
Документ
Категория
Математика
Просмотров
345
Размер файла
154 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа